1、第二章：化學計量學的相關基礎第二章：化學計量學的相關基礎 線性代數線性代數 數理統計與回歸分析數理統計與回歸分析 計算機編程及應用計算機編程及應用 最優化理論與算法最優化理論與算法第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-1第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-2 數學數學：化學計量學的理論基礎化學計量學的理論基礎 數學將實際問題中的背景省略，抽提其在數學將實際問題中的背景省略，抽提其在數字或幾何方面的共性特點進行研究。數字或幾何方面的共性特點進行研究。 抽象數學十分實用：很多學科中的研究對抽象數學十分實用：很多學科中的研究對象可以用象可以用向量向量、矩陣矩陣表示。表示。 利用數學

2、中抽象符號及其相關理論可以建利用數學中抽象符號及其相關理論可以建立描述研究對象的立描述研究對象的數學模型數學模型，從而進一步，從而進一步發現其內在規律。發現其內在規律。數學對化學家有用嗎？ 數據的挖掘數據的挖掘 數據的處理數據的處理 從測試數據提取化學信息從測試數據提取化學信息 信息技術的革命信息技術的革命 計算機的發展與應用計算機的發展與應用 第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-32-1 數學基礎回顧-線性代數部分線性代數部分化學中的數據類型第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-4單變量數據：單變量數據：一次測量得到一個值（如：一次測量得到一個值（如：溫度、壓力、單波長的吸

3、光度等）；溫度、壓力、單波長的吸光度等）；多變量數據：多變量數據：分析儀器的高性能化，使得分析儀器的高性能化，使得一次測量可以獲得多變量、多通道的數據一次測量可以獲得多變量、多通道的數據（如：（如：UV-VisL吸收光譜吸收光譜、IR、NIR、熒、熒光光譜光光譜、GC、LC、MS、NMR及聯用儀及聯用儀器等）；器等）； 分析化學中的矢量任何一個光譜、色任何一個光譜、色譜等譜圖可以用一譜等譜圖可以用一個向量表達；個向量表達；一組描述研究對象一組描述研究對象的變量也可用一個的變量也可用一個向量表達向量表達第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-5第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-

4、6聯用儀器HPLC-DAD,GC-MS,GC-IR,HPLC-MS 二維數據既含有色譜二維數據既含有色譜信息又含有光譜信息信息又含有光譜信息 數據矩陣大于數據矩陣大于10兆兆 大量化合物數據庫大量化合物數據庫第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-7根據根據Lambert-Beer定律做出的定律做出的兩個不同化合物兩個不同化合物a與與b的混合物光譜的混合物光譜第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-8向量加法的幾何意義abba第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-9)()(cbacba向量減法的幾何意義第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-10向量的方向與長度 向量

5、的向量的方向方向：由構成向量的所有元素所決定，因為任意兩元素間的不同比率會確定向量在線性子空間中的方向; 向量的向量的長度長度：由構成向量的所有元素的平方和所決定：第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-1122221.naaaa向量分量之間的不同比例決定了向量在線性子空間中的方向第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-12兩向量間的減法決定了n維空間中兩點間的距離第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-13,.,2211nnbabababa向量的數乘,.,21tnaaaa 第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-14,.,21tnaaaa 向量的數乘向量的數乘相當于不

6、同濃度的光譜第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-15向量的數乘滿足結合律、分配律向量的數乘滿足結合律、分配律向量的內積與外積第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-16向量間的內積內積或點積點積生成一個數兩向量間內積的幾何意義第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-17 兩兩向量外積向量外積生成一個生成一個雙線性矩陣雙線性矩陣第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-18其在多元分辨中有重要的意義其在多元分辨中有重要的意義矩陣代數相關概念簡介矩陣代數相關概念簡介1、矩陣的相等、矩陣的相等：矩陣：矩陣A和和B相等，當且僅當對于所相等，當且僅當對于所有有i和和j均有均有A

7、ij=Bij時才成立！時才成立！2、矩陣的加減矩陣的加減：只有相同維數的矩陣才可以加減：只有相同維數的矩陣才可以加減 Aij BijCijijijijBAC第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-19ABBA3、矩陣乘法矩陣乘法：矩陣：矩陣A、B，僅當，僅當A的列數等于的列數等于B的行的行數是，才可以相乘：數是，才可以相乘：CABkjikijBAC 第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-205043221987654321503214321987654321423630987654321321mjkmrksmikijCBADABCD ;對：4、矩陣矩陣“除法除法”：只能通過一個逆

8、過程來完成，：只能通過一個逆過程來完成，凡是矩陣凡是矩陣A具有非零行列式：具有非零行列式：det(A)0（稱非奇（稱非奇異矩陣），而且僅對于這種矩陣，才能按照下列異矩陣），而且僅對于這種矩陣，才能按照下列等式定義其逆矩陣等式定義其逆矩陣A-1: AA-1=A-1A=E第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-21BABAAAaAij)()()();(;BAAB 一般：);()(BCACABABC但：)()()(DCBDCADCBAA、B不對易不對易第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-22 或或：如果兩個方陣如果兩個方陣A、B滿足滿足AB=E，則稱，則稱B矩矩陣是陣是A矩陣的逆矩陣

9、，計為矩陣的逆矩陣，計為B=A-1;ttAAABAB)()( ;)(11111 如果矩陣如果矩陣A的逆矩陣的逆矩陣A-1存在，則稱存在，則稱A是非奇異是非奇異矩陣矩陣（或滿秩矩陣）！否則成為（或滿秩矩陣）！否則成為奇異矩陣奇異矩陣！EAA 1第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-235、零矩陣和單位矩陣：、零矩陣和單位矩陣：全部元素為全部元素為0 0的矩陣為的矩陣為零矩陣零矩陣，計作：，計作：0對對n階方陣，對角元均為階方陣，對角元均為1、非對角元均為、非對角元均為0稱稱單位單位矩陣矩陣；計作：；計作：EAAEEAAA ;0tttABAB)(6、矩陣的轉置：、矩陣的轉置：將矩陣行與列互

10、換稱為矩陣的轉將矩陣行與列互換稱為矩陣的轉置，轉置矩陣有如下性質：置，轉置矩陣有如下性質：ttttABCABC)(第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-247、矩陣的行列式、矩陣的行列式：方陣的行列式是一個實數，方陣的行列式是一個實數，計為計為detA：是非奇異矩陣階矩陣對AAnnAkkAAABAABnt0det)( ;det)det(detdetdetdet)det( 其中：其中：Akj是是(n-1) (n-1)階矩陣，是劃去第階矩陣，是劃去第k行和行和第第j列所得的列所得的A的子陣。的子陣。kjkjjkAaAdet) 1()det(第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-25

11、8、正交矩陣、正交矩陣：如果一個方陣如果一個方陣A滿足：滿足：AtA=E；稱；稱A為為正交矩陣正交矩陣。顯然：。顯然： At=A-1；iiaAtr1det)det(detdetdetdetAEAAAAAAtt9、方陣的跡方陣的跡：定義為矩陣：定義為矩陣A主對角線上元素的和，主對角線上元素的和，計為計為trA；ABBAABBABAtr)(trtr)(trtrtr)(tr第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-2610、方陣的秩方陣的秩：第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-27 方陣方陣秩秩的化學意義的化學意義 聯用色譜法測量樣本，獲得一個聯用色譜法測量樣本，獲得一個數據矩陣：矩陣

12、中每行就是一個在數據矩陣：矩陣中每行就是一個在某保留時間點上的光譜（某保留時間點上的光譜（MS, NMR）；每一列就是一個在某一波）；每一列就是一個在某一波長（或質荷比等）上的色譜。如果長（或質荷比等）上的色譜。如果沒有量測噪聲，且每個不同化學物沒有量測噪聲，且每個不同化學物質都具有不同的光譜或色譜，則質都具有不同的光譜或色譜，則矩矩陣的秩就是體系的組分數陣的秩就是體系的組分數！ 如果化合物測量體系沒有化學反如果化合物測量體系沒有化學反應發生（即各物質相互獨立），這應發生（即各物質相互獨立），這是與矩陣秩的意義相同！是與矩陣秩的意義相同！中藥肉桂的一部分二維數據中藥肉桂的一部分二維數據第2講

13、第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-28 Lambert-Beer Law的矩陣表達的矩陣表達 單組分在某單組分在某 下的下的Lambert-Beer定律定律: A bC p個混合物構成的體系在個混合物構成的體系在 j處的吸光度處的吸光度Aj第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-29piijipiijipjjjpjBCbCbCCCA112121.在分析化學中經常遇到多組分含量確定的問題在分析化學中經常遇到多組分含量確定的問題 在分光光度法中，各組分在同樣的顯色條件下于同一顯在分光光度法中，各組分在同樣的顯色條件下于同一顯色劑生成有色物，但是各組分特征吸收峰常出現干擾情況。色劑生成有色

14、物，但是各組分特征吸收峰常出現干擾情況。如果試驗符合以下兩個條件：比爾定律：如果試驗符合以下兩個條件：比爾定律：A=kbc；吸光度具吸光度具有加和性有加和性 Ai=Ai1+Ai2+ +Ain如：現有一樣品含有：現有一樣品含有Mo, Ti, V三種組分，顯色后在三種組分，顯色后在400、540、610nm處進行了吸光度測定，并對以上三組分的獨立標準溶處進行了吸光度測定，并對以上三組分的獨立標準溶液進行了同樣顯色條件的測定，數據如下，求液進行了同樣顯色條件的測定，數據如下，求Mo, Ti, V三種三種組分的含量組分的含量,第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-30 nmMoTiV樣品樣品1

15、4000.4160.1300.0000.24825400.0480.6080.1480.85736100.0020.4100.2000.718 p個混合物構成的體系在個混合物構成的體系在n個波長處的吸光個波長處的吸光度可用一行向量表示：度可用一行向量表示：第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-31pnppnnppiinipiiipiiinBBBBBBBBBCCCBCBCBCAAA.212222111211211121121 p個混合物構成個混合物構成的的m個樣本在波長個樣本在波長j處的吸光度可處的吸光度可用一列向量表示：用一列向量表示：第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 32pn

16、ppnnpmjjjmpmmppmjjjBBBBBBBBBCCCBBBCCCCCCCCCAAA.212222111211212121222211121121p個混合物構成的個混合物構成的m個樣本個樣本在在n個波長處的吸光度個波長處的吸光度可用一矩陣表示：可用一矩陣表示：piTiinppmnmkcBCA1第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-33mpmmppmpmmppmnmmnnBBBBBBBBBCCCCCCCCCAAAAAAAAA.212222111211212222111211212222111211 可見，矩陣的應用之一就是可用簡潔形式表示線可見，矩陣的應用之一就是可用簡潔形式表示

17、線性方程組，例如：性方程組，例如：333323213123232221211313212111xyAyAyAxyAyAyAxyAyAyA第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-34可寫成：可寫成：321321333231232221131211xxxyyyAAAAAAAAA或或;XAY 333231232221131211AAAAAAAAAA321321;xxxXyyyY上三角陣與下三角陣3323221312111aaaaaaC3332312221112aaaaaaC上三角矩陣上三角矩陣 下三角矩陣下三角矩陣332211aaaD111I對角矩陣對角矩陣 恒等矩陣恒等矩陣第2講 第2章 化

18、學計量學的相關基礎知識 2-35逆矩陣的運算性質逆矩陣的運算性質（1）若）若A可逆，則可逆，則A-1亦可逆，且（亦可逆，且（A-1)-1=A 第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-36 且且可逆可逆則則數數可逆可逆若若, 0,2AA 且且亦可逆亦可逆則則為同階方陣且均可逆為同階方陣且均可逆若若,3ABBA 1111 ABBAABAB1 AEA,1EAA .111 ABAB證明證明 1ABB1 1 A .111 AA TTTAAAA11 TE ,E .11TTAA 為正整數定義時當kAAEAAkk;,:,010證明證明 .1212 AA推推廣廣1AmA1 mA1 1A .,4AAAAT

19、且且亦可逆亦可逆則則可逆可逆若若TT1 1 第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-37 .AA,A115 則有則有可逆可逆若若證證明明EAA 111 AA.AA11 因此因此有有為整數時為整數時當當, 0 A, AAA . AA 第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-38(6) 若若A是可逆矩陣，則是可逆矩陣，則A的逆矩陣是的逆矩陣是唯一唯一的的.若設若設 和和 是是 的逆矩陣，的逆矩陣，BCA則有則有,ECAACEBAAB 可得可得EBB BCA ABC CCE 所以所以 的逆矩陣是唯一的，即的逆矩陣是唯一的，即A1ACB第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-39證明

20、證明若若 可逆，可逆，A.EAAA 11使使即有即有, 11 EAA故故. 0 A所所以以定理定理1 1 矩陣矩陣 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A.的伴隨矩陣的伴隨矩陣為矩陣為矩陣其中其中AA 第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-40對任意對任意n 階矩陣階矩陣A ，稱，稱A* 為為A 的的伴隨矩陣伴隨矩陣，其中，其中，Aij 是是A 中元素中元素aij的的代數余子式代數余子式。 nnnnAAAAA.1111* nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211, AAAAOO第2講 第

21、2章 化學計量學的相關基礎知識 2-41,0時時當當 AAAaAaAannnnnnnn2211EAAAAA 按逆矩陣的定義得按逆矩陣的定義得證畢證畢.1AA*A1 1 EAAAAAA *1*1第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-42逆矩陣的求解逆矩陣的求解第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-43 定義定義 對于對于 階矩陣階矩陣 ，如果有一個，如果有一個 階矩陣階矩陣 則說矩陣則說矩陣 是是可逆的可逆的，并把矩陣，并把矩陣 稱為稱為 的的逆矩陣逆矩陣.nAB,EBAAB BAnA, ,使得使得.1 AA的逆矩陣記作的逆矩陣記作例例 設設:,21212121,1111 BA,

22、EBAAB !的逆矩陣是AB例例1 1 設設,0112 A.的逆陣的逆陣求求A解解設設 是是 的逆矩陣的逆矩陣, dcbaBA則則 dcbaAB0112 1001 100122badbca利用待定系數法利用待定系數法第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-441、利用待定系數法、利用待定系數法 , 1, 0, 02, 12badbca . 2, 1, 1, 0dcba又因為又因為 0112 2110 0112 2110,1001 所以所以.21101 AABAB第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-45例例2 2 求方陣求方陣 的逆矩陣的逆矩陣. . 343122321A解解02

23、343122321A.1存在存在 A, 2341211 A, 3331212 A三、逆矩陣的求法第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-462 2、逆矩陣充要條件法：、逆矩陣充要條件法： ,11 AAA, 2, 6, 6, 223222113 AAAA, 2, 5, 4333231 AAA,222563462332313322212312111AAAAAAAAAA得故故 AAA11 22256346221.11125323231 第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-47,331212321 A.1151531132 B解解331212321 A010430321 .,?,矩矩陣

24、陣求求出出其其逆逆若若可可逆逆是是否否可可逆逆下下列列矩矩陣陣BA例例3 3第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-48 a2i - a1i 2a3i- a1i0;4010430321A.可可逆逆所所以以A53112A4;3122A3;3321A131211第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-49A21=3; A22=0; A23=-1; A31=1; A32=4; A33=-3; . 315404133411151531132 B由于由于, 0 .B不不可可逆逆故故 33231332221231211111*1AAAAAAAAAAAAA第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識

25、 2-50,130231,3512,343122321 CBA例例4 4 設設.CAXBX 使滿足使滿足求矩陣求矩陣解解, 02343122321 A, 013512 B.,11都存在都存在 BA第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-51,111253232311 A且且,25131 BCAXB 又由又由1111 CBAAXBBA.11 CBAX于是于是11 CBAX 251313023111125323231E第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-52 2513202011.41041012 第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-53 ;510402321112011

26、1112 X .1125103241230111111230111113X ;4123X41511解矩陣例例5 5 412341514151415111X得得 41231154.642817 解解 412341511X給方程兩端左乘矩陣給方程兩端左乘矩陣,41511 412341511XE第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-54 5104023211120111112 X1112011111510402321 X給方程兩端右乘矩陣給方程兩端右乘矩陣,1120111111 得得第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-55.9144682592 112510324123011111

27、1230111113X給方程兩端左、右乘相應逆矩陣給方程兩端左、右乘相應逆矩陣第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-56 251121131112510324251121131.471202121529307513 11123011111112510324123011111X得得,1230111111 , 0! 5 A因因由由伴伴隨隨矩矩陣陣法法得得解解.1存在存在故故 A.50000040000030000020000011 AA求求已已知知 例例6 6,1AA*A1 第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-57432100000532100000542100000543100

28、00054325!1.51000004100000310000021000001 第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-58四、小結3、初等變換法、初等變換法矩陣的初等變換矩陣的初等變換（1）互換矩陣的兩行，常用互換矩陣的兩行，常用rirj表示第表示第i行與第行與第j行行互換。互換。（2）用一個非零數乘矩陣的某一行，常用用一個非零數乘矩陣的某一行，常用k ri 表示表示用數用數k乘矩陣的某乘矩陣的某i 行。行。（3）將矩陣的某一行乘以數將矩陣的某一行乘以數k后，加到另一行，常用后，加到另一行，常用rjk ri 表示第表示第i行的行的k倍加到第倍加到第j行。行。 這樣的過程稱為這樣的過程

29、稱為矩陣的初等矩陣的初等行行變換！變換！ （4）將定義中的將定義中的“行行r” 換成換成“列列c”，即得到矩陣的，即得到矩陣的列列變換。變換。 矩陣的初等行變換和初等列變換統稱為矩陣的初等行變換和初等列變換統稱為矩陣的初等矩陣的初等變換法！變換法！ 第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-59互換； 表示用數k乘以第i行； 在給定的在給定的n階方陣的右邊放一個階方陣的右邊放一個n階單位矩陣階單位矩陣E形成形成初等行變換求逆矩陣初等行變換求逆矩陣一個一個n2n的矩陣的矩陣 )(EA，然后對矩陣，然后對矩陣 )(EA實施初等行變換，直到將原矩陣實施初等行變換，直到將原矩陣A所在部分變成單位所

30、在部分變成單位矩陣矩陣E，原單位矩陣部分經同樣的初等變換后，所得，原單位矩陣部分經同樣的初等變換后，所得1A到的矩陣就是到的矩陣就是A的逆矩陣的逆矩陣，即，即 第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-60)()(1AIIA初等行變換初等行變換例例7 我國某地方為避開高峰期用電，實行分時段計費，我國某地方為避開高峰期用電，實行分時段計費，鼓勵夜間用電。某地白天鼓勵夜間用電。某地白天(AM8:00PM11:00)與夜間與夜間(PM11:00AM8:00)的電費標準為的電費標準為P，若某宿舍兩戶人，若某宿舍兩戶人某月的用電情況如下：某月的用電情況如下：白天 夜間 174132150120一二

31、第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-61所交電費所交電費F=(90.29 101.41)，問如何用矩陣的運算表，問如何用矩陣的運算表示當地的電費示當地的電費？ 可以得到當地的電費標準為可以得到當地的電費標準為 FAP1下面用初等變換求下面用初等變換求 1A解 令 174132150120A，因為 FAP等式兩邊同時左乘以矩陣等式兩邊同時左乘以矩陣 1A第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-62120 15010132 1740 1114501303013217401r21145030331109110rr 21450130111901909r12585409095111019

32、09rr 158510136036111401909r 29518036111909 即即 1A第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-63所以所以 1PA F29518036111909 90.29101.41 0.4620 0.2323即白天的電費標準為即白天的電費標準為0.462元元/度，度，夜間電費標準為夜間電費標準為0.2323元元/度度. 第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-64例例8、轉動矩陣轉動矩陣 機器人手臂機器人手臂的轉動常用矩陣表示，其中的的轉動常用矩陣表示，其中的元素為轉動角的三角函數值，元素為轉動角的三角函數值，求下面轉動矩陣求下面轉動矩陣R的逆陣。的

33、逆陣。 8 . 00 . 06 . 00 . 00 . 10 . 06 . 00 . 08 . 0R第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-651008 . 00 . 06 . 00100 . 00 . 10 . 00016 . 00 . 08 . 013554 035 0 00 1 00 1 03 0 40 0 5rr 【解【解】因為因為1 31 075 050 1 00 1 03 0 40 0 5r r 31251 075050 10010340 01055r 所以所以54053010530541A3131 075050 100100 0 2515 0 20rr 1374310005

34、501001034001055rr 第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-66 矩陣的本征值方程矩陣的本征值方程 設設 A 是是n階方陣，如果存在數階方陣，如果存在數 和非零和非零n維列向量維列向量X，使得，使得 AX= X 成立，則稱成立，則稱 是是A的一個特征值的一個特征值(characteristic value)或或本本征值征值(eigenvalue)。 非零非零n維列向量維列向量X稱為稱為矩陣矩陣A的屬于（對的屬于（對應于）特征值應于）特征值 的特征向量或的特征向量或本征向量本征向量，簡，簡稱稱A的特征向量或的特征向量或A的本征向量。的本征向量。第2講 第2章 化學計量學的相

35、關基礎知識 2-67求矩陣特征值的方法求矩陣特征值的方法 AX= X，等價于求，等價于求 ，使得，使得(A- E)X=0，其中其中E是單位矩陣，是單位矩陣，0為零矩陣。為零矩陣。 | E-A|=0，求得的，求得的 值即為值即為A的特征值。的特征值。 | A- E| 是一個是一個n次多項式，它的全部根就次多項式，它的全部根就是是n階方陣階方陣A的全部特征值，這些根有可能相的全部特征值，這些根有可能相重復，也有可能是復數重復，也有可能是復數(A- iE)xi=0i=1,2,n第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-68 如果如果n階矩陣階矩陣A的全部特征值為的全部特征值為 1 2 . n，則

36、，則 |A|= 1 2 . n 對矩陣對矩陣A的本征方程的本征方程: (A- iE)Xi=0 有如下定理有如下定理定理定理1：如果：如果A是是厄米矩陣厄米矩陣(A=A*)， 一定是實數！一定是實數！定理定理2：不同本征值對應于不同的本征向量，而不同：不同本征值對應于不同的本征向量，而不同本征值對應的本征向量本征值對應的本征向量正交歸一正交歸一！例例9、求解下列方程的求解下列方程的本征值本征值及其及其歸一化本征向量歸一化本征向量。（1） （2）第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-6911112 28 81 11 10 00 00 0CosCosSinSin0 0SinSinCosCos

37、 【解【解】第一步第一步：依據本征方程依據本征方程(A- E)X=0，求解出求解出 。第二步第二步：將：將 依次代入依次代入本征方程本征方程(A- E)X=0，求解本征求解本征向量向量；第三步第三步：使各本征向量歸一化！：使各本征向量歸一化！對對11112 28 81 1第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-70第一步：欲使第一步：欲使(A- E)X=0，則，則det(A- E)=00 011112 28 81 11 10 00 01 111112 28 81 1) )det(det( EA從而有：從而有： 2-12 +270; 解得：解得： 1=3; 2=9; 第二步：第二步：將將

38、1=3代入方程代入方程00212111iixx1 1i i1 1i i11112 28 81 1第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-71得到：得到：0082111xx2 28 82 21(歸一化條件)1(歸一化條件)0 08 82 20 08 82 22 221212 211112121111121211111xxxxxx;17/1;17/421211111xx1 1( (歸歸一一化化條條件件) )0 08 82 20 0- -2 22 22 22 21 12 22 22 21 12 22 22 21 12 2xxxxxx88解得：解得：將將 2=9代入代入：002222121iixx2 28 88 8;/;/212122221212xx解得：解得：于是有：于是有：2 21/1/17171/1/2 21/1/17174/4/2222212112121111xxxxX對方程：對方程：第2講 第2章 化學計量學的相關基礎知識 2-72第一步：欲使第一步：欲使