1、第二章第二章 概率分布概率分布引引 言言l由于存在個體差別，即使從同一總體中抽取的由于存在個體差別，即使從同一總體中抽取的兩份樣本之間也會有所不同，因此需求對總體兩份樣本之間也會有所不同，因此需求對總體特征做出描畫。特征做出描畫。l隨機變量的分布常見的有三種類型：隨機變量的分布常見的有三種類型：正態分布正態分布normal distribution二項分布二項分布binominal distributionPoisson 分布分布 Poisson distribution離散型變量離散型變量延續型變量延續型變量了解正態分布的密度函數二項分布的運用 Poisson分布的運用掌握正態分布曲線的特征

2、及運用二項分布的概念與特征Poisson分布的概念與特征【教學目的】【教學目的】p概念概念p頻率密度圖的繪制頻率密度圖的繪制p例：隨機調查某醫院例：隨機調查某醫院1402例待分娩孕婦，測得她們的體例待分娩孕婦，測得她們的體重。體重在各組段的頻數分布見表重。體重在各組段的頻數分布見表1第第2列，并求得體重列，并求得體重落在各組段的頻率表落在各組段的頻率表1的第的第3列。現以體重丈量值為列。現以體重丈量值為橫軸，以頻率與組距的比值為縱軸作出直方圖。由于該橫軸，以頻率與組距的比值為縱軸作出直方圖。由于該直方圖的縱軸表示在每個組段內單位長所占有的頻率，直方圖的縱軸表示在每個組段內單位長所占有的頻率，相

3、當于頻率密度，因此我們將此圖稱為頻率密度圖見相當于頻率密度，因此我們將此圖稱為頻率密度圖見圖圖1。 一、正態分布表表1 某醫院某醫院1402例分娩孕婦體重頻數分布例分娩孕婦體重頻數分布體重組段體重組段 頻數頻數頻率頻率(頻數頻數/總頻數總頻數)累積頻率累積頻率頻率密度頻率密度(頻率頻率/組距組距)48-60.00430.00430.0011 52-540.03850.04280.009656-1620.11550.15830.028960-2930.20900.36730.052264-3590.25610.62340.064068-2980.21260.83590.053172-1400.0

4、9990.9358 0.025076-700.04990.9857 0.012580-170.01210.9979 0.003084-30.00211.0000 0.0005合計合計14021.00000.000.020.040.060.0848-56-64-72-80-體重（kg）體重頻率密度 圖圖1 體重頻率密度圖體重頻率密度圖 假設將各直條頂端的中點依次銜接起來假設將各直條頂端的中點依次銜接起來,得到一條折線。當樣本量得到一條折線。當樣本量n越來越大時，組段越來越大時，組段越分越細，此時直方漸進直條，這條折線就越越分越細，此時直方漸進直條，這條折線就越來越接近于一條光滑的曲線見圖來越接近

5、于一條光滑的曲線見圖1、2，我，我們把這條呈中間高，兩邊低，左右根本對稱的們把這條呈中間高，兩邊低，左右根本對稱的“鐘型曲線稱為正態分布曲線，近似于數學鐘型曲線稱為正態分布曲線，近似于數學上的正態分布高斯分布上的正態分布高斯分布; Gauss。0.000.020.040.060.0848-56-64-72-80-體重（kg）體重頻率密度 圖圖1 體重頻率密度圖體重頻率密度圖 圖圖2 概率密度曲線表示圖概率密度曲線表示圖 正態分布的密度函數正態分布的密度函數 XeXfX,21)(222/)( 式中，式中，m為總體均數，為總體均數，s為總體規范差，為總體規范差，p為圓周為圓周率，率，e為自然對數的

6、底，僅為自然對數的底，僅x為變量。為變量。 當當x確定后，確定后， f(x)為為X相應的縱坐標高度，那么相應的縱坐標高度，那么X服從參數為服從參數為和和2的正態分布的正態分布(normal distribution)，記作記作XN( m, s2)。 普通地，假設延續型隨機變量，設其概率密度普通地，假設延續型隨機變量，設其概率密度函數為函數為 ，那么，那么X取值落在區間取值落在區間 內的內的累積概率為概率密度曲線下位于累積概率為概率密度曲線下位于 的圖形的圖形面積，等于其概率密度函數面積，等于其概率密度函數 在在 到到x上的積上的積分，記作分，記作 。 )(xF)(xf），（x ），（x )(x

7、f 稱稱 為正態分布為正態分布 的概率密度函的概率密度函數。其值表示變量落在區間數。其值表示變量落在區間 的概率，的概率，對應于從對應于從-到到x概率密度曲線下的陰影的面概率密度曲線下的陰影的面積常稱為左側尾部面積，見圖積常稱為左側尾部面積，見圖3。 xttxXPxFde21)()(222)( )(xF),(2 N），（x 圖圖3 正態分布的概率密度函數正態分布的概率密度函數 于是，利用概率密度函數于是，利用概率密度函數 可以計算正態可以計算正態分布變量取值在恣意區間分布變量取值在恣意區間a,b的概率為的概率為)(xFP(aX5，且，且n(1-pp)5時，二項分布趨于正態分布。時，二項分布趨于

8、正態分布。2(1)n圖7 二項分布的概率分布表示圖 4. 二項分布的運用二項分布的運用4.1 運用條件運用條件各察看單位只具有相互對立的兩種結果；各察看單位只具有相互對立的兩種結果；知發生某一結果的概率為知發生某一結果的概率為p，其對立結果的概率那，其對立結果的概率那么為么為1-p； n個察看單位的察看結果相互獨立。個察看單位的察看結果相互獨立。4.2 運用運用概率計算；概率計算；例：據報道，有例：據報道，有10%的人對某藥有腸道反響。為調的人對某藥有腸道反響。為調查此藥的質量，現隨機選查此藥的質量，現隨機選5人服用此藥，試求：人服用此藥，試求： (1)其中其中k個人個人(k=0,1,2,3,

9、4,5)有反響的概率；有反響的概率；(2)不不多于多于2人有反響的概率；人有反響的概率；(3)有人有反響的概率。有人有反響的概率。)!xn( ! x!nC,)1 ()(xn 其其中中，XnXXnCXP X=k012345P(X=K) 0.59049 0.32805 0.07290 0.00810 0.00045 0.00001例：設在人群中感染某種疾病的概率為例：設在人群中感染某種疾病的概率為20%，現有，現有兩種疫苗，用疫苗兩種疫苗，用疫苗A注射了注射了15人后無一感染，用人后無一感染，用疫苗疫苗B注射注射15人后有人后有1人感染，設人群沒有相互傳人感染，設人群沒有相互傳染疾病的能夠，問：應

10、該如何評價這兩種疫苗？染疾病的能夠，問：應該如何評價這兩種疫苗？解：假設疫苗解：假設疫苗A、B完全無效，那么注射后感染的概完全無效，那么注射后感染的概率仍為率仍為20%，那么，那么15人中染病人數人中染病人數XB(15，0.20)。X=0的概率為的概率為0352. 080. 020. 0)0(150015 CXP1671. 08 . 02 . 080. 020. 0) 1(141115150015 CCXPX1的概率為的概率為 Poisson分布是一個重要的離散型概率分布。普分布是一個重要的離散型概率分布。普通地，通地，Poisson分布運用于察看例數分布運用于察看例數n很大、而很大、而p發生

11、的概率很小的情況。如，交通事故發生數，發生的概率很小的情況。如，交通事故發生數，某些稀有疾病發生數，單位容積中的細菌計數、某些稀有疾病發生數，單位容積中的細菌計數、細胞計數，放射性物質在單位時間內放射的粒子細胞計數，放射性物質在單位時間內放射的粒子數，單位空間的粉塵個數等等。此時，隨機變量數，單位空間的粉塵個數等等。此時，隨機變量X發生數等一切能夠的取值以及相應的概率發生數等一切能夠的取值以及相應的概率分布即為分布即為Poisson分布。分布。 三、三、Poisson分布分布歷史上，歷史上， Poisson分布是作為二項分布的分布是作為二項分布的近似，于近似，于1837年由法國數學家年由法國數

12、學家Poisson引入引入 。 近年來，近年來， Poisson Poisson分布日益顯示其重要分布日益顯示其重要性性, ,成為概率論中最重要的幾個分布之一。成為概率論中最重要的幾個分布之一。 在實踐生活中，許多隨機景象服從或近在實踐生活中，許多隨機景象服從或近似服從泊松分布。似服從泊松分布。 在生物學、醫學、工業統計、保險科學等問在生物學、醫學、工業統計、保險科學等問題中題中 , 泊松分布是常見的。如地震、火山迸發、特泊松分布是常見的。如地震、火山迸發、特大洪水、交通事故次數等大洪水、交通事故次數等, 都服從泊松分布。都服從泊松分布。地地震震火火山山迸迸發發特特大大洪洪水水交交通通事事故故

13、次次數數泊松分布的圖形泊松分布的圖形圖圖8 Poisson分布的表示圖分布的表示圖1. Poisson分布的概率函數：分布的概率函數：此處此處m0，是某一常數，是某一常數，e是自然對數的底數，稱是自然對數的底數，稱X服從參數為服從參數為m的的Poisson分布，記為分布，記為XP(m) ，210,!)(kekkXPk knkknnnCkXP )1 ()( ekkXPk!)(可見，可見，Poisson分布可作為二項分布的極限而得到。分布可作為二項分布的極限而得到。換言之，假設換言之，假設XB(n,p)，當，當p很小，而很小，而n很大時，可很大時，可以以為以以為X近似服從近似服從m=np的的Poi

14、sson分布分布P(m)。p Poisson分布屬于離散型分布，l是Poisson分布的總體參數，也是獨一的參數。p方差s2與均數l相等，即m=s2。這是Poisson分布的一個非常重要而且非常獨特的性質，經常用于判別某隨機事件能否服從Poisson分布。p設 且 ，并且X1與X2相互獨立，那么 p 服從總體均數為 的Poisson分布。p當20時，poisson分布近似正態分布 2. Poisson分布的特性分布的特性11()XP22()XP12YXX123. 運用運用運用條件：運用條件：由于由于Poisson分布可以看作二項分布的極限分布，分布可以看作二項分布的極限分布，二項分布的運用條件

15、也是二項分布的運用條件也是Poisson分布的運用條件。分布的運用條件。此外，此外，Poisson分布還要求實驗次數分布還要求實驗次數n很大，而所很大，而所關懷的事件發生的概率關懷的事件發生的概率p很小。很小。概率計算概率計算例例: 為監測飲用水的污染情況，現檢驗某社區每毫為監測飲用水的污染情況，現檢驗某社區每毫升飲用水中細菌數，共得升飲用水中細菌數，共得400個，記錄如下表：個，記錄如下表：表表5 5 某社區每毫升飲用水中細菌數某社區每毫升飲用水中細菌數1ml水中細菌水中細菌數數0123合計合計次數次數f243120316400試分析飲用水中細菌數的分布能否服從試分析飲用水中細菌數的分布能否

16、服從Poisson分布。假設服從，計算每毫升水中細菌數的概分布。假設服從，計算每毫升水中細菌數的概率及實際次數，并將次數分布與率及實際次數，并將次數分布與Poisson分布做分布做直觀比較直觀比較得：經計算得每毫升水中平均細菌數 =0.5，方差S2=0.496。兩者接近，近似服從Poisson分布。X2 , 1 , 0,!5 . 0)(5 . 0 kekkXPk細菌數細菌數 實踐次數實踐次數頻率頻率概率概率實際次數實際次數0243 0.6075 0.6065242.601120 0.3000 0.3033121.32231 0.0775 0.075830.3236 0.0150 0.01445

17、.76合計合計400 1.0000 1.0000400.00 例如某均勻的溶液中，每例如某均勻的溶液中，每ml含有含有3個細菌，即個細菌，即XP3。現思索。現思索5ml溶液中的細菌的分布情況。溶液中的細菌的分布情況。由于由于X iP(3) i=1，2，3，4，5。據。據Poisson分布分布的可加性可得：的可加性可得： X1 X2 X3 X4 X5 P(15) 即即5ml溶液中的細菌數依然服從溶液中的細菌數依然服從Poisson分布，均分布，均數為數為15。 選擇題選擇題 1. 實際上，二項分布是一種實際上，二項分布是一種A 延續性分布延續性分布 B 離散分布離散分布 C 均勻分布均勻分布 D

18、 規范正態分布規范正態分布 2. 在樣本例數不變的情況下，以下何種情況時，二在樣本例數不變的情況下，以下何種情況時，二項分布越接近對稱分布。項分布越接近對稱分布。A 總體比例總體比例越大越大 B 樣本比例樣本比例P越大越大 C 總體比例總體比例越接近越接近0.5 D 總體比例總體比例越小越小 3.某種人群如成年男子的某個生理目的如收縮壓或某種人群如成年男子的某個生理目的如收縮壓或生化目的如血糖程度的正常值范圍普通生化目的如血糖程度的正常值范圍普通 A.該目的在一切人中的動搖范圍該目的在一切人中的動搖范圍 B.該目的在一切正常人中的動搖范圍該目的在一切正常人中的動搖范圍 C.該目的在絕大部分正常人中的動搖范圍該目的在絕大部分正常人中的動搖范圍 D.該目的在少部分正常人中的動搖范圍該目的在少部分正常人中的動搖范圍 E.該目的在一個人不同時間的動搖范圍該目的在一個人不同時間的動搖范圍 4. 4. 正態分布的特點有正態分布的特點有A.A.算術均數算術均數= =幾何均數幾何均數 B.B.算術均數算術均數= =中位數中位數C.C.幾何均數幾何均數= =中位數中位數 D.D.算術均數算術均數= =幾何均數幾何均數= =中位數中位數E.E.以上都沒有以上都沒有5. 5. 正態分布曲線下右側正態分布曲線下右側5 5對應的分位點為對應的分位點為A.+