1、釘子板上的多邊形教學內容：蘇教版義務教育教科書數學五年級上冊第108-109頁。教學目標：1、通過研究釘子板上的長方形，讓學生在操作、觀察、猜測、驗證等活動中發現釘子板圍成的多邊形的面積與圍成的多邊形邊上的釘子數、多邊形內部釘子數之間的關系，會用含有字母的式子表示發現的規律。2、使學生在探索規律、發現規律和表達規律的過程中培養比較、分析、推理和抽象概括的能力，增強發現問題、提出問題的意識，滲透數形結合的數學思想，發展學生的空間觀念。3、通過動手操作、觀察類比、分析歸納、合作交流等一系列探究活動，讓學生積累數學活動經驗，提高學習數學的興趣，增強學好數學的信心，了解解決問題的一般過程和方法。教學重

2、點：探索釘子板上多邊形的面積與多邊形邊上釘子數、內部釘子數之間的關系。教學難點：滲透數形結合思想，體會數學研究的一般方法。教學準備：課件、個人學習材料、4人小組學習材料課前預習：課前布置學生完成如下預習作業：預習單1、下面多邊形的面積各是多少平方厘米？請將結果填入表中。1cm圖形編號多邊形的面積（平方厘米）2、下面多邊形的面積各是多少平方厘米？請將結果填入表中圖形編號多邊形面積（平方厘米）教學過程：一、導入新課這是的面積是多少？lcm塊釘子板，每相鄰兩個釘子之間的距離為（出示1x1正方形）1厘米，這個正方形lrmicm2老師在釘子板上圍的這個多邊形（出示組合圖形），它的面積是多少?拿出預習單，

3、說說你是用什么辦法知道它的面積的？預設：A、用數方格的方法得到圖形的面積。B、把這個圖形轉化成我們學過的規則圖形，再用面積公式計算計算多邊形的面積，可以用數方格的方法，也可以把它轉化成已經學過的規則圖形，用面積公式來計算。這些都是我們以前學過的知識。今天研究的多邊形是在釘子板上圍成的，它的面積可能什么有關？釘子板上的多邊形的面積和釘子數之間有什么關系呢？今天我們就一起來探索其中的規律。（板書課題：釘子板上的多邊形）二、探索內部釘子數是1的規律1、觀察數據，初探規律。我們先從簡單的圖形入手研究，看一下你的預習單，這4個圖形的面積分別是多少？誰來說一說。cm”7*7/起來數一數，每個多邊形邊上各有

4、多少枚釘子？（課件出示表格）<*e«*圖形編號劣邊形邊上的釘子數/枚多邊形的血積/平方厘米233,54|觀察表中的數據，你有什么發現？如果用字母S表示多邊形面積（板貼：多邊形面積），用n表示多邊形邊上的釘子數（板貼：邊上的釘子數），那么剛才的發現可以用在字母怎樣表示？我們把這個發現記下來。（板書：S=n2）。2、引發沖突，激發欲望。那這個發現是不是適用于所有多邊形呢？老師又圍了2個多邊形，請同學們一起來判斷猜想S=n+2在這里能不能正確算出它們的面積。看一下預習單，這兩個圖形的面積你求出來是多少？我們一起來數一數它們邊上的釘子數。它們的面積可以用邊上的釘子數除以2來計算嗎?形號

5、函編名邊形邊上的釘子數/枚5）n-E-2（平方厘米）多邊形面積/平方厘米（S）10561269看來猜想S=n寧2可能不適合所有的釘子板上的多邊形。那剛才4個多邊形為什么可以？再看剛才的4個多邊形，仔細觀察，這些圖形有什么共同特點？后來的2個多邊形呢？看來我們發現的規律有一個前提條件一一多邊形的內部只能有1枚釘子。誰來完整地敘述一下剛才我們的發現？（當多邊形內只有1枚釘子時，多邊形的面積數等于邊上的釘子數除以2）看來多邊形的面積不但和邊上的釘子數有關，還和內部釘子數有關（板貼：內部釘子數）。如果多邊形內部的釘子數用字母a表示，那么a=1（板書：a=1）時，S=n2。三、探索內部釘子數是2、3、4

6、的規律1、小組學習，探索內部釘子數是2的規律。剛才我們研究了a=1的情況，接下來我們繼續探索。如果多邊形內部有2枚釘子。它的面積與邊上的釘子數又有什么關系呢？這次我們用四人小組合作的方式來進行研究，每人拿出研究單1。出示小組合作要求： 每人在點子圖上畫一個內部有2枚釘子的多邊形，數出邊上的釘子數，算出面積，并填寫表格。 每人把獲得的數據在小組內交流，組長記錄匯總。 小組觀察表格中的數據，討論交流，組長記錄發現。研究單1小組合作，每個同學先在點子圖上畫一個內部有2枚釘子的多邊形，并填寫表格，組長匯總。圖形編號多邊形內部釘子數/枚(a)多邊形邊上釘子數/枚(n)n2/平方厘米多邊形面積/cm2(S

7、)我們的發現學生小組活動，教師巡視、指導。請1個小組上來展示交流。這個小組發現多邊形內部釘子數為2時，多邊形的面積等于邊上的釘子數除以2再加1。檢查你畫的內部有2枚釘子的多邊形，面積符合這個規律嗎？如果不符合，把你的例子在全班交流。多邊形內部有2枚釘子時，這里的面積不等于n+2,但和n+2有關系嗎？(板書:a=2時，S=n2+1)小結：從大家的圖形和數據可以發現，當多邊形內部有2枚釘子時，也就是a=2時，S=n2+1。2、比較觀察，引發猜想內部釘子數是3的規律。剛才我們發現a=1時，S=r2,a=2時，S=r2+1,你能聯系這里的規律，猜一猜，如果多邊形內部有3枚釘子時，(板書a=3)它的面積

8、與釘子數之間又有怎樣的關系呢？(板書a=3時，S=n2+2?)請你在研究單2上畫出一個內部釘子數是3的圖形，算一算它的面積,填寫下面的表格，看我們的猜想是否正確？你畫出的是什么圖形？驗證的結果是什么？誰來交流？誰再來交流？你畫的圖形符合這個規律嗎？看來，當多邊形內部釘子數是3時，多邊形的面積等于邊上的釘子數除以2再加2,我們剛才的猜想是正確的。(擦去？)3、拓展延伸，揭示規律。剛才我們發現a=1S=n-2a=2S=n2+1a=3S=n2+2你覺得如果a=4,會有什么規律？a=5呢？下面就請你自己確定研究內容，畫一畫、算一算來驗證。根據研究內容，小組分工在點子圖上畫4個不同的圖形，并填寫表格，組

9、長匯總。每人拿出研究單2,確定自己的研究內容。研究單2研究內容：a=猜想：根據研究內容，小組分工在點子圖上畫4個不同的圖形，并填寫表格，組長匯總。圖形編號多邊形內部釘子數/枚(a)多邊形邊上釘子數/枚(n)n-2/平方厘米多邊形面積/cm2(S)我們的發現誰來交流一下？有研究a=4的嗎？研究不一樣內容的再來交流一下。現在你能發現釘子板上多邊形的面積規律了嗎?如果用a來表示多邊形內部的釘子數，n表示多邊形邊上的釘子數，那么多邊形的面積S可以怎樣表示？（板書：S=n2+a-1）a=1時，符合這個規律嗎？（看板書）那a=0時呢，我們一起看看兩個多邊形。1OJU5-2+0-1可以直接列式成5-2-1，

10、看來同樣符合規律。4、適當介紹，拓寬視野。岡"才我們發現（板貼完整：多邊形的面積二邊上的釘子數寧2+內部釘子數1）,這就是數學上著名的皮克定理”一一人類有史以來“最重要的100個數學定理”之一，100多年前，奧地利數學家喬治.皮克第一次提出了這個計算公式，用字母表示是：S=n2+a-1o今天我們通過探索學習，也發現了這個規律，同學們，你們真了不起！四、回顧過程，交流體會我們一起來回顧剛才探索規律的過程，首先通過觀察（板貼：觀察）多邊形和表中的數據，然后有了猜想（板貼：猜測），接著用大量的多邊形驗證猜想（板貼：驗證），發現猜想需要修改和完善，最后得到了正確的結論（板貼：結論）。這就是我

11、們探索規律的一般過程和方法。五、解決問題1、現在再來看，這個多邊形的面積可以怎么算？計算釘子板上多邊形的面積又多了一個方法。lemIm2、兩個多邊形，哪個面積大?預設：A、用S二葉2+a-1這個公式計算；B、邊上的釘子數相同，內部釘子數多的比較大。3、解決猴哥哥和猴弟弟的問題。猴媽媽知道猴哥哥和猴弟弟喜歡吃水果，就給它們每人分了1塊地種果樹，但是它們兩個都不滿意。你能應用今天所發現的規律解決猴哥哥與猴弟弟的問題嗎？猴哥哥和猴弟弟的問題猴哥哥說：我的地一圈只有15棵樹，而弟弟的一圈有4了棵樹，弟弟的面積大！猴弟弟說：我的地里面只有16棵樹，而哥哥的里面有17棵樹，哥哥的面積大！數不清釘子數，怎么

12、辦？你認為誰的面積大？為什么？六、全課小結，拓展延伸通過這節課的學習，你有什么收獲？看來同學們的收獲真多！既了解了數學知識，又學會了獲取知識的方法。對釘子板上的多邊形有興趣的同學課后可以閱讀格點與面積這本書。教學反思：本節課是蘇教版小學數學教材新增加的內容，屬于“綜合與實踐”領域中探索規律的課型。本節課是在學生學習了多邊形的面積計算、用字母表示數并具有一定探索規律學習經驗的基礎上，開展“釘子數與圖形面積”規律探究活動的。如何讓小學生用適切的方式來理解深奧堅深的數學定理？我是這樣做的：一、利用課前預習單，給學生足夠的課堂探究時間史寧中教授說：“我們必須清楚，世界上有很多東西是不可傳遞的，只能靠親

13、身經歷。”要讓學生有足夠的時間和空間經歷數學活動過程，學生只有通過親身驗證，才能品嘗到探索過程的快樂，真正進入數學活動。以本課蘇教版五上實踐活動課釘子板上的多邊形為例，學生必須親自動手在釘子板上圍一圍，或在點子圖上畫一畫，才能探究出內部釘子數是1、2、3、4時多邊形面積與邊上釘子數和內部釘子數之間的關系，從而得到S=n-2+a-1的結論。如果不經歷這樣的探究活動，教師只讓學生死記硬背這樣一個公式，那么，過不了幾天，這個公式就會被遺忘，再也想不起來了。有的老師說一節課只有40分鐘，如何讓學生在課堂上有足夠的探究時間？我們可以把低層面的東西交給學生課前去自學，老師在課前可以提供預習單，讓學生用已經

14、學過的方法計算內部釘子數是1的4個多邊形的面積及用來驗證結論的多邊形的面積，在課堂主要進行的是觀察、實驗、猜測、驗證、推理交流等數學活動過程，從而使學生聚焦于探索知識的本質。二、提供適切的學習材料，真正落實小組合作學習對于培養學生的溝通與合作能力來說，小組合作學習勿庸置疑是非常好的學習方式。如何真正的落實小組合作學習？小組合作學習也要有組織形式上的保障，組長組員各司其職，有明確的任務要求。教師要給小組合作學習準備充分的學習材料，學習材料要符合學生的認知起點，要在學生的最近發展區，同時又要有思維含量，能激發學生的探究欲望。在本課蘇教版五上實踐活動課釘子板上的多邊形一課的小組活動中，我給學生提供了3次研究單：研究單1：小組學習，探索內部釘子數是2的規律。在小組合作的探索活動中，學生先每人畫一個內部釘子數是2的多邊形，小組匯總數據，觀察發現，提出猜想。再鼓勵學生利用此前的探索經驗自主開展操作、比較、發現等活動，得出內部釘子數是2的多邊形面積的規律。從大家的圖形和數據可以發現，當多邊形內部有2枚釘子時，也就是a=2時，S=n+2+1。研究單2：比較觀察，引發猜想內部釘子數是3的規律。在發現a=1時,S=n+2,a=2時，S=n+2