1、特殊平行四邊形復習課知識點知識點1 1：菱形：菱形性質與證明性質與證明定義：定義：_一組鄰邊相等的平行四邊形一組鄰邊相等的平行四邊形性質：邊性質：邊_ 角角_ 對角線對角線_判定：判定：_是菱形是菱形 _是菱形是菱形 _是菱形是菱形四邊相等四邊相等對角相等，鄰角互補對角相等，鄰角互補互相垂直平分，且平分一組對角互相垂直平分，且平分一組對角一組鄰邊相等的一組鄰邊相等的平行四邊形平行四邊形對角線互相垂直的對角線互相垂直的平行四邊形平行四邊形四邊都相等的四邊都相等的四邊形四邊形ABCDEFO典例典例1 1. .已知：如圖所示的一張矩形紙片已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCDABCD（ADABADAB

2、），將紙片），將紙片折疊折疊一次，使點一次，使點A A與點與點C C重合，重合，再展開，折痕再展開，折痕EFEF交交ADAD邊于點邊于點E E，交，交BCBC邊于點邊于點F F，分，分別連結別連結AFAF和和CECE。（1 1）求證：四邊形）求證：四邊形AFCEAFCE是菱形；是菱形；（2 2）若）若AB=4AB=4，BC=8BC=8，求折痕，求折痕EFEF的長？的長？（3 3）若）若AE=10cmAE=10cm，ABFABF的面積為的面積為24cm24cm2 2， 求求ABFABF的周長；的周長； 1.1.（20142014牡丹江）牡丹江）如圖，在菱形如圖，在菱形ABCD中，中，E是是AB邊

3、上一點，且邊上一點，且A=EDF=60，有下列結，有下列結論：論：AE=BF；DEF是等邊三角形；是等邊三角形；BEF是等腰三角形；是等腰三角形；ADE=BEF，其，其中正確的結論有中正確的結論有_ 檢測檢測1：中考鏈接：中考鏈接2、如圖，在四邊形、如圖，在四邊形ABCD中，中，AC=BD=6，E、F、G、H分別是分別是AB、BC、CD、DA的中點，的中點，則則EG2+FH2=_ 3 3如圖所示，正方形如圖所示，正方形ABCDABCD中，中，E E、F F是對角線是對角線ACAC上兩點，連接上兩點，連接BEBE、BFBF、DEDE、DFDF，則添加下列，則添加下列哪一個條件可以判定四邊形哪一個

4、條件可以判定四邊形BEDFBEDF是菱形是菱形A A、1=2 B1=2 B、 AB=AFAB=AFC C、EDF=60EDF=60 D D、 BE=DFBE=DFABDCEF124.準備一張矩形紙片，按如圖操作：準備一張矩形紙片，按如圖操作：將將ABE沿沿BE翻折，使點翻折，使點A落在對角線落在對角線BD上的上的M點，點，將將CDF沿沿DF翻折，使點翻折，使點C落在對角線落在對角線BD上的上的N點點（1）求證：四邊形）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；是平行四邊形；（2）若四邊形）若四邊形BFDE是菱形，是菱形，AB=2，求菱形，求菱形BFDE的面積的面積 考點考點2：矩形的性質和判定：矩形的

5、性質和判定定義：定義：_有一個內角是直角的平行四邊形有一個內角是直角的平行四邊形性質：邊性質：邊_ 角角_ 對角線對角線_判定：判定：_是矩形是矩形 _是矩形是矩形 _是矩形是矩形對邊平行且相等對邊平行且相等四個角都是直角四個角都是直角互相平分且相等互相平分且相等三個角是直角的三個角是直角的四邊形四邊形對角線相等的對角線相等的平行四邊形平行四邊形有一個角是直角的有一個角是直角的平行四邊形平行四邊形典例、典例、如圖，在如圖，在ABC中，中，AB=AC，D為為BC的中點，四邊形的中點，四邊形ABDE是平行四邊形是平行四邊形（1）求證：四邊形）求證：四邊形ADCE是矩形；是矩形；（2）若）若AC、D

6、E交于點交于點O，四邊形，四邊形ADCE的面的面積為積為 ，CD=4，求，求AOD的度數的度數 316檢測檢測2：中考鏈接：中考鏈接2.2.如圖，矩形如圖，矩形ABCDABCD的對角線的對角線AC=8cmAC=8cm，AOD=120AOD=120，則，則ABAB的長為的長為 。 1.1.菱形具有而矩形不一定具有的性質是（菱形具有而矩形不一定具有的性質是（ ）A.A.對角線互相垂直對角線互相垂直 B.B.對角線相等對角線相等C.C.對角線互相平分對角線互相平分 D.D.對角互補對角互補3.如圖，將矩形紙片如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點折疊，使點D與點與點B重合，重合，點點C落在落在C處，折痕

7、為處，折痕為EF，若，若AB=1，BC=2，則，則ABE和和BCF的周長之和為的周長之和為_ 4.如圖，在一張矩形紙片如圖，在一張矩形紙片ABCD中，中，AD=4cm，點，點E，F分別是分別是CD和和AB的中點，現將這張紙片折疊，使點的中點，現將這張紙片折疊，使點B落落在在EF上的點上的點G處，折痕為處，折痕為AH，若，若HG延長線恰好經過點延長線恰好經過點D，則，則CD的長為的長為_ 5.5.如圖，長方形如圖，長方形ABCDABCD中，中，E E為為BCBC中點，作中點，作AECAEC的角平分線交的角平分線交ADAD于于F F點若點若AB=6AB=6，AD=16AD=16，則則FD=FD=

8、。 6.如圖所示，一張矩形紙片沿如圖所示，一張矩形紙片沿BC折疊，頂折疊，頂點點A落在點落在點A處，再過點處，再過點A折疊使折痕折疊使折痕DEBC，若，若AB=4，AC=3，則，則ADE的的面積是面積是 。 7.如圖如圖1是矩形紙帶，是矩形紙帶，DEF=18，將，將紙帶沿紙帶沿EF折疊成圖折疊成圖2，再沿，再沿BF折疊成圖折疊成圖3，則圖則圖3中的中的CFE的度數是的度數是 。 考點考點3：正方形的性質和判定：正方形的性質和判定定義：定義：_一組鄰邊相等的矩形叫做正方形一組鄰邊相等的矩形叫做正方形 正方形具有平行四邊形，矩形，菱形正方形具有平行四邊形，矩形，菱形 的一切性質的一切性質判定：判定

9、：_是正方形是正方形 _是正方形是正方形鄰邊相等的鄰邊相等的矩形矩形有一個角是直角的有一個角是直角的菱形菱形性質：性質：典例典例3：如圖，正方形如圖，正方形ABCD邊長為邊長為6菱形菱形EFGH的三個頂點的三個頂點E、G、H分別在正方形分別在正方形ABCD的邊的邊AB、CD、DA上，且上，且AH=2，連接，連接CF（1）當）當DG=2時，求證：菱形時，求證：菱形EFGH為正方形；為正方形；（2）設）設DG=x，試用含，試用含x的代數式表示的代數式表示FCG的的面積面積 1.1.已知：如圖，正方形已知：如圖，正方形ABCDABCD中，對角線中，對角線ACAC和和BDBD相相交于點交于點O OE

10、E、F F分別是邊分別是邊ABAB、BCBC上的點，若上的點，若AE=4cmAE=4cm，CF=3cmCF=3cm，且，且OEOFOEOF，則，則EFEF的長為的長為 2.2.如圖，正方形如圖，正方形ABCDABCD的對角線相交于點的對角線相交于點O O，點，點O O是正方形是正方形ABCOABCO的一個頂點的一個頂點. .如果兩個正方形的邊長相等，如果兩個正方形的邊長相等，那么正方形那么正方形ABCOABCO繞點繞點O O無論怎樣轉動，兩個正方無論怎樣轉動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的1/41/4，想，想一想這是為什么？一想這是為什

11、么？檢測檢測3：中考鏈接：中考鏈接3.3.（20102010茂名）如圖，邊長為茂名）如圖，邊長為1 1的正方形的正方形ABCDABCD繞點繞點A A逆時針旋轉逆時針旋轉4545度后得到正方形度后得到正方形ABCDABCD，邊，邊BCBC與與DCDC交于點交于點O O，則四，則四邊形邊形ABODABOD的周長是的周長是 . .2 24.4.如圖，將邊長為如圖，將邊長為3 3的正方形的正方形ABCDABCD繞點繞點A A逆時針逆時針方向旋轉方向旋轉3030后得到正方形后得到正方形ABCDABCD，則，則圖中陰影部分面積為圖中陰影部分面積為 . .5.如圖，在平面直角坐標系中，如圖，在平面直角坐標系

12、中，OABC是正方形，點是正方形，點A的坐標是（的坐標是（4，0），點），點P在在AB邊上，且邊上，且CPB=60，將將CPB沿沿CP折疊，使得點折疊，使得點B落在落在D處，則處，則D的坐標的坐標為為_ 6.如圖，矩形如圖，矩形ABCD中，中，AB=8cm，點，點E在在AD上，且上，且AE=4cm，連接，連接EC，將矩形，將矩形ABCD沿直線沿直線BE翻折，點翻折，點A恰好落在恰好落在EC上的點上的點A處，則處，則BC的值為的值為_ 變式：變式：把一個含把一個含45角的直角三角板角的直角三角板BEF和一個正和一個正方形方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方擺放在一起，使三角板的直角頂

13、點和正方形的頂點形的頂點B重合，聯結重合，聯結DF，點，點M，N分別為分別為DF，EF的中點，聯結的中點，聯結MA，MN（1）如圖）如圖1，點，點E，F分別在正方形的邊分別在正方形的邊CB，AB上，上，請判斷請判斷MA，MN的數量關系和位置關系，直接寫出的數量關系和位置關系，直接寫出結論；結論；（2）如圖）如圖2，點，點E，F分別在正方形的邊分別在正方形的邊CB，AB的的延長線上，其他條件不變，那么你在（延長線上，其他條件不變，那么你在（1）中得到的）中得到的兩個結論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，兩個結論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由請說明理由變式變式1:如圖，已

14、知正方形如圖，已知正方形ABCD的邊長為的邊長為8cm，點點E、F分別在邊分別在邊BC、CD上，上，EAF=45當當EF=8cm時，時，AEF的面積是的面積是 cm2；當當EF=7cm時，時，EFC的面積是的面積是 cm2 變式變式2:如圖，在邊長為如圖，在邊長為6cm6cm的正方形的正方形ABCDABCD中，點中，點E E、F F分別在分別在BCBC、CDCD上移動，但上移動，但A A到到EFEF的距離的距離AHAH始始終保持與終保持與ABAB長相等，問在長相等，問在E E、F F移動過程中：移動過程中：（1 1）EAFEAF的大小是否有變化？的大小是否有變化？ 若不變，則若不變，則EAF=

15、EAF= 。 （2 2）ECFECF的周長是否有變化？的周長是否有變化？ 若不變，則若不變，則ECFECF的周長的周長= = 。 不變不變不變不變454512cm12cm（3）連接）連接CH，若，若CD3DF 下列說法正確的是：下列說法正確的是： BE=CE； AECH；求求SCEF變式變式3如圖如圖，在四邊形，在四邊形ABCD中，中，AB=AD，E，F分分別為別為DC，BC上的點，滿足上的點，滿足EAF= 1/2DAB，試猜，試猜想當想當B與與D滿足什么關系時，可使滿足什么關系時，可使DE+BF=EFB+D=180EAF與與DAB檢測：檢測：如圖，現有一張邊長為如圖，現有一張邊長為4的正方形

16、紙片的正方形紙片ABCD，點，點P為為AD邊上的一點（不與點邊上的一點（不與點A、點、點D重重合），將正方形紙片折疊，使點合），將正方形紙片折疊，使點B落在落在P處，點處，點C落在落在G處，處，PG交交DC于于H，折痕為，折痕為EF，聯結，聯結BP、BH1）求證：）求證：APB=BPH2）當點）當點P在邊在邊AD上移動時，上移動時，PDH的周長是否發的周長是否發生變化？生變化？3）若）若AP=1，求，求PH的長的長7（20142014青島）青島）已知：如圖，已知：如圖，口口ABCD中，中，O是是CD的中點，連接的中點，連接AO并延長，交并延長，交BC的延長的延長線于點線于點E（1）求證：）求證

17、：AOD EOC；（2）連接）連接AC，DE，當，當B=AEB=_ 時，四邊形時，四邊形ACED是正方形？請說明理由是正方形？請說明理由 4.如圖，在如圖，在 ABCD中，點中，點E在在AD上，將上，將ABE沿沿BE折疊后得到折疊后得到GBE，且點，且點G在在 ABCD內部，將內部，將BG延長交延長交DC于點于點F，EF平分平分DEG（1）求證：）求證：GF=DF；（2）若）若BC=DC=4DF，四邊形，四邊形BEFC的周的周長為長為14+6 ，求，求BC的長的長 5如圖，如圖，AEF中，中，EAF=45，AGEF于點于點G，現將，現將AEG沿沿AE折疊得到折疊得到AEB，將，將AFG沿沿AF

18、折疊得到折疊得到AFD，延長，延長BE和和DF相交于點相交于點C（1）求證：四邊形）求證：四邊形ABCD是正方形；是正方形；（2）連接）連接BD分別交分別交AE、AF于點于點M、N，將，將ABM繞點繞點A逆時逆時針旋轉，使針旋轉，使AB與與AD重合，得到重合，得到ADH，試判斷線段，試判斷線段MN、ND、DH之間的數量關系，并說明理由之間的數量關系，并說明理由（3）若）若EG=4，GF=6，BM=3 ，求，求AG、MN的長的長 26.6.（20122012潮陽區）如圖，依次連接第一個矩潮陽區）如圖，依次連接第一個矩形各邊的中點得到一個菱形，再依次連接菱形形各邊的中點得到一個菱形，再依次連接菱形

19、各邊的中點得到第二個矩形，按照此方法繼續各邊的中點得到第二個矩形，按照此方法繼續下去已知第一個矩形的面積為下去已知第一個矩形的面積為1 1，則第，則第2 2個矩個矩形的面積為形的面積為 ，第，第n n個矩形的面積為個矩形的面積為 。 周長周長周長周長周長周長變式變式1 1：（：（20122012澄海區）如圖，依次連接第一澄海區）如圖，依次連接第一個矩形各邊的中點得到一個菱形，再依次連接個矩形各邊的中點得到一個菱形，再依次連接菱形各邊的中點得到第二個矩形，按照此方法菱形各邊的中點得到第二個矩形，按照此方法繼續下去已知第一個矩形的兩條鄰邊長分別繼續下去已知第一個矩形的兩條鄰邊長分別為為6 6和和8

20、 8，則第，則第n n個菱形的面積為個菱形的面積為 。 邊長邊長周長周長變式變式2 2：（：（20122012荊州）已知：順次連接矩形各荊州）已知：順次連接矩形各邊的中點，得到一個菱形，如圖邊的中點，得到一個菱形，如圖；再順次連；再順次連接菱形各邊的中點，得到一個新的矩形，如圖接菱形各邊的中點，得到一個新的矩形，如圖；然后順次連接新的矩形各邊的中點，得到；然后順次連接新的矩形各邊的中點，得到一個新的菱形，如圖一個新的菱形，如圖；如此反復操作下去，；如此反復操作下去，則第則第20132013個圖形中直角三角形的個數有（個圖形中直角三角形的個數有（ ） A.8048A.8048個個 B.4024B.4024個個C.2012C.2012個個 D.1066D.1066個個典例典例2如圖，把一個等腰直角三角板如圖，把一個等腰直角三角板AEM放置放置于矩形于矩形ABCD上，上，AE=BC=13，AB=24三角板三角板的一個的一個45角的頂點放在角的頂點放在A處，且直角邊處，且直角邊AE在在矩形內部繞點矩形內部繞點A旋轉，在旋轉過