1、5.1 剛體和自由度的概念剛體和自由度的概念一一. 剛體剛體特殊的質點系，特殊的質點系， 理想化模型理想化模型形狀形狀和和體積體積不變化。不變化。在力作用下，組成在力作用下，組成物體的所有質點間的距離始終保持不變物體的所有質點間的距離始終保持不變二二. 自由度自由度確定物體的位置所需要的獨立坐標數確定物體的位置所需要的獨立坐標數 物體的自由度數物體的自由度數sOi = 1xyzO( x , y , z )i = 3i = 2xyzOi = 3+2+1= 6 當剛體受到某些限制當剛體受到某些限制 自由度減少自由度減少 力的作用下形狀和大小不變的物體力的作用下形狀和大小不變的物體5.2 剛體的平動

2、剛體的平動剛體運動時，若在剛體內所作的任一條直線都始終保持和自剛體運動時，若在剛體內所作的任一條直線都始終保持和自身平行身平行 剛體平動剛體平動ABABA B 平動的特點平動的特點(1) 剛體中各質點的剛體中各質點的運動情況相同運動情況相同BArrBABArrBAvvBAaa(2) 剛體的平動可歸結為質點運動剛體的平動可歸結為質點運動xyzOArBr一大型回轉類一大型回轉類“觀覽圓盤觀覽圓盤”如圖所示。圓盤的半徑如圖所示。圓盤的半徑R=25 m，供人乘坐的吊箱高度供人乘坐的吊箱高度L=2 m。若大圓盤繞水平軸均速轉動，。若大圓盤繞水平軸均速轉動，轉速為轉速為0.1 r/min。 例例30060

3、1022T)cos(0tRxxBALtRLyyBA)sin(0222)(RLyxAA解解求求 吊箱底部吊箱底部A點的軌跡及點的軌跡及A點的速度和加速度的大小。點的速度和加速度的大小。吊箱平動吊箱平動3002522RAyAxAvvvsm 260/.)cos(dd02tRtaAxAxv2322222sm 107230025/.RaaaAyAxA)sin(dd02tRtaAyAyv)sin(dd0tRtxAAxv)cos(dd0tRtyAAyv)(tf)( ddtft)( dddd22tftt5.3 剛體繞定軸轉動剛體繞定軸轉動zMIIIII P角坐標角坐標角速度角速度角加速度角加速度一一. 描述描

4、述 剛體繞定軸轉動的角量剛體繞定軸轉動的角量剛體的剛體的平動平動和和繞定軸轉動繞定軸轉動是剛體的是剛體的兩種最簡單最基本運動兩種最簡單最基本運動剛體內各點都繞同一直線剛體內各點都繞同一直線( (轉軸轉軸) )作作圓周圓周運動運動_剛體轉動剛體轉動轉轉軸軸固定不動固定不動 定軸轉動定軸轉動 二二. 定軸轉動剛體上各點的速度和加速度定軸轉動剛體上各點的速度和加速度 rv2ran rtaddvc )(tt)(t02022002 21 當當與質點的勻加速直線運動公式相像與質點的勻加速直線運動公式相像P,剛體剛體 zOrO任意點都繞同一軸作圓周運動任意點都繞同一軸作圓周運動, 且且 ， 都相同都相同rv

5、l 角角速度與角加速度的矢量表示速度與角加速度的矢量表示角加速度矢量角加速度矢量dtd對于對于角速度矢量，規定：角速度矢量的大小就是角速度的角速度矢量，規定：角速度矢量的大小就是角速度的大小，方向沿轉軸方向，其指向由右手螺旋法則確定：右大小，方向沿轉軸方向，其指向由右手螺旋法則確定：右手四指指向剛體轉動方向，拇指指向為手四指指向剛體轉動方向，拇指指向為 方向。方向。k00的方向的方向直角坐標系中，設剛體繞直角坐標系中，設剛體繞 軸作定軸轉動，則角速度矢量為軸作定軸轉動，則角速度矢量為z沿沿 正向正向z沿沿 負向負向z角加速度矢量為角加速度矢量為kdtdravnatrrttrtadddd d)d

6、(ddvvr定軸定軸P,剛體剛體 zOrOrv 加速度與角加速度的矢量關系式加速度與角加速度的矢量關系式定義了角速度矢量后，就可以用它表示出剛體上任意點的定義了角速度矢量后，就可以用它表示出剛體上任意點的速度速度rtrddv例例解解求求 p點的速度點的速度剛體繞剛體繞 z 軸正向轉動，軸正向轉動， ，某時刻，某時刻 p點位矢點位矢min/60rn )(543mkjirsradn/2602kk2rv)543(2kjik)/(68smji（ 沿沿 z 軸正向轉）軸正向轉）6.1 力矩力矩 剛體繞定軸轉動微分方程剛體繞定軸轉動微分方程一一. 力矩力矩力力改變剛體的轉動狀態改變剛體的轉動狀態 剛體獲得

7、角加速度剛體獲得角加速度 力力 F 對對z 軸的力矩軸的力矩sin)(FrFhFMz“”的確定的確定：（右螺旋）：（右螺旋）從從z z軸正端向負端看，軸正端向負端看，質點獲得加速度質點獲得加速度改變質點的運動狀態改變質點的運動狀態rhFAzo若若 使剛體逆時針轉使剛體逆時針轉 為正為正若若 使剛體順時針轉使剛體順時針轉 為負為負zMzMFF例如例如rF/FhFAzTRTTRMiTRTTrMiTT討論討論 不能改變剛體繞不能改變剛體繞z z軸的轉動狀態軸的轉動狀態/F/F對對z z軸的力矩為零軸的力矩為零o1)1)力平行于轉軸或通過轉軸時，對該軸力矩為零。力平行于轉軸或通過轉軸時，對該軸力矩為零

8、。2)2)若若 不在垂直于不在垂直于z z軸的平面內軸的平面內F/FFFhFFMFMzz)()(也可將力也可將力 ( (位于垂直于位于垂直于z z軸的面內軸的面內) )對對z z軸的力矩視為軸的力矩視為矢量，定義矢量，定義矢量力矩矢量力矩FFrMZr大小：大小：方向：右螺旋法則方向：右螺旋法則 sinrF：轉動中心到力的作用點的位矢：轉動中心到力的作用點的位矢FrMZ當當 不在不在垂直于垂直于z z軸的平面內軸的平面內F： 和和 的夾角的夾角rFO .FrMO說明：說明：可以證明：可以證明：力對任意點的力矩，在通過該點的任一力對任意點的力矩，在通過該點的任一軸上的投影，等于該力對該軸的力矩。軸

9、上的投影，等于該力對該軸的力矩。力對定點力對定點o o的力矩的力矩FroM大小：大小：sinrFMMoo方向：垂直于方向：垂直于 和和 所確定所確定的平面，且指向由的平面，且指向由右右螺旋法則螺旋法則給出。給出。 rFxLOmy例例 已知棒長已知棒長 L ,質量質量 m，在摩擦系數為，在摩擦系數為 的桌面轉動的桌面轉動 (如圖如圖)解解xLMmddgmfdd根據力矩根據力矩xgxLmxdfMddmgLxgxLmML21d0 xdx求求 摩擦力對摩擦力對y軸的力矩軸的力矩練習練習：質量為：質量為 ，長為，長為 的細桿在水平粗糙桌面上繞過其的細桿在水平粗糙桌面上繞過其一端的豎直軸旋轉，桿的密度與離軸距離成正比，桿與桌面一端的豎直軸旋轉，桿的密度與離軸距