1、 分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的首要工作是確定系統(tǒng)的數(shù)模，分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的首要工作是確定系統(tǒng)的數(shù)模，一旦獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，就可以采用幾種不同的方法一旦獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，就可以采用幾種不同的方法去分析系統(tǒng)的性能。去分析系統(tǒng)的性能。 線性系統(tǒng)：線性系統(tǒng)：時(shí)域分析法，時(shí)域分析法，根軌跡法，根軌跡法，頻率法頻率法 非線性系統(tǒng)：非線性系統(tǒng)： 多輸入多輸出系統(tǒng)：多輸入多輸出系統(tǒng)：描述函數(shù)法描述函數(shù)法， 相平面法相平面法 采樣系統(tǒng)：采樣系統(tǒng)：Z Z 變換法變換法狀態(tài)空間法狀態(tài)空間法 s11(t)LR(s)1(t)1A0t00tAr(t)1. 記記為為稱稱單單位位階階躍躍函函數(shù)數(shù)，令令階階躍躍函函數(shù)數(shù)（位位置置

2、函函數(shù)數(shù)）動(dòng)態(tài)性能，靜態(tài)性能。動(dòng)態(tài)性能，靜態(tài)性能。 動(dòng)態(tài)性能動(dòng)態(tài)性能需要通過其對輸入信號(hào)的響應(yīng)過程來評(píng)價(jià)。因此在分需要通過其對輸入信號(hào)的響應(yīng)過程來評(píng)價(jià)。因此在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，需要一個(gè)對系統(tǒng)的性能進(jìn)行比較的基準(zhǔn)析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，需要一個(gè)對系統(tǒng)的性能進(jìn)行比較的基準(zhǔn)-典型輸入信號(hào)典型輸入信號(hào)。條件：。條件：1 能反映實(shí)際輸入能反映實(shí)際輸入；2 在形式上盡可能簡在形式上盡可能簡單，便于分析單，便于分析；3 使系統(tǒng)運(yùn)行在最不利的工作狀態(tài)使系統(tǒng)運(yùn)行在最不利的工作狀態(tài)。t f(t)01 000)(ttAttr21)( 1sttL t f(t)0 00021)(2ttAttr)( 1212tt 321

3、121)(sttLsR t f(t)0 1)()( tLsR 000ttt 并并有有 1 dtt 及及t (t)0 tttttt121112 求導(dǎo)求導(dǎo)積分積分求導(dǎo)求導(dǎo)積分積分求導(dǎo)求導(dǎo)積分積分 tAtr sin 22sin)( sAtALsR h(t)t時(shí)間時(shí)間tr上上 升升峰值時(shí)間峰值時(shí)間tpAB超調(diào)量超調(diào)量% =AB100%動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義1h(t)t調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間tsh(t)t時(shí)間時(shí)間tr上上 升升峰值時(shí)間峰值時(shí)間tpAB超調(diào)量超調(diào)量% =AB100%調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間tsh(t)t上升時(shí)間上升時(shí)間tr調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間 ts動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義2h(t)tAB動(dòng)

4、態(tài)性能指標(biāo)定義動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義3trtpts%=BA100% %)()()(%100 cctcMpp)(limteetss 凡是可用一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。凡是可用一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。)()()(trtcdttdcT 11)()()( TssRsCs R C r(t) c(t) 1Ts+R(s)C(s) 1Ts+1R(s)C(s)tc(t) T 2T 3T 4T 當(dāng)輸入信號(hào)當(dāng)輸入信號(hào)r(t)=1(t)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)稱作其單位階躍響應(yīng)。稱作其單位階躍響應(yīng)。01 t ec(t)TtTsssTssRssC111111 )()()( 響應(yīng)曲線在響應(yīng)

5、曲線在0， ） 的時(shí)間區(qū)間中始終不會(huì)的時(shí)間區(qū)間中始終不會(huì)超過其穩(wěn)態(tài)值，把這樣超過其穩(wěn)態(tài)值，把這樣的響應(yīng)稱為的響應(yīng)稱為非周期響應(yīng)非周期響應(yīng)。無振蕩無振蕩0.6320.950.9820.8651.0定義：定義：c(ts) 1 = ( 取取5%或或2%)Ttse %)2(4%)5(3TtTtss可以用時(shí)間常數(shù)可以用時(shí)間常數(shù)T去度量去度量系統(tǒng)輸出量的數(shù)值。系統(tǒng)輸出量的數(shù)值。 T 2T 3T 4T tc(t)0.6320.950.9820.8651.0T反映了系統(tǒng)的反映了系統(tǒng)的慣性。慣性。T越小慣性越小，越小慣性越小，響應(yīng)快！響應(yīng)快！T越大，慣性越越大，慣性越大，響應(yīng)慢。大，響應(yīng)慢。01 t ec(t)

6、Tt r(t) = t TsTsTssTssC1111122 )()0( )(/ tTeTttcTttc(t)0r(t)= tc(t) = t T + Tet/T是一個(gè)與輸入斜坡函數(shù)斜率相同但在時(shí)間上是一個(gè)與輸入斜坡函數(shù)斜率相同但在時(shí)間上遲后了一個(gè)時(shí)間常數(shù)遲后了一個(gè)時(shí)間常數(shù)T的斜坡函數(shù)。的斜坡函數(shù)。TT穩(wěn)態(tài)分量（跟蹤項(xiàng)+常值）暫態(tài)分量Ttc )( 表明過渡過程結(jié)束后，其穩(wěn)態(tài)輸出與單位斜坡輸入之間，在位表明過渡過程結(jié)束后，其穩(wěn)態(tài)輸出與單位斜坡輸入之間，在位置上仍有誤差，一般叫做置上仍有誤差，一般叫做。 在階躍響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而減小，在階躍響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置

7、誤差隨時(shí)間而減小，最終趨于最終趨于0 0，而在初始狀態(tài)下，位置誤差最大，響應(yīng)曲線的斜率也，而在初始狀態(tài)下，位置誤差最大，響應(yīng)曲線的斜率也最大；最大； 在斜坡響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而增大，在斜坡響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而增大，最終趨于常值最終趨于常值T T，在初始狀態(tài)下，位置誤差和響應(yīng)曲線的斜率均等，在初始狀態(tài)下，位置誤差和響應(yīng)曲線的斜率均等于于0 0。0 tc(t)1.0tc(t)0r(t)= tTTR(s)=111)( TssC 它恰是系統(tǒng)的閉環(huán)傳函，這它恰是系統(tǒng)的閉環(huán)傳函，這時(shí)輸出稱為脈沖（沖激）響應(yīng)時(shí)輸出稱為脈沖（沖激）響應(yīng)函數(shù)，以函數(shù)，以h(t)標(biāo)

8、志。標(biāo)志。TteTtCth 1)()(脈沖)()(tCdtdtC斜坡階躍 )()(tCdtdtC階躍脈沖 )()(trdtdtr斜坡階躍 )()(trdtdtr階躍脈沖 對應(yīng)對應(yīng)T 2T 3Tth(t)01/T0.368/T0.135/T0.05/T)()()(sRsGsCB )()()()()()(1ssCssRsGdttdrLsGsCBB dttdctc)()(1 2. )(1)()()()()(2sCsssRsGdttrLsGsCBB dttyty)()(2 1.。二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 標(biāo)準(zhǔn)化二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為：標(biāo)準(zhǔn)化二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為： 閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為22

9、2222)2(1)2()(nnnnnnnsssssss 二階系統(tǒng)有兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)二階系統(tǒng)有兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù) ( (阻尼比阻尼比) )和和 n n( (無阻尼振蕩頻無阻尼振蕩頻率率) ) 。二階系統(tǒng)的性能分析和描述，都是用這兩個(gè)參數(shù)表示的。二階系統(tǒng)的性能分析和描述，都是用這兩個(gè)參數(shù)表示的。s(s+2 n)R(s)C(s) n2 +微分方程式為：微分方程式為： )()()()(22trtcdttdcRCdttcdLC 222222121)()()(nnnssTssTsRsCs 零零初初條條件件LCT LCR2 Tn/1 例如例如: RLC電路電路RCr(t)c(t)L j 0二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，即二

10、階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，即 s 2 + 2 n s + n2 = 0其兩個(gè)特征根為：其兩個(gè)特征根為：122, 1 nns 上述二階系統(tǒng)的特征根表達(dá)式中，隨著阻尼比上述二階系統(tǒng)的特征根表達(dá)式中，隨著阻尼比 的不同取值，的不同取值，特征根有不同類型的值，或者說在特征根有不同類型的值，或者說在s s平面上有平面上有不同的分布規(guī)律。分述如下：不同的分布規(guī)律。分述如下：s1s2(1) 1 時(shí)，特征根為一對不等值時(shí)，特征根為一對不等值的的負(fù)實(shí)根負(fù)實(shí)根，位于，位于s 平面的負(fù)實(shí)平面的負(fù)實(shí)軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為過阻尼過阻尼的。的。(3) 0 1 時(shí)，特征根為一對具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根

11、，位于時(shí)，特征根為一對具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，位于s平面平面 的左半平面上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為的左半平面上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為欠阻尼欠阻尼的。的。(2) =1時(shí)，特征根為一對等值的負(fù)實(shí)根，位于時(shí)，特征根為一對等值的負(fù)實(shí)根，位于s 平面的負(fù)實(shí)軸上，平面的負(fù)實(shí)軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為臨界阻尼臨界阻尼的。的。 j 0s1= s2 = n ns1s2 j d n j 0122, 1 nns j 0 (4) (4) =0 =0 時(shí)，特征根為一對幅值相等的虛根，位于時(shí)，特征根為一對幅值相等的虛根，位于s s平面的虛軸上，平面的虛軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為無阻尼的使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為

12、無阻尼的等幅振蕩等幅振蕩過程。過程。 j n j 0 (5) 1 = 10 1 = 02222)(nnnsss 由式由式，其輸出的拉氏變換為其輸出的拉氏變換為ssssRssCnnn12)()()(222 )()(212ssssssCn 式中式中s1，s2是系統(tǒng)的兩個(gè)閉環(huán)特征根。是系統(tǒng)的兩個(gè)閉環(huán)特征根。 對上式兩端取拉氏反變換，可以求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達(dá)對上式兩端取拉氏反變換，可以求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達(dá)式。式。阻尼比在不同的范圍內(nèi)取值時(shí)，二階系統(tǒng)的特征根在阻尼比在不同的范圍內(nèi)取值時(shí)，二階系統(tǒng)的特征根在s s 平面上平面上的位置不同，二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)對應(yīng)有不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的位置不同，二階系

13、統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)對應(yīng)有不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。下面分。下面分別加以討論。別加以討論。（1 1）欠阻尼情況）欠阻尼情況 0 0變化率為正，變化率為正，c(t) 單調(diào)上升；單調(diào)上升； t ，變化率趨于，變化率趨于0。整個(gè)過程不出現(xiàn)振蕩，無超調(diào)，整個(gè)過程不出現(xiàn)振蕩，無超調(diào)，穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差0。)0( )(11)( ttetcntn sssCnn122 )()( tc(t)01nnnsss 112)(（4 4）過阻尼情況）過阻尼情況 1引入等效時(shí)間常數(shù)122, 1 nns 響應(yīng)特性包含響應(yīng)特性包含，且它們的代數(shù)和不會(huì)超過且它們的代數(shù)和不會(huì)超過1，因而響應(yīng)是，因而響應(yīng)是非振蕩非振蕩的。的。調(diào)節(jié)速度慢調(diào)節(jié)速度慢。（不

14、同于一階系統(tǒng)不同于一階系統(tǒng)）1/1/1)(21/12/21 TTeTTetcTtTt)1(121 nT)1(122 nTsTsTssCn111212 )/)(/()( )/)(/()/)(/(2211121111111TsTTTsTTs 0 tc(t)1.0ts（5）不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng) 0總結(jié)：總結(jié)： 1）1時(shí)，響應(yīng)與一階系統(tǒng)相似，無超調(diào)，但調(diào)節(jié)速度時(shí)，響應(yīng)與一階系統(tǒng)相似，無超調(diào)，但調(diào)節(jié)速度慢；慢； 3）0時(shí)，無過渡過程，直接進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，響應(yīng)等幅振蕩；時(shí)，無過渡過程，直接進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，響應(yīng)等幅振蕩； 4）01時(shí)，響應(yīng)有超調(diào)，但上升速度快，調(diào)節(jié)時(shí)間短，時(shí)，響應(yīng)有超調(diào)，但上升速度快，調(diào)節(jié)時(shí)間短，合理合

15、理選擇可使既快又平穩(wěn)，工程上把選擇可使既快又平穩(wěn)，工程上把0.707的二階系統(tǒng)稱為的二階系統(tǒng)稱為二階最優(yōu)系統(tǒng)二階最優(yōu)系統(tǒng)；Mp1. 1.欠阻尼欠阻尼 用用tr , tp , Mp , ts 四個(gè)性能指標(biāo)來衡量瞬態(tài)響應(yīng)的好壞。四個(gè)性能指標(biāo)來衡量瞬態(tài)響應(yīng)的好壞。c(t) t 010.50.05或或0.02tr tp tstddnrt 21arccos(1) 上升時(shí)間上升時(shí)間tr ：從零上升至：從零上升至第一次第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間，是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。間，是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。tr 越小，響應(yīng)越快。越小，響應(yīng)越快。(2) 峰值時(shí)間峰值時(shí)間tp：響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值，到達(dá)第

16、一個(gè)峰值所需：響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值，到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。的時(shí)間。 1)sin(111)(2 rnttdtrtetc 0)sin( rttdt 0)( pttdttdc1)(k ktrd ktt tepdpdpdtnn 0012sinsindnpt 21 0)cos(1)sin(122 pdtdpdtntetepnpn(3) ：響應(yīng)曲線偏離階躍曲線最大值，用百分比：響應(yīng)曲線偏離階躍曲線最大值，用百分比表示。表示。%100)()()( cctcMpp%100)sin(112 pdttepn%10021 eMtpp代入代入 Mp只是只是 的函數(shù)，其大小與自然頻率的函數(shù)，其大小與自然頻率n無關(guān)無關(guān)。

17、Mp (4) 調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間ts ：響應(yīng)曲線衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過：響應(yīng)曲線衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過5%所需要的時(shí)間。所需要的時(shí)間。 c(t) c( ) c( ) ( t ts )( )sin(112sdtttten 1)sin( td 工程上，當(dāng)工程上，當(dāng)0.1 0.9 時(shí)，通常用下列二式近似計(jì)時(shí)，通常用下列二式近似計(jì)算調(diào)節(jié)時(shí)間。算調(diào)節(jié)時(shí)間。nst4 nst3 ) ( 11 2sttten = 5% c() = 2% c()總結(jié)：總結(jié)： (1) n 一定，使一定，使tr tp 使使 ts ( 一定范圍一定范圍 )必須必須必須必須必須(2) 一定，使一定，使 tr tp ts n (3)

18、Mp 只由只由 決定決定必有必有nst4 nst3 dnpt 21%10021 eMpdnrt 21arccos例例3-1單位負(fù)反饋隨動(dòng)系統(tǒng)如圖所示單位負(fù)反饋隨動(dòng)系統(tǒng)如圖所示 解解: (1) 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)比較可得：與典型二階系統(tǒng)比較可得： K/T= n2 1/T = 2nTKTssTKKsTsKs/)(22 s(Ts+1)R(s)C(s)K +(2) K = 16，T = 0.25時(shí)時(shí))/(8/sradTKn 25. 021 KT )(24. 025. 01825. 0arccos2str )(41. 025. 0182stp )(5 . 125. 0

19、833stns %47%100225. 0125. 0 eMp( =0.05 )K/T= n2 1/T = 2n 設(shè)單位反饋的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，設(shè)單位反饋的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。 例例3.2解：解：圖示為一欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階圖示為一欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。由圖中給出的階躍響應(yīng)性躍響應(yīng)曲線。由圖中給出的階躍響應(yīng)性能指標(biāo)，先確定二階系統(tǒng)參數(shù)，再求傳能指標(biāo)，先確定二階系統(tǒng)參數(shù)，再求傳遞函數(shù)。遞函數(shù)。 %100e3 . 0%30%21/ 2 . 13 . 0lnln12 e 36. 0 秒秒1 . 01t2ndp

20、 12n6 .33934. 04 .3114 .31 秒秒) s (G1) s (G1130s2 .24s1130s2s) s (22nn22n )2 .24s ( s1129)2s ( s) s (1) s () s (Gn2n 0t(s)11.30.1h(t)抑制振蕩，抑制振蕩，使超調(diào)減弱，使超調(diào)減弱，改善系統(tǒng)平穩(wěn)性改善系統(tǒng)平穩(wěn)性,調(diào)節(jié)時(shí)間減小。調(diào)節(jié)時(shí)間減小。3.3.4 改善二階系統(tǒng)性能的措施改善二階系統(tǒng)性能的措施C(s)R(s)(- -)Go(s)2s(sn2n E(s)U(s)tttttr(t) 1 1 c(t) e(t) u(t)(teTdt1 0 0 0 0 01t1. 比例比例微

21、分控制微分控制 (1) 方法的思路方法的思路未超前校正未超前校正超前校正超前校正3.3.13.3.33.3.23.3.5 開環(huán)傳遞函數(shù)：開環(huán)傳遞函數(shù)： 開環(huán)增益：開環(huán)增益： K= n/2)12/()1()2()1()()()(2 ndndnsssTKsssTsEsCsG aTassasasnddnndn2,/1,2)(222 特點(diǎn)特點(diǎn): (1) 引入比例微分控制，使系統(tǒng)阻尼比增加，從而抑制振引入比例微分控制，使系統(tǒng)阻尼比增加，從而抑制振蕩，使超調(diào)減弱，改善系統(tǒng)平穩(wěn)性；蕩，使超調(diào)減弱，改善系統(tǒng)平穩(wěn)性； (2) 零點(diǎn)的出現(xiàn)，將會(huì)加快系統(tǒng)響應(yīng)速度，使上升時(shí)間縮零點(diǎn)的出現(xiàn)，將會(huì)加快系統(tǒng)響應(yīng)速度，使上升

22、時(shí)間縮短，峰值提前，又削弱了短，峰值提前，又削弱了“阻尼阻尼”作用。因此適當(dāng)選擇微分時(shí)間作用。因此適當(dāng)選擇微分時(shí)間常數(shù)，使系統(tǒng)具有過阻尼，則響應(yīng)將在不出現(xiàn)超調(diào)的條件下，顯常數(shù)，使系統(tǒng)具有過阻尼，則響應(yīng)將在不出現(xiàn)超調(diào)的條件下，顯著提高快速性。著提高快速性。 (3) 不影響系統(tǒng)誤差，自然頻率不變。不影響系統(tǒng)誤差，自然頻率不變。 閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)系統(tǒng)具有零點(diǎn)閉環(huán)系統(tǒng)具有零點(diǎn),可以使上升時(shí)間提前可以使上升時(shí)間提前.阻尼增大阻尼增大,超調(diào)減小。超調(diào)減小。R(s)(- -)C(s)Go(s)2s(sn2n Tds+1 (2) 性能分析性能分析tttttr(t) 1 1 c(t) e(t)

23、u(t)t1 t1 0 0 0 0 0) t ( cT抑制振蕩，抑制振蕩，使超調(diào)減弱，使超調(diào)減弱，改善系統(tǒng)平穩(wěn)性改善系統(tǒng)平穩(wěn)性,調(diào)節(jié)時(shí)間減小。調(diào)節(jié)時(shí)間減小。R(s)(- -)C(s)2s(sn2n (- -)E(s)U(s)2. 速度反饋控制速度反饋控制 (1) 方法的思路方法的思路超前校正超前校正未超前校正未超前校正 1k2/ ss1k2)k2s ( s) s (E) s (C) s (G2ntnntn2ntn2n 2nnt22n2n2ntn22ns2ss )k2(s) s (R) s (C q由上可知：由上可知： 1) 速度反饋使速度反饋使 增大，振蕩和超調(diào)減小，改善了系統(tǒng)平穩(wěn)性；增大，振

24、蕩和超調(diào)減小，改善了系統(tǒng)平穩(wěn)性； 2) 速度負(fù)反饋控制的閉環(huán)傳遞函數(shù)無零點(diǎn)，其輸出平穩(wěn)性優(yōu)于速度負(fù)反饋控制的閉環(huán)傳遞函數(shù)無零點(diǎn)，其輸出平穩(wěn)性優(yōu)于比例比例微分控制；微分控制； 3) 系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差會(huì)加大，因此應(yīng)適當(dāng)提高系統(tǒng)系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差會(huì)加大，因此應(yīng)適當(dāng)提高系統(tǒng)的開環(huán)增益的開環(huán)增益.nttk 21 R(s)(- -)C(s)2s(sn2n KtS(- -)在二階系統(tǒng)中引入微分反饋：在二階系統(tǒng)中引入微分反饋：閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)傳遞函數(shù)為： (2) 性能分析性能分析 cz(t) t tc(t) cz(t) c(t)1)(dd1tctz (a) 閉

25、環(huán)零點(diǎn)對系統(tǒng)暫態(tài)閉環(huán)零點(diǎn)對系統(tǒng)暫態(tài) 響應(yīng)的影響響應(yīng)的影響00 1.8 1.6 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 2.0 0 r =0 r =1/4 r =1/2 r=1 1 2 3 4 5 6 7 8 (b) 單位階躍響應(yīng)曲線單位階躍響應(yīng)曲線 (=0.5) cz(t) nt閉環(huán)零點(diǎn)對系統(tǒng)的影響閉環(huán)零點(diǎn)對系統(tǒng)的影響 222222222222)1()()()(nnnnnnnnnsszsssssssRsCs )(1)()(tcztctcz峰值時(shí)間提前、超調(diào)增大、峰值時(shí)間提前、超調(diào)增大、振蕩加劇、調(diào)節(jié)時(shí)間拉長。振蕩加劇、調(diào)節(jié)時(shí)間拉長。 1 z上式中，上式中，r = zwn /z為

26、閉環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)零點(diǎn)為閉環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)零點(diǎn)的實(shí)部比的實(shí)部比G(s)，H(s) 一般是復(fù)變量一般是復(fù)變量s 的多項(xiàng)式之比，故上式可記為的多項(xiàng)式之比，故上式可記為 控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖所示。控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖所示。 )()(1)()()()(sHsGsGsRsCs 其閉環(huán)傳遞函數(shù)為其閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)R(s)C(s)+H(s) 式中式中0 k 0 ( i, j =1,2, , n)即，即，。 如果特征方程不滿足上式的條件，系統(tǒng)必然非漸近穩(wěn)定。但滿如果特征方程不滿足上式的條件，系統(tǒng)必然非漸近穩(wěn)定。但滿足上式，還不能確定一定是穩(wěn)定的，因?yàn)樯鲜絻H是必要條件。下面足上式，還不能確定一定是穩(wěn)定的，因?yàn)?/p>

27、上式僅是必要條件。下面給現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。給現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。 1. 1. 勞斯判據(jù)勞斯判據(jù) 勞斯表中第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)，等于相應(yīng)特征方程式位勞斯表中第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)，等于相應(yīng)特征方程式位于右半于右半s平面上根的個(gè)數(shù)。平面上根的個(gè)數(shù)。令系統(tǒng)特征方程為0, 001110aasasasannnn排勞斯表：排勞斯表：102113212321343212753116420f e e d d d c c c b b b b a a a a a a a a sssssssnnnn,bbaabc,bbaabc,bbaabc ,aaaaab,aaaaab,aaaaab 14171

28、3131512121311170613150412130211 表中表中：表中：1 1）最左一列元素按）最左一列元素按s 的冪次排列，由高到低，只起標(biāo)識(shí)作的冪次排列，由高到低，只起標(biāo)識(shí)作 用，不參與計(jì)算。用，不參與計(jì)算。 2 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3 3）從第三行起各元素，是根據(jù)前二行的元素計(jì)算得到。）從第三行起各元素，是根據(jù)前二行的元素計(jì)算得到。 2. 2.勞斯判據(jù)的應(yīng)用勞斯判據(jù)的應(yīng)用 例例3-1設(shè)有下列特征方程設(shè)有下列特征方程 D(s) = s4 +2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0，試用勞斯試用勞斯判據(jù)判

29、別該特征方程的正實(shí)部根的數(shù)目。判據(jù)判別該特征方程的正實(shí)部根的數(shù)目。 解解：勞斯表勞斯表第一列元素第一列元素 符號(hào)改變了符號(hào)改變了2次，次，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且系統(tǒng)不穩(wěn)定，且s 右半平右半平面有面有2個(gè)根。個(gè)根。s4s3s2s1s01 3 52 4 6155結(jié)論結(jié)論（1）若勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值,則系統(tǒng)穩(wěn)定（2）如果表中第一列的系數(shù)有正、負(fù)符號(hào)變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S右半平面上的個(gè)數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定例例3-23-2 一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程為401423423103 . 2 s38.5- 103 . 2 41.5 0 517 1 0103 . 25175 .41ssssss由于

30、該表第一列系數(shù)的符號(hào)變化了兩次，所以該方程中有二個(gè)根在S的右半平面，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的例例3-43-4 已知系統(tǒng)的特征方程為0116705175 .4123Ksss求系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍K16701 s0 41.5K16701-51741.5 K16701 41.5 0 517 1 0123sss0K167010K16701-51741.5欲使系統(tǒng)穩(wěn)定則應(yīng)滿足排勞斯表時(shí)，有兩種可能出現(xiàn)的特殊情況：排勞斯表時(shí)，有兩種可能出現(xiàn)的特殊情況：1）勞斯表中某一行中的第一項(xiàng)等于零，而該行的其余各項(xiàng)不全為零。解決的辦法是以一個(gè)很小正數(shù)來代替為零的這項(xiàng)。然后完成勞斯表的排列。9 .111K解不等式組得：結(jié)論：結(jié)

31、論：如果第一列上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號(hào)相同，則表示方程中有一對共軛虛根存在；如果第一列系數(shù)中有符號(hào)變化，其變化的次數(shù)等于該方程在S平面右半面上根的數(shù)目。例例3-53-5 已知系統(tǒng)的特征方程為02223sss，試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：解： 列勞斯表 2 s0 0 2 2 0 1 1 0123sss方程中有對虛根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。方程中有對虛根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例例3-6 系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為 D(s) = s3 3s + 2 = 0試用勞斯判據(jù)確定正實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)。試用勞斯判據(jù)確定正實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)。解：系統(tǒng)的勞斯表為解：系統(tǒng)的勞斯表為：勞斯表中某勞斯表中某行的第一列元素為零，而其余行的第一列

32、元素為零，而其余各項(xiàng)不為零，或不全為零。對各項(xiàng)不為零，或不全為零。對此情況，可作如下處理：此情況，可作如下處理：s3s2s1s01 3 0 2用一個(gè)很小的正數(shù)用一個(gè)很小的正數(shù) 來代替第一列為零的項(xiàng)，從而使勞來代替第一列為零的項(xiàng)，從而使勞斯表繼續(xù)下去。斯表繼續(xù)下去。可用因子可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中乘以原特征方程，其中a可為任意正數(shù)，可為任意正數(shù)，再對新的特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)。再對新的特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)。 321b0+時(shí)，時(shí)，b1 0，勞斯表，勞斯表中第一列元素符號(hào)改變了兩中第一列元素符號(hào)改變了兩次次系統(tǒng)有兩個(gè)正根，不穩(wěn)定。系統(tǒng)有兩個(gè)正根，不穩(wěn)定。 用（用（s+3）乘以原特征方程，

33、得新的特征方程為：）乘以原特征方程，得新的特征方程為： D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 3s2 7s + 6 = 0s3s2s1s01 3 0() 22s4s3s2s1s0 1 3 6 3 7 2/3 6 20 6例例3-7 設(shè)某線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為設(shè)某線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 D(s) = s6+s5 2s4 3s3 7s2 4s - 4 = 0 試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解解:該系統(tǒng)的勞斯表如下該系統(tǒng)的勞斯表如下勞斯表中某行元素全為零。此時(shí)，特征勞斯表中某行元素全為零。此時(shí)，特征方程中存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的根（實(shí)根，共軛虛根或共

34、軛復(fù)方程中存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的根（實(shí)根，共軛虛根或共軛復(fù)數(shù)根）。對此情況，可作如下處理：數(shù)根）。對此情況，可作如下處理：s6s5s4s3s2 1 2 7 -4 1 3 4 1 3 4 0 0 0 由于勞斯表中第一列元素的符號(hào)改變了兩次，由于勞斯表中第一列元素的符號(hào)改變了兩次，系統(tǒng)有兩個(gè)正系統(tǒng)有兩個(gè)正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。通過解輔助方程可求出關(guān)于原點(diǎn)對稱的根：根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。通過解輔助方程可求出關(guān)于原點(diǎn)對稱的根： s1=1 和和 s2= 1 。 對本例題，可用長除法求出另二個(gè)根，分別為對本例題，可用長除法求出另二個(gè)根，分別為 s3=1 和和 s4= 2 。 用全零行的上一行的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)輔助方程，對輔助

35、用全零行的上一行的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)輔助方程，對輔助方程求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)代替全零行，繼續(xù)勞斯表。方程求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)代替全零行，繼續(xù)勞斯表。s6s5s4s3s2s1s0 1 2 7 -4 1 3 4 1 3 4 4 6 0 1.5 4 16.7 0 4F(s) =s4 3s2 4=0 F (s)= 4s3 6 例例3-8 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。的取值范圍。 解：系統(tǒng)特征方程式解：系統(tǒng)特征方程式 s3 + 3s2 + 2s + K = 0要使系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯表中第要使系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯表中第一列元素均大于零。一列元素均大于零。0

36、 K 6s3s2s1s0 1 2 3 K(6 K)/3 Ks(s+1)(s+2)R(s)C(s) K+ 例例3-9 檢驗(yàn)多項(xiàng)式檢驗(yàn)多項(xiàng)式2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0是否有根在是否有根在s 右半平面，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在垂直線右半平面，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在垂直線 s = 1的右邊？的右邊？解：解：1) 勞斯表中第一列元素均勞斯表中第一列元素均為正為正系統(tǒng)在系統(tǒng)在s 右半平面沒有右半平面沒有根，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。根，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 2) 令令 s1 = s 1 坐標(biāo)平移，坐標(biāo)平移， 得新特征方程為得新特征方程為 2 s13 + 4 s12 s1 1 = 0s3s2s1s0 2 13 10

37、412.2 4-1sS1 勞斯表中第一列元素不全為正，且第一列元素符號(hào)勞斯表中第一列元素不全為正，且第一列元素符號(hào)改變了一次，故系統(tǒng)在改變了一次，故系統(tǒng)在s1 右半平面有一個(gè)根。因此，系右半平面有一個(gè)根。因此，系統(tǒng)在垂直線統(tǒng)在垂直線 s = 1的右邊有一個(gè)根。的右邊有一個(gè)根。s13s12s11s10 2 1 4 1 0.5 13.6 1. 1. 誤差的定義誤差的定義 誤差的定義有兩種：誤差的定義有兩種： 從系統(tǒng)輸入端定義，從系統(tǒng)輸入端定義，即即 E(s)=R(s) B(s) 從系統(tǒng)輸出端定義，它定義為從系統(tǒng)輸出端定義，它定義為Eo(s)=R(s) C(s) 2.2.兩種定義的關(guān)系兩種定義的關(guān)系

38、G(s)R(s)C(s)+H(s)E(s)B(s)?)( sE誤差傳遞函數(shù) 由圖可知，由圖可知，。因而，。因而， E(s)是從輸出端定義的非是從輸出端定義的非單位控制系統(tǒng)的誤差。單位控制系統(tǒng)的誤差。 E(s) = R(s) B(s) = R(s) H(s)C(s) )()()(1)()()(sCsRsHsCsRsE G(s)H(s)R(s)C(s) 1H(s)E (s)R(s)+)()(1)()()()(1sEsHsCsHsRsH 由圖所示，誤差定義有兩種方式：由圖所示，誤差定義有兩種方式： 1)e(t)=r(t)-c(t),無法量測無法量測 2)e(t)=r(t)-b(t)單位反饋時(shí)兩種定義

39、相同。單位反饋時(shí)兩種定義相同。 穩(wěn)態(tài)誤差是衡量系統(tǒng)最終控制精度的重要性能指標(biāo)。穩(wěn)態(tài)誤穩(wěn)態(tài)誤差是衡量系統(tǒng)最終控制精度的重要性能指標(biāo)。穩(wěn)態(tài)誤差是指，差是指，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的希望值與實(shí)際值之差穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的希望值與實(shí)際值之差，即穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終，即穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值值 , e(t)=希望值希望值實(shí)際值實(shí)際值tss) t ( elime)()(11)()()(sHsGsRsEse )()(1)(lim)(lim)(lim00sHsGssRssEteesstss E(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(- -) 根據(jù)根據(jù)終值定理終值定理 使用該公式應(yīng)滿足使用該公式應(yīng)滿足sE(s)在在s右半平面及虛軸上解

40、析的條件，即右半平面及虛軸上解析的條件，即 sE(s)的極點(diǎn)均位于的極點(diǎn)均位于s左半平面。當(dāng)左半平面。當(dāng)sE(s)在坐標(biāo)原點(diǎn)具有極點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)具有極點(diǎn) 時(shí)，時(shí)，雖不滿足虛軸上解析的條件，但使用后所得無窮大的結(jié)果正巧與雖不滿足虛軸上解析的條件，但使用后所得無窮大的結(jié)果正巧與實(shí)際應(yīng)有的結(jié)果一致，因此實(shí)際應(yīng)用時(shí)實(shí)際應(yīng)有的結(jié)果一致，因此實(shí)際應(yīng)用時(shí) 可用此公式。可用此公式。誤差傳遞函數(shù)誤差傳遞函數(shù)為：為： 3.3.穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差ess定義：定義：)(lim)(limsssEteetss 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳函為：設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳函為：TssG1)( TssTssGssRsEe/1/11

41、1)(11)()()( (1) 當(dāng)當(dāng) r(t) = t2/2 R(s) =1/s3解法一：解法一：31/1)(sTsssE sTsssEessss1/11lim)(lim00試求當(dāng)輸入信號(hào)分別為試求當(dāng)輸入信號(hào)分別為r(t) = t2/2 ，r(t) = 1(t) ， r(t) = t ， r(t) = sint 時(shí)時(shí)，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解：解：解法二解法二：TsTsTsTsTsssE/11/1)(2223 e(t) = T(tT) + T2 e t/T )(lim)(teeesstssss(2)當(dāng)當(dāng) r(t) = 1(t) R(s) =1/ssTsssRsGsE1/1)

42、()(11)( 0)(lim0 ssEesss(3)當(dāng)當(dāng) r(t) = t R(s) =1/s221/1)(sTsssE TsTsssEsessss 1/1lim)(lim00221)( ssssET222222122111 scssTTsTTTtTTtTTeTTteTt sin1cos11)(22222222 )sin(cos1)(22tTtTTtess 0)( sse)sin(122 tTTTtg 11 (4)當(dāng)當(dāng)r(t) = sint R(s) = /(s2 + 2) 一、影響穩(wěn)態(tài)誤差的因素一、影響穩(wěn)態(tài)誤差的因素 一般開環(huán)傳遞函數(shù)可以寫成如下形式：一般開環(huán)傳遞函數(shù)可以寫成如下形式： nj

43、jmiinmsTssKsTsTsTssssKsHsG11221)1()1()1()1)(1()1()1)(1()()(1 sKsRssKsTsssRsTssHsGSsRsEsteessnjmjijnjjssstss010111000lim)(lim)1()1()()1(lim)()(1)(lim)(lim)(lim 穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)誤誤差差為為3.6.2 系統(tǒng)類型與靜態(tài)誤差系數(shù)系統(tǒng)類型與靜態(tài)誤差系數(shù)q 顯然，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于原點(diǎn)處開環(huán)極點(diǎn)的顯然，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于原點(diǎn)處開環(huán)極點(diǎn)的階次階次 、開環(huán)、開環(huán)增益增益K以及輸入信號(hào)的形式。以及輸入信號(hào)的形式。 式中，式中，K為開環(huán)增益。為開環(huán)增益。 為開

44、環(huán)系統(tǒng)在為開環(huán)系統(tǒng)在s平面坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)平面坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)重?cái)?shù)，重?cái)?shù)， =0,1,2時(shí)，系統(tǒng)分別稱為時(shí)，系統(tǒng)分別稱為 0 型、型、型、型、型系統(tǒng)。型系統(tǒng)。3.5.1例例3.5.23.5.4二、階躍輸入下穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)位置誤差系數(shù)二、階躍輸入下穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)位置誤差系數(shù))()(lim1)()(1lim)()(1)(lim)(lim0000sHsGRsHsGRsHsGssRsEsessssss sRsRtRtr)(),( 1)(稱稱為為位位置置誤誤差差系系數(shù)數(shù) )()(lim0sHsGKsppsskRe 1于是于是 0,II0,I1,0sspsspsspekekkRekk型系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)型

45、系統(tǒng)型系統(tǒng)三、斜坡輸入下穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)速度誤差系數(shù)三、斜坡輸入下穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)速度誤差系數(shù))()(lim)()(lim)()(1)(lim)(lim0000sHssGRsHssGsRsHsGssRsEsessssss 2)(),( 1)(sRsRtRttr稱稱為為靜靜態(tài)態(tài)速速度度誤誤差差系系數(shù)數(shù) )()(lim0sHssGKsvvsskRe 于是于是 0,II,I,0,0ssvssvssvekkRekkek型型系系統(tǒng)統(tǒng)型型系系統(tǒng)統(tǒng)型型系系統(tǒng)統(tǒng)四、加速度輸入下穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)加速度誤差系數(shù)四、加速度輸入下穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)加速度誤差系數(shù))()(lim)()(lim)()(1)(lim)(lim2022

46、000sHsGsRsHsGssRsHsGssRsEsessssss 32)(),( 121)(sRsRtRttr數(shù)數(shù)稱稱為為靜靜態(tài)態(tài)加加速速度度誤誤差差系系 )()(lim20sHsGsKsaasskRe 于是于是 kRekkekekssassassa,II,0,I,0,0型系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)如表如表3-1。 五、系統(tǒng)型別、靜態(tài)誤差系數(shù)與輸入信號(hào)行式之間的關(guān)系五、系統(tǒng)型別、靜態(tài)誤差系數(shù)與輸入信號(hào)行式之間的關(guān)系 減小或消除誤差的措施減小或消除誤差的措施：提高開環(huán)積分環(huán)節(jié)的階次：提高開環(huán)積分環(huán)節(jié)的階次 、增加、增加開環(huán)增益開環(huán)增益 K。表表3-1 3-1 輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差r(t)=B t系統(tǒng)系統(tǒng)型別型別ess=B/Kv 002