1、會計學1時變電磁場時變電磁場4.1 波動方程波動方程 波動方程反映了時變電磁場中電場場量和磁場場量在空間中波動方程反映了時變電磁場中電場場量和磁場場量在空間中傳播時所遵循的規律。波動方程可由麥克斯韋方程組推出。傳播時所遵循的規律。波動方程可由麥克斯韋方程組推出。,0,0DBHEttBD 波動方程的建立（無源區）波動方程的建立（無源區） 在無源空間中，電荷和電流處處為零，即在無源空間中，電荷和電流處處為零，即 0 0，J J0 0，電磁場，電磁場滿足的麥克斯韋方程為滿足的麥克斯韋方程為 均勻無耗媒質均勻無耗媒質中中無源區域無源區域波動方程的推導：波動方程的推導：dBEdt ()EHt 222()

2、EEEt Dt第1頁/共34頁222()EEEt 無源區電場無源區電場波動方程波動方程同理，可以推得無源區磁場波動方程為：同理，可以推得無源區磁場波動方程為：2220HHt 從上方程可以看出：從上方程可以看出：時變電磁場的電場場量和磁場場量在空間時變電磁場的電場場量和磁場場量在空間中是以波動形式變化的，因此稱時變電磁場為電磁波。中是以波動形式變化的，因此稱時變電磁場為電磁波。 通過解波動方程，可以求出空間中電場場量和磁場場量的分布情通過解波動方程，可以求出空間中電場場量和磁場場量的分布情況。但需要注意的是：只有少數特殊情況可以通過直接求解波動方程況。但需要注意的是：只有少數特殊情況可以通過直接

3、求解波動方程求解。求解。2220EEt第2頁/共34頁4.2 電磁場的位函數電磁場的位函數4.2.1 矢量位和標量位矢量位和標量位BABEt ()EAt ()0AEt 令：令： ，可得，可得()AEt ()AEt 故：故：()AEtBA ( , ):( , ):A r tr t矢量位標量位0B 說明：說明： 1 1、時變場電場場量和磁場場量均為時間和空間位置的函數、時變場電場場量和磁場場量均為時間和空間位置的函數，對應的矢量位和標量位也為，對應的矢量位和標量位也為時間時間和和空間位置空間位置的函數。的函數。時變場位函數同時包括標量位和矢量位時變場位函數同時包括標量位和矢量位 矢量位和標量位的定

4、義矢量位和標量位的定義第3頁/共34頁 不確定性產生原因不確定性產生原因：未規定：未規定 的散度。的散度。 滿足下列變換關系的兩組位函數滿足下列變換關系的兩組位函數 和和 能描述同一能描述同一個電磁場問題。個電磁場問題。 2 2、由于時變場電場和磁場為統一整體，因此其對應的、由于時變場電場和磁場為統一整體，因此其對應的標量位標量位和矢量位也是一個統一的整體和矢量位也是一個統一的整體。 位函數的不確定性位函數的不確定性()()()AAAAAAtttt A（ 、 ）A（ 、 ）AAt 即即也就是說，對一給定的電磁場可用不同的位函數來描述。也就是說，對一給定的電磁場可用不同的位函數來描述。為任意可微

5、函數為任意可微函數A第4頁/共34頁 由于在定義中矢量位函數僅僅確定了其旋度式，而沒有確定散度由于在定義中矢量位函數僅僅確定了其旋度式，而沒有確定散度式，因此滿足定義的矢量位函數有無限多個。為了使時變電磁場場量式，因此滿足定義的矢量位函數有無限多個。為了使時變電磁場場量和動態位之間滿足一一對應關系，須引入額外的限定條件和動態位之間滿足一一對應關系，須引入額外的限定條件規范條規范條件。件。 對于時變場來說，動態位函數常用的規范條件為洛倫茲規范條件對于時變場來說，動態位函數常用的規范條件為洛倫茲規范條件At 洛倫茲規范條件洛倫茲規范條件 洛倫茲規范條件的引入洛倫茲規范條件的引入思考：庫侖規范條件和

6、洛倫茲規范條件有何聯系？思考：庫侖規范條件和洛倫茲規范條件有何聯系？第5頁/共34頁4.2.2 達朗貝爾方程達朗貝爾方程E()At 2()At EHJt1HA1EAJt2()()AAAJtt 222()AAJAtt (4.2.7)(4.2.7)引入洛倫茲規范條件，則方程簡化為引入洛倫茲規范條件，則方程簡化為222222tAAJt 達朗貝爾方程達朗貝爾方程(4.2.6)(4.2.6)第6頁/共34頁關于位函數和達朗貝爾方程的討論關于位函數和達朗貝爾方程的討論 引入動態標量位和矢量位可以簡化電磁問題的求解：引入動態標量位和矢量位可以簡化電磁問題的求解： 原因：原因：1 1、標量位和矢量位方程形式相

7、同，解形式相同；、標量位和矢量位方程形式相同，解形式相同； 2 2、矢量位方向與電流元方向相同；、矢量位方向與電流元方向相同； 矢量位和標量位滿足達朗貝爾方程，同時也須滿足洛倫茲條件矢量位和標量位滿足達朗貝爾方程，同時也須滿足洛倫茲條件 從達朗貝爾方程可知：電荷是產生標量位的源，電流是產生矢量從達朗貝爾方程可知：電荷是產生標量位的源，電流是產生矢量位的源位的源 動態標量位和矢量位是以波動的形式隨時間變化而變化的動態標量位和矢量位是以波動的形式隨時間變化而變化的第7頁/共34頁4.3 電磁能量守恒定律電磁能量守恒定律 能量守恒定律是一切物質運動過程遵守的普遍規律，作為特能量守恒定律是一切物質運動

8、過程遵守的普遍規律，作為特殊形態的物質，電磁場及其運動過程也遵守這一規律。殊形態的物質，電磁場及其運動過程也遵守這一規律。 本節將詳細討論電磁場的能量和能量守恒定律，引入重要的本節將詳細討論電磁場的能量和能量守恒定律，引入重要的坡印廷矢量坡印廷矢量和和坡印廷定理坡印廷定理，分析討論電磁場能量、電荷電流運動，分析討論電磁場能量、電荷電流運動及電磁場做功之間的相互聯系。及電磁場做功之間的相互聯系。 第8頁/共34頁4.3.1 電磁場能量密度和能流密度電磁場能量密度和能流密度電磁場的電磁場的能量密度能量密度： 電磁場能量的電磁場能量的空間分布空間分布用能量密度用能量密度w w來描述，它表示來描述，它

9、表示單位體積單位體積中電磁場的能量中電磁場的能量，為電場能量和磁場能量之和，為電場能量和磁場能量之和1( )( )2ewD rE r21( )2E r22111( )( )( )( )222mwB rH rH rB r2212emwwwEH電場能量密度：電場能量密度：磁場能量密度：磁場能量密度：電磁場能量密度：電磁場能量密度： 電磁場的電磁場的能量流密度能量流密度矢量：矢量： 電磁波電磁振蕩定向運動伴隨電磁場能量移動，其流動情況電磁波電磁振蕩定向運動伴隨電磁場能量移動，其流動情況用電磁場能量流密度用電磁場能量流密度( (能流密度能流密度)S)S表示，其數值為表示，其數值為單位時間垂直流單位時間

10、垂直流過單位面積的能量過單位面積的能量，方向為，方向為能量流動方向能量流動方向第9頁/共34頁4.3.2 坡應廷定理和坡印廷矢量坡應廷定理和坡印廷矢量 坡印廷定理的數學推導坡印廷定理的數學推導DHJtBEt HEEHBDHE JEtt ()EH()BDEHHEE Jtt 2211()()()22EHHEE Jtt ()emwwEHE Jtt 坡印廷定理微分形式坡印廷定理微分形式第10頁/共34頁將坡印廷定理微分形式在一定體積內進行積分，得將坡印廷定理微分形式在一定體積內進行積分，得()()emVVwwEH dVE J dVtt ()emSVVVdEH dSw dVw dVE JdVdt ()(

11、)emSVdWWEHdSE JdVdt 坡印廷定理積分形坡印廷定理積分形式式 坡印廷定理的物理意義坡印廷定理的物理意義設區域設區域V V中電磁場能量隨時間減少，由于能量守恒，減少的能量中電磁場能量隨時間減少，由于能量守恒，減少的能量可能通過邊界可能通過邊界 流出，或因對流出，或因對V V中電荷做功而消耗，即中電荷做功而消耗，即 減少量減少量 = = 流出量流出量 + + 消耗量消耗量Vd-wdVdt S d VJ EdV n E, H V 流出能量流出能量 第11頁/共34頁 坡印廷定理坡印廷定理物理意義：單位時間內流入體積物理意義：單位時間內流入體積V V內的電磁能量等于內的電磁能量等于體積

12、體積V V內增加的電磁能量與體積內增加的電磁能量與體積V V內損耗的電磁能量之和。內損耗的電磁能量之和。 坡印廷矢量（坡印廷矢量（能流密度矢量能流密度矢量） 表流入閉合面表流入閉合面S S的電磁功率，因此的電磁功率，因此 為一與為一與能能量流密度量流密度有關的矢量，稱為有關的矢量，稱為坡印廷矢量坡印廷矢量. .()SEH dSEH 定義：坡印廷矢量（用符號定義：坡印廷矢量（用符號 表示）表示）S瞬時坡印廷矢量瞬時坡印廷矢量( )( )( )S tE tH t坡印廷適量是描述時變電磁場中電磁能量傳輸的一個重要物理量坡印廷適量是描述時變電磁場中電磁能量傳輸的一個重要物理量 H S 能能流流密密度度

13、矢矢量量 E O 物理意義：物理意義： 大小表示單位時間內通過大小表示單位時間內通過垂直垂直于能于能量傳輸方向的量傳輸方向的單位面積單位面積的電磁能量的電磁能量 方向即為電磁能量傳輸方向方向即為電磁能量傳輸方向SS第12頁/共34頁 上式中坡印廷矢量為時間上式中坡印廷矢量為時間t的函數，表示的函數，表示瞬時瞬時功率流密度。功率流密度。 公式中公式中 表達式應為場量的表達式應為場量的瞬時表達式瞬時表達式關于坡印廷矢量瞬時形式的說明：關于坡印廷矢量瞬時形式的說明：( ),( )E tH t 時變電磁場的平均坡應廷矢量時變電磁場的平均坡應廷矢量 對某些時變場，電場和磁場隨時間呈周期性變化，此時求解一

14、個對某些時變場，電場和磁場隨時間呈周期性變化，此時求解一個周期內通過某個平面的電磁能量，才能反映電磁能量的傳遞情況。周期內通過某個平面的電磁能量，才能反映電磁能量的傳遞情況。 平均坡印廷矢量：將瞬時形式坡印廷矢量在一個周期內取平均，平均坡印廷矢量：將瞬時形式坡印廷矢量在一個周期內取平均，用用 表示表示，即：即：0011( )( )( )TTavSS t dtE tH t dtTT注：注： 與與時間時間t t無關無關。avSavS第13頁/共34頁4.5 時諧電磁場時諧電磁場 由傅立葉級數可知：在線性媒質中，正弦電磁波可以合成其他形式由傅立葉級數可知：在線性媒質中，正弦電磁波可以合成其他形式的電

15、磁波。的電磁波。 時諧電磁場的概念時諧電磁場的概念 如果場源以一定的角頻率隨時間呈時諧（正弦或余弦）變化，則如果場源以一定的角頻率隨時間呈時諧（正弦或余弦）變化，則所產生電磁場也以同樣的角頻率隨時間呈時諧變化。這種所產生電磁場也以同樣的角頻率隨時間呈時諧變化。這種以一定角頻以一定角頻率作時諧變化的電磁場率作時諧變化的電磁場，稱為，稱為時諧電磁場時諧電磁場或正弦電磁場。或正弦電磁場。 研究時諧電磁場具有重要意義研究時諧電磁場具有重要意義 時諧場易于激勵，工程上時諧電磁場應用最多。廣播、電視和通信時諧場易于激勵，工程上時諧電磁場應用最多。廣播、電視和通信等的載波都是時諧電磁場。等的載波都是時諧電磁

16、場。 任意的時變場在一定的條件下可通過傅里葉分析方法展開為不同頻任意的時變場在一定的條件下可通過傅里葉分析方法展開為不同頻率的時諧場的疊加。率的時諧場的疊加。第14頁/共34頁4.5.1 時諧電磁場的復數表示時諧電磁場的復數表示 采用復數方法表示時諧電磁場，可使得大多數時諧電磁場問題采用復數方法表示時諧電磁場，可使得大多數時諧電磁場問題的分析得以簡化。的分析得以簡化。 時諧場量的實數表示法（瞬時表示）時諧場量的實數表示法（瞬時表示） 設設 是一個以角頻率是一個以角頻率 隨時間隨時間t t 作正弦變化的場量，它與作正弦變化的場量，它與時間的關系可以表示成時間的關系可以表示成( , )A r t

17、0( , )cos( )A r tAtr式中：式中：A A0 0為振幅、為振幅、 為初始相位，與坐標有關。為初始相位，與坐標有關。( )r 實數表示法或實數表示法或瞬時表示法瞬時表示法1 1、實數表示表征場量隨時間、空間變化規律，具有實際物理意義。、實數表示表征場量隨時間、空間變化規律，具有實際物理意義。 2 2、實數表示時間、空間變量無法分離，數學上處理較復雜。、實數表示時間、空間變量無法分離，數學上處理較復雜。 關于場量實數（瞬時）表示法的說明：關于場量實數（瞬時）表示法的說明：第15頁/共34頁由復變函數，知：由復變函數，知： ，則：，則： cos()Re()j tte( )Re( )R

18、e ( )j tjrj tmAr eeA r e( )( )( )jrmA rAr e式中：式中： 時諧場量的復數表示法時諧場量的復數表示法0( , )cos( )A r tAtr 時諧電磁場場量的復數表示法時諧電磁場場量的復數表示法( , , , )( , , )cos( , , )( , , , )( , , )cos( , , )( , , , )( , , )cos( , , )xxmxyymyzzmzEx y z tEx y ztx y zEx y z tEx y ztx y zE x y z tEx y ztx y z 在直角坐標系下，時諧電場可表示為：在直角坐標系下，時諧電場可表

19、示為：xxyyzzEe Ee Ee E 式中：式中： 為電場在為電場在x,y,zx,y,z方向分量的幅度方向分量的幅度,xmymzmEEExyz，為電場為電場x,y,zx,y,z分量的初始相位分量的初始相位第16頁/共34頁Re()Re()Re()Re()Re()Re()xyzjtj txxmxmjtj tyymymjtj tzzmzmEE eE eEE eE eEE eE e式中式中, ,場量上加場量上加點表示該量為復數點表示該量為復數。xyzjxmxmjymymjzmzmEE eEE eEE e由前面分析，電場各分量可表示為：由前面分析，電場各分量可表示為：因此時諧電場強度可表示為因此時諧

20、電場強度可表示為xxyyzzEe Ee Ee ERe()Re()Re()jwtjwtjwtxxmyymzzmeE eeE eeE eRe()jwtxxmyymzzme Ee Ee EeRejwtmE emxxmyymzzmEe Ee Ee E第17頁/共34頁yxzyxzyxzyxzjjjxxmyymzzmjjjxxmyymzzmjjjxxmyymzzmjjjxxmyymzzmjmDe D ee D ee D eHe Hee Hee H eBe B ee B ee B eJe Jee Jee J ee 由于所有場量表達式都有取實部運算，并都含有由于所有場量表達式都有取實部運算，并都含有 項，為

21、簡化項，為簡化，以上兩項作為，以上兩項作為缺省項缺省項，均不寫。故電場的復數表達式為：，均不寫。故電場的復數表達式為：j teyxzjjjmxxmyymzzmEe E ee E ee E e同理同理 復數式只是數學表示方式，復數式只是數學表示方式，不代表真實的場不代表真實的場，沒有明確物理意義沒有明確物理意義。采用復數形式可以使大多數正弦電磁場問題得以簡化。采用復數形式可以使大多數正弦電磁場問題得以簡化 只有場量的只有場量的瞬時表達形式才代表真實場瞬時表達形式才代表真實場，具有明確的物理意義，具有明確的物理意義第18頁/共34頁場量復數表達形式和瞬時（實數）形式相互轉換場量復數表達形式和瞬時（

22、實數）形式相互轉換場量的復數形式：場量的復數形式：0jEE e場量的瞬時形式場量的瞬時形式：0cos()EEt 場量的復數形式轉換為實數形式的方法：場量的復數形式轉換為實數形式的方法：0jEE etje ()0jtE e取實部0cos()Et第19頁/共34頁例例 已知電場強度為已知電場強度為，其中，其中E Exmxm和和 k kz z為實常數。寫出電場強度的瞬時矢量。為實常數。寫出電場強度的瞬時矢量。 cosxxmzE ze jEk z 解解： 2,RecosRecoscoscos2j txxmzjtxxmzxxmzE z te jEk z ee Ek z ee Ek zt 第20頁/共34

23、頁例例 已知電場強度為已知電場強度為，其中，其中E Exmxm和和 k kz z為為實常數。寫出電場強度的瞬時矢量。實常數。寫出電場強度的瞬時矢量。 zjk zxxmE ze jEe 解解： 2,ReRecos2sinzzjk zj txxmjt k zxxmxxmzxxmzE z te jEeee Eee Etk ze Etk z 第21頁/共34頁4.5.2 復矢量的麥克斯韋方程組復矢量的麥克斯韋方程組 很明顯，對于時諧場很明顯，對于時諧場Re,Rej tj tmmEBE eB ejjtt 故由麥克斯韋方程組微分形式，可得：故由麥克斯韋方程組微分形式，可得：0eDHJtBEtBD ()()

24、0()j tj tmmmj tj tmmj tmj tj tmmH eJj DeE ej B eB eD ee ) 為了簡化書寫，約定為了簡化書寫，約定 寫做寫做 ，而，而 項則省略不寫，則方程變為：項則省略不寫，則方程變為：mBBj te0HJj DEj BBD 麥克斯韋方程組復數形式麥克斯韋方程組復數形式第22頁/共34頁對麥克斯韋方程組時諧形式的進一步說明對麥克斯韋方程組時諧形式的進一步說明 方程中各場量形式上是實數及源量均應為復數形式（為了簡化方程中各場量形式上是實數及源量均應為復數形式（為了簡化書寫而略寫）書寫而略寫） 方程中雖然沒有與時間相關的因子，時間因子方程中雖然沒有與時間相關

25、的因子，時間因子 為缺省式子為缺省式子, ,有時沒有書寫出來有時沒有書寫出來 麥克斯韋方程組時諧形式只能用于時諧場（正弦場）麥克斯韋方程組時諧形式只能用于時諧場（正弦場）j te第23頁/共34頁4.5.3 復介電常數復介電常數HEjE 當媒質為當媒質為非理想介質非理想介質時，介質的電導率為時，介質的電導率為不為零的有限值不為零的有限值，此，此時介質存在時介質存在歐姆損耗歐姆損耗，()cjEjEj 式中：式中：cj等效復介等效復介電常數電常數 存在歐姆損耗的介質存在歐姆損耗的介質 存在電極化損耗的介質存在電極化損耗的介質cj等效復介等效復介電常數電常數表征電極表征電極化損耗化損耗表征歐姆表征歐

26、姆損耗損耗 存在電極化損耗和歐姆損耗的介質存在電極化損耗和歐姆損耗的介質( )cj第24頁/共34頁電介質歐姆損耗正切角電介質歐姆損耗正切角 定義：定義： 介質損耗角介質損耗角 工程上為了方便工程上為了方便描述導電媒質的損耗特性描述導電媒質的損耗特性，引入，引入媒質損耗正切角媒質損耗正切角的概念。的概念。 電介質極化損耗正切角電介質極化損耗正切角 定義：定義：tanarctan()tanarctan()討論：討論：傳導電流與位移電流之比。傳導電流與位移電流之比。edJEjEJ1( 100)1( 0.01)1良導體弱導體半導體媒質的導電性強弱與信號頻媒質的導電性強弱與信號頻率有關，是一個率有關，

27、是一個相對相對的概念的概念。第25頁/共34頁例例 海水電導率海水電導率 ，相對介電常數，相對介電常數 。求海水。求海水在在 和和 時的等效復介電常數。時的等效復介電常數。4/S m 解解：81 r r1fkHzfGHz1當當 時時1fkHz03481210cjj46.37 10/jF m 當當 時時1fGHz09481210cjj10107.16 106.37 10/jF m第26頁/共34頁4.5.4 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程時諧場時諧場所滿足的所滿足的波動方程波動方程即為亥姆霍茲方程。即為亥姆霍茲方程。 在時諧場中，由于場量隨時間呈正弦規律變化，則在時諧場中，由于場量隨時間呈正弦規律變化

28、，則222222,EHEHtt 22222200EEtHHt222200EEHH 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程 令：令： ，則亥姆霍茲方程變為，則亥姆霍茲方程變為22k 222200Ek EHk H 則無源空間的波動方程變為：則無源空間的波動方程變為：第27頁/共34頁 說明：說明：1 1、亥姆霍茲方程的解為時諧場（正弦電磁波）；、亥姆霍茲方程的解為時諧場（正弦電磁波）；2 2、對損耗媒質，其等效介電常數為復數則：、對損耗媒質，其等效介電常數為復數則：22cck 式中：式中： 為復數。為復數。cck 第28頁/共34頁4.5.5 時諧場的位函數時諧場的位函數對時諧場，有對時諧場，有 ，則其輔助為函數可表示為，則其輔助為函數可表示為jt ()AEtBA 1EjAHA 洛倫茲規范條件變為：洛倫茲規范條件變為：Aj 達朗貝爾方程變為：達朗貝爾方程變為：2222kAk AJ 22k 第29頁/共34頁4.5.6 平均能流密度平均能流密度0011( )( )( )TTavSS t dtE tH t dtTT 對角頻率為對角頻率為 的時諧場，其周期為：的時諧場，其周期為：2T 對時諧場，平