1、2022年4月30日振動力學2實際振動系統都是連續體，具有連續分布的質量與彈性，實際振動系統都是連續體，具有連續分布的質量與彈性，又稱又稱連續系統連續系統或或分布參數系統分布參數系統確定連續體上無數質點的位置需要無限多個坐標，因此確定連續體上無數質點的位置需要無限多個坐標，因此連續體是具有無限多自由度的系統連續體是具有無限多自由度的系統連續體的振動要用時間和空間坐標的函數來描述，其運連續體的振動要用時間和空間坐標的函數來描述，其運動方程不再像有限多自由度系統那樣是動方程不再像有限多自由度系統那樣是二階常微分方程二階常微分方程組組，它是，它是偏微分方程偏微分方程在物理本質上，連續體系統和多自由度

2、系統沒有什么差在物理本質上，連續體系統和多自由度系統沒有什么差別，別，連續體振動的基本概念與分析方法與有限多自由度連續體振動的基本概念與分析方法與有限多自由度系統是完全類似的系統是完全類似的2022年4月30日振動力學32022年4月30日振動力學4（1）本章討論的連續體都假定為線性彈性）本章討論的連續體都假定為線性彈性體，即在彈性范圍內服從虎克定律體，即在彈性范圍內服從虎克定律（2）材料均勻連續；各向同性）材料均勻連續；各向同性（3）振動為微振）振動為微振 2022年4月30日振動力學5連續系統的振動連續系統的振動 / 一維波動方程一維波動方程2022年4月30日振動力學6 動力學方程動力學

3、方程（1）桿的縱向振動）桿的縱向振動 等截面細直桿的縱向振動等截面細直桿的縱向振動 桿長桿長 l假定振動過程中各橫截面仍保持為平面假定振動過程中各橫截面仍保持為平面截面積截面積 S材料密度材料密度彈性模量彈性模量 E忽略由縱向振動引起的橫向變形忽略由縱向振動引起的橫向變形),(txplx0),(txp：單位長度桿上分布的縱向作用力：單位長度桿上分布的縱向作用力 連續系統的振動連續系統的振動 / 一維波動方程一維波動方程2022年4月30日振動力學7),(txu：桿上距原點：桿上距原點 x 處截面處截面 t 時刻的縱向位移時刻的縱向位移微段分析微段分析 ),(txplx0dxtxp),(dxud

4、xxuu22xuSdxdxxFFF微段應變：微段應變： dxudxxuu)(橫截面上內力：橫截面上內力：ESF 達朗貝爾原理：達朗貝爾原理： dxtxpFdxxFFtuSdx),()(22xdx達朗貝爾達朗貝爾慣性力慣性力 xuxuES連續系統的振動連續系統的振動 / 一維波動方程一維波動方程2022年4月30日振動力學8),(txu桿上距原點桿上距原點 x 處截面處截面在時刻在時刻 t 的縱向位移的縱向位移橫截面上的內力：橫截面上的內力：xuESESF達朗貝爾原理：達朗貝爾原理： dxtxpFdxxFFtuSdx),()(22),()(22txpxuESxtuS桿的縱向強迫振動方程桿的縱向強

5、迫振動方程 等直桿等直桿ES 為常數為常數 ),(1222022txpSxuatu/0Ea 彈性縱波沿桿的縱向傳播速度彈性縱波沿桿的縱向傳播速度 ),(txplx0 xdx連續系統的振動連續系統的振動 / 一維波動方程一維波動方程2022年4月30日振動力學9（2）弦的橫向振動）弦的橫向振動弦兩端固定，以張力弦兩端固定，以張力 F 拉緊拉緊在分布力作用下作橫向振動在分布力作用下作橫向振動 建立坐標系建立坐標系xoy),(txy：弦上：弦上 x 處橫截面處橫截面 t 時刻的橫向位移時刻的橫向位移 ),(txp：單位長度弦上分布的作用力：單位長度弦上分布的作用力 ：單位長度弦質量：單位長度弦質量

6、微段受力情況微段受力情況 達朗貝爾原理：達朗貝爾原理： 22d(d )( , )dyA xFxFp x txtx弦的橫向強迫振動方程弦的橫向強迫振動方程0aF / A令：令：xy并考慮到：并考慮到：),(1222022txpxyaty彈性橫波的縱向傳播速度彈性橫波的縱向傳播速度0a),(txpdxx),(txypdx22dyA xtdxxdxFFsin微振微振達朗貝爾達朗貝爾慣性力慣性力 弦的定義弦的定義: 很細長很細長振動中認為張力不變振動中認為張力不變 FFyxo連續系統的振動連續系統的振動 / 一維波動方程一維波動方程2022年4月30日振動力學10（3）軸的扭轉振動）軸的扭轉振動細長圓

7、截面等直桿在分布細長圓截面等直桿在分布扭矩作用下作扭轉振動扭矩作用下作扭轉振動 假定振動過程中各橫截面仍保持為平面假定振動過程中各橫截面仍保持為平面截面的極慣性矩截面的極慣性矩 Ip材料密度材料密度切變模量切變模量 G),(txp：單位長度桿上分布的外力偶矩單位長度桿上分布的外力偶矩 桿參數：桿參數：),(tx：桿上距離原點桿上距離原點 x 處的截面在時處的截面在時 刻刻 t 的角位移的角位移截面處扭矩截面處扭矩 T微段微段 dx 受力受力),(txpx0 xdxpdxTdxxTT 22tdxIp dxIp：微段繞軸線的轉動慣量微段繞軸線的轉動慣量達朗貝爾達朗貝爾慣性力偶慣性力偶 連續系統的振

8、動連續系統的振動 / 一維波動方程一維波動方程2022年4月30日振動力學11微段微段 dx 受力受力),(txpx0 xdxpdxTdxxTT 22tdxIp 達朗貝爾原理：達朗貝爾原理：pdxTdxxTTtdxIp )(22材料力學：材料力學：xGITp ),(22txpxTtIp ),()(22txpxGIxtIpp 圓截面桿的扭轉振動強迫振動方程圓截面桿的扭轉振動強迫振動方程等直桿，抗扭轉剛度等直桿，抗扭轉剛度 GIp 為常數為常數),(1222022txpIxatp Ga 0剪切彈性波的剪切彈性波的縱向傳播速度縱向傳播速度連續系統的振動連續系統的振動 / 一維波動方程一維波動方程20

9、22年4月30日振動力學12小結：小結：（1）桿的縱向振動）桿的縱向振動 ),(1222022txpSxuatu（2）弦的橫向振動）弦的橫向振動),(1222022txpxyaty雖然它們在運動表現形式上并不相同，但它們的運動微雖然它們在運動表現形式上并不相同，但它們的運動微分方程是類同的，都屬于分方程是類同的，都屬于一維波動方程一維波動方程（3）軸的扭轉振動）軸的扭轉振動2220221( , )pap x tItx連續系統的振動連續系統的振動 / 一維波動方程一維波動方程2022年4月30日振動力學13222022xuatu 固有頻率和模態函數固有頻率和模態函數以等直桿的縱向振動為對象以等直

10、桿的縱向振動為對象 ),(1222022txpSxuatu自由振動自由振動/0Ea 假設桿的各點作同步運動：假設桿的各點作同步運動：)()(),(tqxtxuq(t) ：運動規律的時間函數：運動規律的時間函數 )(x：桿上距原點：桿上距原點 x 處的截面的縱向振動振幅處的截面的縱向振動振幅 )()()()(20 xxatqtq ),(txplx0連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動（常數）（常數）2022年4月30日振動力學14)()()()( 20 xxatqtq 記：記：2 0)()()(0)()(202xaxtqtq )sin()(tatq0201cossin)(a

11、xcaxcx通解：通解：（確定桿縱向振動的形態，稱為（確定桿縱向振動的形態，稱為模態模態 ）,21cc由桿的邊界條件確定由桿的邊界條件確定 與有限自由度系統不同，連續系統的模態為坐標的連續函與有限自由度系統不同，連續系統的模態為坐標的連續函數數 ，表示各坐標振幅的相對比值表示各坐標振幅的相對比值 由頻率方程確定的固有頻率由頻率方程確定的固有頻率 有無窮多個有無窮多個 i（下面講述）（下面講述）（桿的邊界條件確定（桿的邊界條件確定固有頻率固有頻率）連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學15第第 i 階主振動：階主振動：)sin()(tatq0201

12、cossin)(axcaxcx222022xuatu)()(),(tqxtxui)(xi一一對應一一對應)2 , 1(),sin()(),()( itxatxuiiiii系統的自由振動是無窮多個主振動的疊加：系統的自由振動是無窮多個主振動的疊加： 1)sin(),(iiiiitatxu連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學16幾種常見邊界條件下的固有頻率和模態函數幾種常見邊界條件下的固有頻率和模態函數 （1）兩端固定）兩端固定邊界條件：邊界條件： 0)()0(), 0(tqtu0)()(),(tqltlu不能恒為零不能恒為零 )(tq0)0(0)

13、(l0201cossin)(axcaxcx02c0sin0al頻率方程頻率方程固有頻率：固有頻率：), 2 , 1 , 0(0ilaii由于零固有頻率對應的模態函數為零，因此零固有頻率除去由于零固有頻率對應的模態函數為零，因此零固有頻率除去 特征：兩端位移為零特征：兩端位移為零模態函數：模態函數：lxicxiisin)(), 2 , 1 , 0(ilx0無窮多個無窮多個連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學17（2）兩端自由）兩端自由特征：自由端的軸向力為零特征：自由端的軸向力為零 邊界條件邊界條件 ：0), 0(xtuES0),(xtluES)

14、()(),(tqxtxu 0)0(0)( llxicxiicos)(零固有頻率對應的常值模態為桿的縱向剛性位移零固有頻率對應的常值模態為桿的縱向剛性位移0201cossin)(axcaxcx頻率方程和固有頻率兩端固定桿的情況相同頻率方程和固有頻率兩端固定桿的情況相同), 2 , 1 , 0(i固有頻率：固有頻率：), 2 , 1 , 0(0ilaii模態函數：模態函數：lx0頻率方程頻率方程01c0cos0al連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學18（3）一端固定，一端自由）一端固定，一端自由特征：固定端位移為零特征：固定端位移為零 自由端軸向

15、力為零自由端軸向力為零 邊界條件邊界條件 ：0),(xtluES)()(),(tqxtxu 0)0(0)( l0cos0al02c0201cossin)(axcaxcx固有頻率：固有頻率：0), 0(tu模態函數：模態函數：,.2 , 1,)212(ilaii,.2 , 1),212sin()(ixlicxiilx0或：或：,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii頻率方程頻率方程連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學19左端自由，右端固定左端自由，右端固定特征：固定端位移為零特征：固定端位移為零

16、 自由端軸向力為零自由端軸向力為零 邊界條件邊界條件 ：0), 0(xtuES)()(),(tqxtxu 0)(l0)0(0cos0al01c0201cossin)(axcaxcx固有頻率：固有頻率：0),(tlu模態函數：模態函數：lx0,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii頻率方程頻率方程連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學20邊界條件邊界條件0)(l0)0(0cos0al模態函數模態函數lx0,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxiil

17、x00)0(0)( l0cos0al頻率方程頻率方程固有頻率固有頻率,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學21例：例：一均質桿，左端固一均質桿，左端固定，右端與一彈簧定，右端與一彈簧連接連接推導系統的頻率方程推導系統的頻率方程lx0k連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學22解：解：邊界條件：邊界條件：lx0k0), 0(tu),(),(tlxuEStlku)()(),(tqxtxu 0201cossin)(

18、axcaxcx0)0(),()(tlxESlk02c000cossinalaESalk常數klESalaltg00/)/(頻率方程頻率方程振型函數：振型函數：xacxii0sin)(連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學23例：例：一均質桿，左端固一均質桿，左端固定，右端與一集中定，右端與一集中質量質量M固結固結推導系統的頻率方程推導系統的頻率方程Mlx0邊界條件：邊界條件：0), 0(tu),(),(22tlxuEStltuM自己推導！自己推導！連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學24主振型的正

19、交性主振型的正交性只對具有簡單邊界條件的桿討論主振型的正交性只對具有簡單邊界條件的桿討論主振型的正交性 桿可以是變截面或等截面桿可以是變截面或等截面 質量密度及截面積質量密度及截面積 S 等都可以是等都可以是 x 的函數的函數 動力方程動力方程 ：),()(22txpxuESxtuS 自由振動：自由振動：)(22xuESxtuS 主振動主振動 ：)sin()(),( taxtxuSES2)(連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學25SES2)(桿的簡單邊界桿的簡單邊界 ：固定端固定端0)( xx = 0 或或 l 0)( xES自由端自由端x =

20、 0 或或 l )(xii)(xjjiiiSES2)( jjjSES2)( )(xj乘乘 并沿桿長積分：并沿桿長積分： lljiiijdxSdxES002)(分部積分：分部積分： dxESESdxESjllilijij 000)()(00任一端上總有任一端上總有或或成立成立 ljiiljidxSdxES020連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學26)(xi乘乘 并沿桿長積分：并沿桿長積分： iiiSES2)( jjjSES2)( 同理同理)(xj乘乘 并沿桿長：并沿桿長： lljiiijdxSdxES002)( lljijjidxSdxES00

21、2)( ljijljidxSdxES020相減相減 ljiiljidxSdxES0200)(022ljijidxSjiji 時時桿的主振型關于質量的正交性桿的主振型關于質量的正交性 00ljidxS lijljidxESdxES000)()(ji 桿的主振型關于剛度的正交性桿的主振型關于剛度的正交性 連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學270)(022ljijidxS關于質量的正交性關于質量的正交性 00ljidxS)(ji )(ji 關于剛度的正交性關于剛度的正交性 當當ji 時時 恒成立恒成立令：令：pilimdxS 02第第 i 階模態主

22、質量階模態主質量 piliilikdxESdxES 020)()(第第 i 階模態主剛度階模態主剛度 pipiimk/2 lijljidxESdxES000)(第第 i 階固有頻率：階固有頻率：主振型歸一化：主振型歸一化： 102 pilimdxS正則振型正則振型 2ipik 則第則第 i 階主剛度：階主剛度：ijljidxS0ijijlidxES20 ijiljidxES20)( 合寫為：合寫為： jijiij01連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學28桿的縱向強迫振動桿的縱向強迫振動 采用振型疊加法進行求解采用振型疊加法進行求解 ),()(

23、22txpxuESxtuS 強迫振動方程：強迫振動方程：初始條件：初始條件： )()0 ,(1xfxu)(|20 xftut假定假定 ，i)2 , 1 i（i已經得出已經得出令：令：)()(),(1tqxtxuiii正則坐標正則坐標 ),()(11txpqESqSiiiii 兩邊乘兩邊乘j并沿桿長對并沿桿長對 x 積分積分 ljilijiljiiidxtxpdxESqdxSq01001),()( 利用正交性條件利用正交性條件)(2tQqqjjjj 第第 j 個正則坐標的廣義力個正則坐標的廣義力 jq jjq2)(tQj連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30

24、日振動力學29),()(22txpxuESxtuS )()0 ,(1xfxu)(|20 xftut)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj ljjdxtxptQ0),()(模態初始條件的求解模態初始條件的求解 12011)0()()()0()()()0 ,(iiitiiiqxxftuqxxfxu乘乘)(xSj并沿桿長對并沿桿長對 x 積分，由正交性條件：積分，由正交性條件： ljjljjdxxxSfqdxxxSfq0201)()()0()()()0( ljjjjjjjjjdttQtqtqtq0)(sin)(1sin)0(cos)0()()(tqj求得求得 后后可得可得),(tx

25、u連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學30),()(22txpxuESxtuS )()0 ,(1xfxu)(|20 xftut)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj dxtxptQjlj),()(0集中力集中力 可表達成分布力形式：可表達成分布力形式：)()(),( xtPtxp正則坐標廣義力：正則坐標廣義力： ljjdxxxtPtQ0)()()()(分布力分布力lx0)(tP)()(jtP連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學31例：等直桿例：等直桿自由端作用有：自由端作用有：

26、 tPtPsin)(0 為常數為常數0P求：桿的縱向穩態響應求：桿的縱向穩態響應 lx0)(tP連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學32解：解：一端固定，一端自由一端固定，一端自由 邊界條件：邊界條件：固有頻率：固有頻率：), 5 , 3 , 1(20 ilaii), 5 , 3 , 1(2sin)( ilxicxii模態函數：模態函數：歸一化條件：歸一化條件： 102 dxSli12)2sin(220 ilicSldxlxicSSlci2 ), 5 , 3 , 1(sin2sin)(0 itiPctQii)()()(iitPtQ 模態廣義力：

27、模態廣義力：正則方程正則方程 ：tiPctqtqiiiisin2sin)()(02 tiPctqiiisin2sin1)(022 穩態振動穩態振動 ：)()(),(5 , 3 , 1tqxtxuiii 當外部力頻率等于桿的任一階固有頻率時都會發生共振現象當外部力頻率等于桿的任一階固有頻率時都會發生共振現象 lx0)(tPlxiisltPii2sin2sin1sin23 , 1220 連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學334/ lx04/ l2/ l0P0P例：例：一均質桿兩端固定。假一均質桿兩端固定。假定在桿上作用有兩個集定在桿上作用有兩個集

28、中力，如圖所示中力，如圖所示試問：當這些力突然移去時，桿將產生甚么樣的試問：當這些力突然移去時，桿將產生甚么樣的振動？振動？連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學34邊界條件：兩端固定邊界條件：兩端固定0)()0(), 0(tqtu0)()(),(tqltlu初始條件：初始條件：), 2 , 1(,0ilaii模態函數模態函數 ：,.)2 , 1(,sin)(ilxicxii4/ lx04/ l2/ l0P0P解：解：自由振動方程：自由振動方程：222022xuatuEa 0固有頻率：固有頻率：0)()()0 ,(0ttuxfxulxlxllxl

29、xllxxxf43 )(434 )2(40 )(000ESP400連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學354/ lx04/ l2/ l0P0P系統的自由振動是無窮多個主振動的疊加：系統的自由振動是無窮多個主振動的疊加： 1)sin(),(iiiiitatxu10201sincossiniiitlaiBtlaiBlxi), 2 , 1(,0ilaii,.)2 , 1(,sin)(ilxicxii連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學364/ lx04/ l2/ l0P0P10201sincossin

30、),(iiitlaiBtlaiBlxitxu初始條件：初始條件：0)()()0 ,(0ttuxfxu應用位移初始條件：應用位移初始條件：11sin)(iilxiBxf兩邊乘兩邊乘)(xSj并沿桿長積分，然后利用正交性條件：并沿桿長積分，然后利用正交性條件：lidxlxixflB01sin)(2應用速度初始條件：應用速度初始條件：02iB連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學374/ lx04/ l2/ l0P0PlidxlxixflB01sin)(2lxlxllxlxllxxxf43 )(434 )2(40 )(000ESP40002iBllll

31、ldxlxixldxlxixldxlxixl4/34/04/34/0sin)( sin)2(sin24/ )2(220) 1(iESilP,.)10, 6 , 2( i連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學384/ lx04/ l2/ l0P0P10201sincossin),(iiitlaiBtlaiBlxitxu02iB,.)10, 6 , 2() 1(4/ )2(2201iESilPBii系統響應：系統響應：,.10, 6, 2024/ )2(20cossin) 1(iitlailxiiESlP連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動

32、桿的縱向振動2022年4月30日振動力學39例：例：有一根有一根 x=0 端為自由端為自由, x=l 端處為固定的直桿，固定端處為固定的直桿，固定端承受支撐運動端承受支撐運動tdtugsin)(d為振動的幅值為振動的幅值試求桿的穩態響應試求桿的穩態響應lx0)(tug連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學40解：解：lx0tdtugsin)(建立方程建立方程dxudxxuuug)(22xuSdxdxxFFF微段分析微段分析應變：應變： xuudxudxxuuugg)()(內力：內力：xuuESESFg)(達朗貝爾原理：達朗貝爾原理： FdxxFFtuSdx)(22),(txu桿上距原點桿上距原點 x 處截面處截面在時刻在時刻 t 的縱向位移的縱向位移2222)(xuuEStuSg連續系統的振動連續系統的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2022年4月30日振動力學41lx0tdtugsin)(令：令：代入方程：代入方程： 2222)(xuuEStuSgguuu*guuu*即：即：guSESuuS *tSdsin2設解為：設解為： 1*)()(iiitqxu)(xi為歸一化的正則模態為歸一化的正則模態,.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxi代入方程，得：代入方程，