1、 第九章 第五節一、一個方程所確定的隱函數一、一個方程所確定的隱函數 及其導數及其導數 二、方程組所確定的隱函數組二、方程組所確定的隱函數組 及其導數及其導數(略略)隱函數的求導方法 方程方程 確定了一個函數確定了一個函數方程方程 也確定了一個函數也確定了一個函數2220 xyR22yRxln20 xyxyye( )yf x隱函數如何確立？隱函數如何確立？一、一個方程所確定的隱函數及其導數一、一個方程所確定的隱函數及其導數 定理定理1.1.設函數設函數),(00yxP),(yxF;0),(00yxF則方程則方程00),(xyxF在點單值連續函數單值連續函數 y = f (x) , )(00 x

2、fy 并有連續并有連續yxFFxydd(隱函數求導公式隱函數求導公式)定理證明從略，定理證明從略，僅就求導公式推導如下：僅就求導公式推導如下： 具有連續的偏導數具有連續的偏導數; ;的的某鄰域內某鄰域內可唯一確定一個可唯一確定一個在點在點的某一鄰域內滿足的某一鄰域內滿足0),(00yxFy滿足條件滿足條件導數導數0)(,(xfxF兩邊對兩邊對 x 求導求導0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所確定的隱函數為方程設yxFxfy在在),(00yx的某鄰域內的某鄰域內則則若若F( x , y ) 的二階偏導數也都連續的二階偏導數也都連續, ,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3

3、222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFFxydd)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二階導數二階導數 :)(yxFFxxyxxydd則還可求隱函數的則還可求隱函數的 解解令令1),(22 yxyxF則則,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在點點)1 , 0(的的某某鄰鄰域域內內能能唯唯一一確確定定一一個個單單值值可可導導、且且0 x時時1 y的的函函數數)(xfy 函函數數的的一一階階和和二二階階導導數數為為yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxx

4、y ,13y . 1022 xdxyd解解令令則則,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 練習練習:驗證方程驗證方程01esinyxyx在點在點(0,0)某鄰域某鄰域可可確定一個確定一個單值可導隱函數單值可導隱函數, )(xfy d0dyxx解解: 令令, 1esin),(yxyyxFx;0)0 , 0(F,eyFxx連續連續 ;由由 定理定理1 可知可知,1)0 , 0(yF,0, )(xfy 導的隱函數導的隱函數 則則xyFy cos在在 x = 0 的某鄰域內方程存在單值可的某鄰域內方程存在單值

5、可且且并求并求0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyxe0, 0yx0 xy)(, 01esinxyyyxyxyycos兩邊對兩邊對 x 求導求導1xey0 yx)0 , 0(cosexyyx導數的另一求法導數的另一求法 利用隱函數求導利用隱函數求導定理定理2 . 若函數若函數 ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某鄰域內具有的某鄰域內具有連續偏導數連續偏導數 ;則方程則方程0),(zyxF在點在點),(00yx并有連續偏導數并有連續偏導數, ),(000yxfz 定一個單值連續函數定一個單值連續函數 z = f (x , y) , 定理證明從略定理證明從略,

6、僅就求導公式推導如下僅就求導公式推導如下:滿足滿足;0),(000zyxF,0),(000zyxFz 在點在點滿足滿足:某一鄰域內可唯一確某一鄰域內可唯一確0),(,(yxfyxF兩邊對兩邊對 x 求偏導求偏導xFzxFFxzzyFFyz同樣可得同樣可得( , )( , , )0,zf x yF x y z設是方程所確定的隱函數則則zFxz00),(000zFzyx的某鄰域內在例例3. 設設,04222zzyx.22xz求解法解法1 利用公式利用公式設設zzyxzyxF4),(222則則,2xFxzxFFxz兩邊對兩邊對 x 求偏導求偏導)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2(

7、)2(zxz2zxzx242 zFz解法解法2 利用隱函數求導利用隱函數求導0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz再對再對 x 求導求導zxFFxz xz例例4. 設設F( x , y)具有連續偏導數具有連續偏導數, 0),(zyzxF.dz求解：解： 利用偏導數公式利用偏導數公式.是由方程設),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 確定的隱函數確定的隱函數,)dd(2121yFxFFyFxz則則)()(222

8、1zyzxFF 已知方程已知方程故故內容小結內容小結1. 隱函數隱函數( 組組) 存在定理存在定理2. 隱函數隱函數 ( 組組) 求導方法求導方法方法方法1. 利用復合函數求導法則直接計算利用復合函數求導法則直接計算 ;方法方法2. 代公式代公式 .思考與練習思考與練習設設, ),(zyxzyxfz求求.,yxzxxzzx 提示提示:),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf作業作業 P89 4； 5； 7.雅可比雅可比(1804 1851)德國數學家. 他在數學方面最主要的成就是和挪威數學家阿貝兒相互獨地奠定了橢圓函數論的基礎.