1、高等數學（上）期末復習要點高等數學上冊復習要點二函數與極限（一）函數1、函數定義及性質（有界性、單調性、奇偶性、周期性）；2、反函數、復合函數、函數的運算；3、初等函數：募函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數;4、函數的連續性與間斷點；函數f(x)在X0連續limf(x)f(x。)XX0第一類：左右極限均存在.間斷點可去間斷點、跳躍間斷點第二類：左右極限、至少有一個不存在無窮間斷點、振蕩間斷點5、閉區間上連續函數的性質：有界性與最大值最小值定理、零點定理、介值定理及其推論.(二)極限1、 定義1) 數列極限limxna0,N,nN,xnan2) 函數極限limf(x)A0,0,x,當

2、0xx0時，f(x)Axx。左極限：f(x0)limf(x)xx0右極限：f(x0)limf(x)xx0第1頁共9頁高等數學(上)期末宴習要點limf(x)A存在xX0f(X0)f(X0)2、 極限存在準則1)夾逼準則:1) YnXnZn(nn°)¥A2) limYnlimznalimxna7nnn2、 單調有界準則：單調有界數列必有極限.3、 無窮小(大)量1) 定義：若1im0則稱為無窮小量；若lim則稱為無窮大量.2) 無窮小的階：高階無窮小、同階無窮小、等價無窮小、k階無窮小Th10()；Th2,lim一存在，貝Ulimlim(無窮小代換)4、 求極限的方法1) 單

3、調有界準則;2) 夾逼準則；3) 極限運算準則及函數連續性;4) 兩個重要極限:a)sinxlim一x0xb)1lim(1x)Xx0lim(11)xexx5) 無窮小代換：(x0)a)xsinxtanxarcsinxarctanxb)112cosxX2第2頁共9頁高等數學（上）期末復習要點c) ex1xd) ln(1x)xe) (1x)1x導數與微分/x(a1xlna)(loga(1x)-x-Ina（一）導數定義：f（x0）lim上)xxoxf(x。)x0f(x)f(xo)左導數:右導數:f(x0)limxx0xx0f(x)f(%)f(x0)limxx0xx0函數f（x）在x°點可導

4、f（x。）f（x。）2、 幾何意義：f（x°）為曲線yf（x）在點x°,f（x°）處的切線的斜率.3、 可導與連續的關系:4、 求導的方法1）導數定義；2）基本公式；3）四則運算；4）復合函數求導（鏈式法則）；5）隱函數求導數；6）參數方程求導；7）對數求導法.5、 高階導數第3頁共9頁高等數學(上)期末復習要點d2yddy1)定義：dx2dxdxn(n)Ck(k)(nk)2) Leibniz公式：uvCnuvk0(二)微分1)定義：yf(x。x)f(x。)Axo(x),其中A與x無關.2)可微與可導的關系：可微可導，且dyf(x。)xf(xo)dx三、微分中值定

5、理與導數的應用(一)中值定理1、Rolle羅爾定理：若函數f(x)滿足：1) f(x)Ca,b；2)f(x)D(a,b)；3)f(a)f(b)；則(a,b),使f()0.2、Lagrange拉格朗日中值定理文:若函數f(x)滿足：2) f(x)Ca,b；2)f(x)D(a,b)；則(a,b),使f(b)f(a)f()(ba).3、Cauchy柯西中值定理：若函數f(x),F(x)滿足：1)f(x),F(x)Ca,b；2)f(x),F(x)D(a,b)；3)F(x)0,x(a,b)(a,b),使f(b)F(b)f(a)F(a)(二)洛必達法則(三)Taylor公式第4頁共9頁高等數學(上)期末復

6、習要點(四)單調性及極值1、單調性判別法：f(x)Ca,b,f(x)D(a,b),則若f(x)0,則f(x)單調增加；則若f(x)0,則f(x)單調減少.2、極值及其判定定理：a)必要條件：f(x)在x0可導，若x0為f(x)的極值點，則f(x。)0.b)第一充分條件：f(x)在x°的鄰域內可導，且f(x0)0,則若當xx°時，f(x)0,當xX0時，f(x)0,則x0為極大值點；若當xx0時，f(x)0,當xx0時，f(x)0,則x°為極小值點；若在x0的兩側f(x)不變號，則x0不是極值點.c)第二充分條件：f(x)在x0處二階可導，且f(x0)0,f(x0)

7、0,則若f(x0)0,則x0為極大值點；若f(x0)0,則x0為極小值點.3、凹凸性及其判斷，拐點,x1x2、f(x1)f(x2)1)f(x)在區間I上連續，若xi,x2I,f()2，則稱f(x)在xix2、f(xi)f(x2),區間I上的圖形是凹的；若xi,x2I,f(工一)2，則稱f(x)在區間I上的圖形是凸的.2)判定定理：f(x)在a,b上連續，在(a,b)上有一階、二階導數，則a)若x(a,b),f(x)0,則f(x)在a,b上的圖形是凹的;b)若x(a,b),f(x)0,則f(x)在a,b上的圖形是凸的.3)拐點：設yf(x)在區間I上連續，x0是f(x)的內點，如果曲線yf(x)

8、經過點(x°,f(x°)時，曲線的凹凸性改變了，則稱點(x°,f(x°)為曲線的拐點.(五)不等式證明第5頁共9頁高等數學(上)期末復習要點1、利用微分中值定理；2、利用函數單調性；3、利用極值(最值).(六)方程根的討論1、 連續函數的介值定理；2、 Rolle定理；3、 函數的單調性；4、 極值、最值；5、 凹凸性.(七)漸近線1、鉛直漸近線：limf(x)，則xa為一條鉛直漸近線；xa2、水平漸近線：|imf(X)b,則yb為一條水平漸近線；X四、不定積分(一)概念和性質1、原函數：在區間I上，若函數F(x)可導，且F(x)f(x),則F(x)稱為

9、f(x)的一個原函數.2、 不定積分：在區間I上，函數f(x)的帶有任意常數的原函數稱為f(x)在區間I上的不定積分.3、 基本積分表(P188,13個公式)；4、 性質(線性性).第6頁共9頁高等數學（上）期末復習要點（二）換元積分法1、第一類換元法（湊微分）：f（x）（x）dxf（u）duu（x）2、第二類換元法（變量代換：三角代換、倒代換、根式代換等）：f（x）dxf（t）（t）dtit（x）（三）分部積分法：udvuvvdu（反對哥指三，前u后V'）（四）有理函數積分1、“拆”；2、變量代換（三角代換、倒代換、根式代換等）.五、定積分（一）概念與性質:定義:bf(x)dxali

10、m0iif(i)為2、性質：（7條）性質7（積分中值定理）函數f（x）在區間a,b上連續，則a,b,使f(x)dxf()(ba)（平均值：f（）bf(x)dxaba（二）微積分基本公式（NL公式）x1、變上限積分：設（x）afdt,則（x）f（x）第7頁共9頁高等數學（上）期末復習要點d(x)推廣一，、f(t)dtf(x)(x)f(x)(x)dx(x)b2、NL公式：若F(x)為f(x)的一個原函數，則af(x)dxF(b)F(a)（三）換元法和分部積分b1、換元法：af(x)dxf(t)(t)dtbbb2、分部積分法：UdVUVavdUaa(四)反常積分1、 無窮積分：tf(x)dxlimf(x)dxatabbf(x)dxlimtf(x)dx0f(x)