1、蘇北四市2016-2017學年度高三年級第一學期期末調研數學試題一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）1、已知集合，則 2、已知復數滿足，其中為虛數單位，則的模為 3、某次比賽甲得分的莖葉圖如圖所示，若去掉一個最高分，去掉一個最低分，則剩下個分數的方差為 4、根據如圖所示的偽代碼，則輸出的值為 5、從這六個數中一次隨機地取個數，則所取個數的和能被整除的概率為 6、若拋物線的焦點恰好是雙曲線的右焦點，則實數的值為 7、已知圓錐的底面直徑與高都是，則該圓錐的側面積為 8、若函數的最小正周期為，則的值為 9、已知等比數列的前項和為，若，則公比的值為 10、已知函數是定義在上的奇函數，當

2、時，則不等式 的解集為 11、若實數滿足，則的最小值為 12、已知非零向量滿足，則與夾角的余弦值為 13、已知是圓上的動點，是圓上的動點，則的取值范圍為 14、已知函數，若函數的圖象與直線有三個不同的公共點，則實數的取值集合為 二、解答題（本大題共6小題，共90分解答應寫出必要的文字說明、證明或演算步驟）15、在中，角的對邊分別為已知（1）求角的值；（2）若，求的值16、如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為矩形，點分別是的中點求證：（1）直線平面；（2）直線平面17、如圖，已知兩鎮分別位于東西湖岸的處和湖中小島的處，點在的正西方向處，現計劃鋪設一條電纜聯通兩鎮，有兩種鋪設方案：沿線段在水下鋪設

3、；在湖岸上選一點，先沿線段在地下鋪設，再沿線段在水下鋪設，預算地下、水下的電纜鋪設費用分別為萬元、萬元（1）求兩鎮間的距離；（2）應該如何鋪設，使總鋪設費用最低？18、如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，且右焦點到左準線的距離為（1）求橢圓的標準方程；（2）設為橢圓的左頂點，為橢圓上位于軸上方的點，直線交軸于點，過點作的垂線，交軸于點（）當直線的斜率為時，求的外接圓的方程；（）設直線交橢圓于另一點，求的面積的最大值19、已知函數（1）解關于的不等式；（2）證明：；（3）是否存在常數，使得對任意的恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由20、已知正項數列的前項和為，且，（1）求數

4、列的通項公式；（2）若對于 ，都有成立，求實數取值范圍；（3）當時，將數列中的部分項按原來的順序構成數列，且，證明：存在無數個滿足條件的無窮等比數列21選做題本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區域內作答解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）如圖，為半圓的直徑，為弧的中點，為的中點求證：B選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）已知矩陣的一個特征值為2，其對應的一個特征向量為求，的值C選修4-4：坐標系與參數方程（本小題滿分10分）在平面直角坐標系中，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線 ，圓的參數方程為 （為參

5、數），當圓心到直線的距離為時，求的值D選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）已知，為正實數，的最小值為，解關于的不等式【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟22（本小題滿分10分）甲、乙、丙分別從A，B，C，D四道題中獨立地選做兩道題，其中甲必選B題（1）求甲選做D題，且乙、丙都不選做D題的概率；（2）設隨機變量表示D題被甲、乙、丙選做的次數，求的概率分布和數學期望23（本小題滿分10分）已知等式（1）求的展開式中含的項的系數，并化簡： ；（2）證明：蘇北四市2016-2017學年度高三年級第一學期期末調研 數

6、學（必做題）參考答案與評分標準一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14二、解答題：本大題共6小題，共計90分15（1）由正弦定理可知， 2分即，因為，所以，所以，即， 4分又，所以 6分（2）因為，所以，8分所以， 10分所以12分14分ABCDEMN(第16題)F16（1）取中點，連結，又是的中點，所以，又是矩形邊的中點，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形，4分所以，又平面，平面，所以平面7分（2）在矩形中，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，10分又平面，所以，又，平面，所以平面14分17（1）過作的垂線，垂足為

7、B(第17題)NPCAM北南東西D在中，所以，在中，所以則，即，所以，由勾股定理得，(km)所以，兩鎮間的距離為km4分（2）方案：沿線段在水下鋪設時，總鋪設費用為(萬元)6分方案：設，則，其中，在中，所以則總鋪設費用為8分設，則，令，得，列表如下：極小值所以的最小值為所以方案的總鋪設費用最小為(萬元)，此時 12分而，所以應選擇方案進行鋪設，點選在的正西方向km處，總鋪設費用最低14分18（1）由題意，得 解得 則，所以橢圓的標準方程為 4分（2）由題可設直線的方程為，則，所以直線的方程為，則(i)當直線的斜率為，即時，因為，所以圓心為，半徑為，所以的外接圓的方程為8分(ii)聯立 消去并整

8、理得，解得或，所以，10分直線的方程為，同理可得，所以，關于原點對稱，即過原點所以的面積，14分當且僅當，即時，取“”所以的面積的最大值為16分19（1）當時，所以的解集為；當時，若，則的解集為；若，則的解集為綜上所述，當時，的解集為；當時，的解集為；當時，的解集為 4分（2）設，則令，得，列表如下：極小值所以函數的最小值為，所以，即8分（3）假設存在常數，使得對任意的恒成立，即對任意的恒成立而當時，所以，所以，則，所以恒成立，當時，所以式在上不恒成立；當時，則，即，所以，則12分令，則，令，得，當時，在上單調增；當時，在上單調減所以的最大值所以恒成立所以存在，符合題意16分20（1）當時，故

9、；當時，所以，即，又，所以，3分所以，故 5分（2）當為奇數時，由得，恒成立，令，則，所以8分當為偶數時，由得，恒成立，所以又，所以實數的取值范圍是10分（3）當時，若為奇數，則，所以解法1：令等比數列的公比，則設，因為，所以，14分因為為正整數，所以數列是數列中包含的無窮等比數列，因為公比有無數個不同的取值，對應著不同的等比數列，故無窮等比數列有無數個16分解法2：設，所以公比因為等比數列的各項為整數，所以為整數，取，則，故，由得，而當時，即，14分又因為，都是正整數，所以也都是正整數，所以數列是數列中包含的無窮等比數列，因為公比有無數個不同的取值，對應著不同的等比數列，故無窮等比數列有無數個16分數學(附加題) 參考答案與評分標準ABCDEO（第21(A)題）21選做題A因為為弧的中點，所以，因為為半圓的直徑，所以，又為的中點，所以，所以，所以，所以，所以10分B由條件知，即，即，6分所以 解得所以，的值分別為，10分C直線的直角坐標方程為，圓的普通方程為，5分圓心到直線的距離，解得或10分D因為，所以 ，當且僅當時，取“”， 所以6分 所以不等式即，所以，解得，所以原不等式的解集為10分【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分22（1）設“甲選做D題，且乙、丙都不選做D題”為事件甲選做D