1、第第3章章 動量和動量守恒動量和動量守恒tF d dFrdMtdMdd(m )Ftv21tt12vv)(ddvmtF2121)(ddttvvvmtF)2(d1221vmvmtFtt21tttFId平均沖力的概念：平均沖力的概念：21d)(1_ttttftFF恒力21d)(ttttftF恒力F tt1t2tftpFddPtFdd 2121ddttPPPtFdddIF tp2121dttIF tpp合力的沖量合力的沖量動量的增量動量的增量作用于質點的合力的沖量等于質點動量的增量作用于質點的合力的沖量等于質點動量的增量 - 船行船行“八面風八面風”21ftppp 船對風ff 風對船船對風f與水的阻力

2、相平衡與水的阻力相平衡為船前進的推動力為船前進的推動力IIf 龍骨龍骨f阻f1p2pp 帆帆V1v2vf/ /f風對船 fm 船對風f風風2121dtxxxxtIFtpp2121dtyyyytIFtpp2121dttIFtppzzzzdddIF tp2121dttIF tpp0dtPRImgk tmgk vjik2PTbaIImmm ivvv22TPIm iIRm imgkvvv2mviTIPI計算沖量舉例計算沖量舉例ab gmTavbvfF1112ddPFft2221ddPFft1m1v2m2v3m3v4m4v1m2m12f21f1F2F12121221ddddPPFFfftt 2121PP

3、tFF dd12121221ddddPPFFffttiFijfipiijijiptfFdd ）（ iiiijijiptfFdd(）2112ffi j fj i fi j1212()ddFFtPP iijijf0jiijffddiiiiFtp iiiijijiptfFdd(）ddFtp合合外外2121dttFtpp合合外外質點系的動量定理：質點系的動量定理：作用于質點系的合外力的作用于質點系的合外力的沖量等于系統動量的增量。沖量等于系統動量的增量。ddFtp合合外外2121dttFtpp合合外外i j fj i fi j 例例 一柔軟鏈條長為一柔軟鏈條長為l,單位長度的質量為單位長度的質量為 .

4、鏈條放在桌上鏈條放在桌上,桌上有一小孔桌上有一小孔,鏈條一端由小孔稍伸下鏈條一端由小孔稍伸下,其余部分堆在小其余部分堆在小孔周圍孔周圍.由于某種擾動由于某種擾動,鏈條因自身重量開始落下鏈條因自身重量開始落下 .求鏈條求鏈條下落速度與落下距離之間的關系下落速度與落下距離之間的關系 . 設鏈與各處的摩擦均設鏈與各處的摩擦均略去不計略去不計,且認為鏈條軟得可以自由伸開且認為鏈條軟得可以自由伸開 . 解解: 以豎直懸掛的鏈條和以豎直懸掛的鏈條和桌面上的鏈條為一系統桌面上的鏈條為一系統,建建立如圖坐標立如圖坐標由質點系動量定理得由質點系動量定理得ptFddexm1m2OyyyggmF1ex則則則則tdd

5、vyyg 兩邊同乘以兩邊同乘以 則則 yydvvvyyyyyygyddddd2t vvvyyyyyyg002dd21 gy32v232131vygy m1m2Oyy)d(d vytyg)d(dvyp又又ptFddexiivmPi3-2 3-2 動量守恒定律動量守恒定律說明說明ddFtP合合外外2121dttFtpp合合外外iixm恒量viiym恒量viim恒量zv0ixF 0iyF 0izF tttdtvmmmdtvmmmudtl01221012210211012tmxv dtlmm 12112mxxllmm vv)(mMmuMmMmuMvvmMumvvvvvvuMmvvvuMMutmtat6

6、ddlim0ABuvA0()cos()m M vMvm v u0cosmuvvMm0cosmuvvvMm ,svt 0sinvmusMmg 0sinvtg0vvuoxy中國長征系列火箭中國長征系列火箭 3-3 3-3 火箭飛行原理火箭飛行原理-變質量問題變質量問題 粘附粘附 主體的質量增加（如滾雪球）主體的質量增加（如滾雪球） 拋射拋射 主體的質量減少（如火箭發射）主體的質量減少（如火箭發射） 還有另一類變質量問題是在高速（還有另一類變質量問題是在高速（v c）情況）情況下，這時即使沒有粘附和拋射，質量也可以改變下，這時即使沒有粘附和拋射，質量也可以改變 隨速度變化隨速度變化 m = = m(

7、v)，這是相對論情形，不在本節，這是相對論情形，不在本節討論之列。討論之列。變質量問題（低速，變質量問題（低速，v c c）有兩類）有兩類：下面僅以火箭飛行原理為例，討論變質量問題。下面僅以火箭飛行原理為例，討論變質量問題。一一. 單級火箭單級火箭研究對象研究對象:t 時刻火箭和尚存的燃料時刻火箭和尚存的燃料經過經過 dt 時間，火箭噴出質量為時間，火箭噴出質量為 dm 的氣體，的氣體，其噴出速度其噴出速度相對相對火箭為火箭為定值定值 u ,t +dt 時刻時刻:噴出氣體的質量等于火箭質量的減少量，噴出氣體的質量等于火箭質量的減少量，對地對地的速度的速度為為v(1)選地面作參考系選地面作參考系

8、d()(d )(d )vv+ vvmuMmMd ,Mm 剩余質量為剩余質量為dvv對地對地速度為速度為(2)dd0vMu MddvM略去二階小量略去二階小量稱為稱為噴氣速度噴氣速度動量守恒動量守恒dd mMd()(d)(d )+vvvvMuMMMddddddvvvvvvMMuMMMMM選正向選正向t 時刻時刻: 火箭火箭+燃料燃料=M或者或者dd vMuM設火箭點火時質量為設火箭點火時質量為 Mi，初速度為，初速度為 vi , 燃料燒完后質量為燃料燒完后質量為 Mf , 末速度為末速度為 vf ，對上式積分，則有對上式積分，則有ddffiivMvMMu,Mvlnifv -vifMuM 火箭火箭

9、增加的速度增加的速度0lnvMuMsm/5000uv1. 化學燃料最大化學燃料最大 u 值為值為實際上只是這個理論值的實際上只是這個理論值的50% . 這個這個 u 值比帶電粒子在電場作用下獲得的速度值比帶電粒子在電場作用下獲得的速度 3 108 m/s 小得多小得多 , 由此引起人們對離子火箭由此引起人們對離子火箭 , 光子火箭的遐想光子火箭的遐想. 可惜它們噴出的物質太少可惜它們噴出的物質太少, 從而推動力太小從而推動力太小 即所需加速過程太長即所需加速過程太長 .初速為初速為0時時提高提高 v 的途徑：的途徑：dd0vMu M2. 0ln,vMM0vMM大， 大， 1122lnlnlnn

10、nnuNuNuN .12v =v + v+ vlniifMuMfv -v123lnu( N N N )vdtdmuF箭對氣tmuFFdd 氣氣對對箭箭3-5 3-5 質心質心 質心運動定理質心運動定理與質量分布有關的一個代表點，它的與質量分布有關的一個代表點，它的位置在平均意義上代表質量分布的中心。位置在平均意義上代表質量分布的中心。一一. . 質心質心ccccccc 板上點板上點C的運動軌跡是拋物線的運動軌跡是拋物線 其余點的運動其余點的運動=隨點隨點C的的平動平動+繞點繞點C的的轉動轉動1r2rxzyocrm1mim2ciriiiCmmmrmrmrmr212211mrmmrmriiiiic

11、 niiniiicmxmx11質量離散分布的物體質量離散分布的物體質量連續分布的物體質量連續分布的物體mrmrcd1mxmxcd1 niiniiicmymy11 niiniiicmzmz111dcyy mm1dczz mm質心是以質量為權重的質心是以質量為權重的“平均位矢平均位矢”crmrmmrmriiiiicoabmmx12cxab ()2cmam abxmcx加權加權“平均位矢平均位矢”二二. .質心運動定理質心運動定理1r2rxzyoCrm1mim2cir 由由質心位矢質心位矢對時間求一階和二階導數可得對時間求一階和二階導數可得質心速度質心速度質心加速度質心加速度ddvviiccmrtm

12、22ddiicicmaratm質點系的動量：質點系的動量：iiipmviiimmmvcmviicm rrm將質點系總動量對時間求導，將質點系總動量對時間求導，ddddccPFmmatt合外vcFma合外即即說明：說明：作用在系統上的合外力等于系統的總質量與系作用在系統上的合外力等于系統的總質量與系統質心加速度的乘積統質心加速度的乘積-質心運動定理質心運動定理ddFtp合外cPmv質點系的質點系的質心質心仍按質點的運動規律仍按質點的運動規律作拋物運動作拋物運動. 請討論下面問題：請討論下面問題：炮彈爆炸炮彈爆炸拋出鎯頭拋出鎯頭COxCx2m22mm1x212211mmxmxmxC01xCxx22

13、iivmPi0F合外ddFtP合外CFm a合 外iixF0constcx.v質點系動量守恒和質心勻速運動等價！質點系動量守恒和質心勻速運動等價！光滑冰面上勻速運動的鈑手光滑冰面上勻速運動的鈑手0cca vmMdcc方法一：方法一： 質心法。質心法。系統：人與船系統：人與船水平方向：不受外力水平方向：不受外力所以所以質心始終靜止。質心始終靜止。 質量質量M=200千克、長千克、長 l =4米米 的木船的木船 浮在浮在 靜止的水靜止的水面上，一質量為面上，一質量為m=50千克千克 的人站在船尾。的人站在船尾。若若人從船尾人從船尾走到船頭，走到船頭，xx2x1x2x1yMmMxmxxc 21MmxMxmxc 212121xMxmMxmx MmMxmxxc 21MmxMxmxc 212121xMxmMxmx 1122xxmxxM dlmMd m.8042005050 lMmmd0MVmvmVvM 00TTmV d tvd tM dlMmd lMmmd vVVv【解【解】 ：地面參考系，對：地面參考系，對(m+M) 000cxcxiixvvF,0MmXMxmxcXxxMmxmX