1、第一章第一章 數理邏輯數理邏輯 Mathematics Logic1.61.8 謂詞邏輯Predicate Logic問題的提出：(命題邏輯的局限性)n例：蘇格拉底結論n前提n“一切的人總是要死的n“蘇格拉底是人n結論n“所以蘇格拉底是要死的n命題邏輯中原子命題不可再分PQRPQR不是有效推理不是有效推理n例n1：小張是大學生n2：小李是大學生nQ1 ：2大于3nQ2 ：6大于4n命題邏輯無法反映不同原子命題間的內在共性n處理問題的方法n分析原子命題，分別其主語和謂語n思索普通和個別，全稱和存在1.6 謂詞和量詞謂詞和量詞n1.6.1 謂詞謂詞n謂詞的概念和表示謂詞的概念和表示n在原子命題中，

2、用來刻劃一個個體的性質在原子命題中，用來刻劃一個個體的性質或個體之間關系的成分稱為謂詞，刻劃一或個體之間關系的成分稱為謂詞，刻劃一個個體性質的詞稱為一元謂詞；刻劃個個體性質的詞稱為一元謂詞；刻劃n個個個個體之間關系的詞稱為體之間關系的詞稱為n元謂詞元謂詞n常用大寫英文字母表示常用大寫英文字母表示n個體個體n可以獨立存在的事物可以獨立存在的事物n通常用小寫英文字母通常用小寫英文字母a、b、c、.表示個體表示個體常量常量n用小寫英文字母用小寫英文字母x、y、z.表示任何個體，表示任何個體，那么稱這些字母為個體變元那么稱這些字母為個體變元n例例 1n(a) 5 是質數是質數 n(b) 張明生于北京張

3、明生于北京n(c) 7=32nF(x)：x是質數是質數nG(x, y)： x生于生于y ，a：張明，：張明，b：北：北京京nH(x, y, z) ：x=yzF(5)G(a,b)H(7,3,2)謂詞 個體詞謂詞命名式(謂詞填式)變元的次序很重要變元的次序很重要n謂詞常元n一個字母代表一特定謂詞, 例如F代表“是質數, 那么稱此字母為謂詞常元n謂詞變元n假設字母代表恣意謂詞, 那么稱此字母為謂詞變元n論域n個體域n謂詞命名式中個體變元的取值范圍n空集不能作為論域命題函數n謂詞命名式不是命題n假設謂詞是常元n個體詞是常元n謂詞命名式才成為一個命題n謂詞函數n由一個謂詞和假設干個個體變元組成的命題方式

4、稱為簡單命題函數，表示為P(x1,x2,xn)。由一個或假設干個簡單命題函數以及邏輯結合詞組成的命題方式稱為復合命題函數nn=0時n命題變元n例n A(x)：x身體好n B(x)：x學習好n C(x)：x任務好n假設x身體不好，那么x的學習與任務都不會好復合命題函數nA(x)(B(x)C(x)1.6.2 量詞n例n “一切的正整數都是素數 n “有些正整數是素數n假設n只需兩個正整數a和bn個體域為a,bnP(x)：x是素數P(a) P(b)P(a) P(b)全稱量詞n記作n表示“每個、“任何一個、“一切、“一切的、“凡是、“恣意的等nx讀作“恣意x， “一切x， “對一切x n量詞后邊的個體

5、變元，指明對哪個個體變元量化，稱為量詞后的指點變元n例n一切人都是要死的nD(x)：x是要死的n個體域：一切人構成的集合nx D(x)存在量詞n記作n表示“有些、“一些、“某些、“至少一個等nx讀作“存在x，“對某些x或“至少有一xn指點變元n例n有些有理數是整數n(x)：x是整數n個體域：有理數集合nx(x)全總個體域全總域n含有量詞的命題的真值與論域有關n含有量詞的命題的表達式的方式與論域有關n全總個體域n宇宙間一切的個體聚集在一同所構成的集合n商定n除特殊闡明外，均運用全總個體域n對個體變化的真正取值范圍，用特性謂詞加以限制例n一切的人都是要死的n有的人活百歲以上nD(x)：x是要死的G

6、(x) ：x活百歲以上n個體域E為全體人組成的集合nx D(x)nx G(x)n全總個體域n引入特性謂詞nM(x)：x是人nx(M(x) D(x)nx (M(x)G(x)特性謂詞添加規那么n對全稱量詞, 特性謂詞作為條件式之前件參與n對存在量詞, 特性謂詞作為合取項而參與n例n(a) 沒有不犯錯誤的人nF(x)：x犯錯誤 M(x)：x是人n x (M(x)F(x)n(b) 凡是實數, 不是大于零就是等于零或小于零nR(x)：x是實數L(x, y)：xynE (x, y) ： x = yS(x, y)：x ynx(R(x) L(x, 0) E (x, 0) S (x, 0) 1.6.3 量化斷言

7、和命題的關系量化斷言和命題的關系n假設論域有限, 無妨設論域D=1, 2, 3nxP(x)？nxP(x) P(1) P(2) P(3)nxP(x)？nxP(x) P(1) P(2) P(3)n假設論域無限可數，概念可以推行1.6.4 謂詞公式謂詞公式n個體函數函詞n例n小王比他的父親高n T(x，y)：x比y高 a：小王nb：小王的父親nT(a，b)n無法顯示個體之間的依賴關系n定義函數nf(x)=x的父親nT(a， f(a)n函詞與謂詞的區別n函詞中的個體變元用個體帶入后的結果依然是個體nf(a)=小王的父親n謂詞中的個體變元用確定的個體帶入后就變成了命題nM(x)：x是人nM(a)：小王是

8、人n函詞是論域到論域的映射nf : DDn謂詞是從論域到T,F的映射nM : D T,F項和原子公式n項(item)n表示個體n定義n個體常量是項n個體變元是項n假設f是一個n(n1)元函詞，其t1, t2, tn都是項，那么f(t1, t2, tn)是項n例na, b, cnx, y, znf (x), g (a, f (y) n原子公式(atom)n定義n假設P是一個n元謂詞，且t1,t2,tn是項，那么P(t1,t2,tn)是原子n命題詞也是原子(n=0)n例nP, Q (x), A (x, f (x), B (x, y, a)謂詞演算的合式公式(Wff)n也叫謂詞公式，簡稱公式n定義n

9、(1)原子公式是合式公式n(2)假設A、B是合式公式，那么A、(AB)、(AB)、(AB)、(AB)都是合式公式n(3)假設A是合式公式，x是中的任何個體變元，那么x和x也是合式公式n(4)有限次地運用規那么(1)至(3)求得的公式是合式公式n例nP，(PQ)，(Q(x)P)，x(A(x)B(x)，xC(x)命題符號化n謂詞邏輯中比較復雜n命題的符號表達式與論域有關系n例：每個自然數都是整數n論域D=NnI(x)：x是整數nx I (x)n論域為全總個體域n特性謂詞N(x)：x是自然數nx(N(x)I(x)例：將以下命題符號化(1)一切大學生都喜歡一些歌星。 S(x)：x是大學生，X(x)：x

10、是歌星，L(x,y)：x喜歡y x(S(x)y(X(y)L(x,y) (2)發光的不都是金子。P(x)：x發光，G(x)：x是金子x(P(x)G(x) 或者x(P(x)G(x)(3)不是一切的自然數都是偶數。 N(x)：x是自然數，E(x)：x是偶數x(N(x)E(x)或者x(N(x)E(x)(4)某些人對食物過敏F(x, y)：x對y過敏，M(x)：x是人， G(x)：x是食物 xy(M(x)G(y)F(x,y)(5)每個人都有些缺陷 H(x, y)：x有y，M(x)：x是人， S(x)：x是缺陷 x(M(x) y(S(y)H(x,y)(6)雖然有人聰明, 但未必人人聰明 M(x)：x是人，

11、 S(x)：x聰明 x(M(x)S(x)x(M(x)S(x)練習：將以下命題符號化n一切教練員都是運發動；(J(x)，L(x)n某些運發動是大學生；(S(x)n某些教練員是年老的，但是強壯的；(O(x)，V(x)n金教練雖不年老，但不強壯；(j)n不是一切運發動都是教練員；n某些大學生運發動是國家選手；(C(x)n沒有一個國家選手不是強壯的；n一切老的國家選手都是運發動；n沒有一位女同志既是國家選手又是家庭婦女；(W(x)，H(x)n有些女同志既是教練員又是國家選手；n一切運發動都欽佩某些教練員；(A(x, y)n有些大學生不欽佩運發動。練習參考答案nx(J(x)L(x)nx(L(x)S(x)

12、nx(J(x)O(x)V(x) n J(j)O(j)V(j) nx(L(x)J(x) 或者 x(L(x)J(x) nx(S(x)L(x)C(x) nx(C(x)V(x) 或者 x(C(x)V(x) nx(C(x)O(x)L(x) nx(W(x)C(x)H(x) nx(W(x)J(x)C(x) nx(L(x)y(J(y)A(x,y)nx(S(x)y(L(y)A(x,y)幾個特別的例子(1) 假設明天下雨，那么某些人將被淋濕 不是個體不是個體定義命題詞P：明天下雨， M(x)：x是人，W(x)：x將被淋濕P x(M(x) W(x)(2) 有且僅有一個偶素數P(x)：x是偶素數 x(P(x) y(P

13、(y)x=y) 或者 x(P(x)y(xyP(y)(3) 頂多只需一臺機器是好的 P(x)：x是好機器用符號 !xP(x) 表示有且僅有一個個體滿足Pxy(P(x)P(y)x=y)用符號 !xP(x) 表示頂多有一個個體滿足P (4) 假設人都愛美，那么美麗衣服有銷路 M(x)：x是人，L(x)：x愛美， C(x)：x是衣服， B(x)：x是美麗的，S(x)：x有銷路x(M(x)L(x)x(C(x)B(x) S(x)問題一：前后兩個x能否指同一個個體？答：前后兩個x不是同一個個體問題二：假設寫成如下方式能否正確？x(M(x)L(x) y(C(y)B(y) S(y)答：是正確的，顯然x(M(x)

14、L(x) x(C(x)B(x) S(x) x(M(x)L(x) y(C(y)B(y) S(y)1.6.5 自在變元與約束變元自在變元與約束變元n量詞的作用域(轄域)n定義：在謂詞公式中，量詞的作用范圍稱之為量詞的作用域，也叫量詞的轄域。n例nxA(x)nx的轄域為A(x)nx(P(x)Q(x)yR(x,y)nx的轄域是(P(x)Q(x)yR(x,y)ny的轄域為R(x,y)nxyz(A(x,y)B(x,y,z)C(t) x x的轄域的轄域 z z的轄域的轄域 y y的轄域的轄域自在變元自在變元普通地，假設量詞后邊只是一個原子謂詞公式時，該量詞的轄域就是此原子謂詞公式。假設量詞后邊是括號，那么此

15、括號所表示的區域就是該量詞的轄域。假設多個量詞緊挨著出現，那么后邊的量詞及其轄域就是前邊量詞的轄域。n約束變元n假設個體變元x在x或者x的轄域內，那么稱x在此轄域內約束出現，并稱x在此轄域內是約束變元n自在變元n假設個體變元x不在任何量詞的轄域內，那么稱x是自在出現，并稱x是自在變元n例n x(F(x,y)yP(y)Q(z)n F(x,y)中的x和P(y)中的y是約束變元n而F(x,y)中的y和Q(z)中的z是自在變元例：指出以下各公式中的量詞轄域及自在變元和約束變元nxy(P(x)Q(y)zR(z)nx的轄域y(P(x)Q(y)ny的轄域P(x)Q(y)nz的轄域R(z)nx(P(x,y)y

16、Q(x,y,z)S(x,z)nx的轄域P(x,y)yQ(x,y,z)n其中x是約束變元ny是自在變元ny的轄域Q(x,y,z)n其中y是約束變元nx, z是自在變元nS(x，z)中x，z是自在變元對約束變元和自在變元的幾點闡明n約束變元用什么符號表示無關緊要nxA(x)與yA(y)是一樣的 n一個謂詞公式假設無自在變元，它就表示一個命題n例：A(x)表示x是個大學生nxA(x)或者xA(x)是命題n一個n元謂詞P(x1,x2,xn)，假設在前邊添加k個量詞，使其中的 k個個體變元變成約束變元，那么變成n-k元謂詞函數nP(x,y,z)表示x+yzn假設論域是整數集，xyP(x,y,z)表示？n

17、“恣意給定的整數x，都可以找到整數y，使得x+yz 。n令z=1，那么xyP(x,y,1)表示？n“恣意給定的整數x，都可以找到整數y，使得x+y1,。nxyP(x,y,1)表示？例n不同個體以一樣的符號出現容易產生混淆n例nx(F(x,y)yP(y)Q(z)n約束變元的換名規那么：n對約束變元可以更改稱號，改名的范圍是：量詞后的指點變元以及該量詞的轄域內此個體變元出現的各處同時換名。n改名后用的個體變元稱號，不能與該量詞的轄域內的其它變元稱號一樣。約束變元換名nx(P(x)Q(x,y)(R(x)A(x) nx以兩種方式出現n對x換名n z(P(z)Q(z,y)(R(x)A(x)nx(P(x,

18、y)yQ(x,y,z)S(x,y) n對x和y換名nu(P(u,v)vQ(u,v,z)S(x,y)n錯誤nu(P(u,y)zQ(u,z,z)S(x,y)n錯誤nu(P(u,y)vQ(u,v,z)S(x,y)n正確例自在變元換名n自在變元也可以換名n此換名叫代入n自在變元的代入規那么：n對謂詞公式中的自在變元可以作代入。代入時需求對公式中出現該變元的每一處，同時作代入n代入后的變元稱號要與公式中的其它變元稱號不同例nx(P(x)Q(x,y)(R(x)A(x)n用z替代自在變元xnx(P(x)Q(x,y)(R(z)A(z)nx(P(x,y)yQ(x,y,z)S(x,z)n用w和t分別代自在變元x和

19、ynx(P(x,t)yQ(x,y,z)S(w,z)1.7 謂詞演算的永真公式謂詞演算的永真公式n謂詞公式的解釋n指定一個論域Dn對A中出現的每一個n元函數，指定一個D上的 n元個體函數常量n對A中出現的每一個n元謂詞，指定一個D上的n元謂詞常量n對A中出現的每一個個體常量及自在變元，指定D中的一個個體常量n對A中出現的每一個命題變元P，指派一個真值T或F n由此得到一個命題AI，稱AI的真值為適宜公式A在解釋I 下的真值例n取解釋I如下：nD=1,2,n定義D上的二元謂詞P真值為nP(1,1): T； P(1,2): F； P(2,1):F； P(2,2): Tn 那么xyP(x,y)和yxP

20、(x,y) 在解釋I下的真值分別為?xyP(x,y)TTFFTTT212211xyP(x,y)yP(x,y)P(x,y)yxyxP(x,y)TFFFFFT212211yx P(x,y)xP(x,y)P(x,y)xy例n取解釋I如下：nD=1,2,n令 a:1, f(1)=2, f(2)=1n定義D上的謂詞P和Q為nP(1): F； P(2): T； Q(1,1):T； Q(1,2):T； Q(2,1):F； Q(2,2): Fn求謂詞公式x(P(x)Q(f(x),a)在解釋I下的真值P(1)Q(f(1),1)P(2)Q(f(2),1)TTx(P(x)Q(f(x),a)在解釋I下的真值為T謂詞公

21、式的永真式n定義定義 n給定謂詞公式給定謂詞公式A，E是其論域，假設在任何是其論域，假設在任何解釋下公式解釋下公式A的真值都為真，那么稱公式的真值都為真，那么稱公式A在論域在論域E上是永真式。假設不論對什么論域上是永真式。假設不論對什么論域E，都使得公式，都使得公式A為永真式，那么稱為永真式，那么稱A為永為永真式。真式。n例：例：I(x)：x是整數，論域是整數，論域E為自然數集合為自然數集合nI(x)在在E上是永真式上是永真式nI(x) I(x)是與論域無關的永真式是與論域無關的永真式n謂詞公式的永假式謂詞公式的永假式n謂詞公式的可滿足式謂詞公式的可滿足式例：試闡明以下公式的類型n xA(x)

22、A(y)n xA(x)A(y)n A(x) (A(x) ：x+6=5)n x( A(x) A(x)nx (A(x)B(x) xA(x)xB(x) nx (A(x)B(x) xA(x) xB(x)永真式 可滿足式 可滿足式永假式5. x (A(x)B(x) xA(x)xB(x) 解 取解釋I如下:D=1,2 A(1)B(1)A(1) A(2) B(1) B(2) T F F TT A(2)B(2)T x (A(x)B(x)T x A(x)F x B(x)F那么在 I 下 x A(x) x B(x)F所以在 I 下x (A(x)B(x) xA(x)xB(x)的真值為假，該式不是永真式6. x (A

23、(x)B(x) xA(x)xB(x)解 取解釋I如下:D=1,2A(1) A(2) B(1) B(2) F T T F或A(1) A(2) B(1) B(2) T F F T x A(x) x B(x)T x (A(x)B(x)F所以在 I 下x (A(x)B(x) xA(x)xB(x)的真值為假，該式不是永真式謂詞公式的等價n定義n兩個恣意謂詞公式A和B, E是它們公有的論域, 假設在任何解釋下，A與B作的真值都一樣(或者說AB是永真式)，那么稱公式A與B在論域E上是等價的。假設不論對什么論域E，都使得公式A與B等價，那么稱A與B等價，記作AB。n例：I(x)：x是整數，N(x)：x是自然數

24、，論域E是自然數集合nI(x)與N(x)在E上是等價的nN(x)I(x) N(x)I(x)謂詞公式的蘊含n定義n兩個恣意謂詞公式A和B，E是它們的論域，假設在任何解釋下，都使得公式AB為永真式，那么稱在論域E上公式A永真蘊含B。假設不論對什么論域E， AB是永真式，那么稱A永真蘊含B，記作AB。n例：G(x)：x大于5，N(x)：表示x是自然數，論域E=-1,-2,6,7,8,9,.n在E上公式G(x)N(x)是永真式n(G(x)N(x)N(x)是與論域無關的永真式，所以(G(x)N(x)N(x)1.7.2 謂詞演算的根本永真公式謂詞演算的根本永真公式n命題演算的永真公式也是謂詞演算的永真公式

25、n含有量詞的謂詞演算的根本永真公式n() xAAn xAAn() xP(x)P(y) 或 xP(x)P(x)n P(y)xP(x) 或 P(x)xP(x)n() 量詞的否認n xP(x) xP(x)n xP(x) xP(x) n量詞轉換公式例 xyz(x+z=y) xyz(x+z=y) xyz(x+z=y) xy z(x+z=y) xy z(x+zy) () 量詞轄域的擴張和收縮xA(x)Px(A(x)P)xA(x)Px(A(x)P)xA(x)Px(A(x)P)xA(x)Px(x)P)PxA(x)x(PA(x)PxA(x)x(PA(x)xA(x)Px(A(x)P)xA(x)Px(A(x)P)P

26、是不含個體變元x的謂詞公式 證明式1：(邏輯推證)一方面，當P為F時， xA(x)Px(A(x)P)xA(x)另一方面，當P為T時， xA(x)Px(A(x)P)T(v) 量詞的分配方式x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)證明式1： 個體域中每一個體x，使得 A(x)B(x)為真, 等價于對一切x, A(x)是真并且對一切x, B(x)是真證明式2：由1得x( A(x) B(x)xA(x)xB(x) 即 x(A(x)B(x) (xA(x)xB(x) 故 x(A(x)B(x

27、) xA(x)xB(x)n留意：公式留意：公式3和和4不是等價公式，而是永真不是等價公式，而是永真蘊含式蘊含式n例：例：n給定如下解釋給定如下解釋nA(x)： x是奇數是奇數B(x)：x是偶數是偶數n那么那么 xA(x)xB(x)為真為真n x(A(x)B(x) 為假為假n所以所以xA(x)xB(x)不蘊含不蘊含x(A(x)B(x)n或或nD=1,2nA(1): T A(2): F B(1): F B(2): T證明式3 x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)證明：假設前件x(A(x)B(x)為真， 那么論域中至少有一個個體a，使得 A(a)B(a)為真， 即A(a)和B(a)都為真，所以有

28、xA(x)以及xB(x)為真，得xA(x)xB(x)為真 所以 x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)證明公式4 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)證明：由3得 x(A(x)B(x)xA(x)xB(x) x(A(x)B(x)xA(x)xB(x) x(A(x)B(x)(xA(x)xB(x) 即xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)公式4得證。特別要留意蘊含式的方向，不要搞錯(vi) 量詞對及的處置x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)證明1. xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) x(A(x)B(x) x(A(x)B

29、(x) 證明2. xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) x(A(x)B(x) x(A(x)B(x)(vii) 關于多個量詞的永真式xyA(x,y)yxA(x,y)xyA(x,y)yxA(x,y)yxA(x,y)xyA(x,y)xyA(x,y)xyA(x,y)yxA(x,y)xyA(x,y)xyA(x,y)yxA(x,y)yxA(x,y)xyA(x,y)xyA(x,y)yxA(x,y)1.7.3 幾條規那么(命題演算的推行)n代入規那么n設A是命題邏輯中的永真式，那么用謂詞邏輯的適宜公式替代A中的某些命題變元得到的代入實例也是永真式；假設A是永假式，那么上述代入實例也

30、是永假式n例nA(x)A(x)B(x)nPPQnx(A(x)B(x)x(A(x)B(x)nPQPQn(xA(x)xB(x)xA(x)xB(x)n摩根律n交換規那么n設A(x1, x2, xn) B(x1, x2, , xn), 而A是公式C中的子公式, 將B交換C中之A不用每一處得D, 那么CD。n對偶原理n在公式A B或A B中, A , B僅含運算符 , 和, 將上式中的全稱量詞與存在量詞互換, 與互換, T和F互換, 那么 A* B *, B* A*1.8 謂詞演算的推理規那么n謂詞演算中推理的方式構造n推理的方式構造仍為nH1H2Hn C n假設H1H2Hn C是永真式，那么稱n前提H

31、1，H2，Hn邏輯的推出結論C，n其中H1，H2，Hn和C都是謂詞公式n謂詞演算中的推理規那么n命題演算中的推理規那么，可在謂詞推理實際中運用nP規那么、T規那么、CP規那么n與量詞有關的規那么全稱指定規那么 US (Universal Specialization)n又稱全稱例如規那么n作用：去掉全稱量詞n兩種方式： nxA(x)A(y)nxA(x)A(c)n運用此規那么時要留意： n1y為恣意不在A(x)中約束出現的個體變元； n2c為恣意的個體常元n例：設A(x,y):xy 調查xyA(x,y)n可得到結論yA(z,y)n但不能得出結論yA(y,y)存在指定規那么ES(Existenti

32、al Specification)n又稱存在例如規那么n作用：去掉存在量詞n方式：xA(x)A(c)n運用此規那么時要留意：n 1c是使A為真的特定個體常元；n 2c不在A(x)中出現n 3假設A(x)中有其他自在變元出現，且x是隨其他自在變元變化的，那么不能運用此規那么n例：設A(x,y)：xy，調查如下推理過程能否正確nxyA(x,y) n yA(z,y) n A(z,c) 存在推行規那么EG(Existential Generalization)n作用：添加存在量詞n方式： A(c)xA(x)n運用此規那么時留意：n(1) c是個體域中某個確定的個體n(2) 替代c的x不能已在A(c)中

33、出現n例：設A(x,y)：xy，對xyA(x,y)調查如下推理過程nA(x,c)nxA(x,x)n錯誤全稱推行規那么UG(Universal Generalization)n作用：添加全稱量詞n方式： A(y)xA(x)n運用此規那么時留意：n(1) y在A(y)中自在出現，且y取任何值時A均為真n(2) x不在A(y)中約束出現n例：設A(x,y)：xy，調查如下推理過程n xA(x,y)nx xA(x,x)n錯誤量詞四規那么的運用限制條件n非常重要nES, US, EG, UG四條規那么都只需在量詞的作用域是整個公式的情況下才干運用n例：調查如下推理過程nxP(x)yQ(y) nxP(x)

34、Q(c) ESn或 P(z)yQ(y) US n錯誤！1.8.3 推理舉例推理舉例1.證明蘇格拉底的三段論。令 M(x):x是人。D(x):x是要死的。a:蘇格拉底。符號化為： x(M(x)D(x),M(a) D(a) x(M(x)D(x)P M(a)D(a) US M(a) P D(a) T I 2.一切自然數都是整數。有些數是自然數。因此有些數是整數。A(x)：x是自然數，B(x)：x是整數。x(A(x)B(x)， xA(x) xB(x) x(A(x)B(x) P xA(x) P A(c)B(c) US A(c) ES B(c) T I xB(x) EG 普通先做存普通先做存在指定再做在指

35、定再做全稱指定全稱指定 x(A(x)B(x) P xA(x) P A(c) ES A(c)B(c) US B(c) T I xB(x) EG3. 不認識錯誤的人，也不能矯正錯誤。有些老實的人矯正了錯誤。所以有些老實的人是認識了錯誤的人。設A(x):x是認識錯誤的人。 B(x):x矯正了錯誤。C(x):x是老實的人。符號化為：x(A(x)B(x)，x(C(x)B(x), x(C(x)A(x)x(A(x)B(x),x(C(x)B(x)x(C(x)A(x) x(C(x)B(x) P C(c)B(c) ES C(c) T I B(c) T I x(A(x)B(x)P A(c)B(c) US A(c)

36、T I A(c) T E C(c)A(c) T I x(C(x)A(x) EG 察看以下推理過程，指出問題1： (1) xP(x)xQ(x) P (2) xP(x)T(1)I (3) xQ(x)T(1)I (4) P(c)ES(2) (5) Q(c)ES(3) (6) P(c)Q(c) T(4)(5)I (7) x(P(x)Q(x)EG(6) 滿足P的特定個體c能滿足Q？現實上xP(x)xQ(x) x(P(x)Q(x)不成立 察看以下推理過程，指出問題2：設D(x,y)表示“x可被y 整除 ,個體域 為 5,7 ,10 ,11 。由于D(5，5)和D(10,5)為真，所以xD(x,5)為真.由

37、于D(7，5)和D(11,5)為假，所以xD(x,5)為假.有以下推理過程(1) xD(x,5) P (2) D(z,5) T(1);ES (3) xD(x,5) T(2);UG 因此，xD(x,5)xD(x,5)4. 一些病人喜歡一切醫生。任何病人都不喜歡庸醫。所以沒有醫生是庸醫。設: P(x):x是病人, D(x):x是醫生, Q(x):x是庸醫, L(x,y): x喜歡y.符號化為： x(P(x)y(D(y)L(x,y)， x(P(x)y(Q(y)L(x,y) y(D(y)Q(y) x(P(x)x(P(x) y(D(y)L(x,y)y(D(y)L(x,y)， x(P(x)x(P(x) y

38、(Q(y)y(Q(y) L(x,y) L(x,y) y(D(y)Q(y)y(D(y)Q(y) x(P(x)x(P(x) y(D(y)L(x,y) P y(D(y)L(x,y) P P(c) P(c) y(D(y)L(c,y) ES y(D(y)L(c,y) ES P(c) T P(c) T I I y(D(y)L(c,y) T y(D(y)L(c,y) T I I x(P(x)x(P(x) y(Q(y)y(Q(y) L(x,y) PL(x,y) P P(c) P(c) y(Q(y)y(Q(y) L(c,y) US L(c,y) US y(Q(y)y(Q(y) L(c,y) T L(c,y) T

39、 I I D(z)L(c,z) US D(z)L(c,z) US Q(z) Q(z) L(c,z) US L(c,z) US L(c,z) L(c,z) Q(z) T Q(z) T E E D(z) D(z) Q(z) T Q(z) T I I D(z)D(z) Q(z) T Q(z) T E E (D(z)Q(z) T (D(z)Q(z) T E E y y (D(y)Q(y) UG (D(y)Q(y) UG y(D(y)Q(y) T y(D(y)Q(y) T E E練習練習x(A(x)B(x),x(B(x)C(x),xC(x)xA(x)(1) x(A(x)B(x) P(2) A(c)B(c) ES (1) (3) x(B(x)C(x) P(4) B(c)C(c) US (3)(5) xC(x) P(6) C(c) US (5) (7) B(c)