1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 *三、向量的混合積三、向量的混合積 第二節一、兩向量的數量積一、兩向量的數量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積 數量積 向量積 *混合積 第八八章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1M一、兩向量的數量積一、兩向量的數量積沿與力夾角為的直線移動,W1. 定義定義設向量的夾角為 ,稱 記作數量積 (點積) .引例引例. 設一物體在常力 F 作用下, F位移為 s , 則力F 所做的功為cossFsFW2Mbacosba的與為baba,s目錄 上頁 下頁 返回 結束 記作故abj rPb2. 性質性質為兩個非零向量, 則有baj rPcosbbabaaj rPbaaa

2、) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba則2),(ba0,0ba,0 時當a上的投影為在 ab,0,時當同理bbacosba目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 運算律運算律(1) 交換律(2) 結合律),(為實數abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事實上, 當0c時, 顯然成立 ;時當0cc)(ba babcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 證明三角形余弦定理cos2222abbac證證: 如圖 . 則

3、cos2222abbac,aBC,bACcBAABCabcbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,設目錄 上頁 下頁 返回 結束 4. 數量積的坐標表示數量積的坐標表示設則, 10zzyyxxbababa當為非零向量時,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,兩向量的夾角公式 , 得目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(MB, )(MA BM例例2. 已知三點, )2,1 ,2

4、(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1則AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故目錄 上頁 下頁 返回 結束 為 ) .求單位時間內流過該平面域的流體的質量P (流體密度例例3. 設均勻流速為的流體流過一個面積為 A 的平面域 ,與該平面域的單位垂直向量,解解:單位時間內流過的體積:APAA的夾角為且vvncosvcosvnv nn為單位向量Av目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積引例引例. 設O 為杠桿L 的支點 , 有一個與杠桿夾角為OQOLPQ符合右手規則OQFFsinOPsi

5、nOPMFOPOPM M矩是一個向量 M :的力 F 作用在杠桿的 P點上 ,則力 F 作用在杠桿上的力FoPFMFM 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1. 定義定義定義向量方向 :(叉積)記作且符合右手規則模 :向量積 ,，的夾角為設ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考: 右圖三角形面積abba21S目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 性質性質為非零向量, 則，0sin0或即aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0時當baba0basinab03. 運算律運算律(2) 分配律(3) 結合律(證明略)abcba )(cbcaba )(

6、)( ba)(baba) 1 (證明證明:sinabba目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量積的坐標表示式向量積的坐標表示式設則,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk目錄 上頁 下頁 返回 結束 向量積的行列式計算法向量積的行列式計算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaib

7、abayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx( 行列式計算見上冊 P355P358 ) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 已知三點, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面積 . 解解: 如圖所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三目錄 上頁 下頁 返回 結束 一點 M 的線速度例例5. 設剛體以等角速度 繞 l 軸旋轉, 導出剛體上 的表示式 . Ml解解: 在軸 l 上引進一個角速度向量使a其在 l 上任取一點

8、O,O作它與則點 M離開轉軸的距離a且符合右手法則的夾角為 , ,sinar, rOM vsinr,vr rvvv方向與旋轉方向符合右手法則 ,r向徑目錄 上頁 下頁 返回 結束 *三、向量的混合積向量的混合積1. 定義定義 已知三向量稱數量混合積混合積 .記作幾何意義幾何意義 為棱作平行六面體,底面積高h故平行六面體體積為hAV coscba)(cba,cba的為cba,Abaccba,以則其cosbaccba)(cbabacba目錄 上頁 下頁 返回 結束 zyxzyxbbbaaaxcyczckji2. 混合積的坐標表示混合積的坐標表示設xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbb

9、aacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 性質性質(1) 三個非零向量共面的充要條件是0(2) 輪換對稱性 :(可用三階行列式推出)cbacba,a b cab ca bcabc目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6. 已知一四面體的頂點),(kkkkzyxA,3,2, 1( k4 ) , 求該四面體體積 . 1A2A3A4A解解: 已知四面體的體積等于以向量為棱的平行六面體體積的,61故 61V6112xx 12yy 12z

10、z 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21AA,31AA41AA413121AAAAAA目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. 已知 A (1,2,0)、B (2,3,1)、C (4,2,2)、),(zyxM四點共面, 求點 M 的坐標 x、y、z 所滿足的方程.解解: A、B、 C、M 四點共面0ABCM1x2y0z111302展開行列式即得點 M 的坐標所滿足的方程AM、AB、AC 三向量共面ACABAM0432zyx0即目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結設1. 向量運算加減:數乘:點積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyy

11、xxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積:kjixayazaxbybzbba目錄 上頁 下頁 返回 結束 混合積:2. 向量關系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習1. 設計算并求夾角 的正弦與余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法證明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC目錄 上頁 下頁 返回 結束 證證: 由三角形面積公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因ABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACBBabcAC目錄 上頁 下頁 返回 結束 P22 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12第三節 作業作業目錄 上頁 下頁 返回 結束 22343cos322)2(17備用題備用題1. 已知向量的夾角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos