1、 關于實數完備性的關于實數完備性的6個基本定理個基本定理1. 確界原理定理確界原理定理1.1）；）； 2. 單調有界定理定理單調有界定理定理2.9）；）； 3. 區間套定理定理區間套定理定理7.1）；）；4. 有限覆蓋定理定理有限覆蓋定理定理7.3） 5. 聚點定理定理聚點定理定理7.2）6. 柯西收斂準則定理柯西收斂準則定理2.10）；）； 在實數系中這六個命題是相互等價的在實數系中這六個命題是相互等價的 。第七章習題課第七章習題課在有理數系中這六個命題不成立在有理數系中這六個命題不成立 。1. 確界原理確界原理 在實數系中，任意非空有上下界的數集在實數系中，任意非空有上下界的數集必有上下確

2、界。必有上下確界。, 2| 2QxxxS ：反反例例, 2inf , 2sup SS成立。成立。確界原理在有理數域不確界原理在有理數域不在有理數集沒有確界。在有理數集沒有確界。即即S2. 單調有界定理；單調有界定理； 在實數系中，單調有界數列必有極限。在實數系中，單調有界數列必有極限。是是單單調調有有界界有有理理數數列列，反反例例：)11( nn . e但但其其極極限限是是無無理理數數即數列的單調有界定理在有理數域不成立。即數列的單調有界定理在有理數域不成立。 3. 區間套定理區間套定理 假設假設 是一個區間套，則在實數系中存在唯一的是一個區間套，則在實數系中存在唯一的點點 bann, 2 ,

3、 1, nbann 使使, 2, nnaa使使取單調遞增有理數列取單調遞增有理數列, 2, nnbb使使取單調遞減有理數列取單調遞減有理數列，套套有理數域內構成閉區間有理數域內構成閉區間則則Qnnba, .Q 2共點為共點為其在實數系內唯一的公其在實數系內唯一的公所以區間套定理在有理數系不成立。所以區間套定理在有理數系不成立。反例：反例：4. 有限覆蓋定理有限覆蓋定理在實數系中，閉區間在實數系中，閉區間a, b的任一開覆蓋的任一開覆蓋H，必，必可從可從H中選出有限個開區間覆蓋中選出有限個開區間覆蓋a, b。中所有有理數的集合，中所有有理數的集合，表示表示設設212 , 1Q),2,2 , 1x

4、xxQrxrxrx （使使有有理理數數,2 , 1| ),(QxxxrxrxH 令令的一個開覆蓋，的一個開覆蓋，是是則則QH2 , 1),(),(),(,22221111*nnnnrxrxrxrxrxrxHHH 合合的有限個元素，構成集的有限個元素，構成集任取任取, 2222*rnnH最最靠靠近近的的數數為為個個有有理理數數中中與與設設這這個個端端點點都都是是有有理理數數，且且中中的的開開區區間間都都不不含含由由于于反例：反例：個個區區間間之之外外。述述之之間間所所有有有有理理數數都都在在上上與與則則在在nr2.2 , 1QH住住的的任任意意有有限限覆覆蓋蓋不不能能蓋蓋即即5. 聚點定理聚點定

5、理實數系中的任意有界無限點集至少有一個聚點。實數系中的任意有界無限點集至少有一個聚點。反例：反例： ,|)11(ZnnSn S是有界的無限有理點集，在實數域內的聚點為是有界的無限有理點集，在實數域內的聚點為e,因而在有理數域沒有聚點。因而在有理數域沒有聚點。5.1 致密性定理：致密性定理：在實數系中，有界數列必含有收斂子列。在實數系中，有界數列必含有收斂子列。反例：反例：,)11( 窮窮數數列列是是有有理理數數系系中中的的有有界界無無nnnx 其極限為無理數其極限為無理數e,從而任一子列均收斂于從而任一子列均收斂于e。故故xn在有理數域內沒有收斂的子列。在有理數域內沒有收斂的子列。6. 柯西收

6、斂準則柯西收斂準則., 0 mnnaaNnmNa有有收收斂斂在在實實數數系系中中，反例：反例：條條件件的的有有理理數數列列，是是滿滿足足Cauchynn)11( . e但但其其極極限限是是無無理理數數即柯西收斂準則在有理數域不成立。即柯西收斂準則在有理數域不成立。幾個概念：幾個概念：區間套閉區間套），區間套閉區間套），聚點聚點3個等價定義及其等價性的證明），個等價定義及其等價性的證明），開覆蓋有限開覆蓋）。開覆蓋有限開覆蓋）。舉例說明閉區間套定理中將閉區間換成開區間舉例說明閉區間套定理中將閉區間換成開區間結論不成立。結論不成立。, 0)01(lim10 nnn且且是是前前一一個個包包含含后后一

7、一個個，），（如如 但不存在屬于所有開區間的公共點。但不存在屬于所有開區間的公共點。 舉例說明有限覆蓋定理中將閉區間換成開區舉例說明有限覆蓋定理中將閉區間換成開區間結論不成立。間結論不成立。, 2 , 1)1 ,11( nn，如如開開區區間間集集合合但不能從中選出有限個開區間蓋住但不能從中選出有限個開區間蓋住0， 1）。）。因為右端點始終為因為右端點始終為1，左端點有限個中必有一個最小者，左端點有限個中必有一個最小者，,11 N設設為為。）這這部部分分將將不不能能被被蓋蓋住住，則則（110 N構成了開區間構成了開區間0， 1的一個開覆蓋的一個開覆蓋 ，nnxA limnnxA lim定義定義

8、有界數列有界數列(點列點列) xn的最大聚點的最大聚點 與最小聚點與最小聚點A分別分別稱為稱為xn的上極限與下極限的上極限與下極限,記作記作A數列的上下極限概念數列的上下極限概念 1. 在在a，b上的連續函數上的連續函數 f 為一致連續的充要條為一致連續的充要條件是件是 fa+0與與fb-0都存在。不適合無限開區間都存在。不適合無限開區間 f(x)一致連續的判定：一致連續的判定：存在，存在，連續，連續，在在若若)(lim),)( . 2xfaxfx一致連續。一致連續。，在在則則)( axf3. 閉區間上連續的函數必一致連續。閉區間上連續的函數必一致連續。.)()(, 0)(, 0 . 4 xf

9、xfxxIxx就就有有只只要要5. 若若f(x)在有限區間在有限區間I上無界，則上無界，則f(x)在在I上必不一致連續。上必不一致連續。P168.1.解答解答，偶偶子子列列收收斂斂于于的的奇奇子子列列收收斂斂于于）（1111 nSn的的聚聚點點。是是，S11 ， 11 |,)1(| |,1min| 取取的的有有限限項項，內內至至多多有有則則在在SU)2,( 的有限個偶數項，的有限個偶數項，外至多有外至多有則在則在SU)2|1| , 1( 的的有有限限個個奇奇數數項項，外外至至多多有有則則在在SU)2| )1(| , 1( 的的聚聚點點。不不是是S P168.7.證法證法1：不妨設不妨設xn單調

10、增加。單調增加。 假設假設xn無界或無界或xn是常數列，是常數列，那么那么xn一定沒有聚點。一定沒有聚點。不合題意。不合題意。故故xn必為有界數列且不是常數列。必為有界數列且不是常數列。從而從而xn一定有確界，一定有確界，,sup nx設設由單調有界定理的證明可知：由單調有界定理的證明可知：,lim nnx的的聚聚點點。是是故故nx 的聚點，則的聚點，則也是也是若若nx ，的子列收斂于的子列收斂于 nx ，的任意子列必收斂于的任意子列必收斂于，所以，所以收斂于收斂于而而 nnxx. .,:.的確界且為則必是唯一的存在聚點若證明單調nnnxxx證法證法2：的一個聚點，的一個聚點，是是設設nx ，

11、收收斂斂于于的的子子列列則則 knnxx .lim nnx且且,sup nx由單調有界定理的證明可知：由單調有界定理的證明可知：故故xn一定有界，從而有確界。一定有界，從而有確界。的聚點，則的聚點，則也是也是若若nx ，的子列收斂于的子列收斂于 nx ，的任意子列必收斂于的任意子列必收斂于，所以，所以收斂于收斂于而而 nnxx. 單調，單調， nx, nx則則收斂。收斂。 nx, knx矛盾！矛盾！,若無界若無界單單調調且且有有界界，nxP172.2證證都存在，都存在，一致連續，一致連續，在在)0(),0(),( bfafbaf bxbfbxaxfaxafxF ),0( ),( ),0()(

12、令令連續，從而有界，連續，從而有界，在在則則,)(baxF.),()(有有界界在在baxf成成立立。為為無無限限區區間間時時，結結論論不不當當),(ba界界。）一一致致連連續續，但但顯顯然然無無，在在（如如： xxf)(有限區間有限區間I上一致連續的函數必有界。上一致連續的函數必有界。 若若I為閉區間，則結論顯然。為閉區間，則結論顯然。下面假設下面假設I為開區間為開區間a, b）。）。P172.3證證, 0sinlim xxx.|sin|, 0, 0 xxMxM有有|sinsin|,xxxxMxx 有有|sin|sin|xxxx .2 ）一致連續。）一致連續。在（在（即即,sinMxx , 0( ,sin0 , 1)(MxxxxxF令令連連續續，從從而而一一致致連連續續，在在則則0)(MxF一致連續。一致連續。在（在（,