1、1、線性離散系統的分析方法，2、討論信號的采樣和保持的數學描述，3、介紹Z變換理論和方法以及數學模型的離散 化。然后介紹脈沖傳遞函數。4、介紹線性離散系統性能分析，包括系統的穩 定性、穩態特性、動態特性。本章主要講述 圖圖8-1計算機控制系統原理圖計算機控制系統原理圖 如圖8-1所示，它的輸入信號是一個數字序列，如數字仿真系統。由于被控量是一個物理量，而計算機只能處理數字的離散信號，因此采用模數轉換器（A/D）將連續信號轉換為離散信號（數字量）送給計算機，計算機按某種控制算法進行計算，輸出的控制量為數字信號，然后再經過數模轉換器（D/A）將離散信號轉換為連續的模擬量來控制被控對象。 采樣控制系

2、統包括了采樣數字信號和數字信號，如圖8-2所示。將計算機控制系統中的A/D換成采樣開關，D/A換成保持器，那么計算機控制系統則變成了采樣控制系統。 圖圖8-2 采樣控制系統采樣控制系統 采樣過程：按一定的時間間隔對連續信號進行 采樣 ，將其轉換為相應的脈沖序列的 過程稱為采樣過程。采樣器 ：把連續信號變為脈沖序列或數字序列 的裝置稱為采樣器，又稱采樣開關。 采樣開關的采樣過程可以用一個周期閉合的開關K來表示，如圖8-3所示。t e(t) K es(t) （a）采樣 （b）連續輸入信號 （c）實際采樣的輸出 （d）理想采樣器的輸出 圖圖8-3模擬信號的采樣過程模擬信號的采樣過程采樣過程可以看成是

3、一個脈沖幅值調制過程。理想的采樣開關相當于一個單位理想脈沖序列發生器，它能夠產生一系列單位脈沖。單位脈沖序列的數學表達式為：( )()TnttnT (8-1)式中：T為采樣周期，n為整數；它由周期為 的一系列寬度為零、幅值為無窮大、而面積為1的單位理想脈沖所組成（圖8-4所示）。 T圖圖8-4 單位脈沖序列單位脈沖序列因此，單位脈沖序列 可以看成是脈沖調制器的載波信號如圖8-5所示。( )Tt 圖圖8-5 8-5 采樣信號的調制過程采樣信號的調制過程 理想的采樣過程可以看成是單位理想脈沖序列發生器的脈沖對輸入信號 的調制過程，理想的采樣器就像一個載波為 的幅值調制器。( )et( )Tt圖8-

4、6（b）是理想脈沖發生器的脈沖序列( )Tt圖8-6（c）是理想采樣器的輸出*( )et (a) (b) (c) 圖圖8-6 8-6 理想的采樣過程理想的采樣過程 ()et圖8-6（a）所示的是輸入的連續信號 。二、采樣過程的數學描述二、采樣過程的數學描述 10()00ttt (8-2) 理想的采樣開關相當于一個單位理想脈沖序列發生器。單位脈沖函數的定義單位脈沖函數的定義：對函數進行積分： 函數與其它函數的關系：( ) t (8-3) ( )d1tt( ) t (8-4) ( ) ( )d(0)t e tte 函數的一個重要特性就是篩選性：函數的一個重要特性就是篩選性： ( ) t (8-5)

5、00( ) ()d( )e tttte t由此可見：用單位脈沖函數去乘以某一函數并對其進行積分，其結果等于脈沖所在處的該函數的值。移動脈沖所在處的位置，就可以篩選所需時刻上的函數值。脈沖調制器的輸出信號可以表示為輸入信號 與調制信號 的乘積：( )e tT (8-6) *( )( )( )Tete tt其中理想的單位脈沖序列其中理想的單位脈沖序列可以表示為：可以表示為：( )Tt(8-7) ( )()TttnT實際的控制系統中，當 時， ，所以式(8-7)求和下限變為零后代入式（8-6）中得到： 0t ( )0e t (8-8)0*( )( )()nete ttnT 的數值僅在采樣瞬時才有意義

6、，所以式(8-8)又可以表示為： *( )et(8-9) 0*( )() ()(0) ( )( ) ()(2 ) (2 )ete nTtnTete Tt Te TtT對采樣信號的拉氏變換：(8-10) 0*( )L *( )L() ()nESete nTtnT根據拉氏變換的位移定理：(8-11) 0L ()e( )edenTsstnTstnTtt可見，只要已知連續信號 采樣后的采樣函數 的值，即可求出 的拉氏變換 ( )e t*( )et()e nT*( )E s(8-12)0*( )()enTsnESe nT解：因為：則： 例例8-1 設采樣器的輸入信號為( )1( )e tt試求采樣器輸出

7、信號的拉氏變換。 *( )et( )1( )e tt()1()1(0,1,2,3.)e nTnTn由式（8-12）可得： 200*( )()ee1 eenTsnTsTsTsnnEse nT 由等比級數的求和公式可得：*1e( )(e1)1 ee1TsTsTsTsEs三、采樣定理三、采樣定理 研究采樣信號的特性，需討論其頻譜展開。 根據傅氏級數展開，周期性的理想單位脈沖序列可以展開為：(8-13) j0( )()esntTnnnttnTC式中： 為采樣周期，為采樣角頻率；Ts2T (8-14) /2j/211( )edtTntnTTCttTT(8-15)j1( )esntTntT理想單位脈沖序列

8、的傅氏級數為：( )Tt將式（8-15）代入式（8-9）可得： (8-16)j1*( )( )( )() ()( )esntTnnete tte nTtnTe tT拉氏變換： (8-17) 1*( )(j)snEsE snT式（8-17）表明，采樣函數的拉氏變換式 是以 為周期的周期函數。 *( )Ess通常 的全部極點位于s平面的左半部，因此可用代替上式中的復變量，直接求得： *( )Essj (8-18) 1*(j )(jj)snEE nT為采樣信號的頻譜函數。 其中： 是連續信號 的頻譜 (j )E ( )e t是采樣信號 的頻譜*(j )E*( )et對于采樣信號來說，當時 ，采樣信號

9、為主頻譜： max0n （8-19） 1(j )ET一般來說，連續信號 的頻譜 是單一的連續頻譜，其頻帶寬是有限的，上限頻率為有限值 如圖8-7(b)所示。 (j )E ( )e tmax(a)連續信號連續信號 （b）連續信號的頻譜）連續信號的頻譜（c）采樣信號）采樣信號 圖圖8-78-7連續信號和采樣信號的頻譜連續信號和采樣信號的頻譜 圖圖8-78-7連續信號和采樣信號的頻譜連續信號和采樣信號的頻譜 （d）采樣信號的頻譜采樣信號的頻譜 2smax（e） 采樣信號的頻譜采樣信號的頻譜 2max 當 ，相鄰兩頻譜彼此不重疊，如圖8-7(d)所示。2smax當 頻譜會出現重疊，如圖8-7（e）所示

10、。 2smax如果采用一個理想的低通濾波器如圖8-8所示，可將 的高頻頻譜全部濾掉。 2smax圖圖8-8理想濾波器的頻率特性理想濾波器的頻率特性 香農采樣定理：香農采樣定理：的連續信號 采樣，采樣角頻率為 ， 當 ，采樣信號 才能無失真的地復現原連續信號 。 ( )e ts( )e t*( )et2smax對有限頻譜maxmax四、采樣保持四、采樣保持 為了使得采樣信號可以完全復現原連續信號，也需要除去高頻信號。因此將采樣后的信號經過一個理想的低通濾波器，從理想的低通濾波器的輸出端便可以得到主頻頻譜，只是幅值變化了 倍，頻譜形狀并沒有發生畸變。理想的低通濾波器實際上并不存在，工程上只能用特性

11、接近理想低通濾波器的保持器來代替。 1/T圖圖8-9 8-9 保持器保持器 零階保持器：零階保持器： 零階保持器是一種按常值規律外推的保持器。它把前一時刻 的采樣值 不增不減地保持到下一個采樣時刻 。到來時，應換成新的采樣值 繼續外推。 (1)nT(1) e nTnT()e nT(1)nT(a)(a)采樣信號采樣信號 （b）零階保持）零階保持圖圖8-10 8-10 零階保持器零階保持器 零階保持器可以實現采樣點的常值外推，它的輸出是一個高度為，寬度為的方波，如圖8-11所示，零階保持器的輸出相當于一個幅值為的階躍函數和滯后時間的反向階躍函數之差，即： )()(tAte)()()(TtAutAu

12、teh零階保持器的傳遞函數為：零階保持器的傳遞函數為： sAsAsA)t ( e)t (e)s(GTsTshe1e11LL0令，令， 可得到零階保持器的頻率特性為：可得到零階保持器的頻率特性為： sj)Tsin(ee)(GTTTTT221j2e2eje1j2j2j2j2jj02j22TeTTsinT零階保持器具有如下特性： 低通特性 相角滯后特性 時間滯后特性 零階保持器使主頻信號的幅值提高了 倍，剛 好 能補償連續信號經過采樣后使得主頻譜的幅值衰 減的 倍。 T1T圖圖8-11 8-11 零階保持器的頻率特性零階保持器的頻率特性用拉 氏變換的方法來分析其動態和穩態過程。 用線性差分方程描述，

13、用Z變換的方法分析系統的性能 。 Z變換在采樣系統中的作用與拉氏變換在連續變換在采樣系統中的作用與拉氏變換在連續系統中的作用是等效的系統中的作用是等效的。 一、一、Z變換的定義變換的定義 連續函數 的拉氏變換為： ( )e t（8-20） 0( )L ( )( )edstE se te tt采樣信號 ，其表達式為： *( )et （8-21） 0*( )() ()nete nTtnT采樣信號的拉氏變換為：（8-22） 00000*( )*( )ed() ()ed()()edststnstnEsette nTtnTte nTtnTt根據脈沖函數 的篩選性： ( ) t （8-23） 0() (

14、)d()tnT e tte nT（8-24）0e()destsnTtnTt則有：因此式（8-22）的采樣的拉氏變換為：（8-25）0*( )()esnTnEse nT（8-26），令： 相應地：上式中含有指數因子為 ，為 的超越函數，為運算方便引入變量 esnTszesTz 1lnszT（8-25）0*( )()esnTnEse nT（8-25）0*( )()esnTnEse nT1ln0*( )()nszTnEse nT z（8-27）也是一個復自變量， 為采樣周期。將式 代入式（8-25）中，得到采樣信號 式中： 為復自變量，所以 的拉氏變換為： szT*( )etesTz 通常就把式（8

15、-27）定義為 的 變換： *( )etz0( ) *( )*( )()nnE zZ etEse nT z注意：注意：2、采樣函數 所對應的 變換是唯一的，反之亦然。 但是一個采樣函數 所對應 的連續函數卻不是唯一的， 而是有無窮多個，如圖8-12所示。 *( )e tz*( )et 圖圖8-128-12離散函數所對應的連續函數離散函數所對應的連續函數 1、實際上是采樣信號 的 變換，而不是連的 變換。 *( )etzz( )e t( )E z續函數 二、二、Z變換的方法變換的方法 (1)級數求和法：級數求和法：（8-28） 120( )()(0)( )(2 )()nknE ze nT zee

16、 T zeT ze nT z 級數求和法是直接根據 Z變換的定義，將采樣函數的 變換寫成展開式的形式： Z例例8-3 求單位階躍函數的 Z變換 解：單位階躍函數為： 代入式（8-28）得到：( )1( )e tt1200( )()11nnnnnE ze nT zzzzz 11( )11zE zzz若 則上式的無窮等比級數是收斂的11z(2)部分分式法部分分式法當連續函數 可以表示為指數函數之和，如： ( )e t 可表示為部分分式的形式： 或連續函數 的拉氏變換 ( )e t( )E s（8-30） 3121123( )niiiAAAAE sspspspsp（8-29） 312123( )ee

17、ep tp tp te tAAA則連續函數 的 Z變換可以根據指數函數的Z變換： ( )e t（8-31） eeataTzZz可得：（8-32） 1( )einipTiAE zz例例8-7 求 的 Z變換 1( )(1)E ss s解：將 展開成部分分式的形式： ( )E s11( )1E sss根據階躍函數和指數函數的 Z變換，得到： 2(1)(1)( )1(1)()(1)TTTTTTzzzezeE zzzezzezeze三、三、Z變換的基本定理變換的基本定理（1）線性定理）線性定理 如果連續信號和的 Z變換分別為：1( )e t2( )e t11 ( )( )Z e tE z22( )(

18、)Z e tEz且 均為常數，則有： , a b （8-33）1212( )( )( )( )Z ae tbe taE zbEzZ變換的線性定理表明：連續信號線性組合的Z變換等于單獨信號Z 變換的線性組合。滿足線性變換的齊次性。（2）滯后定理）滯后定理 滯后定理又稱負偏移定理。是指整個采樣序列在時間軸上向右平移若干采樣周期。設連續函數 ，當 時， ，且： ，那么滯后 個采樣周期的函數為： ， 則其 Z變換： ( )e t0t ( )0e t ( )( )Z e tE zk()e tkT（8-34） ()( )kZ e tkTzE z（3）超前定理）超前定理超前定理可表示為： （8-35） ()

19、( )kZ e tkTz E z（4）復數偏移定理）復數偏移定理 設連續函數為 ，且 ，則： ( )e t ( )( )Z e tE z（8-36） ( )e( e)ataTZ e tE z（5）初值定理）初值定理 （8-37） (0)lim( )zeE z（6）終值定理）終值定理 111( )lim ()lim(1) ( )lim(1) ( )nzzee nTzE zzE z （8-38） （7）卷積定理）卷積定理1、對線性連續系統 ：（8-39）2、對離散系統 ：12120( )( )() ( )dte te te t e （8-40） 1212120*( )*( )()()( )( )k

20、nZ etetZe nT e kTnTE z Ez四、四、Z反變換反變換 與拉氏反變換類似，Z反換可表示為： 注意： 1、Z變換僅僅描述了采樣時刻的特性，不包含采 樣時刻之間的信息 1()Z ( )e nTE z2、Z反變換實質上求出的是 或 ，而不是連續函數 。 ( )e t*( )et()e nTZ反變換有三種方法： （1）長除法：）長除法： 根據 Z變換的定義： 120( )()(0)( )(2 )nnE ze nT zee T zeT z10112120( )mmmnnnb zb zbE znmza za za120120( )nnnnnE zcc zc zc zc z應用長除法：應用

21、長除法： 0120()( )()(2 )()()nnne nTctctTctTctnTctnT 用長除法求Z反變換。 解： 例例8-9 已知 為： ( )E z(1)( )(1)()aTaTezE zzze2(1)(1)( )(1)()(1)aTaTaTaTaTezezE zzzezzee用長除法：即分子多項式除以分母多項式： 221212212231223132(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1(1)(1)(1)(1aTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTzzeeezezeeezeeezeeezeezez

22、eezezeeze1223333(1)(1)(1)aTaTaTaTezezezez 展開式為： 其中： 采樣函數為： 122330( )0(1 e)(1 e)(1 e)(1 e)aTaTaTnaTnnE zzzzz()(1 e)naTe nT0*( )(1 e) ()nTnettnT(2)部分分式法部分分式法: 該方法的基本思想就是已知 ，由于 在分子中都有因子 z，因此將 進行部分分式展開： 1212( )nnaaaE zzzzz( )E z( )E z上式兩邊同乘z，得到 的部分分式展開的期望形式： ( )E z( )E zz1212( )nnzazazaE zzzz然后查表，求出采樣瞬時

23、相應的脈沖序列表達式：1()Z ( )e nTE z對應的采樣函數為： （8-41）0*( )() ()nete nTtnT 用部分分式法求 Z反變換。 解：因為： 所以： 例例8-10 已知 為： ( )E z(1 e)( )(1)(e)aTaTzE zzz( )(1 e)11(1)(e)1eaTaTaTE zzzzzz( )1eaTzzE zzz然后查 變換表得到采樣瞬時相應的脈沖序列： z()1 eanTe nT 采樣函數為： 0*( )(1 e) ()anTnettnT8.4.1微分方程的離散化微分方程的離散化微分方程的離散化微分方程的離散化 差分方程差分方程 線性系統：輸入輸出之間用

24、線性常微分方程描述。線性離散系統：輸入輸出之間用線性常系數差分方程 描述。差分:所謂差分是指兩個采樣信息之間的差值稱為差分。 而在實際應用中，常常采用數學中的微商來代替 差分。 一階微分方程的離散化： 1d( )( )dyTy tkx tt （8-42） 近似差分為: d(1)( )dyy ky ktT（8-43）將式（8-43）代入式（8-42）中： 1(1)( )( )( )y ky kTy kkx kT經整理得到： (1)( )( )y kay kbx k其中： 111,TTkTabTT用近似差分： d(1)( )dyy ky ktT（8-45）22dd(1)( )1(2)(1)(1)(

25、 )dd(2)2 (1)( )yy ky ky ky ky ky kttTTTTy ky ky kT（8-46）二階微分方程離散化： 21 2122dd()( )( )ddyyTTTTy tkx ttt（8-44） 將式（8-45）和式（8-46）代入式（8-44）：1 2122 (2)2 (1)( ) (1)( )( )( )TTTTy ky ky ky ky ky kkx kTT經整理：12(2)(1)( )( )y ka y ka y kbx k其中： 221212121 21 21111()2 ,1,TkTaTaTbTTTTTTTT 階微分方程離散化： n121211212012112

26、dddd( )dddddddd( )()ddddnnnnnnnnmmmmmmmmyyyyaaaa y tttttxxxxbbbbb x tnmtttt階差分方程為： n12101()(1)(2)(1)( )()(1)( )()nnmy kna y kna y knay ka y kb x kmb x kmb x knm8.4.2連續狀態方程的離散化連續狀態方程的離散化 連續狀態方程離散狀態方程線性定常系統的狀態方程為：xAxBuyCxDu 經過采樣后連續信號變為離散信號。而連續狀態方程經離散后變為離散狀態方程為：(1)( )( )( )( )( )x kGx kHu ky kCx kDu k其

27、中：,G H C D均為常數矩陣。且有：eATG 0edTATHB t其中： 為采樣周期。 TZ變換法求變換法求離散狀態方程離散狀態方程： 變換求解的方法是對離散差分方程兩邊取 ZZZ變換，并利用 變換的超前定理，得到以 為變量的Z代數方程，將初始條件帶入 Z變換式，求出 再利用( )X zZ反變換求出離散狀態變量的解。離散狀態方程：(1)( )( )( )( )( )x kGx kHu ky kCx kDu k（8-47） 對式（8-47）做 變換： Z( )(0)( )( )zX zzxGX zHU z對上式（8-48）做 Z反變換： 111111( )() (0)( )()(0)()(

28、)x kZzIGzxHU zZzIGzxZzIGHU z與用迭代法得到的公式相比：10( )( ) (0)(1)( )kix kk xkiHu i 得到離散狀態轉移矩陣：11( )()kkGZzIGz經整理有： 1( )() (0)( )X zzIGzxHU z（8-48） 例例8-19離散系統狀態方程為：010(1)( )( )0.40.31( )01( )x kx ku ky kx k 輸入信號： 10( )00ku kk初始條件： 12(0)1(0)(0)1xxx，求：用 變換法求 的數值。 Z( )x k解：先求出： 1110.311()0.40.30.4(0.8)(0.5)zzzIG

29、zzzz再求出： 210(0)( )21111zzzxHU zZzzzz 將以上兩式代入式（8-48）中： 120.311( )() (0)( )20.4(0.8)(0.5)152100.83(0.5)3(1)4100.83(0.5)3(1)zzX zzIGzxHU zzzzzzzzzzzzzzzzzzz取 反變換可得到離散狀態方程的解： Z2105 (0.8)( 0.5)33( )(1,2,3)1104 (0.8)( 0.5)33kkkkx kk 8.4.3 脈沖傳遞函數脈沖傳遞函數系統在零初始條件下，輸出采樣信號的 線性采樣系統的脈沖傳遞函數的定義為：與輸入采樣信號的 變換之比，稱為脈沖傳

30、遞函數，表示為： ZZ00()( )( )( )()nnnny nT zY zG zR zr nT z （8-49）8.4.3.1脈沖傳遞函數的定義 變換8.4.3.2脈沖傳遞函數的求法求取采樣控制系統的脈沖傳遞函數 ( )G z，有兩種方法：（一）、采用系統的脈沖響應來求取。 ( 二 ) 、( )G zZ( )G z 直接根據 變換表，采用查表法將連續系統的傳遞函數 離散化，從而得到脈沖傳遞函數 。 第一種方法求取脈沖傳遞函數的步驟是：1、知系統的傳遞函數 。 ( )G z2、據 1( ) ( )g tLG s來求取系統的脈沖響應 。 ( )g t3、 進行采樣，得到采樣表達式 ( )g t

31、*( )gt或離散化表達式 。 ()g nT4、由 變換的定義： Z0( )()nnG zg nT z求出脈沖傳遞函數 。 ( )G z例例8-20 已知如圖8-13所示的開環系統1( )(1)G ss s求：相應的脈沖傳遞函數。 解：方法一：先求系統的脈沖響應：111111( ) ( )1 e(1)1tg tLG sLLs sss 脈沖響應的離散形式為：()1 enTg nT 圖圖8-13 開環采樣系統開環采樣系統 由 變換的定義求出脈沖傳遞函數： Z0000( )()(1)1(1)1(1)()nnTnnnTnnnnnTTTG zg nT zezzezzzzezzezze 方法二：用查表法：

32、將 ( )G s展開成部分分式： 111( )(1)1G ss sss查 變換表得到： Z(1)( )1(1)()TTTzzzeG zzzezze8.4.3.3開環系統的脈沖傳遞函數 根據采樣系統的方塊圖求采樣系統的脈沖傳遞函數，必須注意采樣開關的位置，采樣開關的數目和位置不同求出的開環脈沖傳遞函數也會截然不同。根據圖8-14，有： 21( )( )*( )Y sG s Ys(1)連續環節串聯之間有采樣開關：圖圖8-14兩環節串聯之間有采樣開關兩環節串聯之間有采樣開關 1( )G s2( )G s之間，有采樣開關分隔。設：系統如圖8-14所示，在兩個串聯環節 和 對 進行離散化有： ( )Y

33、s21212112*( )( )*( )*( )*( )*( )( )*( )*( )*( )*( )YsG s YsGs YsGs G sRsGsGsRs由于 變換為采樣的拉氏變換，即 Z( )*( )Y zYs則有：12( )( )( ) ( )Y zG z G z R z因此，開環脈沖傳遞函數為：12( )( )( )( )( )Y zG zG z G zR z當被采樣開關分隔的兩環節串聯時，其開環等效脈沖傳遞函數為這兩個環節脈沖傳遞函數之積。這一結論可以推廣到 個環節串聯的情況。 n結論：（2）連續環節串聯之間無采樣開關：12( )( )( )*( )Y sG sG s Ys對 進行離

34、散化有： ( )Y s1212*( )( )( )*( )*( )( )*( )YsG sG sRsG s G sRs由于 變換為采樣的拉氏變換，即： Z( )*( )Y zYs則有： 1( )G s2( )G s設：系統如圖 8-15所示，在兩個串聯環節 和 之 間沒有采樣開關分隔。根據圖8-15，有：圖圖8-15兩環節串聯之間無采樣開關兩環節串聯之間無采樣開關 12( )( )( )Y zGG zR z因此，開環脈沖傳遞函數為：12( )( )( )( )Y zG zGG zR z圖8-14和圖8-15兩種情況下，脈沖傳遞函數是不一樣的，即： 1212( )( )( )G z G zGG

35、z圖圖8-14兩環節串聯之間有采樣開關兩環節串聯之間有采樣開關 圖圖8-15兩環節串聯之間無采樣開關兩環節串聯之間無采樣開關 注意：例例8-21 在圖8-14和圖8-15中： 1211( ),( )1G sG sss分別求兩圖的脈沖傳遞函數。 解：在圖8-14所示的開環系統中，其脈沖傳遞函數為：1212( )( )( )( )( )1eTzzG zG zG zZ G sZ G szz而在圖8-15所示的開環系統中，其脈沖傳遞函數為：12121111( )( )Z( )( )ZZ111eTzzG zGG zG s G ss ssszz顯然：1212( )( )( )G z G zGG z（3）帶

36、有零階保持器的脈沖傳遞函數：圖圖8-16帶有零階保持器的開環離散系統帶有零階保持器的開環離散系統 實際的采樣系統都帶有采樣器和零階保持器，如果在開環系統中帶有零階保持器，其采樣控制系統如圖8-16所示。 開環系統的脈沖傳遞函數為：011( )( )( )1TspeG zZ G sGsZss根據 變換的線性定理：上式可寫成： Z11( )(1)(1)TsG zZZes ss s再根據 變換的滯后定理：Z1111111( )(1)(1)(1)(1)111 e(1)(1)11eeTTTG zZzZzZs ss ss szzzZzsszzz8.4.3.4采樣系統的閉環脈沖傳遞函數采樣系統的閉環脈沖傳遞

37、函數 求取脈沖傳遞函數要根據閉環系統的結構以及采樣開關的位置。不同的采樣控制系統結構和不同的采樣開關位置得到的脈沖傳遞函數是不同的。如圖8-17是一種常見的采樣控制系統閉環結構圖。圖圖8-17 閉環采樣控制系統結構圖閉環采樣控制系統結構圖 輸出的拉氏變換：( )( )*( )Y sG sEs（8-50）而誤差信號的拉氏變換為：( )( )( ) ( )E sR sH s Y s（8-51） ( )( )( ) ( )*( )E sR sH s G s Es采樣后變為： *( )*( )( ) ( )*( )EsRsH s G sEs（8-52） 整理得到：*( )*( )1 ( ) ( )*R

38、sEsH s G s（8-53） 采樣系統輸出對輸入量的誤差脈沖傳遞函數：（8-54） )(11)()()(zHGzRzEze式（8-53）代入式（8-50）得到：( ) *( )( )1 ( ) ( )*G s RsY sH s G s（8-55） 采樣后變為：*( )*( )*( )1 ( ) ( )*GsYsRsH s G s（8-56） 采樣系統輸出對輸入的脈沖傳遞函數表達式：( )( )( )( )1( )Y zG zzR zHG z（8-57） 式（8-54）與式（8-57）是閉環采樣系統中經常使用的兩個閉環脈沖傳遞函數，令式（8-54）與式（8-57）的分母多項式為零，便可得到采

39、樣系統的閉環特征方程： 1( ) 0HG z（8-58） 1、式中 為開環采樣系統的脈沖傳遞函數。( )HG z這是因為采樣開關的位置不同得到的結果也不同，脈沖傳遞函數與采樣開關的位置有著密切的關系。注意：( ) sZ( )Z ( )zs2、閉環采樣系統的脈沖傳遞函數不能直接從閉環傳 遞函數 的 變換來求得。即： 例例8-23 求圖8-18所示采樣系統的脈沖傳遞函數。（a） （b） 圖圖8-18采樣控制系統采樣控制系統 所以其閉環脈沖傳遞函數為： 解：對于圖8-18（a），由于 和 之間有采樣開關，1( )G s2( )G s而 與 之間無采樣開關， 2( )G s( )H s1212( )(

40、 )( )1( )( )G z G zG zG zG H z對于圖8-18（b），由于 、 和 之間均有采樣開關，所以其脈沖傳遞函數為： 1( )G s2( )G s( )H s1212( )( )( )1( )( )( )G zG zG zG zG zH z（b） 圖圖8-18采樣控制系統采樣控制系統 8.5.1差分方程差分方程 脈沖傳遞函數脈沖傳遞函數 用差分方程表示的數學模型是離散系統的時域表達形式，而用脈沖傳遞函數表示的數學模型是離散系統的 域表達形式。兩種數學模型之間可以相互轉換， Z1101()(1)(1)( )()(1)( )nnmy kna y knay ka y kb u k

41、mbu kmb u k（8-59）對式（8-59）兩邊作 變換，并令初始條件為零，則有： Z(0)(1)(1)0(0)(1)(1)0yyy kuuu k則式（8-59）變為：111101() ( )()( )nnmmnnmza zaza Y zb zb zb U z8.5.1.1差分方程差分方程 脈沖傳遞函數脈沖傳遞函數一個單輸入單輸出的線性離散系統的一個單輸入單輸出的線性離散系統的 階差分方程階差分方程： n采樣系統的脈沖傳遞函數為：1011111( )( )( )mmmmnnnnb zb zbzbY zG zU zza zaza8.5.1.2.脈沖傳遞函數脈沖傳遞函數 差分方程差分方程一個

42、單輸入單輸出的線性離散系統的 階脈沖傳遞函數： n1011111( )( )( )mmmmnnnnb zb zbzbY zG zU zza zaza（8-60） 式（8-60）整理成：1111011() ( )()( )nnmmnnmmza zaza Y zb zb zbzb U z對上式進行 反變換，得到前差分方程的形式： Z11011()(1)(1)( )()(1)(1)( )nnmmy kna y knay ka y kbu kmbu kmbu kb u k 或寫成后差分的形式：11011( )(1)(1)()( )(1)(1)()nnmmy ka y kay kna y knb u k

43、bu kbu kmb u km 例例8-25 已知采樣控制系統中，控制器的脈沖傳遞函數為：2( )2( )( )53U zzD zE zzz現要化成計算機可以實現的算法，求差分方程。 解：把脈沖傳遞函數寫成：2(53) ( )(2) ( )zzU zzE z對上式進行 反變換，得到前差分方程的形式： Z(2)5 (1)3 ( )(1)2 ( )u ku ku ke ke k或后差方程的形式：( )5 (1)3 (2)( )2 (1)u ku ku ke ke k8.5.2差分方程差分方程 離散狀態方程離散狀態方程單輸入單輸出的 階差分方程：8.5.2.1差分方程差分方程 離散狀態方程離散狀態方

44、程1、m=0時，即輸入變量不包含高于一階的差分時，即輸入變量不包含高于一階的差分n（8-61） )() 1()()() 1()(101kubmkubmkubkyankyankymn（8-62） )()() 1()(01kubkyankyankyn選狀態變量：)1()()1()()()(21nkykxkykxkykxn（8-63）寫成矩陣的形式： 1122211221010000( )001000( )( )000100(1)000010nnnnnnnmxx kxx ku kxx kxaaaaaxb( )100( )y kx k（8-64） 由（8-65）式： )()()()()() 1()()

45、2() 1()() 1() 1(012113221kubkxakxakxankykxkxkykxkxkykxnnnn例例8-26 線性離散系統的差分方程為：(4)3 (3)5 (2)4 (1)6 ( )2 ( )y ky ky ky ky ku k試導出離散控制系統的狀態空間表達式。 解：由已知的差分方程可知：輸出序列的階數： 4n ，輸入序列的階數： 0m 差分方程的系數分別為： 12343,5,4,6,2maaaab則狀態矩陣或系統矩陣為：0100001000016453G輸入矩陣或驅動矩陣為：0002H 輸出矩陣為： 1000C 2、m0時，即輸入變量包含高于一階的差分時，即輸入變量包含

46、高于一階的差分方法：將差分方程化為脈沖傳遞函數的形式，然后再獲得離散狀態方程這種方法將在由脈沖傳遞函數求離散狀態方程中給予介紹8.5.2.2.離散狀態方程離散狀態方程 差分方程差分方程例例8-28 線性離散系統的狀態方程為：011(1)( )( )0.1611( )10( )x kx ku ky kx k ，試求差分方程。 解：由離散狀態方程直接求差分方程：由狀態方程可得：12(1)( )( )x kx ku k（8-65） 212(1)0.16 ( )( )( )x kx kx ku k （8-66） 式（8-65）可以寫成：12(2)(1)(1)x kx ku k（8-67） 將式（8-6

47、6）代入式（8-67）可得：112(2)0.16 ( )( )( )(1)x kx kx ku ku k （8-68） 由式（8-65）得：21( )(1)( )x kx ku k（8-69） 將式（8-69）代入式（8-68）中：111(2)(1)0.16 ( )(1)2 ( )x kx kx ku ku k（8-70）再由輸出方程：1( )( )y kx k（8-71）1(1)(1)y kx k（8-72） 1(2)(2)y kx k（8-73） 將式（8-71）、（8-72）和式（8-73）代入（8-70）中，得到系統的差分方程：(2)(1)0.16 ( )(1)2 ( )y ky ky

48、 ku ku k8.5.3 離散狀態方程離散狀態方程 脈沖傳遞函數脈沖傳遞函數8.5.3.1脈沖傳遞函數脈沖傳遞函數 離散狀態方程離散狀態方程由脈沖傳遞函數求取離散狀態方程也稱為實現問題 這里主要講直接程序法、并聯程序法、串聯程序法： （1） 直接程序法（2） 嵌套程序法（3） 并聯程序法（4） 串聯程序法 常用的方法有： （1）、直接程序法：）、直接程序法：采樣系統的脈沖傳遞函數為： 10111( )( )( )nnnnnnb zb zbY zG zU zza za（8-74） 將式（8-74）化為： 10111( )1nnnnbb zb zG za za z（8-75） 此方法不需要將脈沖

49、傳遞函數的分子和分母寫成因式相乘的形式。 當脈沖傳遞函數的零點和極點未知時，可采用直接程序法求離散狀態空間表達式。 以下分兩種情況考慮： （1）、當 時 00b 10111( )1nnnnbb zb zG za za z由 得到系統的流程圖 如圖8-19根據梅遜公式：01( )nkkkPG zP（8-76） 其中： 12121 ()nna za za z ；并令 1k 畫出系統的流程圖如圖8-19，然后根據流程圖在每個 ，1z環節后選取狀態變量 。 12( ),( )( )nx kx kx k方法：脈沖傳遞函數 狀態流程圖 離散狀態方程 圖圖8-19 系統流程圖系統流程圖由圖由圖8-19 信號

50、流程，可得狀態方程為：信號流程，可得狀態方程為：122334121121112100110121010(1)( )(1)( )(1)( )(1)( )( )( )( )( )( )( )( )( )(1)()( )()( )()( )( )nnnnnnnnnnnnnnx kx kx kx kx kx kx ka x ka xkax ka x ku ky kb x kbx kb x kb x kbb ax kbb ax kbb a x kb u k 寫成離散狀態矩陣的形式：112212112010110100100( )( )00010( )( )( )000001( )( )1( )( )(

51、)( )( )nnnnnnnnnnx kx kx kx ku kx kx kaaaax kx ky kbb abb abb ab u kx k 例例8-29 采樣系統的脈沖傳遞函數為：22251( )32zzG zzz試求采樣系統的離散狀態空間表達式并畫出系統的流程圖。 解：所給出的脈沖傳遞函數中： ， ， 。 02b 15b 21b 且有： ， 。 13a 22a 將脈沖傳遞函數分子分母同除以 2z，得到： 121225( )1 32zzG zzz畫出系統的流程圖：然后根據流程圖選取狀態變量：如圖8-20示。圖圖 8-20 時系統的流程圖時系統的流程圖 00b 根據流程圖寫出離散系統狀態方程

52、：12(1)( )x kx k212(1)2 ( )3( )( )x kx kx ku k 122121212( )( )5( )2(1)( )5( )2 2 ( )3( )( )3 ( )( )2 ( )y kx kx kx kx kx kx kx ku kx kx ku k （2）、當 時00b 此時，式（8-74）變為： 1111( )1nnnnb zb zG za za z（8-77）根據梅遜公式得到的流程圖如圖8-19所示，圖中取掉 0b這根線。寫成離散狀態矩陣的形式： 10111( )( )( )nnnnnnb zb zbY zG zU zza za（8-74） 圖圖8-19 系統

53、流程圖系統流程圖112212112110100( )( )00010( )( )( )000001( )( )1( )( )( )( )nnnnnnnnx kx kx kx ku kx kx kaaaax kx ky kbbbx k （2）并聯程序法）并聯程序法: 當脈沖傳遞函數 的極點已知， 的分母可以分解成因式相乘的形式時，則可以利用部分分式展開的形式對其實現狀態流程圖及編程，這種方法就是并聯程序法。 ( )G z( )G z脈沖傳遞函數為： 10111( )( )( )nnnnnnb zb zbY sG zU sza za（8-78） 具有 個不同的極點（特征根無重根），系統矩陣呈對角陣

54、時( )G zn根據式（8-78）脈沖傳遞函數可以寫成： 01( )niiiCG zbzp（8-79） 其中： lim() ( )1,2,3iiizpCzp G zin其流程圖如圖8-21所示：圖圖8-21 流程圖流程圖式（8-79）變為：1010( )1niiiC zG zbp z（8-80） 根據流程圖列寫離散系統的狀態方程：11 12221 1220(1)( )( )(1)( )( )(1)( )( )( )( )( )( )( )nnnnnx kp x ku kx kp x ku kx kp x ku ky kC x kC x kC x kb u k （3）串聯程序法：）串聯程序法：

55、當脈沖傳遞函數 的分子和分母均可以分成因式相乘的形式時，可以將脈沖傳遞函數寫成一階環節相乘的形式對其實現狀態流程圖及編程，這種方法就是串聯程序法。 ( )G z脈沖傳遞函數為： 1212()()()( )( )()( )()()()mnzczczcY zG zKnmU zzpzpzp（8-81） 從式（8-81）可見，串聯程序法主要有兩種環節的串聯： 因此 ，所以 時，主要是以下兩種環節的串聯： nm1,2,3kn1,2,3km時： 11111( )1mmkkkkkkkzcc zGzzpp z（8-82） 1,2kmmn 時： 11111( )1nnkk mk mkkzGzzpp z（8-83

56、） 可分別畫出這兩種環節的信號流程圖，根據流程圖可寫出系統的離散狀態方程。對于式（8-82）中的 個環節的串聯，其中第 個環節的流程圖如圖8-22所示mk圖圖8-22 流程圖流程圖而對于式（8-83）中的 個環節的串聯，其中第 個環節的流程圖如圖8-23所示。 nmk圖圖8-23 流程圖流程圖 總的流程圖就是 個圖8-22的串聯和 個圖8-23的串聯后兩者再串聯。 mnm例例8-32 采樣控制系統的脈沖傳遞函數為：25( )32zG zzz試用串聯程序法求采樣系統的離散狀態空間表達式。 解： 將脈沖傳遞函數分解成兩環節相乘的形式：1121155151 5( )32(1)(2)12112zzzz

57、zG zzzzzzzzz根據上式的脈沖傳遞函數的形式，畫系統的信號流程圖如圖8-24所示：圖圖8-24 信號流程圖信號流程圖根據信號流程圖寫出離散系統狀態方程：1122211212(1)2 ( )( )(1)( )( )( )5 ( )2 ( )( )3 ( )( )x kx kx kx kx ku ky kx kx kx kx kx k 8.5.3.2.離散狀態方程離散狀態方程 脈沖傳遞函數脈沖傳遞函數 對于多輸入多輸出的線性采樣系統的離散狀態空間表達式： (1)( )( )( )( )( )x kGx kHu ky kCx kDu k（8-84）對式（8-84）做 變換，得到： Z( )(

58、0)( )( )( )( )( )zX zzXGX zHu zy zCX zDU z（8-85） 經整理：11( )()(0)()( )( )( )( )X zzIGzXzIGHU zY zCX zDU z（8-86） 則有：11( )()(0)()( )( )Y zC zIGzXC zIGHU zDU z 當初始條件為零時，可以求出描述系統輸入輸出關系的脈沖傳遞函數（矩陣）：1( )( ) ( ) () ( )Y zG z U zC zIGHD U z對于單輸入單輸出系統來說， 是脈沖傳遞函數。( )G z對于多輸入多輸出系統來說， 是脈沖傳遞矩陣。 為 維的。 ( )G zm rDHGzI

59、CzUzYzG1)()()()( 本節主要討論如何在 域中分析離散控制系統的穩定性，穩態特性以及動態特性。 Z系統的性能分析包括：2 、 穩態性能3 、 動態響應1 、 穩定性分析方法：1 、時域動態響應2 、根軌跡法3 、頻率法連續控制系統中：判別系統穩定性的方法是根據特征方 程的根在 平面的位置。若系統特征 方程的所有根都在 平面的左半部， 系統是穩定的。SS判別系統穩定性的方法：ZZZS離散控制系統中：由于進行了 變換，所以采樣控制 系統的的穩定性分析是在 平面上 的。只要找到 平面與 平面的關 系，采樣控制系統的穩定性分析就會 迎刃而解。 8.6.1 穩定性分析穩定性分析8.6.1.1

60、 平面與平面與 平面的映射關系平面的映射關系 SZ根據 變換的定義，復自變量 與 之間的關系是： ZsZeTsz （8-87） 域的任何一點都可以表示成： sjs（8-88） 式（8-88）代入式（8-87）：(j )jeeeeTsTTTz（8-89） 域到 域的基本映射關系為： sZ模： eTz復角： zT 其中： 為采樣周期。 T0 （1）、當 時， ，相當于取 平面的虛軸， jsse1Tz ，復角隨 的變化而變化，所以 平面的虛軸映射到 圓心的單位圓周。 sZ平面上是以原點為分析：映射關系如圖8-25所示。 圖圖8-25 平面與平面與 平面的映射關系平面的映射關系sZ 當 時， 由 到