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文檔簡介

1、精選優質文檔-傾情為你奉上下為點集拓撲學考試的辨析題和證明題，解答是本人自己寫的，可能有錯誤或者不足，希望對大家的考試有幫助。二、辨析題（每題5分，共25分，正確的說明理由，錯誤的給出反例）1、拓撲空間中有限集沒有聚點。答：這個說法是錯誤的。反例： ，規定拓撲 ，則當時，和都是的聚點。因為和的領域只有一個，它包含，不是的聚點，因為。2、歐式直線是緊致空間。答：這個說法是錯誤的。反例：對而言，有開覆蓋，而對于該開覆蓋沒有有限子覆蓋。3、如果乘積空間道路連通，則和都是道路連通空間。答：這個說法是正確的。證明：對于投射有，由投射是連續的，又知是道路連通，從而像也是道路連通空間，所以和都是道路連通空間

2、。4、單位閉區間與不同胚。答：這個說法是正確的。下面用反證法證明，反設與同胚，則也是同胚映射，不連通，則 不連通，故矛盾，所以單位閉區間與不同胚。5、緊致性具有可遺傳性質。答：這個說法是錯誤的。反例 ：緊致但不緊致。三、證明題（每題10分，共50分）1、規定為，證明是連續映射，但不是同胚映射。證明：由于限制在與上連續，由粘接引理，連續。但不連續，如是的閉集，但不是的閉集，所以不是同胚映射。2、證明：空間的子空間也是空間。證明：設是空間，是的任一子空間，需證是空間。，由是空間，所以存在在的開鄰域、使得，是在中開鄰域，是在中開鄰域，故是空間。3、證明：從緊致空間到空間的連續雙射是同胚。證明：要證明連續，只需證是閉映射，設是的閉子集緊致，所以是緊致的。又因為緊致空間在連續映射下的像也緊致，所以是的緊致子集，又由于空間的緊致子集是閉集，所以是的閉集。4、設是的既開又閉的子集，是的連通子集，則或者或者。證明：是的既開又閉的子集，由于連通，則或者或者即。5、證明：道路連通性具有可乘性質。證明：設是是中兩點，和都是道路連通，則有中道路，以為起始點，又有中道路，以為起始點，作中道路為：，則連接和，所以道路連通性具有可乘性質。

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