1、Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-13.7 鏡像法鏡像法（Method of Images）I鏡像法的基本概念鏡像法的基本概念I3.7.1 點電荷關于無限大導體平面的鏡像法點電荷關于無限大導體平面的鏡像法I3.7.2 點電荷關于導體球面的鏡像法點電荷關于導體球面的鏡像法I3.7.3 點電荷關于無限大介質平面的鏡像法點電荷關于無限大介質平面的鏡像法I3.7.4 線電荷關于無限長圓柱導體面的鏡像法線電荷關于無限長圓柱導體面的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理

2、論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-2鏡像法的基本概念鏡像法的基本概念 鏡像法鏡像法用鏡像電荷代替導體面或介質面的影響，利用用鏡像電荷代替導體面或介質面的影響，利用原電荷和鏡像電荷來計算場分布。原電荷和鏡像電荷來計算場分布。 當電荷附近存在著形狀比較特殊的導體面或介質面（例如當電荷附近存在著形狀比較特殊的導體面或介質面（例如為無限大平面、無限長圓柱面、球面等等）時，可以采用為無限大平面、無限長圓柱面、球面等等）時，可以采用鏡像法。鏡像法。 鏡像法的關鍵是要確定鏡像電荷的位置、大小和符號，使鏡像法的關鍵是要確定鏡像電荷的位置、大小和符號，使場量原來所滿足的方程及其邊界

3、條件保持不變。若能做到場量原來所滿足的方程及其邊界條件保持不變。若能做到這一點，則根據(jù)靜電場唯一性定理，用鏡像法所求出的解這一點，則根據(jù)靜電場唯一性定理，用鏡像法所求出的解就成為所要求的場的唯一解。就成為所要求的場的唯一解。 鏡像電荷實際上并不存在，它只是導體表面的感應電荷或鏡像電荷實際上并不存在，它只是導體表面的感應電荷或者是介質表面的極化電荷的一種等效。者是介質表面的極化電荷的一種等效。Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-3 照鏡子與導體面前的點電荷照鏡子與導體面前的點電荷 照鏡子時，對觀察者

4、而言照鏡子時，對觀察者而言 人鏡子人像（無鏡子）人鏡子人像（無鏡子） 采用鏡像法時，對場點而言采用鏡像法時，對場點而言 電荷導體面電荷鏡像電荷（無導體面）電荷導體面電荷鏡像電荷（無導體面）鏡像法的基本概念鏡像法的基本概念Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-43.7.1 點電荷關于無限大導體平面的鏡像法點電荷關于無限大導體平面的鏡像法I點電荷關于無限大導體平面的鏡像電荷點電荷關于無限大導體平面的鏡像電荷I點電荷關于無限大導體平面的鏡像電荷的數(shù)學證明點電荷關于無限大導體平面的鏡像電荷的數(shù)學證明I無限大

5、導體平面上方的點電荷所產生的電位和電場無限大導體平面上方的點電荷所產生的電位和電場I點電荷關于無限大導體平面的鏡像法的應用點電荷關于無限大導體平面的鏡像法的應用Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-5點電荷關于無限大導體平面的鏡像電荷點電荷關于無限大導體平面的鏡像電荷 點電荷關于無限大導體平面的鏡像電荷點電荷關于無限大導體平面的鏡像電荷大小相等、極大小相等、極性相反，位置以平面為對稱，即性相反，位置以平面為對稱，即Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場

6、及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-6 的平面是一個電位為零的等位面。由于導體的表面的平面是一個電位為零的等位面。由于導體的表面必為等位面，因此，如果用一個無限大的導體平面來替代必為等位面，因此，如果用一個無限大的導體平面來替代該等位面，則導體以上的場將不會改變。該等位面，則導體以上的場將不會改變。 電偶極子的電位和電場電偶極子的電位和電場點電荷關于無限大導體平面的鏡像電荷點電荷關于無限大導體平面的鏡像電荷Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-7點電荷關于無限大導體平面的鏡像法的數(shù)學證明

7、點電荷關于無限大導體平面的鏡像法的數(shù)學證明（3.7.1）（3.7.2）（3.7.3） 下面我們只需證明，（下面我們只需證明，（3.7.3）式所表示的電位是泊松方程）式所表示的電位是泊松方程（3.7.1）和邊界條件（）和邊界條件（3.7.2）式所確定的邊值問題的解。）式所確定的邊值問題的解。 導體平面上方的電位應滿足下列方程和邊界條件導體平面上方的電位應滿足下列方程和邊界條件 由點電荷和鏡像電荷即電偶極子所產生的電位由點電荷和鏡像電荷即電偶極子所產生的電位 Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-8 首

8、先，將首先，將 代入（代入（3.7.3）式，得出）式，得出 ，即邊界條，即邊界條件（件（3.7.2）式得到滿足。）式得到滿足。 再看在再看在 的上半空間，此時，的上半空間，此時， ，依（，依（1.3.12）式）式可知可知 如此一來，我們只需證明如此一來，我們只需證明（3.7.4）即可。即可。點電荷關于無限大導體平面的鏡像法的數(shù)學證明點電荷關于無限大導體平面的鏡像法的數(shù)學證明Authorware課件PPT第3章當當 ，即在源點處，可以取一個以源點為球心的球體，即在源點處，可以取一個以源點為球心的球體 ， 依高斯散度定理，可以得到依高斯散度定理，可以得到電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章

9、靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-9當當 ，即在不包含源點的區(qū)域，依（，即在不包含源點的區(qū)域，依（1.2.27）式可知）式可知 這里利用了關于閉合曲面立體角的結果。于是，也就證明了這里利用了關于閉合曲面立體角的結果。于是，也就證明了 的證明：的證明：點電荷關于無限大導體平面的鏡像法的數(shù)學證明點電荷關于無限大導體平面的鏡像法的數(shù)學證明Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-10無限大導體平面上方的點電荷所產生的無限大導體平面上方的點電荷所產生的電位和電位和電場電場（3.7.3） 無限

10、大導體平面上方的電位無限大導體平面上方的電位 無限大導體平面上方的電場無限大導體平面上方的電場Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-11 無限大導體平面上的電荷密度無限大導體平面上的電荷密度 和總電荷和總電荷無限大導體平面上方的點電荷所產生的無限大導體平面上方的點電荷所產生的電位和電位和電場電場Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-12 無限大導體平面上方的點電荷所產生場的分布圖無限大導體平面上方的點電荷

11、所產生場的分布圖無限大導體平面上方的點電荷所產生的無限大導體平面上方的點電荷所產生的電位和電位和電場電場Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-13 幾點說明：幾點說明： 用鏡像電荷來取代導體平面以后，在場域空間（上半空間）用鏡像電荷來取代導體平面以后，在場域空間（上半空間）所產生的電位仍然滿足原來電位的泊松方程和邊界條件。所產生的電位仍然滿足原來電位的泊松方程和邊界條件。 用鏡像電荷取代導體平面以后，對導體平面上方的場分布用鏡像電荷取代導體平面以后，對導體平面上方的場分布不產生任何影響。不產生任何影

12、響。 等效性僅僅在導體平面的上方才存在；在下半空間，這種等效性僅僅在導體平面的上方才存在；在下半空間，這種等效性是不存在的。等效性是不存在的。 嚴格地說，只有當導電平面為無限大時，鏡像電荷才與原嚴格地說，只有當導電平面為無限大時，鏡像電荷才與原電荷等值異號，并位于原電荷的鏡像位置上。對于有限的電荷等值異號，并位于原電荷的鏡像位置上。對于有限的導體平面，利用鏡像法得到的只是近似結果。導體平面，利用鏡像法得到的只是近似結果。 實際中，只要導電平面的面積足夠大，滿足一定的條件，實際中，只要導電平面的面積足夠大，滿足一定的條件，都可以按都可以按無限大導體平面處理。無限大導體平面處理。無限大導體平面上方

13、的點電荷所產生的無限大導體平面上方的點電荷所產生的電位和電位和電場電場Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-14點電荷關于無限大導體平面的鏡像法的應用點電荷關于無限大導體平面的鏡像法的應用 如果導電平面上方存在多個點電荷或任意分布形式的電荷，如果導電平面上方存在多個點電荷或任意分布形式的電荷，可以用導體平面下方對稱位置上的多個鏡像點電荷或同樣可以用導體平面下方對稱位置上的多個鏡像點電荷或同樣形式的鏡像電荷分布來代替導體平面的影響。形式的鏡像電荷分布來代替導體平面的影響。I（1）線電荷與無限大導體平面

14、的鏡像法線電荷與無限大導體平面的鏡像法I（2）點電荷與兩個半無限大相交導體平面的鏡像法點電荷與兩個半無限大相交導體平面的鏡像法I（3）點電荷與兩個平行的無限大導體平面的鏡像法點電荷與兩個平行的無限大導體平面的鏡像法I補充說明補充說明Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-15（1）線電荷與無限大導體平面的鏡像法線電荷與無限大導體平面的鏡像法 鏡像線電荷與原線電荷大小相等、極性相反，且位置以平鏡像線電荷與原線電荷大小相等、極性相反，且位置以平面為對稱，即面為對稱，即Authorware課件PPT第3章電

15、磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-16 上半空間的電位分布上半空間的電位分布 若將零電位參考點取在導體平面上，即若將零電位參考點取在導體平面上，即 ，則有，則有 其中其中線電荷距零電位參考面的距離線電荷距零電位參考面的距離鏡像線電荷距零電位參考面的距離鏡像線電荷距零電位參考面的距離（1）線電荷與無限大導體平面的鏡像法線電荷與無限大導體平面的鏡像法Authorware課件PPT第3章 必須要有足夠多的鏡像電荷才能滿足兩個導體平面的邊界必須要有足夠多的鏡像電荷才能滿足兩個導體平面的邊界條件。條件。 只有夾角滿足條件只有夾角滿足條件 時，

16、才能利用鏡像時，才能利用鏡像法進行求解。鏡像電荷總數(shù)為法進行求解。鏡像電荷總數(shù)為 個。個。 如果將點電荷換成線電荷，可以采用類似的方法求解。如果將點電荷換成線電荷，可以采用類似的方法求解。電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-17（2）點電荷與兩個半無限大相交導體平面的鏡像法點電荷與兩個半無限大相交導體平面的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-18 將包括鏡像電荷在內的所有電荷所產生的場疊加，就得到將包括鏡像電荷在內的所有電荷所產生

17、的場疊加，就得到所要求的場。所要求的場。 當夾角當夾角 時，點電荷產生的電位分布為時，點電荷產生的電位分布為 當夾角當夾角 時，線電荷產生的電位分布為時，線電荷產生的電位分布為 零電位參考點取在兩個導體平面的交點上。零電位參考點取在兩個導體平面的交點上。（2）點電荷與兩個半無限大相交導體平面的鏡像法點電荷與兩個半無限大相交導體平面的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-19（3）點電荷與兩個平行的無限大導體平面的鏡像法點電荷與兩個平行的無限大導體平面的鏡像法 此時為了滿足兩個平行的導體平面的此

18、時為了滿足兩個平行的導體平面的邊界條件，需要無窮多的鏡像點電荷。邊界條件，需要無窮多的鏡像點電荷。顯然，最后所得到的電位分布將會是顯然，最后所得到的電位分布將會是一個級數(shù)。但是，通常只需計算離場一個級數(shù)。但是，通常只需計算離場域較近的鏡像電荷的影響即可。域較近的鏡像電荷的影響即可。 如果將點電荷換成無限長均勻線電荷，如果將點電荷換成無限長均勻線電荷，將得到無窮多的鏡像線電荷。將得到無窮多的鏡像線電荷。Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-20補充說明補充說明 鏡像法不僅可以應用于一個點電荷與一個導體

19、平面，而且鏡像法不僅可以應用于一個點電荷與一個導體平面，而且還可以應用于多個電荷與一個導體平面或者一個電荷與多還可以應用于多個電荷與一個導體平面或者一個電荷與多個導體平面或者多個電荷與多個導體平面的邊值問題。個導體平面或者多個電荷與多個導體平面的邊值問題。 不僅點電荷可以是任意形式的電荷分布，導體平面也可以不僅點電荷可以是任意形式的電荷分布，導體平面也可以是后面要討論的介質平面、導體球面或圓柱面。是后面要討論的介質平面、導體球面或圓柱面。 只要能確定適當?shù)溺R像電荷，使它們與原電荷一起滿足所只要能確定適當?shù)溺R像電荷，使它們與原電荷一起滿足所要求解的邊值問題同樣的源分布和邊界條件即可。要求解的邊值

20、問題同樣的源分布和邊界條件即可。Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-213.7.2 點電荷關于導體球面的鏡像法點電荷關于導體球面的鏡像法I1. 接地球（殼）外的點電荷的鏡像法接地球（殼）外的點電荷的鏡像法I2. 接地球殼內的點電荷的鏡像法接地球殼內的點電荷的鏡像法I3. 球或球殼不接地時鏡像法的應用球或球殼不接地時鏡像法的應用Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-22 鏡像電荷的大小和距球心的距離分別為

21、鏡像電荷的大小和距球心的距離分別為1. 接地球（殼）外的點電荷的鏡像法接地球（殼）外的點電荷的鏡像法（3.7.8）球（殼）的外半徑球（殼）的外半徑Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-23 電位所滿足的方程和邊界條件為電位所滿足的方程和邊界條件為 點電荷及其鏡像電荷所產生的電位為點電荷及其鏡像電荷所產生的電位為 接地球（殼）外的點電荷的鏡像法的驗證：接地球（殼）外的點電荷的鏡像法的驗證： 1. 接地球（殼）外的點電荷的鏡像法接地球（殼）外的點電荷的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場與電

22、磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-24 在接地球（殼）外，在接地球（殼）外， ，則，則 在接地球（殼）的表面，在接地球（殼）的表面， ，有，有 由此證明了上述鏡像電荷的大小和位置是正確的。由此證明了上述鏡像電荷的大小和位置是正確的。1. 接地球（殼）外的點電荷的鏡像法接地球（殼）外的點電荷的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-25 接地球（殼）外的點電荷所產生的電位接地球（殼）外的點電荷所產生的電位 將將 代入代入 就得到球殼就得到球殼外

23、的電場。球殼以及其內部內外的電場。球殼以及其內部內的電場為零，球殼內的電位因的電場為零，球殼內的電位因為球殼接地保持為零。為球殼接地保持為零。（3.7.9）1. 接地球（殼）外的點電荷的鏡像法接地球（殼）外的點電荷的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-26 導體球殼外表面分布著不均勻的感應面電荷，其面密度為導體球殼外表面分布著不均勻的感應面電荷，其面密度為 導體球殼外表面感應電荷總量為導體球殼外表面感應電荷總量為（3.7.10）（3.7.11）1. 接地球（殼）外的點電荷的鏡像法接地球（殼）

24、外的點電荷的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-27 幾點說明：幾點說明： 由于由于 ，所以總的感應電荷等于鏡像電荷，但是電，所以總的感應電荷等于鏡像電荷，但是電量小于實際的點電荷的電量。量小于實際的點電荷的電量。 導體球外的電場正是由點電荷以及球殼的外表面上的感應導體球外的電場正是由點電荷以及球殼的外表面上的感應面電荷共同作用的結果。面電荷共同作用的結果。 鏡像電荷實際上并不存在，它只是球殼的外表面上的感應鏡像電荷實際上并不存在，它只是球殼的外表面上的感應面電荷的一種等效。面電荷的一種等效

25、。1. 接地球（殼）外的點電荷的鏡像法接地球（殼）外的點電荷的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-28 鏡像電荷的大小和距球心的距離同樣為鏡像電荷的大小和距球心的距離同樣為2. 接地球殼內的點電荷的鏡像法接地球殼內的點電荷的鏡像法（3.7.12）球殼的內半徑球殼的內半徑Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-29 接地球殼內的點電荷所產生的電位接地球殼內的點電荷所產生的電位 將將 代入代入 就得到球

26、殼就得到球殼內的電場。球殼以及球殼外部內的電場。球殼以及球殼外部內的電場為零，球殼的電位因內的電場為零，球殼的電位因為球殼接地保持為零。為球殼接地保持為零。（3.7.13）2. 接地球殼內的點電荷的鏡像法接地球殼內的點電荷的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-30 球殼的內表面分布著不均勻的感應面電荷，其面密度為球殼的內表面分布著不均勻的感應面電荷，其面密度為 球殼的內表面感應面電荷的總量為球殼的內表面感應面電荷的總量為（3.7.14）（3.7.15）2. 接地球殼內的點電荷的鏡像法接地球殼

27、內的點電荷的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-31 總的感應電荷等于鏡像電荷，其電量也等于實際的點電荷總的感應電荷等于鏡像電荷，其電量也等于實際的點電荷的電量。的電量。 導體球內的電場也是由點電荷以及球殼的內表面上的感應導體球內的電場也是由點電荷以及球殼的內表面上的感應面電荷共同作用的結果。面電荷共同作用的結果。 鏡像電荷實際上并不存在，它只是球殼的內表面上的感應鏡像電荷實際上并不存在，它只是球殼的內表面上的感應面電荷的一種等效。面電荷的一種等效。 幾點說明：幾點說明：2. 接地球殼內的點

28、電荷的鏡像法接地球殼內的點電荷的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-323. 球或球殼不接地時鏡像法的應用球或球殼不接地時鏡像法的應用 無論點電荷在導體球的外部，還是在導體球殼的內部，如無論點電荷在導體球的外部，還是在導體球殼的內部，如果導體球或球殼沒有接地，仍然可以借助于鏡像法求解。果導體球或球殼沒有接地，仍然可以借助于鏡像法求解。 根據(jù)場的疊加性，將所要求解的邊值問題分為兩個邊值問根據(jù)場的疊加性，將所要求解的邊值問題分為兩個邊值問題的疊加。題的疊加。 一個是求解接地導體球外有點電荷或者是

29、接地導體球殼內一個是求解接地導體球外有點電荷或者是接地導體球殼內有點電荷，可以利用鏡像法求解。有點電荷，可以利用鏡像法求解。 另一個是求解導體球或球殼沒有接地，也沒有電荷，只需另一個是求解導體球或球殼沒有接地，也沒有電荷，只需利用直接積分法就可以求解了。利用直接積分法就可以求解了。Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-33 常見的球或球殼不接地的情況有三種常見的球或球殼不接地的情況有三種：（1）球或球殼保持固定的電位；球或球殼保持固定的電位；（2）球或球殼帶有固定的電量；球或球殼帶有固定的電量；（3

30、）球或球殼既不帶電，電位也不是固定的。球或球殼既不帶電，電位也不是固定的。 3. 球或球殼不接地時鏡像法的應用球或球殼不接地時鏡像法的應用Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-343.7.3 點電荷關于無限大介質平面的鏡像法點電荷關于無限大介質平面的鏡像法I介質分界面鏡像法的基本思想介質分界面鏡像法的基本思想I點電荷關于介質平面的鏡像法點電荷關于介質平面的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-35介

31、質分界面鏡像法的基本思想介質分界面鏡像法的基本思想 當電荷附近存在著介質面時，可以將介質面上的極化電荷當電荷附近存在著介質面時，可以將介質面上的極化電荷用鏡像電荷來代替。用鏡像電荷來代替。 所以對于不同的介質區(qū)域，要分別假設鏡像電荷的位置和所以對于不同的介質區(qū)域，要分別假設鏡像電荷的位置和大小，并求出該介質區(qū)域中的電場。大小，并求出該介質區(qū)域中的電場。 必須利用介質分界面處的邊界條件，確定鏡像電荷的位置必須利用介質分界面處的邊界條件，確定鏡像電荷的位置和大小，由此得到整個場域的場。和大小，由此得到整個場域的場。Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電

32、場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-36點電荷關于介質平面的鏡像法點電荷關于介質平面的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-37 點電荷關于介質平面的鏡像法的鏡像電荷的大小點電荷關于介質平面的鏡像法的鏡像電荷的大?。?.7.22）（3.7.21） 在與原電荷的位置上設置鏡像電荷在與原電荷的位置上設置鏡像電荷 時，鏡像電荷的大小時，鏡像電荷的大小點電荷關于介質平面的鏡像法點電荷關于介質平面的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場

33、及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-383.7.4 線電荷關于無限長圓柱導體面的鏡像法線電荷關于無限長圓柱導體面的鏡像法I平行線電荷的等位面以及電軸法平行線電荷的等位面以及電軸法I線電荷關于無限長圓柱導體面的鏡像法線電荷關于無限長圓柱導體面的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-39平行線電荷的等位面以及電軸法平行線電荷的等位面以及電軸法 一對無限長的極性相反的平行線電荷的等位面一對無限長的極性相反的平行線電荷的等位面Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電

34、磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-40 當用一個理想導體面來替代等位面，導體以外的場是不會當用一個理想導體面來替代等位面，導體以外的場是不會改變的。利用平行線電荷的等位面的特點，可以得到線電改變的。利用平行線電荷的等位面的特點，可以得到線電荷關于無限長圓柱導體面的鏡像。不僅如此，還可以直接荷關于無限長圓柱導體面的鏡像。不僅如此，還可以直接求解兩個平行圓柱導體，兩個偏心圓柱導體以及一個圓柱求解兩個平行圓柱導體，兩個偏心圓柱導體以及一個圓柱與無限大導體平面的等靜電場的邊值問題（電軸法）與無限大導體平面的等靜電場的邊值問題（電軸法） 。平行線電荷的等位面以及電軸法

35、平行線電荷的等位面以及電軸法Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-41 電軸法的基本概念電軸法的基本概念 當用一個理想導體面來替代等位面，導體以外的場是不會當用一個理想導體面來替代等位面，導體以外的場是不會改變的。改變的。 利用平行線電荷的等位面的特點，可以直接得到線電荷關利用平行線電荷的等位面的特點，可以直接得到線電荷關于無限長圓柱導體面的鏡像。于無限長圓柱導體面的鏡像。 還可以直接求解兩個平行圓柱導體，兩個偏心圓柱導體以還可以直接求解兩個平行圓柱導體，兩個偏心圓柱導體以及一個圓柱與無限大導體平面

36、的等靜電場的邊值問題。及一個圓柱與無限大導體平面的等靜電場的邊值問題。 在求解過程中，只要能找到能夠產生與圓柱導體重合的等在求解過程中，只要能找到能夠產生與圓柱導體重合的等位面所需要的線電荷的大小和位置即可。位面所需要的線電荷的大小和位置即可。 電軸電軸產生所需要的等位面線電荷的位置。產生所需要的等位面線電荷的位置。平行線電荷的等位面以及電軸法平行線電荷的等位面以及電軸法Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-42 線電荷關于無限長圓柱導體面的鏡像線電荷的大小和位置線電荷關于無限長圓柱導體面的鏡像線電

37、荷的大小和位置線電荷關于無限長圓柱導體面的鏡像法線電荷關于無限長圓柱導體面的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-43 圓柱導體面外部的電位分布圓柱導體面外部的電位分布 取線電荷與鏡像線電荷的連線的中心為零電位參考點取線電荷與鏡像線電荷的連線的中心為零電位參考點 圓柱體表面的電位圓柱體表面的電位（3.7.29）線電荷關于無限長圓柱導體面的鏡像法線電荷關于無限長圓柱導體面的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊

38、值問題的解法3-44 導體圓柱外表面感應面電荷的面密度為導體圓柱外表面感應面電荷的面密度為 總的感應電荷等于鏡像電荷，其電量也等于實際的點電荷總的感應電荷等于鏡像電荷，其電量也等于實際的點電荷的電量。的電量。 導體圓柱外表面感應面電荷的總量為導體圓柱外表面感應面電荷的總量為（3.7.30）（3.7.31）線電荷關于無限長圓柱導體面的鏡像法線電荷關于無限長圓柱導體面的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-453.8 靜電場的數(shù)值解法靜電場的數(shù)值解法I靜電場的數(shù)值解法的基本概念靜電場的數(shù)值解法的基

39、本概念I3.8.1 有限差分法有限差分法I3.8.2 矩量法矩量法Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-46靜電場的數(shù)值解法的基本概念靜電場的數(shù)值解法的基本概念 當邊值問題所涉及的邊界形狀比較復雜時，解析方法（分當邊值問題所涉及的邊界形狀比較復雜時，解析方法（分離變量法和鏡像法等）往往變得無能為力，而不得不求助離變量法和鏡像法等）往往變得無能為力，而不得不求助于數(shù)值方法來求解。于數(shù)值方法來求解。 數(shù)值計算方法的基本特點是把求解整個場域中連續(xù)空間位數(shù)值計算方法的基本特點是把求解整個場域中連續(xù)空間位置上

40、的場轉化為求解場域中各離散位置或場域中部分離散置上的場轉化為求解場域中各離散位置或場域中部分離散位置上的場。位置上的場。 數(shù)值計算方法可以分為數(shù)值計算方法可以分為“場域型場域型”數(shù)值方法（如有限差分數(shù)值方法（如有限差分法、有限元法）和法、有限元法）和“邊界型邊界型”數(shù)值方法（如矩量法、邊界數(shù)值方法（如矩量法、邊界元法）。元法）。Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-47I有限差分法的基本概念有限差分法的基本概念I1. 差分和差商的基本概念差分和差商的基本概念I2. 二維靜電場邊值問題的有限差分法求解

41、二維靜電場邊值問題的有限差分法求解I3. 差分方程的超松弛迭代法求解差分方程的超松弛迭代法求解3.8.1 有限差分法有限差分法Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-48 有限差分法有限差分法用一組描述離散點上的函數(shù)值之間的有限用一組描述離散點上的函數(shù)值之間的有限差分方程代替連續(xù)函數(shù)所滿足的微分方程（泊松方程或拉差分方程代替連續(xù)函數(shù)所滿足的微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程），從而將微分方程離散成差分方程組。于是普拉斯方程），從而將微分方程離散成差分方程組。于是求解邊值問題即轉換成為求解矩陣方程。求解邊

42、值問題即轉換成為求解矩陣方程。 利用有限差分法求解靜電場邊值問題中電位所滿足的泊松利用有限差分法求解靜電場邊值問題中電位所滿足的泊松方程或拉普拉斯方程，最終得到的將是場域空間內諸多離方程或拉普拉斯方程，最終得到的將是場域空間內諸多離散點上的電位值。如果還需要求其它的物理量（電場、電散點上的電位值。如果還需要求其它的物理量（電場、電容、儲能等），還必須進行相應的差分計算。容、儲能等），還必須進行相應的差分計算。 離散點取的越多，得到的結果越精確。不過，所需要的時離散點取的越多，得到的結果越精確。不過，所需要的時間也將越多。間也將越多。有限差分法的基本概念有限差分法的基本概念Authorware課

43、件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-491. 差分和差商的基本概念差分和差商的基本概念 增量增量 一階差分一階差分 一階差商一階差商 單變量函數(shù)的差分和差商單變量函數(shù)的差分和差商Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-50 二階差商二階差商1. 差分和差商的基本概念差分和差商的基本概念Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-51 雙變

44、量函數(shù)的差分和差商雙變量函數(shù)的差分和差商 增量增量 二階差商二階差商1. 差分和差商的基本概念差分和差商的基本概念Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-52 拉普拉斯運算拉普拉斯運算 兩個變量的增量可以是不等的，即兩個變量的增量可以是不等的，即 。 上式上式是二階差商的其中一種近似形式，但卻是精度最高的是二階差商的其中一種近似形式，但卻是精度最高的一種一種 ?？梢越柚瘮?shù)的泰勒展開表示式來加以證明。可以借助函數(shù)的泰勒展開表示式來加以證明。 類似地，可以得到三變量函數(shù)的二階差商。但是，由于下類似地，可

45、以得到三變量函數(shù)的二階差商。但是，由于下面我們僅僅研究二維的場，所以就不討論了。面我們僅僅研究二維的場，所以就不討論了。 幾點說明：幾點說明：1. 差分和差商的基本概念差分和差商的基本概念Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-532. 二維靜電場邊值問題的有限差分法求解二維靜電場邊值問題的有限差分法求解 離散點的選擇（區(qū)域的剖分）離散點的選擇（區(qū)域的剖分）正方形的網(wǎng)格節(jié)點正方形的網(wǎng)格節(jié)點Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及

46、其邊值問題的解法3-54 對于每一個內部節(jié)點電位的拉普拉斯運算對于每一個內部節(jié)點電位的拉普拉斯運算 這與書上利用泰勒展開式得到的結果是一樣的。這與書上利用泰勒展開式得到的結果是一樣的。 對于位于區(qū)域邊界的節(jié)點，如果是第一類邊值問題，電位對于位于區(qū)域邊界的節(jié)點，如果是第一類邊值問題，電位值由邊界條件直接給出；否則，要做一些近似處理。值由邊界條件直接給出；否則，要做一些近似處理。2. 二維靜電場邊值問題的有限差分法求解二維靜電場邊值問題的有限差分法求解Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-55 對應于泊

47、松方程和拉普拉斯方程的差分方程組對應于泊松方程和拉普拉斯方程的差分方程組 對應于泊松方程的差分方程組對應于泊松方程的差分方程組（3.8.10）2. 二維靜電場邊值問題的有限差分法求解二維靜電場邊值問題的有限差分法求解Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-56 對應于拉普拉斯方程的差分方程組對應于拉普拉斯方程的差分方程組（3.8.11） 場域內任何一個節(jié)點的電位等于它周圍四個節(jié)點電位的算術場域內任何一個節(jié)點的電位等于它周圍四個節(jié)點電位的算術平均值。平均值。2. 二維靜電場邊值問題的有限差分法求解二維靜

48、電場邊值問題的有限差分法求解Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-57 例子例子在一個矩形場域內采用正方形網(wǎng)格剖分時泊松方程在一個矩形場域內采用正方形網(wǎng)格剖分時泊松方程所對應的差分方程組。共有所對應的差分方程組。共有9個內部節(jié)點和個內部節(jié)點和16個邊界節(jié)點。個邊界節(jié)點。內部節(jié)點上電荷密度與介電常數(shù)的比值內部節(jié)點上電荷密度與介電常數(shù)的比值2. 二維靜電場邊值問題的有限差分法求解二維靜電場邊值問題的有限差分法求解Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊

49、值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-58 求解內部節(jié)點電位的矩陣方程求解內部節(jié)點電位的矩陣方程2. 二維靜電場邊值問題的有限差分法求解二維靜電場邊值問題的有限差分法求解Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-59 從上述分析可見，對應于場域內的每一個節(jié)點，就有一個從上述分析可見，對應于場域內的每一個節(jié)點，就有一個差分方程。差分方程的個數(shù)就等于場域內部節(jié)點的個數(shù)。差分方程。差分方程的個數(shù)就等于場域內部節(jié)點的個數(shù)。由這些差分方程所組成的差分方程組就可以唯一地確定場由這些差分方程所組成的差分方程組就可

50、以唯一地確定場域內部各節(jié)點上的電位。域內部各節(jié)點上的電位。 場域內部各節(jié)點上的電位值可以是采用直接求解差分方程場域內部各節(jié)點上的電位值可以是采用直接求解差分方程組的方法來確定，即直接法求解。也可以采用目前廣泛使組的方法來確定，即直接法求解。也可以采用目前廣泛使用的迭代法來確定場域內部各節(jié)點上的電位值。用的迭代法來確定場域內部各節(jié)點上的電位值。 在寫出每一個節(jié)點差分方程組時，要特別注意節(jié)點的全局在寫出每一個節(jié)點差分方程組時，要特別注意節(jié)點的全局編號和局部編號的關系。編號和局部編號的關系。 差分方程組的求解差分方程組的求解2. 二維靜電場邊值問題的有限差分法求解二維靜電場邊值問題的有限差分法求解A

51、uthorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-60 迭代方程可以就是對應于泊松方程或拉普拉斯方程的差分迭代方程可以就是對應于泊松方程或拉普拉斯方程的差分方程，也可以是由這些差分方程根據(jù)不同的迭代法（雅可方程，也可以是由這些差分方程根據(jù)不同的迭代法（雅可比法、高斯比法、高斯賽得爾法或超松弛法）所派生出來的方程。賽得爾法或超松弛法）所派生出來的方程。 迭代的終止（精度）：迭代的終止（精度）： 差分方程組的迭代法求解差分方程組的迭代法求解根據(jù)給定的邊值和區(qū)域選擇根據(jù)給定的邊值和區(qū)域選擇一組各節(jié)點的電位值作為初始值一

52、組各節(jié)點的電位值作為初始值 ，將初始值，將初始值代入迭代方程得到一次迭代值代入迭代方程得到一次迭代值 ，再將一次迭代，再將一次迭代值代入迭代方程得到二次迭代值值代入迭代方程得到二次迭代值 ，如此如此循環(huán)下去，直到得到滿意的解。循環(huán)下去，直到得到滿意的解。3. 差分方程的超松弛迭代法求差分方程的超松弛迭代法求解解Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-61 網(wǎng)絡節(jié)點的雙標號標示網(wǎng)絡節(jié)點的雙標號標示在采用迭代法時，通常采用節(jié)在采用迭代法時，通常采用節(jié)點的坐標的編號來表示節(jié)點的編號點的坐標的編號來表示節(jié)點的

53、編號 不同迭代法所用的對應于拉普拉斯方程的迭代方程不同迭代法所用的對應于拉普拉斯方程的迭代方程3. 差分方程的超松弛迭代法求差分方程的超松弛迭代法求解解Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-62高斯高斯賽得爾（賽得爾（GaussSeidel）法或松弛法：）法或松弛法：超松弛法：超松弛法：收斂因子收斂因子 參考程序：參考程序：電磁場數(shù)值計算法與電磁場數(shù)值計算法與MATLAB何紅雨編著何紅雨編著雅可比（雅可比（Jacobi）法（簡單迭代法）：）法（簡單迭代法）：3. 差分方程的超松弛迭代法求差分方程的超

54、松弛迭代法求解解Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-633.8.2 矩量法矩量法I1. 矩量法的基本概念矩量法的基本概念I2. 靜電場邊值問題的矩量法分析靜電場邊值問題的矩量法分析Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-641. 矩量法的基本概念矩量法的基本概念 矩量法矩量法通過選取適當?shù)幕瘮?shù)（展開函數(shù)）和權函數(shù)通過選取適當?shù)幕瘮?shù)（展開函數(shù)）和權函數(shù)（測試函數(shù)）將各種線性算子方程（積分方程、微分方程、

55、（測試函數(shù)）將各種線性算子方程（積分方程、微分方程、差分方程等）化為矩陣方程進行求解。由于在求解過程中，差分方程等）化為矩陣方程進行求解。由于在求解過程中，需要計算廣義矩量，故此稱為矩量法。需要計算廣義矩量，故此稱為矩量法。 矩量法也是將所求方程化為矩陣方程后進行求解。矩量法也是將所求方程化為矩陣方程后進行求解。 矩量法需要進行剖分和分析的區(qū)域僅僅限于問題的邊界。矩量法需要進行剖分和分析的區(qū)域僅僅限于問題的邊界。 矩量法可以像有限差分法那樣用來求解附帶一定邊界條件矩量法可以像有限差分法那樣用來求解附帶一定邊界條件的偏微分方程（例如，本征值問題），但是更便于求解邊的偏微分方程（例如，本征值問題）

56、，但是更便于求解邊界條件已經(jīng)包含在內的積分方程。界條件已經(jīng)包含在內的積分方程。 邊界剖分所占用的計算機內存往往比場域剖分所占的內存邊界剖分所占用的計算機內存往往比場域剖分所占的內存少得多。但是，當媒質不均勻或場域結構比較復雜時，用少得多。但是，當媒質不均勻或場域結構比較復雜時，用有限差分法分析比用矩量法分析來得簡便。有限差分法分析比用矩量法分析來得簡便。Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-65 矩量法的三個基本步驟矩量法的三個基本步驟 算子方程算子方程（1）選取基函數(shù)選取基函數(shù) ，將未知函數(shù)，將未知函數(shù) 表示成基函表示成基函數(shù)的級數(shù)，將算子方程化為代數(shù)方程。數(shù)的級數(shù)，將算子方程化為代數(shù)方程。算子方程算子方程已知函數(shù)已知函數(shù)展開系數(shù)展開系數(shù)線性算子線性算子代數(shù)方程代數(shù)方程1. 矩量法的基本概念矩量法的基本概念Authorware課件PPT第3章電磁場與電磁波理論電磁場與電磁波理論第第3章靜電場及其邊值問題的解法章靜電場及其邊值問題的解法3-66（2）取權重函數(shù)（加權函數(shù)、測試函數(shù)）取權重函數(shù)（加權函數(shù)、測試函數(shù)