1、專題20 函數的應用函數的應用函數的應用主 干 知 識 梳 理熱 點 分 類 突 破真 題 與 押 題1.函數零點所在區間、零點個數及參數的取值范函數零點所在區間、零點個數及參數的取值范圍是高考的常見題型，主要以選擇、填空題的圍是高考的常見題型，主要以選擇、填空題的形式出現形式出現.2.函數的實際應用以二次函數、分段函數模型為函數的實際應用以二次函數、分段函數模型為載體，主要考查函數的最值問題載體，主要考查函數的最值問題.考情解讀主干知識梳理1.函數的零點與方程的根函數的零點與方程的根(1)函數的零點函數的零點對于函數對于函數f(x)，我們把使，我們把使f(x)0的實數的實數x叫做函數叫做函數

2、f(x)的的零點零點.(2)函數的零點與方程根的關系函數的零點與方程根的關系函數函數F(x)f(x)g(x)的零點就是方程的零點就是方程f(x)g(x)的根，即的根，即函數函數yf(x)的圖象與函數的圖象與函數yg(x)的圖象交點的橫坐標的圖象交點的橫坐標.(3)零點存在性定理零點存在性定理如果函數如果函數yf(x)在區間在區間a，b上的圖象是連續不斷的一條上的圖象是連續不斷的一條曲線，且有曲線，且有f(a)f(b)0，那么，函數，那么，函數yf(x)在區間在區間(a，b)內內有零點，即存在有零點，即存在c(a，b)使得使得f(c)0，這個，這個c也就是方程也就是方程f(x)0的根的根.注意以

3、下兩點：注意以下兩點：滿足條件的零點可能不唯一；滿足條件的零點可能不唯一；不滿足條件時，也可能有零點不滿足條件時，也可能有零點.(4)二分法求函數零點的近似值，二分法求方程的近似解二分法求函數零點的近似值，二分法求方程的近似解.2.函數模型函數模型解決函數模型的實際應用題，首先考慮題目考查的函數模解決函數模型的實際應用題，首先考慮題目考查的函數模型，并要注意定義域型，并要注意定義域.其解題步驟是其解題步驟是(1)閱讀理解，審清題閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應的數學問意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應的數學問題；題；(2)數學建模：弄清題目中的已知條件和數量關

4、系，建數學建模：弄清題目中的已知條件和數量關系，建立函數關系式；立函數關系式；(3)解函數模型：利用數學方法得出函數模解函數模型：利用數學方法得出函數模型的數學結果；型的數學結果；(4)實際問題作答：將數學問題的結果轉化實際問題作答：將數學問題的結果轉化成實際問題作出解答成實際問題作出解答. 熱點一 函數的零點 熱點二 函數的零點與參數的范圍 熱點三 函數的實際應用問題熱點分類突破例1(1)函數函數f(x)ln(x1) 的零點所在的區間的零點所在的區間是是()A.( ，1) B.(1，e1)C.(e1,2) D.(2，e)熱點一 函數的零點思維啟迪 根據二分法原根據二分法原理，逐個判斷；理，逐

5、個判斷；解析因為因為f( )ln 40，f(1)ln 220，f(e1)1 0，故零點在區間故零點在區間(e1,2)內內.答案C思維啟迪 畫出函數畫出函數圖象，利用圖象，利用數形結合思數形結合思想解決想解決.解析先畫出先畫出y軸右邊的圖象，如圖所示軸右邊的圖象，如圖所示.f(x)是偶函數，是偶函數，圖象關于圖象關于y軸對稱，軸對稱，可畫出可畫出y軸左邊的圖象，再畫直線軸左邊的圖象，再畫直線y .設與曲線交于點設與曲線交于點A，B，C，D，先分別求出，先分別求出A，B兩兩點的橫坐標點的橫坐標.答案A函數零點函數零點(即方程的根即方程的根)的確定問題，常見的有的確定問題，常見的有函數函數零點值大致

6、存在區間的確定；零點值大致存在區間的確定；零點個數的確定；零點個數的確定；兩函數圖象交點的橫坐標或有幾個交點的確定兩函數圖象交點的橫坐標或有幾個交點的確定.解解決這類問題的常用方法有解方程法、利用零點存在決這類問題的常用方法有解方程法、利用零點存在的判定或數形結合法，尤其是方程兩端對應的函數的判定或數形結合法，尤其是方程兩端對應的函數類型不同的方程多以數形結合求解類型不同的方程多以數形結合求解.思維升華變式訓練1(1)已知函數已知函數f(x)( )xcos x，則，則f(x)在在0,2上的上的零點個數是零點個數是()A.1 B.2C.3 D.4解析f(x)在在0,2上的零點個數就是函數上的零點

7、個數就是函數y( )x和和ycos x的圖象在的圖象在0,2上的交點個數，上的交點個數，而函數而函數y( )x和和ycos x的圖象在的圖象在0,2上的交點有上的交點有3個，故選個，故選C.C(2)已知已知a是函數是函數f(x)2xlog x的零點，若的零點，若0 x00C.f(x0)0 D.f(x0)的符號不確定的符號不確定解析f(x)2xlog x在在(0，)上是增函數，上是增函數，又又a是函數是函數f(x)2xlog x的零點，即的零點，即f(a)0，當當0 x0a時，時，f(x0)0.C例2對任意實數對任意實數a，b定義運算定義運算“”：ab 設設f(x)(x21)(4x)，若函數，若

8、函數yf(x)k的圖象與的圖象與x軸恰有三個不同交點，則軸恰有三個不同交點，則k的取值的取值范圍是范圍是()A.(2,1) B.0,1C.2,0) D.2,1)熱點二 函數的零點與參數的范圍思維啟迪 先確定函數先確定函數f(x)的解析的解析式，再利用數形結合思想式，再利用數形結合思想求求k的范圍的范圍.解析解不等式：解不等式：x21(4x)1，得：得：x2或或x3，函數函數yf(x)k的圖象與的圖象與x軸恰有三個不同交點轉軸恰有三個不同交點轉化為函數化為函數yf(x)的圖象和直線的圖象和直線yk恰有三個不恰有三個不同交點同交點.如圖，所以如圖，所以1k2，故，故2k1.答案D已知函數的零點個數

9、求解參數范圍，可以利用已知函數的零點個數求解參數范圍，可以利用數形結合思想轉為函數圖象交點個數；也可以數形結合思想轉為函數圖象交點個數；也可以利用函數方程思想，構造關于參數的方程或不利用函數方程思想，構造關于參數的方程或不等式進行求解等式進行求解.思維升華變式訓練2 定義在定義在R上的函數上的函數f(x)ax3bx2cx(a0)的單調的單調增區間為增區間為(1,1)，若方程，若方程3a(f(x)22bf(x)c0恰恰有有6個不同的實根，則實數個不同的實根，則實數a的取值范圍是的取值范圍是_.解析函數函數f(x)ax3bx2cx(a0)的單調增區的單調增區間為間為(1,1)，1和和1是是f(x)

10、0的根，的根，f(x)3ax22bxc，f(x)ax33ax，3a(f(x)22bf(x)c0，3a(f(x)23a0，f2(x)1，f(x)1，例3省環保研究所對市中心每天環境放射性污染省環保研究所對市中心每天環境放射性污染情況進行調查研究后，發現一天中環境綜合放射性情況進行調查研究后，發現一天中環境綜合放射性污染指數污染指數f(x)與時刻與時刻x(時時)的關系為的關系為f(x)| a|2a ，x0,24，其中，其中a是與氣象有關的參數，是與氣象有關的參數，且且a0， ，若用每天，若用每天f(x)的最大值為當天的綜合的最大值為當天的綜合放射性污染指數，并記作放射性污染指數，并記作M(a).熱

11、點三 函數的實際應用問題(1)令令t ，x0,24，求，求t的取值范圍；的取值范圍；思維啟迪 分分x0和和x0兩種情況，當兩種情況，當x0時變形使用基本不等式求解時變形使用基本不等式求解.解當當x0時，時，t0；當當0 x24時，時，x 2(當當x1時取等號時取等號)，即即t的取值范圍是的取值范圍是0，.(2)省政府規定，每天的綜合放射性污染指數不得超過省政府規定，每天的綜合放射性污染指數不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數是否超標？試問目前市中心的綜合放射性污染指數是否超標？思維啟迪 利用換元法把函數利用換元法把函數f(x)轉化成轉化成g(t)|ta|2a ，再把，再把函數函數g(

12、t)寫成分段函數后求寫成分段函數后求M(a).g(t)在在0，a上單調遞減，在上單調遞減，在(a， 上單調遞增，上單調遞增，當且僅當當且僅當0a 時，時，M(a)2.(1)關于解決函數的實際應用問題，首先要耐心、關于解決函數的實際應用問題，首先要耐心、細心地審清題意，弄清各量之間的關系，再建細心地審清題意，弄清各量之間的關系，再建立函數關系式，然后借助函數的知識求解，解立函數關系式，然后借助函數的知識求解，解答后再回到實際問題中去答后再回到實際問題中去.(2)對函數模型求最值的常用方法：單調性法、對函數模型求最值的常用方法：單調性法、基本不等式法及導數法基本不等式法及導數法.思維升華變式訓練3

13、已知一家公司生產某種品牌服裝的年固定成本為已知一家公司生產某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產萬元，每生產1千件需另投入千件需另投入2.7萬元萬元.設該公司一年設該公司一年內生產該品牌服裝內生產該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為銷售收入為R(x)萬元，且萬元，且R(x)(1)寫出年利潤寫出年利潤W(萬元萬元)關于年產量關于年產量x(千件千件)的函數解析式；的函數解析式；解當當010時，時，WxR(x)(102.7x)98 2.7x.(2)年產量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生年產量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得的年利潤最大？

14、產中所獲得的年利潤最大？(注：年利潤年銷售收入注：年利潤年銷售收入年總成本年總成本)解當當00；當當x(9,10)時，時，W10時，時，綜合綜合知：當知：當x9時，時，W取最大值取最大值38.6萬元，萬元，故當年產量為故當年產量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大所獲年利潤最大.本講規律總結1.函數與方程函數與方程(1)函數函數f(x)有零點有零點方程方程f(x)0有根有根函數函數f(x)的的圖象與圖象與x軸有交點軸有交點.(2)函數函數f(x)的零點存在性定理的零點存在性定理如果函數如果函數f(x)在區間在區間a，b上的圖象是連續不斷的上

15、的圖象是連續不斷的曲線，并且有曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數，那么，函數f(x)在區間在區間(a，b)內有零點，即存在內有零點，即存在c(a，b)，使，使f(c)0.如果函數如果函數f(x)在區間在區間a，b上的圖象是連續不斷的上的圖象是連續不斷的曲線，并且函數曲線，并且函數f(x)在區間在區間a，b上是一個單調函數，上是一個單調函數，那么當那么當f(a)f(b)0，那么，函數，那么，函數f(x)在區間在區間(a，b)內不一定沒有零點內不一定沒有零點.2.函數綜合題的求解往往應用多種知識和技能函數綜合題的求解往往應用多種知識和技能.因此，因此，必須全面掌握有關的函數知識，并且嚴謹審

16、題，弄必須全面掌握有關的函數知識，并且嚴謹審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件.要認真分析，處理好各種關系，把握問題的主線，要認真分析，處理好各種關系，把握問題的主線，運用相關的知識和方法逐步化歸為基本問題來解決運用相關的知識和方法逐步化歸為基本問題來解決.3.應用函數模型解決實際問題的一般程序應用函數模型解決實際問題的一般程序與函數有關的應用題，經常涉及到物價、路程、產值、與函數有關的應用題，經常涉及到物價、路程、產值、環保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的環保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優化問題最優化問

17、題.解答這類問題的關鍵是確切的建立相關函解答這類問題的關鍵是確切的建立相關函數解析式，然后應用函數、方程、不等式和導數的有關數解析式，然后應用函數、方程、不等式和導數的有關知識加以綜合解答知識加以綜合解答. 真題感悟 押題精練真題與押題12真題感悟12真題感悟解析作出函數作出函數f(x)的圖象如圖所示，其中的圖象如圖所示，其中A(1,1)，B(0，2).12真題感悟因為直線因為直線ymxmm(x1)恒過定點恒過定點C(1,0)，故當直線故當直線ym(x1)在在AC位置時，位置時，m ，可知當直線可知當直線ym(x1)在在x軸和軸和AC之間運動時兩圖象有之間運動時兩圖象有兩個不同的交點兩個不同的

18、交點(直線直線ym(x1)可與可與AC重合但不能與重合但不能與x軸重合軸重合)，此時，此時0m ，g(x)有兩個不同的零點有兩個不同的零點.12真題感悟由由(2m3)24m(m2)0，解得，解得m ，當直線當直線ym(x1)過點過點B時，時，m2；12真題感悟可知當可知當ym(x1)在切線和在切線和BC之間運動時兩圖象有兩之間運動時兩圖象有兩個不同的交點個不同的交點(直線直線ym(x1)可與可與BC重合但不能與切重合但不能與切線重合線重合)，答案A真題感悟212.(2014北京北京)加工爆米花時，爆開且不糊的加工爆米花時，爆開且不糊的粒數占加工總粒數的百分比稱為粒數占加工總粒數的百分比稱為“可食用可食用率率”.”.在特定條件下，可食用率在特定條件下，可食用率p與加工時與加工時間間t(單位：分鐘單位：分鐘)滿足函數關系滿足函數關系pat2btc(a、b、c是常數是常數)，如圖記錄了三次實驗的，如圖記錄了三次實驗的數據數據.根據上述函