1、會計學1D函數的單調性與曲線的凹凸性函數的單調性與曲線的凹凸性2P134T5(1, 2),(2, 3),(3, 4)上上. .( )(1)(2)(3)(4),f xxxxx 不不用用求求出出函函數數的的導導數數( )0.fx 說說明明方方程程有有幾幾個個實實根根, ,并并指指出出它它們們所所在在的的區區間間解：解：(1)(2)(3)(4)0( ).fffff x 由由已已知知, ,且且為為多多項項式式函函數數( )1,2f x則則在在上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件, ,11(1,2),()0.f 使使同同理理，22(2,3),()0.f 使使33(3,4),()0.f 使使( )0f

2、x 至至即即方方程程三三少少有有個個實實根根，( )0fx 由由于于方方程程是是三三次次方方程程，( )0fx 至至多多有有所所以以方方程程三三個個實實根根，( )0fx 綜綜上上只只有有三三所所述述: :方方程程個個實實根根, ,它它們們分分別別在在區區間間第1頁/共29頁3證明等式證明等式arcsinarccos, 1,1.2xxx 證證: 設設( )arcsinarccos,f xxx ( 1,1) 則則在在上上( )fx ( )arcsin( 1,1)arccosf xxxC 則則在在上上 (常數常數) 令令 x = 0 , 得得.2C ( 1),2f 又又故所證等式在定義域故所證等式

3、在定義域 上成立上成立. 1,1 211x 211x 0 P134 T6 推論推論: 若函數若函數( )f xI則則在在 上上是一個常數是一個常數.( )( )0,f xIfx 在在區區間間 上上滿滿足足第2頁/共29頁4000 ,1 , 型型 型型0 型型00型型 型型1gffg1111gfgffg gyf 令令lngfye 回味：回味：( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xFx 洛必達法則洛必達法則第3頁/共29頁5第四節一、函數單調性的判定法一、函數單調性的判定法 二、曲線的凹凸與拐點二、曲線的凹凸與拐點函數的單調性與 曲線的凹凸性 第三三章 第4頁/共29頁6(

4、) , f xC a b ( , )a b ( )( )( ),f bf afba ( )( , )f xD a b 1.拉格朗日定理：拉格朗日定理：復習：復習：12( ),f xC xx 12(,)xx 2121()()( )()f xf xfxx 12( )(,)f xD xx 1212,xxIxx當當時時，12()(),f xf x 若若稱稱 ( )f x為為 I 上的上的單調單調增增函數函數 ;12()(),f xf x 若若稱稱 ( )f x為為 I 上的上的單調單調減減函數函數 ;( ),.yf xxDID 設設區區間間2.增減函數的定義：增減函數的定義：第5頁/共29頁7定理定理

5、1：( )0(1( , )xa bfx 若若有有證明：證明：1212, , ,x xa bxx , ,且且由拉格朗日中值定理由拉格朗日中值定理,得得2121()()( )()f xf xfxx ，)(21xx , 012 xx( )0,f 21( )( )f xf x 21()( )f xf x ( )0,f ( ) , f xa b在在上上單單調調增增加加. .( ) , ( , ).yf xa ba b 設設函函數數在在上上連連續續, ,在在內內可可導導( )0(2( , )xa bfx 若若有有( ) , f xa b在在上上單單調調減減少少. .( )0(1( , )xa bfx 若若

6、有有( ) , f xa b在在上上單單調調增增加加. .( )0(2( , )xa bfx 若若有有( ) , f xa b在在上上單單調調減減少少. .證畢證畢1.利用導數的符號判斷函數的單調性利用導數的符號判斷函數的單調性一、函數單調性的判定法一、函數單調性的判定法說明：說明：(2)單調區間應首先為連續區間單調區間應首先為連續區間.(1)定理中的區間換成其它有限或無限區間，定理中的區間換成其它有限或無限區間，結論仍然成立結論仍然成立.( )0,fxxI ( )f x函函數數在在 I 上單調上單調遞增遞增( )0,fxxI ( )f x函函數數在在 I 上單調上單調遞減遞減定理定理1：I其

7、其中中 為為開開區區間間第6頁/共29頁8例例1.ln(1).yxx 討討論論函函數數的的單單調調性性解解:111yx 00,yx 令令，得得x)0 , 1( ), 0( y y則單調增加區間是：則單調增加區間是：0,) ，單調遞減區間是：單調遞減區間是：).0 , 1( 的定義區間為的定義區間為，),1( )1ln(xxy ，xx 1列列表表判判斷斷如如下下：( )0,fxxI ( )f x函函數數在在 I 上單調上單調遞增遞增( )0,fxxI ( )f x函函數數在在 I 上單調上單調遞減遞減定理定理1：求求)(xf的連續區間；的連續區間；求求，)(xf 求駐點和不可導點；求駐點和不可導

8、點；用用中的點分割連續區間中的點分割連續區間,列表判斷列表判斷.經驗：求經驗：求 的單調區間的單調區間(判斷單調性判斷單調性)的步驟的步驟:)(xf化為化為積商；積商；第7頁/共29頁9例例2.解解:.)(32的的單單調調區區間間確確定定函函數數xxf ).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0導導數數不不存存在在時時當當 xxy y )0 ,( ),0( 則單調增加區間是：則單調增加區間是：，), 0( 單調遞減區間是：單調遞減區間是：(,0. 列列表表判判斷斷如如下下：注意到：注意到：x駐駐點點或或導導數數不不存存在在的的點點 可可能能是是增增減減區區間間的的分分界界點點. .yOx3

9、2yx 第8頁/共29頁10( )0,fxxI ( )f x函函數數在在 I 上單調上單調遞增遞增( )0,fxxI ( )f x函函數數在在 I 上單調上單調遞減遞減定理定理1：說明說明: 1) 如果函數在某駐點兩邊導數同號如果函數在某駐點兩邊導數同號, 則不改變函數的單調性則不改變函數的單調性 .例如例如,3,(,)yxx 23yx 00 xy 2)定理中的條件是定理中的條件是充分條件充分條件而非必要條件，而非必要條件，( )0.f x 單單增增3)定理中定理中( )0( )0fxfx 換換成成，若等號僅在若等號僅在有限個有限個點點處處成立成立,則函數仍單調增加則函數仍單調增加.4) 函數

10、的單調性是一個區間上的性質函數的單調性是一個區間上的性質,要用導數在區間要用導數在區間I上的符號來判定上的符號來判定,而而不能用一點處的導數符號不能用一點處的導數符號來判別區來判別區間間I上的單調性上的單調性( )0.f x 單單增增yOx3yx 第9頁/共29頁11例例3.證證:0,ln(1).xxx當當時時 試試證證成成立立( )ln(1),f xxx 設設( ).1xfxx 則則( )0,),(0,),( )0,f xfx 在在上上連連續續 且且在在內內可可導導( )0,)f x 在在上上單單調調增增加加；(0)0f 由由于于時，時，當當0 xln(1)0,xx).1ln(xx 即即2.

11、利用單調性證明不等式利用單調性證明不等式.經驗：經驗：用單調性證明不等式的步驟：用單調性證明不等式的步驟：將不等式變形為一邊為零將不等式變形為一邊為零, ,另一邊就是要設的另一邊就是要設的( ).f x輔輔助助函函數數判斷判斷 的單調性的單調性. . ( )f x與端點的函數值比較可得所證與端點的函數值比較可得所證的不等式的不等式.( )(0)f xf 第10頁/共29頁12例例4. 21:01,.1xxxex 證證明明 當當時時證證: 只要證只要證2(1)10 (01)xx exx 2( )(01)1()1,xxf xx ex 設設，(0)0f 則則2( )(12 )1,xfxx e (0)

12、0f 2( )40(01)xfxxex 0,1()fx 在在上上單單調調減減，01,( )(0)0 xfxf 當當時時01,( )(0)0 xf xf 當當時時0,1( )f x在在上上單單調調減減，所以原不等式成立所以原不等式成立.說明：說明：1)為快速的證明為快速的證明, ,可對不等式做恒等變形后可對不等式做恒等變形后再設輔助函再設輔助函數數.01x如如：時時，11xxxeex ()提提示示：兩兩邊邊取取對對數數2)為證不等式為證不等式( )0( ).fxfx , ,可可用用的的單單調調性性第11頁/共29頁13例例5. 證明方程證明方程5510 xx 5( )51,f xxx設設(0)1

13、,(1)3.ff 且且0()0,f x 使使有且僅有一個小于有且僅有一個小于1 的正實根的正實根.證證: 1) 存在性存在性 .( )0,1,f x則則在在上上連連續續由由零點定理零點定理知存在知存在0(0,1),x 即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根0.x2) 唯一性唯一性 .44( )555(1)0,(0,1)fxxxx ( )0(0,1)f x 在在內至多有一個實根內至多有一個實根.所以方程有且僅有一個小于所以方程有且僅有一個小于 1 的正根的正根.定理：單調函數在其單調區間內最多有一個零點定理：單調函數在其單調區間內最多有一個零點.3.利用單調性證明根的惟一性利用單調性證明根的

14、惟一性,討論方程根的個數討論方程根的個數.0,1( )f x在在上上單單調調減減，思考思考:如何討論方程如何討論方程 有幾個實根？有幾個實根？( )0f x 第12頁/共29頁14試確定試確定 的根的個數的根的個數,并指出根的范圍并指出根的范圍.2xeax 例例6. 解：解：做恒等變形做恒等變形(分離常數分離常數)21xx ea 令令21( )xf xx ea ( )(2)xfxxx e 得駐點：得駐點：0,2xx有三個單調區間有三個單調區間(,0),(0,2),(2,)1lim( ),(0)0,xf xfa 211(2)4, lim( )0.xfef xaa 討論：討論：(2)0f 時有三個

15、根在時有三個根在(,0),(0,2),(2,)(2)0f 時有兩個根在時有兩個根在(,0)2x 和和(2)0f 時有一個根在時有一個根在(,0).02x 0a 由由已已知知第13頁/共29頁15回憶回憶( )0fx 若若( )f x 增增，( )0fx 若若( )fx 增增；( )0f x 若若( )0fx 若若( ).fx 減減觀察：觀察：2(0,)yxyx與與在在內內單單調調增增加加， 雖然都是雖然都是增增函數，函數，但曲線的形狀不一樣但曲線的形狀不一樣.2xy xy yxo( )f x 減減， 所以為了解曲線的形狀所以為了解曲線的形狀，只知道單調性是不夠的，只知道單調性是不夠的.第14頁

16、/共29頁16二、二、曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點.問題問題:xyoxyo)(xfy 曲線弧曲線弧位于任一位于任一切線切線下方下方.xyo)(xfy 曲線弧曲線弧位于任一位于任一切線切線上方；上方；ABC如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?凹凹凸凸第15頁/共29頁17yox2x1x221xx 1.定義：定義：( )f xI設設函函數數在在區區間間 上上連連續續，12,xxI ，(1) 若恒有若恒有1212()()()22xxf xf xf ，( )f x則則稱稱的的圖圖形形是是凹凹的的；(2) 若恒有若恒有1212()()()22xxf xf xf ，( )f x則則稱稱的的圖

17、圖形形是是凸凸的的；yox1x221xx 2x說明：說明：曲線：凹（凸）弧曲線：凹（凸）弧 ：凹凸區間：凹凸區間.I切線上的縱坐標切線上的縱坐標 凸函數的函數值凸函數的函數值 弦上的縱坐標弦上的縱坐標. 凸弧凸弧:第16頁/共29頁181x2x1x2x1 2 1 2 凹凹2121),(,xxbaxx 21kk )()(21xfxf )(xf 單調增單調增( )0fx ；特征：特征： 凹凹( )0.fx 凸凸2121),(,xxbaxx 21kk )()(21xfxf )(xf 單調減單調減( )0fx ；特征：特征： 凸凸( )0.fx 反之：反之：( )0fx 凹凹，( )0fx 凸凸 成立

18、嗎？成立嗎？)(xfy xyoabAB)(xfy xyoab第17頁/共29頁192.凹凸性的判定定理：凹凸性的判定定理：( ) , ( , ).(1)( , )( )0( ) , (2)( , )( )0( ) ,2f xa ba ba bfxf xa ba bfxf xa b 設設在在上上連連續續, ,在在內內具具有有一一階階和和二二階階導導數數如如果果在在內內, ,則則在在上上的的圖圖形形是是的的；如如果果在在內內, ,則則在在上上的的圖圖形形定定理理 ：凹凹是是凸凸的的. .注意注意：該定理換成其它區間仍然成立該定理換成其它區間仍然成立.( )0,( )fxxIyf xI 曲曲線線在在

19、 上上是是凹凹的的. .( )0,( )fxxIyf xI 曲曲線線在在 上上是是凸凸的的. .+注意注意:函數的函數的凹凸區間凹凸區間應首先為它的應首先為它的連續區間連續區間.定理定理2：例例1.lnyx 判斷曲線判斷曲線的凹凸性的凹凸性.解解：ln(0,),yx 的的定定義義域域為為211,yyxx (0,),0 xy 且且ln(0,)yx 在在內內是是凸凸的的. .I其其中中 為為開開區區間間第18頁/共29頁20例例2.3xy 解：解：,32xy ,6xy ,0 y, 0 y注意到注意到,判斷曲線判斷曲線的凹凸性的凹凸性.0 x當當時，時，0 ,( 所以所以在在內是凸的內是凸的.0 x

20、當當時，時，), 0 所以所以在在內是凹的內是凹的.)0 , 0(點點是曲線是曲線由凸變凹的分界由凸變凹的分界點點.3(,),yx 的的定定義義域域為為說明：說明： 凹凸性可用于證明不等式：如凹凸性可用于證明不等式：如0,0ab所所以以時時，333().22abab 3(,0).yx 因因在在上上是是凸凸的的1212()()()( )22xxf xf xff x 定定義義: :若若恒恒有有, ,則則稱稱的的圖圖形形是是凸凸的的；3yx yOx第19頁/共29頁21例例3. 求求3xy 的凹凸區間的凹凸區間.解：解：定義域為定義域為，),( 2313yx ，35192xy 3xy 有二階不可導點

21、有二階不可導點，0 xoxy列表討論二階導數的符號列表討論二階導數的符號,來判定凹凸性來判定凹凸性.y xy(,0) ), 0( 0 不存在不存在說明：說明： 凹凸區間分界點的可疑點：凹凸區間分界點的可疑點：( )0( ).fxfxx 或或不不存存在在的的 值值3yx 第20頁/共29頁22( )yf x 連連續續曲曲線線上上凹凹弧弧與與凸凸弧弧的的分分界界點點 00,()xf x，.稱稱為為該該曲曲線線的的拐拐點點(1)定義定義:3.曲線的拐點及其求法：曲線的拐點及其求法：yox2)拐點處的切線必在拐點處穿過曲線拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.1)拐點是拐點是曲線上曲線上的點的點,是一對有序

22、的實數是一對有序的實數.3)拐點的橫坐標是連續區間拐點的橫坐標是連續區間內內的點的點,不可能是區間不可能是區間的端點的端點.4)拐點的橫坐標的可疑點：拐點的橫坐標的可疑點：( )0,( ).fxfxx 不不存存在在的的點點注意注意:(2)求拐點方法求拐點方法1:00()0 ,.fxx 且且或或在在處處二二階階不不可可導導則則01)( )fxx 若若在在 的的兩兩側側異異號號00(,() ).xf x為為拐拐點點0( ),f xx設設函函數數在在 的的鄰鄰域域內內二二階階可可導導02)( )fxx 若若在在 的的兩兩側側不不變變號號00(,() ).xf x不不是是拐拐點點第21頁/共29頁23

23、例例4. 求曲線求曲線 的凹凸區間及拐點的凹凸區間及拐點.2232(1)yx22434(3)9 (1)xyx 解解: 1) 定義區間：定義區間：1234(1),3yx x 3) 求拐點可疑點的橫坐標求拐點可疑點的橫坐標0y 令令123 ,3,xx 得得y (,) 2) 不存在的點：不存在的點：1x 4) 列表判別列表判別00凹凹凹凹凸凸不不不不凸凸凸凸拐拐點點拐拐點點(,3) (3,1)( 1,1) y xy3 1 1(1,3)3( 3,)故凹區間為：故凹區間為：(,3),( 3,) ，(3,3) 2233(3,22 ),( 3,22 )拐點為：拐點為：凸區間為：凸區間為：第22頁/共29頁2

24、4說明說明1:4( ),(0)0(0 0).f xxf 如如但但， 不不是是拐拐點點說明說明2:000( ),(,().f xxxf x若若在在 處處二二階階不不可可導導也也可可能能是是拐拐點點13,0.yxx 如如在在處處二二階階不不可可導導, ,但但它它是是拐拐點點說明說明3:0.yxyx 拐拐點點橫橫坐坐標標的的可可疑疑點點的的點點 及及 不不存存在在的的點點00( )()f xxf x若若二二階階可可導導, ,且且，是是拐拐點點0()0.fx .反反之之不不一一定定成成立立求函數的求函數的連續連續區間；區間；求出求出；y 求求0 y的根及的根及y 不存在的根；不存在的根；列表判斷列表判

25、斷說明說明4:求曲線的凹凸區間及拐點的步驟如下：求曲線的凹凸區間及拐點的步驟如下：第23頁/共29頁25證：證：0()0,fx 設設(3)求拐點方法求拐點方法2:00000 ( ),(,()0,()0( ).f xxxf xyxxfffx 設設函函數數在在的的鄰鄰域域內內三三階階可可導導 且且而而那那末末是是曲曲線線的的拐拐點點P154T150000( )()()limxxfxfxfxxx 即即00( )limxxfxxx 0 00()U x 則則000( )(),0fxxU xxx 使使0( )0 xxfx 時時；0( )0.xxfx 時時 00,()( )xf xyf x 所所以以曲曲線線

26、的的拐拐點點. .(2)求拐點方法求拐點方法1:00()0 ,.fxx 且且或或在在處處二二階階不不可可導導則則01)( )fxx 若若在在 的的兩兩側側異異號號00(,() ).xf x為為拐拐點點0( ),f xx設設函函數數在在 的的鄰鄰域域內內二二階階可可導導02)( )fxx 若若在在 的的兩兩側側不不變變號號00(,() ).xf x不不是是拐拐點點第24頁/共29頁26例例5.sincos(0,2 ).yxx 求求曲曲線線在在內內的的拐拐點點解：解：,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 (0,2 ) 在在內內曲曲線線有有拐拐點點為為37(,0),(,0).44曲線的彎曲方向曲線的彎曲方向凹凸性凹凸性;改變彎曲方向的點改變彎曲方向的點拐點拐點;凹凸性的判定凹凸性的判定.求拐點求拐點2方方法法 適適用用于于：00()0.fxx 的的點點而而0()0,fx 第25頁/共29頁27內容小內容小結結1. 可導函數單調性判別可導函數單調性判別2.曲線凹凸的判別曲線凹凸的判別( )0,fxxI ( )f x函函數數在在 I 上單調上單調遞增遞增( )0,fxxI