1、主講：劉瓊蓀主講：劉瓊蓀數(shù)學(xué)建模初步數(shù)學(xué)建模初步數(shù)學(xué)實(shí)驗什么是數(shù)學(xué)建模什么是數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模的分類數(shù)學(xué)建模的分類數(shù)學(xué)建模方法數(shù)學(xué)建模方法數(shù)學(xué)建模實(shí)例數(shù)學(xué)建模實(shí)例Mathematical Modelling數(shù)學(xué)實(shí)驗什么是數(shù)學(xué)模型實(shí)物模型：玩具、飛機(jī)、火箭模型實(shí)物模型：玩具、飛機(jī)、火箭模型 物理模型：水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)物理模型：水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī) 符號模型：地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖符號模型：地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分是為了一定目的，對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型原型的替代物。的替代物。模型模型集中

2、反映了原型中人們需要的那一部分集中反映了原型中人們需要的那一部分特征特征數(shù)學(xué)實(shí)驗 甲乙兩地相距750千米，船從甲向乙順?biāo)叫行枰?0小時，逆水航行需要50小時。問船的速度是多少？例 一個簡單的代數(shù)應(yīng)用題 設(shè) x, y 分別表示船速和水速，列出方程750)(50750)(30yxyx520yx什么是數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)實(shí)驗什么是數(shù)學(xué)模型 作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）； 用符號表示有關(guān)量（用符號表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；用物理定律列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學(xué)解答（求解得到數(shù)學(xué)解答（

3、x=20, y=5）；）； 回答原問題（船速每小時回答原問題（船速每小時20千米千米/小時）。小時）。數(shù)學(xué)建模步驟數(shù)學(xué)實(shí)驗數(shù)學(xué)建模的過程數(shù)學(xué)建模的全過程：模型的建立、求解、分?jǐn)?shù)學(xué)建模的全過程：模型的建立、求解、分析和檢驗。析和檢驗。實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)結(jié)論實(shí)際結(jié)論/預(yù)測合理假設(shè)(簡化)分析、求解解釋驗證圖1.3 數(shù)學(xué)建模過程的示意圖實(shí)踐理論實(shí)踐數(shù)學(xué)實(shí)驗數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型有兩種分類方法：1） 應(yīng)用領(lǐng)域人口模型、交通模型、經(jīng)濟(jì)預(yù)測模型、金融模型、環(huán)境與生態(tài)模型、企業(yè)規(guī)劃模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型等。2）數(shù)學(xué)方法微分方程模型、離散數(shù)學(xué)模型、連續(xù)系統(tǒng)模型、運(yùn)籌模型、圖論模型、概率統(tǒng)計模型、優(yōu)化控制模型等。

4、數(shù)學(xué)實(shí)驗數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)特征：表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預(yù)報、決策 建模目的確定和隨機(jī)靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)數(shù)學(xué)實(shí)驗數(shù)學(xué)建模方法按大類來劃分，大體上分三類：建立數(shù)學(xué)模型的方法1、機(jī)理分析法 根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識， 找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律 2、測試分析法 將對象看作“黑箱”,通過對測量 數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬 合最好的模型3、綜合分析法 用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu), 用測試分析確定模型參數(shù)數(shù)學(xué)實(shí)驗數(shù)學(xué)建模實(shí)例 一種新產(chǎn)品進(jìn)入市場以后，產(chǎn)品的銷售量一般會經(jīng)過“先增后逐漸平穩(wěn)略有下降”的一個過程，這稱為產(chǎn)品的生命周期。怎樣使用數(shù)學(xué)模型來描述新產(chǎn)品的銷售量的變化過程呢？例1

5、新產(chǎn)品銷售量的變化規(guī)律數(shù)學(xué)實(shí)驗數(shù)學(xué)建模實(shí)例 當(dāng)一個新產(chǎn)品進(jìn)入市場時，其有關(guān)信息的傳播有兩個途徑：一是經(jīng)營者或廠家進(jìn)行廣泛的廣告宣傳，消費(fèi)者親眼看到廣告或親耳聽到消息，這是來自消費(fèi)者以外的信息；二是當(dāng)一部分消費(fèi)者購買了該產(chǎn)品之后，經(jīng)過使用對該產(chǎn)品有了認(rèn)識，向其周圍的人們進(jìn)行宣傳，這稱之為來自消費(fèi)者內(nèi)部的信息。正是這兩方面的信息促使消費(fèi)者去購買該商品。問題分析數(shù)學(xué)實(shí)驗數(shù)學(xué)建模實(shí)例設(shè)N為潛在的消費(fèi)者人數(shù)；x(t)為t時刻購買了該 產(chǎn)品的人數(shù)，并且認(rèn)為變量x(t)隨時間變化是連續(xù)的；模型假定 購買者增量x由兩部分組成，一是由外部信息導(dǎo)致消費(fèi)者增加，其增量記為x1；二是由內(nèi)部信息導(dǎo)致消費(fèi)者增加，記為x2

6、； 數(shù)學(xué)實(shí)驗數(shù)學(xué)建模實(shí)例由外部信息導(dǎo)致消費(fèi)者增量與未購買者人數(shù)成正比，即 模型假定111( )(xk Nx ttk為比例系數(shù)0）由內(nèi)部信息導(dǎo)致購買者增量與已購買者人數(shù)和未購買者人數(shù)之積成正比，即 222( ) ( )(xk x tNx ttk為比例系數(shù)0）數(shù)學(xué)實(shí)驗數(shù)學(xué)建模實(shí)例數(shù)學(xué)模型12xxx 12( )( )( )xk Nx ttk x tNx tt 12( )( )dxNx tkk x tdt12( )( )( )xk Nx tk x tNx tt數(shù)學(xué)實(shí)驗數(shù)學(xué)建模實(shí)例 為分析產(chǎn)品銷售量x(t) 隨時間t的變化情況，對微分方程模型求解，得： 模型求解 該問題解含有未知參數(shù)k1, k2, N，

7、需要收集某產(chǎn)品從推向市場以來其銷售情況的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)分析，用最小二乘法將模型中的未知參數(shù)辨識出來。 1212()()211( )1kk N tkk N tex tNk Nek數(shù)學(xué)實(shí)驗數(shù)學(xué)建模實(shí)例假定： 模型求解4120.02,0.035,10kkN數(shù)學(xué)實(shí)驗數(shù)學(xué)建模實(shí)例 使用某產(chǎn)品一段時期的銷售統(tǒng)計數(shù)據(jù)，將這些實(shí)測數(shù)據(jù)代入模型中，如果實(shí)測數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)(模型中對應(yīng)值)之差的平方和(定義為誤差平方和)很小，則稱該模型通過了檢驗。 模型檢驗數(shù)學(xué)實(shí)驗數(shù)學(xué)建模實(shí)例例2 汽車剎車距離美國的某些司機(jī)培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：美國的某些司機(jī)培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：背背景景與與問問題題 正常駕駛條件下正常駕駛條

8、件下, 車速每增車速每增10英里英里/小時，小時， 后面與前車的距離應(yīng)增加一個車身的長度。后面與前車的距離應(yīng)增加一個車身的長度。 實(shí)現(xiàn)這個規(guī)則的簡便辦法是實(shí)現(xiàn)這個規(guī)則的簡便辦法是 “2秒準(zhǔn)則秒準(zhǔn)則” ： 后車司機(jī)從前車經(jīng)過某一標(biāo)志開始默數(shù)后車司機(jī)從前車經(jīng)過某一標(biāo)志開始默數(shù) 2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，而不管車速如何秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，而不管車速如何判斷判斷 “2秒準(zhǔn)則秒準(zhǔn)則” 與與 “車身車身”規(guī)則是否一規(guī)則是否一樣；樣；建立數(shù)學(xué)模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。建立數(shù)學(xué)模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。數(shù)學(xué)實(shí)驗數(shù)學(xué)建模實(shí)例剎車距離與車速有關(guān)！剎車距離與車速有關(guān)！問題分析10英里英里/小時小時( 16公里公里/小時

9、小時)車速下車速下2秒鐘行駛秒鐘行駛29英尺英尺( 9米米) 車身的平均長度車身的平均長度15英尺英尺(=4.6米米)結(jié)論：結(jié)論：“2秒準(zhǔn)則秒準(zhǔn)則”與與“10英里英里/小時加一車身小時加一車身”規(guī)則規(guī)則不同不同數(shù)學(xué)實(shí)驗數(shù)學(xué)建模實(shí)例剎車距離：反應(yīng)距離和制動距離剎車距離：反應(yīng)距離和制動距離問題分析反應(yīng)距離：反應(yīng)時間、車速。（反應(yīng)時間和車速又反應(yīng)距離：反應(yīng)時間、車速。（反應(yīng)時間和車速又與司機(jī)狀況和制動系統(tǒng)的靈活性相關(guān)）與司機(jī)狀況和制動系統(tǒng)的靈活性相關(guān)）制動距離：制動距離：1）制動器作用力、車重、車速、道路、氣）制動器作用力、車重、車速、道路、氣候候 2）最大制動力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減）最大制

10、動力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運(yùn)動。速運(yùn)動。數(shù)學(xué)實(shí)驗數(shù)學(xué)建模實(shí)例模型假定1. 剎車距離剎車距離 d 等于反應(yīng)距離等于反應(yīng)距離 d1 與制動距離與制動距離 d2 之和之和21ddd2. 反應(yīng)距離反應(yīng)距離 d1與車速與車速 v成正比，成正比，t1為反應(yīng)時間為反應(yīng)時間vtd113. 剎車時使用最大制動力剎車時使用最大制動力F，F(xiàn)作功等于汽車動能的改變作功等于汽車動能的改變;F d2= m v2/222kvd數(shù)學(xué)實(shí)驗數(shù)學(xué)建模實(shí)例數(shù)學(xué)模型21kvvtd 反應(yīng)時間反應(yīng)時間 t1的經(jīng)驗估計值為的經(jīng)驗估計值為0.75秒秒?yún)?shù)估計參數(shù)估計 利用交通部門提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合利用交通部門提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合

11、 k數(shù)學(xué)實(shí)驗數(shù)學(xué)建模實(shí)例數(shù)學(xué)模型車速車速(英里英里/小時小時) (英尺英尺/秒秒)實(shí)際剎車距離實(shí)際剎車距離（英尺）（英尺）計算剎車距離計算剎車距離（英尺）（英尺）剎車時間剎車時間（秒）（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3最小二乘法最小二乘法 k=0.06計算剎車距離、剎車時間計算剎車距離、剎車時間數(shù)學(xué)實(shí)驗數(shù)學(xué)建模實(shí)例模型求解

12、20.750.06dvv車速車速(英里英里/小時小時)剎車時間剎車時間（秒）（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3數(shù)學(xué)實(shí)驗數(shù)學(xué)建模實(shí)例模型求解“2秒準(zhǔn)則秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為應(yīng)修正為 “t 秒準(zhǔn)秒準(zhǔn)則則”車速（英里車速（英里/小時）小時）010104040606080t（秒）（秒）1234數(shù)學(xué)實(shí)驗例2：古老的游戲數(shù)學(xué)建模實(shí)例 將15顆小石子分為三堆，其數(shù)量分別為3，5，7顆。兩人依次從中取走小石子，規(guī)定每次只能從一堆中取，至少要取走1顆，多取不限，最后一人取完石子為勝，問先取者是否有必勝取法？ 如何進(jìn)行數(shù)學(xué)描述？ 設(shè)三堆石子當(dāng)前(第k步)的數(shù)目為： Sk = a

13、，b，c 狀態(tài)變量(可以取0) 初始狀態(tài) S0 = 7，5，3模型分析模型分析數(shù)學(xué)實(shí)驗 這是一個決策問題。記為所有可能狀態(tài)的集合(192個元素），對先取者定義2k-1步?jīng)Q策。:212kkgf先取者后取者使得f2k-1(S)(g2k(S)有且僅有一個元素發(fā)生改變，并且改變者比原來至少小1。序列)()(2421231NNggggffff分別為先取者與后取者的策略。數(shù)學(xué)建模實(shí)例數(shù)學(xué)實(shí)驗問題：如何求解這個問題？利用計算機(jī)搜索的方法是可以解決的！首先不能讓后取者在第2N步取勝，即 S2N0, 0, 0， S2N-1m, 0, 0，0, n, 0， 說明S2N-1必須有兩個大于零的數(shù)。0 , 0 , 0)

14、(0122212212SfggfgfNNNN 不仿設(shè)S2N-1=1, 1, 0。 (最小形式)算法分析一算法分析一數(shù)學(xué)建模實(shí)例數(shù)學(xué)實(shí)驗用同樣的思路考慮S2N-3的狀態(tài)。 要使得 S2N-21, 1, 0，則必須是 S2N-3 = 2, 2, 0。 得到如下遞推表：)(1231Nffff數(shù)學(xué)建模實(shí)例數(shù)學(xué)實(shí)驗000110220330321440550541642752742653S=a, b, cS2N+1S2N-1S2N-3S1S3S0=7, 5, 3=a +b +c02468101214規(guī)則： 獲勝狀態(tài)在表內(nèi)； 表中任意狀態(tài)與它前面的每一狀態(tài)至少有兩個元素不同； 表中任意狀態(tài)與它前一個狀態(tài)恰有

15、兩個元素不同，且分別大1個數(shù)字；結(jié)論：只要先取者搶到表中的任一狀態(tài)，則必勝！數(shù)學(xué)實(shí)驗 若將狀態(tài)中的每一個數(shù)用二進(jìn)制表示，然后將3個二進(jìn)制數(shù)逐位作“異或”運(yùn)算，即1100100011 由此可以將所有的狀態(tài)分為兩類：一類是每一位的異或和均為零，稱為偶狀態(tài)；另一類至少存在一位異或和為1，稱為奇狀態(tài)；算法分析二算法分析二數(shù)學(xué)建模實(shí)例數(shù)學(xué)實(shí)驗例如 S0=7,5,310 S0=0111，0101，00112每一位異或和分別是，1，0，0，故為奇狀態(tài)。若 S1=6,5,3100110，0101，00112每一位異或和分別是0，0，0，故為偶狀態(tài)。歸納：1）一次決策中，偶狀態(tài)只能變到奇狀態(tài)；2）一次決策中，奇

16、狀態(tài)可以變?yōu)榕紶顟B(tài)；算法分析二算法分析二數(shù)學(xué)建模實(shí)例數(shù)學(xué)實(shí)驗結(jié)論： 可以驗證上述表中所有的狀態(tài)為二進(jìn)制的偶狀態(tài) 先取者只要搶到偶狀態(tài)，以后每一步都可搶到偶狀態(tài)，直至先取者搶到最后的偶狀態(tài)0,0,0獲勝為止。算法分析二算法分析二數(shù)學(xué)建模實(shí)例數(shù)學(xué)實(shí)驗1）對例2考慮程序的實(shí)現(xiàn)；2）推廣到任意n堆石子的情況；思考與總結(jié) 對于數(shù)學(xué)建模需要有對現(xiàn)實(shí)對象的敏銳的洞察力，有對問題分析的高度的抽象力，有對數(shù)學(xué)工具的熟練的把握力，再加上不時拼發(fā)的創(chuàng)造力。只要堅持?jǐn)?shù)學(xué)建模實(shí)踐，就能提高數(shù)學(xué)建模水平。數(shù)學(xué)實(shí)驗錄像機(jī)計數(shù)器的用途問題：經(jīng)試驗，一盤標(biāo)明問題：經(jīng)試驗，一盤標(biāo)明180分鐘的錄像帶從頭走分鐘的錄像帶從頭走到尾，時間用了到尾，時間用了184分，計數(shù)器讀數(shù)從分，計數(shù)器讀數(shù)從0000變到變到6061。在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計數(shù)器讀數(shù)為在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計數(shù)器讀數(shù)為4450，問剩下的