1、導數的幾何意義 復習1、平均變化率？2、平均變化率的幾何意義？3、瞬時變化率？4、瞬時變化率的幾何意義？ 概括：函數概括：函數 在在 處的處的 導數導數 的幾何意義就是函數的幾何意義就是函數 的圖像在點的圖像在點 處的切線處的切線AD的斜率的斜率. 數形結合數形結合 )(xf0 xx 0/xf)(xf)(,(00 xfxA 圓的切線定義并不適用于普通的曲線。 經過逼近的方法，將割線趨于確實定位置的直線定義為切線交點能夠不獨一適用于各種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質。 2l1lxyABC練習：求y=x3在0，0處的切線方程PPP 根據導數的幾何意義，在點根據導數的幾何意義，在點P

2、附近，曲線可以附近，曲線可以用在點用在點P處的切線近似替代處的切線近似替代 。 大多數函數曲線就一小范圍來看，大致可看作直線，所以，某點附近的曲線可以用過此點的切線近似替代，即“以直代曲 以簡單的對象描寫復雜的對象 1.在函數在函數 的的圖像上，圖像上，(1)用圖形來表達導數用圖形來表達導數 ， 的幾何意義的幾何意義. 105 . 69 . 4)(2ttth3 . 3) 1 (/h6 . 1)5 . 0(/hh0 . 15 . 0Ot (2)請描畫，比較曲線分別在請描畫，比較曲線分別在 附近增減以及增減快慢的情況。附近增減以及增減快慢的情況。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4th

3、tO3t4t0t1t2t (2)請描畫，比較曲線分別在請描畫，比較曲線分別在 附近增減以及增減快慢的情況。附近增減以及增減快慢的情況。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4t增減增減):增減快慢：增減快慢：=切線的斜率切線的斜率附近：附近：瞬時瞬時變化率變化率正或負正或負即：瞬時變化率導數即：瞬時變化率導數數形結合，以直代曲數形結合，以直代曲畫切線畫切線即：導數即：導數 的絕多值的大小的絕多值的大小=切線斜率的絕對值的切線斜率的絕對值的 大小大小切線的傾斜程度切線的傾斜程度峻峭程度峻峭程度以簡單對象描寫復雜的對象以簡單對象描寫復雜的對象(2) 曲線在曲線在 時，切線平行于時，切線平行

4、于x軸，曲線在軸，曲線在 附近比較平坦，幾乎沒有升降附近比較平坦，幾乎沒有升降 0t曲線在 處切線 的斜率 0 在 附近，曲線 ，函數在 附近單調0t,1t,1t2t如圖，切線 的傾斜程度大于切線的傾斜程度， 2t1t,3t4t大于大于上升上升遞增遞增2l1l3l4l3t4t上升上升這闡明曲線在 附近比在附近 得迅速2t,1l2l,3l4l0)(),(2/1/thth0)(),(4/3/thth,1t2t,3t4t遞減遞減下降下降小于小于下降下降,3t4t 2如圖表示人體血管中的藥物濃度c=f(t)單位：mg/ml隨時間t單位：min 變化的函數圖像，根據圖像，估計 t=0.2,0.4,0.6

5、,0.8min時，血管中 藥物濃度的瞬時變化率，把數據用表格 的方式列出。(準確到0.1) 血管中藥物濃度的瞬時變化率血管中藥物濃度的瞬時變化率, 就是藥物濃度就是藥物濃度從圖象上看從圖象上看,它表示它表示曲線在該點處的切線的斜率曲線在該點處的切線的斜率.函數函數f(t)在此時辰的導數在此時辰的導數,數形結合，以直代曲數形結合，以直代曲以簡單對象描寫復雜的對象以簡單對象描寫復雜的對象)(0/xf)(/xf 籠統概括：籠統概括：是確定的數是確定的數是的函數是的函數x 導函數的概念：導函數的概念：)(/xfxxfxxfxfx)(lim0000/ xxfxxfxfx)(lim0/t 0.2 0.4

6、0.60.8藥物濃度的藥物濃度的瞬時變化率瞬時變化率 3 . 004 . 15 . 0例例1:求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點在點P(1,2)處的切線方程處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1),即即y=2x.1求出函數在點求出函數在點x0處的變化率處的變化率 ，得到曲，得到曲線線 在點在點(x0,f(x0)的切線的斜率。的切線的斜率。)(0 xf 2根據直線方程的點斜式寫出切線方程，即根據直線方程的點斜式寫出切線方

7、程，即).)()(000 xxxfxfy 歸納歸納:求切線方程的步驟求切線方程的步驟 無限逼近的極限思想是建立導數無限逼近的極限思想是建立導數概念、用導數定義求概念、用導數定義求 函數的導數的函數的導數的根本思想，丟掉極限思想就無法了解根本思想，丟掉極限思想就無法了解導導 數概念。數概念。練習:小結：小結：.函數函數 在在 處的導數處的導數 的幾何意義，就是函數的幾何意義，就是函數 的圖像在點的圖像在點 處的切線處的切線AD的斜率數形結合的斜率數形結合 )(xf0 xx 0/xf)(xf)(,00 xfxAxxfxxfxfx)()(lim)(0000/切線切線 AD的斜率的斜率3.導函數導函數(簡稱導數簡稱導數) xxfxxfxfx)()(