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1、四川大學數學學院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.158有一個約束條件的條件極值有一個約束條件的條件極值推導三元函數在一個約束條件推導三元函數在一個約束條件下取得極值的必要條件下取得極值的必要條件四川大學數學學院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.158設函數設函數 u=f(x,y,z) 在點在點 (x, y, z) 處取得滿足約處取得滿足約束條件束條件 的極值。的極值。由隱函數知識，該約束條件的方程可以確定由隱函數知識，該約束條件的方程可以確定一個二元函數一個二元函數 z=z(x, y)。將這個二元函數代。將這個二元函數代入目標函數，則二元函數入

2、目標函數，則二元函數u=f(x, y, z(x, y)=u(x, y) 在點在點 (x, y) 處取得極值。由二元函數極值的處取得極值。由二元函數極值的必要條件，必要條件，( , , )0 x y z0(1)xzuzffxx0(2)yzuzffyy四川大學數學學院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.158另一方面，將二元函數另一方面，將二元函數 z=z(x, y)代入約束條代入約束條件方程，得恒等式：件方程，得恒等式：( , , ( , )0 x y z x y以上等式兩端分別對以上等式兩端分別對 x和和y 求偏導數，得求偏導數，得0(3)xzzx0(4)yzzy四川大學

3、數學學院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.158由由 (1), (2), (3), (4) 式得式得由此得到：由此得到：xxzzfzfx yyzzfzfy yxzxyzfff即兩個梯度即兩個梯度 和和在取得條件極值的點處平行。在取得條件極值的點處平行。這就是函數這就是函數 u=f(x,y,z) 在在 (x,y,z) 處取得滿足約處取得滿足約束條件的極值的必要條件。束條件的極值的必要條件。,xyzffff ,xyz 四川大學數學學院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.158約束條件約束條件 ( , , )uf x y z函數函數 取得滿足取得滿足( , , )0 x y z/f的極值的必要條件是：的極值的必要條件是：命題命題yxzxyzfff即即四川大學數

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