1、MATLAB中控制系統的數學描畫與建模 在線性系統實際中，普通常用的數學模在線性系統實際中，普通常用的數學模型方式有：型方式有：傳送函數模型系統的外部模型傳送函數模型系統的外部模型; ;形狀方程模型系統的內部模型形狀方程模型系統的內部模型; ;零極點增益模型和部分分式模型等。零極點增益模型和部分分式模型等。這些模型之間都有著內在的聯絡，可以這些模型之間都有著內在的聯絡，可以相互進展轉換。相互進展轉換。例例1.m電路圖如下，R=1.4歐，L=2亨，C=0.32法，初始形狀：電感電流為零，電容電壓為0.5V，t=0時辰接入1V的電壓，求0tnum=12,24,0,20;den=2 4 6 2 2;

2、2借助多項式乘法函數借助多項式乘法函數conv來處置：來處置：num=4*conv(1,2,conv(1,6,6,1,6,6);den=conv(1,0,conv(1,1,conv(1,1,conv(1,1,1,3,2,5);22642202412)(23423sssssssG) 523() 1()66)(2( 4)(23322sssssssssG零極點增益模型：零極點增益模型：num=1,11,30,0;den=1,9,45,87,50; z,p,k=tf2zp(num,den)50874593011)(23423ssssssssG)43)(43)(2)(1() 5)(6()(jsjssss

3、sssGz= 0 -6 -5p= -3.0000+4.0000i -3.0000-4.0000i -2.0000 -1.0000k= 1結果表達式：部分分式展開：部分分式展開：num=2,0,9,1;den=1,1,4,4; r,p,k=residue(num,den)44192)(233ssssssG12225. 0225. 02)(sisiisisGp= 0.0000+2.0000i 0.0000-2.0000i -1.0000k= 2r= 0.0000-0.2500i 0.0000+0.2500i -2.0000結果表達式：q形狀方程與輸出方程的組合稱為形狀空間表達式，形狀方程與輸出方程

4、的組合稱為形狀空間表達式，又稱為動態方程，經典控制實際用傳送函數將輸又稱為動態方程，經典控制實際用傳送函數將輸入入輸出關系表達出來，而現代控制實際那么用形輸出關系表達出來，而現代控制實際那么用形狀方程和輸出方程來表達輸入狀方程和輸出方程來表達輸入輸出關系，提示了輸出關系，提示了系統內部形狀對系統性能的影響。系統內部形狀對系統性能的影響。DuCxyBuAxx形狀空間描畫形狀空間描畫q在MATLAB中，系統形狀空間用A,B,C,D)矩陣組表示。舉例：舉例：系統為一個兩輸入兩輸出系統系統為一個兩輸入兩輸出系統A=1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14;B=4

5、 6; 2 4; 2 2; 1 0;C=0 0 2 1; 8 0 2 2; D=zeros(2,2);xyuxx22081200012242641413125119748612310961v在一些場所下需求用到某種模型，而在另外一些場所在一些場所下需求用到某種模型，而在另外一些場所下能夠需求另外的模型，這就需求進展模型的轉換。下能夠需求另外的模型，這就需求進展模型的轉換。v模型轉換的函數包括：模型轉換的函數包括：vresidue：傳送函數模型與部分分式模型互換：傳送函數模型與部分分式模型互換vss2tf： 形狀空間模型轉換為傳送函數模型形狀空間模型轉換為傳送函數模型vss2zp： 形狀空間模型

6、轉換為零極點增益模型形狀空間模型轉換為零極點增益模型vtf2ss： 傳送函數模型轉換為形狀空間模型傳送函數模型轉換為形狀空間模型vtf2zp： 傳送函數模型轉換為零極點增益模型傳送函數模型轉換為零極點增益模型vzp2ss： 零極點增益模型轉換為形狀空間模型零極點增益模型轉換為形狀空間模型vzp2tf： 零極點增益模型轉換為傳送函數模型零極點增益模型轉換為傳送函數模型模型的轉換與銜接模型的轉換與銜接一、模型的轉換一、模型的轉換用法舉例：用法舉例：1知系統形狀空間模型為：知系統形狀空間模型為：A=0 1; -1 -2; B=0;1; C=1,3; D=1;num,den=ss2tf(A,B,C,D

7、,iu)iu用來指定第用來指定第n個輸入，當只需一個輸入時可忽略。個輸入，當只需一個輸入時可忽略。num=1 5 2; den=1 2 1;z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu)z= -4.5616 p= -1 k=1 -0.4384 -1uxyuxx311021102知一個單輸入三輸出系統的傳送函數模型為：知一個單輸入三輸出系統的傳送函數模型為：num=0 0 -2;0 -1 -5;1 2 0;den=1 6 11 6;A,B,C,D=tf2ss(num,den)A= -6 -11 -6 B= 1 C= 0 0 -2 D= 0 1 0 0 0 0 -1 -5 0 0 1 0 0 1

8、2 0 0 61162)(61165)(61162)()()(23231232123111ssssssGsssssGssssusysG3系統的零極點增益模型：系統的零極點增益模型：z=-3;p=-1,-2,-5;k=6;num,den=zp2tf(z,p,k)num= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10a,b,c,d=zp2ss(z,p,k)a= -1.0000 0 0 b=1 2.0000 -7.0000 -3.1623 1 0 3.1623 0 0 c= 0 0 1.8974 d=0 留意：零極點的輸入可以寫出行向量，也可以寫出列向留意：零極點的輸入可以寫出行向量，也可以寫出列

9、向量。量。 )5)(2)(1()3(6)(sssssG4知部分分式：知部分分式：r=-0.25i,0.25i,-2;p=2i,-2i,-1;k=2;num,den=residue(r,p,k)num= 2 0 9 1den= 1 1 4 4留意余式一定要與極點相對應。留意余式一定要與極點相對應。 12225. 0225. 02)(sisiisisG1、并聯：、并聯：parallel格式：格式：a,b,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)并聯銜接兩個形狀空間系統。并聯銜接兩個形狀空間系統。a,b,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,

10、c2,d2,inp1,inp2,out1,out2) inp1和和inp2分別指定兩系統中要銜接在一同的輸入端編號，從分別指定兩系統中要銜接在一同的輸入端編號，從u1,u2,un依次編號為依次編號為1,2,n； out1和和out2分別指定要作相分別指定要作相加的輸出端編號，編號方式與輸入類似。加的輸出端編號，編號方式與輸入類似。inp1和和inp2既可以是既可以是標量也可以是向量。標量也可以是向量。out1和和out2用法與之一樣。如用法與之一樣。如inp1=1,inp2=3表示系統表示系統1的第一個輸入端與系統的第一個輸入端與系統2的第三個輸的第三個輸入端相銜接。入端相銜接。假設假設inp

11、1=1 3,inp2=2 1那么表示系統那么表示系統1的第一個輸入與系統的第一個輸入與系統2的的第二個輸入銜接，以及系統第二個輸入銜接，以及系統1的第三個輸入與系統的第三個輸入與系統2的第一個的第一個輸入銜接。輸入銜接。num,den=parallel(num1,den1,num2,den2) 將并聯銜接的傳送函數進展相加。將并聯銜接的傳送函數進展相加。模型的銜接模型的銜接2、串聯：、串聯：series格式：格式：a,b,c,d=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) 串聯銜接兩個形狀空間系統。串聯銜接兩個形狀空間系統。a,b,c,d=series(a1,b1,c1,d

12、1,a2,b2,c2,d2,out1,in2) out1和和in2分別指定系統分別指定系統1的部分輸出和系統的部分輸出和系統2的部的部分輸入進展銜接。分輸入進展銜接。num,den=series(num1,den1,num2,den2) 將串聯銜接的傳送函數進展相乘。將串聯銜接的傳送函數進展相乘。3、反響：、反響：feedback格式：格式：a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) 將兩個系統按反響方式銜接，普通而言，系統將兩個系統按反響方式銜接，普通而言，系統1為為對象，系統對象，系統2為反響控制器。為反響控制器。a,b,c,d=feedback(a

13、1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,sign)系統系統1的一切輸出銜接到系統的一切輸出銜接到系統2的輸入，系統的輸入，系統2的一的一切輸出銜接到系統切輸出銜接到系統1的輸入，的輸入，sign用來指示系統用來指示系統2輸出到系統輸出到系統1輸入的銜接符號，輸入的銜接符號，sign缺省時，默以缺省時，默以為負，即為負，即sign= -1。總系統的輸入。總系統的輸入/輸出數等同于輸出數等同于系統系統1。a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,out1) 部分反響銜接，將系統部分反響銜接，將系統1的指定輸出的指定輸出out1銜接到系銜接到系

14、統統2的輸入，系統的輸入，系統2的輸出銜接到系統的輸出銜接到系統1的指定輸入的指定輸入inp1，以此構成，以此構成 閉環系統。閉環系統。num,den=feedback(num1,den1,num2,den2,sign) 可以得到類似的銜接，只是子系統和閉環系統均以可以得到類似的銜接，只是子系統和閉環系統均以傳送函數的方式表示。傳送函數的方式表示。sign的含義與前述一樣。的含義與前述一樣。vctrb和和obsv函數可以求出形狀空間系統的可控性函數可以求出形狀空間系統的可控性和可觀性矩陣。和可觀性矩陣。v格式：格式：co=ctrb(a,b) ob=obsv(a,c)v對于對于nn矩陣矩陣a，n

15、m矩陣矩陣b和和pn矩陣矩陣cvctrb(a,b)可以得到可以得到nnm的可控性矩陣的可控性矩陣vco=b ab a2b an-1bvobsv(a,c)可以得到可以得到nmn的可觀性矩陣的可觀性矩陣vob=c ca ca2 can-1v當當co的秩為的秩為n時，系統可控；當時，系統可控；當ob的秩為的秩為n時，系時，系統可觀。統可觀。模型的屬性模型的屬性在進展控制系統的仿真之前，建立系統的在進展控制系統的仿真之前，建立系統的模型表達式是關鍵的一步。模型表達式是關鍵的一步。對于控制系統，有不同的分類，在本課程對于控制系統，有不同的分類，在本課程中主要討論的是線性定常延續系統中主要討論的是線性定常

16、延續系統系統的描畫有不同的方法：微分方程；傳系統的描畫有不同的方法：微分方程；傳送函數；零極點增益方式；部分分式展送函數；零極點增益方式；部分分式展開；形狀空間模型等。開；形狀空間模型等。系統的模型之間可以相互轉換，要求熟練系統的模型之間可以相互轉換，要求熟練掌握各種模型之間轉換的命令。掌握各種模型之間轉換的命令。模型之間可以進展銜接，常用的模型銜接模型之間可以進展銜接，常用的模型銜接命令：串聯、并聯、反響。命令：串聯、并聯、反響。控制系統的分析方法 早期的控制系統分析過程復雜而耗時，如想得到一個系統的沖激呼應曲線，首先需求編寫一個求解微分方程的子程序，然后將曾經獲得的系統模型輸入計算機，經過

17、計算機的運算獲得沖激呼應的呼應數據，然后再編寫一個繪圖程序，將數據繪制成可供工程分析的呼應曲線。MATLAB控制系統工具箱和SIMULINK輔助環境的出現，給控制系統分析帶來了福音?？刂葡到y的分析包括系統的穩定性分析、時域分析、頻域分析及根軌跡分析?？刂葡到y的分析方法v控制系統的穩定性分析控制系統的穩定性分析v控制系統的時域分析控制系統的時域分析v控制系統的頻域分析控制系統的頻域分析v控制系統的根軌跡分析控制系統的根軌跡分析控制系統的穩定性分析控制系統的穩定性分析q對于延續時間系統，假設閉環極點全部在S平面左半平面，那么系統是穩定的。q對于離散時間系統，假設系統全部極點都位于Z平面的單位圓內，

18、那么系統是穩定的。qMATLAB提供了直接求取系統一切零極點的函數，因此可以直接根據零極點的分布情況對系統的穩定性 例2.m系統模型如下所示，判別系統的穩定性11221171494528110142841163)(2345623ssssssssssGii=find(條件式)用來求取滿足條件的向量的下標向量，以列向量表示。例如例如 exp4_1.m中的條件式為中的條件式為real(p0)，其含義就，其含義就是找出極點向量是找出極點向量p中滿足實部的值大于中滿足實部的值大于0的一切元素下的一切元素下標，并將結果前往到標，并將結果前往到ii向量中去。這樣假設找到了實向量中去。這樣假設找到了實部大于部

19、大于0的極點，那么會將該極點的序號前往到的極點，那么會將該極點的序號前往到ii下。下。假設最終的結果里假設最終的結果里ii的元素個數大于的元素個數大于0，那么以為找到，那么以為找到了不穩定極點，因此給出系統不穩定的提示，假設產了不穩定極點，因此給出系統不穩定的提示，假設產生的生的ii向量的元素個數為向量的元素個數為0，那么以為沒有找到不穩定，那么以為沒有找到不穩定的極點，因此得出系統穩定的結論。的極點，因此得出系統穩定的結論。pzmap(p,z)根據系統知的零極點p和z繪制出系統的零極點圖控制系統的時域分析控制系統的時域分析一個動態系統的性能常用典型輸入作用下的呼應來描畫。呼應是指零初始值條件

20、下某種典型的輸入函數作用下對象的呼應，控制系統常用的輸入函數為單位階躍函數和脈沖鼓勵函數即沖激函數。在MATLAB的控制系統工具箱中提供了求取這兩種輸入下系統呼應的函數。一、時域分析的普通方法q求取系統單位階躍呼應：step()q求取系統的沖激呼應：impulse()1、step()函數的用法 exp4_3_.mqy=step(num,den,t)：其中num和den分別為系統傳送函數描畫中的分子和分母多項式系數，t為選定的仿真時間向量，普通可以由t=0:step:end等步長地產生出來。該函數前往值y為系統在仿真時辰各個輸出所組成的矩陣。例exp4_3.m 已 知 系 統 的 開 環 傳 遞

21、 函 數 為 ：sssssGo4036820)(234 求 系 統 在 單 位 負 反 饋 下 的 階 躍 響 應 曲 線 。 q假設對詳細的呼應值不感興趣，而只想繪制系統的階躍呼應曲線，可調用以下的格式：qstep(num,den)；step(num,den,t)；q線性系統的穩態值可以經過函數dcgain()來求取，其調用格式為：dc=dcgain(num,den)或dc=dcgain(a,b,c,d)qy,x,t=step(num,den)：此時時間向量t由系統模型的特性自動生成。2、impulse()函數的用法例exp4_4.m 已知系統的開環傳遞函數為：sssssGo4036820)

22、(234 求系統在單位負反饋下的脈沖激勵響應曲線。 例exp4_5.m 已 知 某 典 型 二 階 系 統 的 傳 遞 函 數 為 ： 2222)(nnnwswswsG，, 6 . 05nw， 求 系 統 的 階 躍 響 應 曲 線 。 例exp4_6.m 已知某閉環系統的傳遞函數為：251096. 116. 02510)(23sssssG 求其階躍響應曲線。 求取脈沖鼓勵呼應的調用方法與step()函數根本一致。y=impulse(num,den,t)；y,x,t=impulse(num,den)；y,x,t=impulse(A,B,C,D,iu,t)impulse(num,den)；imp

23、ulse(num,den,t)impulse(A,B,C,D,iu)；impulse(A,B,C,D,iu,t)常用時域分析函數時間呼應探求系統對輸入和擾動在時域內的瞬態行為，時間呼應探求系統對輸入和擾動在時域內的瞬態行為，系統特征如：上升時間、調理時間、超調量和穩態誤差都能系統特征如：上升時間、調理時間、超調量和穩態誤差都能從時間呼應上反映出來。從時間呼應上反映出來。MATLAB除了提供前面引見的對系除了提供前面引見的對系統階躍呼應、沖激呼應等進展仿真的函數外，還提供了大量統階躍呼應、沖激呼應等進展仿真的函數外，還提供了大量對控制系統進展時域分析的函數，如：對控制系統進展時域分析的函數，如：

24、covar：延續系統對白噪聲的方差呼應：延續系統對白噪聲的方差呼應initial：延續系統的零輸入呼應：延續系統的零輸入呼應lsim：延續系統對恣意輸入的呼應：延續系統對恣意輸入的呼應對于離散系統只需在延續系統對應函數前加對于離散系統只需在延續系統對應函數前加d就可以，如就可以，如dstep，dimpulse等。等。它們的調用格式與它們的調用格式與step、impulse類似，可以經過類似，可以經過help命令來命令來察看自學。察看自學?？刂葡到y的頻域分析控制系統的頻域分析q頻率呼應是指系統對正弦輸入信號的穩態呼應，從頻率呼應中可以得出帶寬、增益、轉機頻率、閉環穩定性等系統特征。q頻率特性是指

25、系統在正弦信號作用下，穩態輸出與輸入之比對頻率的關系特性。頻率特性函數與傳送函數有直接的關系，記為：一、頻域分析的普通方法為相頻特性為幅頻特性其中)()()()()()()()()()()(wwwwXwXwAewAjwXjwXjwGioiowjioq求取系統對數頻率特性圖波特圖：求取系統對數頻率特性圖波特圖：bode()q求取系統奈奎斯特圖幅相曲線圖或極坐標圖：求取系統奈奎斯特圖幅相曲線圖或極坐標圖：nyquist()q頻域分析法是運用頻率特性研討控制系統的一種頻域分析法是運用頻率特性研討控制系統的一種典型方法。采用這種方法可直觀地表達出系統的頻典型方法。采用這種方法可直觀地表達出系統的頻率特

26、性，分析方法比較簡單，物理概念比較明確，率特性，分析方法比較簡單，物理概念比較明確，對于諸如防止構造諧振、抑制噪聲、改善系統穩定對于諸如防止構造諧振、抑制噪聲、改善系統穩定性和暫態性能等問題，都可以從系統的頻率特性上性和暫態性能等問題，都可以從系統的頻率特性上明確地看出其物理本質和處理途經。通常將頻率特明確地看出其物理本質和處理途經。通常將頻率特性用曲線的方式進展表示，包括對數頻率特性曲線性用曲線的方式進展表示，包括對數頻率特性曲線和幅相頻率特性曲線簡稱幅相曲線，和幅相頻率特性曲線簡稱幅相曲線，MATLAB提供提供了繪制這兩種曲線的函數。了繪制這兩種曲線的函數。二、常用頻域分析函數MATLAB

27、根本頻域分析函數外，還提供了大量在工程實踐中廣泛運用的庫函數，由這些函數可以求得系統的各種頻率呼應曲線和 特征值。如：margin：求幅值裕度和相角裕度及對應的轉機頻率：求幅值裕度和相角裕度及對應的轉機頻率freqs：模擬濾波器特性：模擬濾波器特性nichols：求延續系統的尼科爾斯頻率呼應曲線即：求延續系統的尼科爾斯頻率呼應曲線即對數幅相曲線對數幅相曲線ngrid：尼科爾斯方格圖：尼科爾斯方格圖控制系統的根軌跡分析控制系統的根軌跡分析q所謂根軌跡是指，當開環系統某一參數從零變所謂根軌跡是指，當開環系統某一參數從零變到無窮大時，閉環系統特征方程的根在到無窮大時，閉環系統特征方程的根在s平面上的

28、平面上的軌跡。普通來說，這一參數選作開環系統的增益軌跡。普通來說，這一參數選作開環系統的增益K，而在無零極點對消時，閉環系統特征方程的，而在無零極點對消時，閉環系統特征方程的根就是閉環傳送函數的極點。根就是閉環傳送函數的極點。q根軌跡分析方法是分析和設計線性定?？刂葡蹈壽E分析方法是分析和設計線性定?？刂葡到y的圖解方法，運用非常簡便。利用它可以對系統的圖解方法，運用非常簡便。利用它可以對系統進展各種性能分析統進展各種性能分析.一、根軌跡分析方法的概念穩定性當開環增益K從零到無窮大變化時，圖中的根軌跡不會越過虛軸進入右半s平面，因此這個系統對一切的K值都是穩定的。假設根軌跡越過虛軸進入右半s平面，那么其交點的K值就是臨界穩定開環增益。穩態性能開環系統在坐標原點有一個極點，因此根軌跡上的K值就是靜態速度誤差系數，假設給定系統的穩態誤差要求，那么可由根軌跡確定閉環極點允許的范圍。動態性能v當0K0.5時，閉環極點為復數極點，系統為欠阻尼系統，單位階躍呼應為阻尼振蕩過程，且超調量與K成正比。二、根軌跡分析函數通常來說，繪制系統的根軌跡是很繁瑣的事情，在MATLAB中，專門提供了繪制根軌跡的有關函數。pzmap：繪制線性系統的零極點圖：繪制線性系統的零極點圖rlocus：求系統根軌跡。：求系統根軌跡。rlocfind：計算給定一組根的根軌跡增益。：計算給定