1、Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-13.7 鏡像法鏡像法（Method of Images）I鏡像法的基本概念鏡像法的基本概念I(lǐng)3.7.1 點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法I3.7.2 點(diǎn)電荷關(guān)于導(dǎo)體球面的鏡像法點(diǎn)電荷關(guān)于導(dǎo)體球面的鏡像法I3.7.3 點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大介質(zhì)平面的鏡像法點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大介質(zhì)平面的鏡像法I3.7.4 線電荷關(guān)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體面的鏡像法線電荷關(guān)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體面的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理

2、論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-2鏡像法的基本概念鏡像法的基本概念 鏡像法鏡像法用鏡像電荷代替導(dǎo)體面或介質(zhì)面的影響，利用用鏡像電荷代替導(dǎo)體面或介質(zhì)面的影響，利用原電荷和鏡像電荷來(lái)計(jì)算場(chǎng)分布。原電荷和鏡像電荷來(lái)計(jì)算場(chǎng)分布。 當(dāng)電荷附近存在著形狀比較特殊的導(dǎo)體面或介質(zhì)面（例如當(dāng)電荷附近存在著形狀比較特殊的導(dǎo)體面或介質(zhì)面（例如為無(wú)限大平面、無(wú)限長(zhǎng)圓柱面、球面等等）時(shí)，可以采用為無(wú)限大平面、無(wú)限長(zhǎng)圓柱面、球面等等）時(shí)，可以采用鏡像法。鏡像法。 鏡像法的關(guān)鍵是要確定鏡像電荷的位置、大小和符號(hào)，使鏡像法的關(guān)鍵是要確定鏡像電荷的位置、大小和符號(hào)，使場(chǎng)量原來(lái)所滿足的方程及其邊界

3、條件保持不變。若能做到場(chǎng)量原來(lái)所滿足的方程及其邊界條件保持不變。若能做到這一點(diǎn)，則根據(jù)靜電場(chǎng)唯一性定理，用鏡像法所求出的解這一點(diǎn)，則根據(jù)靜電場(chǎng)唯一性定理，用鏡像法所求出的解就成為所要求的場(chǎng)的唯一解。就成為所要求的場(chǎng)的唯一解。 鏡像電荷實(shí)際上并不存在，它只是導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷或鏡像電荷實(shí)際上并不存在，它只是導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷或者是介質(zhì)表面的極化電荷的一種等效。者是介質(zhì)表面的極化電荷的一種等效。Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-3 照鏡子與導(dǎo)體面前的點(diǎn)電荷照鏡子與導(dǎo)體面前的點(diǎn)電荷 照鏡子時(shí)，對(duì)觀察者

4、而言照鏡子時(shí)，對(duì)觀察者而言 人鏡子人像（無(wú)鏡子）人鏡子人像（無(wú)鏡子） 采用鏡像法時(shí)，對(duì)場(chǎng)點(diǎn)而言采用鏡像法時(shí)，對(duì)場(chǎng)點(diǎn)而言 電荷導(dǎo)體面電荷鏡像電荷（無(wú)導(dǎo)體面）電荷導(dǎo)體面電荷鏡像電荷（無(wú)導(dǎo)體面）鏡像法的基本概念鏡像法的基本概念A(yù)uthorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-43.7.1 點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法I點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像電荷點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像電荷I點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像電荷的數(shù)學(xué)證明點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像電荷的數(shù)學(xué)證明I無(wú)限大

5、導(dǎo)體平面上方的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位和電場(chǎng)無(wú)限大導(dǎo)體平面上方的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位和電場(chǎng)I點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法的應(yīng)用點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法的應(yīng)用Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-5點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像電荷點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像電荷 點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像電荷點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像電荷大小相等、極大小相等、極性相反，位置以平面為對(duì)稱，即性相反，位置以平面為對(duì)稱，即Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)

6、及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-6 的平面是一個(gè)電位為零的等位面。由于導(dǎo)體的表面的平面是一個(gè)電位為零的等位面。由于導(dǎo)體的表面必為等位面，因此，如果用一個(gè)無(wú)限大的導(dǎo)體平面來(lái)替代必為等位面，因此，如果用一個(gè)無(wú)限大的導(dǎo)體平面來(lái)替代該等位面，則導(dǎo)體以上的場(chǎng)將不會(huì)改變。該等位面，則導(dǎo)體以上的場(chǎng)將不會(huì)改變。 電偶極子的電位和電場(chǎng)電偶極子的電位和電場(chǎng)點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像電荷點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像電荷Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-7點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法的數(shù)學(xué)證明

7、點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法的數(shù)學(xué)證明（3.7.1）（3.7.2）（3.7.3） 下面我們只需證明，（下面我們只需證明，（3.7.3）式所表示的電位是泊松方程）式所表示的電位是泊松方程（3.7.1）和邊界條件（）和邊界條件（3.7.2）式所確定的邊值問(wèn)題的解。）式所確定的邊值問(wèn)題的解。 導(dǎo)體平面上方的電位應(yīng)滿足下列方程和邊界條件導(dǎo)體平面上方的電位應(yīng)滿足下列方程和邊界條件 由點(diǎn)電荷和鏡像電荷即電偶極子所產(chǎn)生的電位由點(diǎn)電荷和鏡像電荷即電偶極子所產(chǎn)生的電位 Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-8 首

8、先，將首先，將 代入（代入（3.7.3）式，得出）式，得出 ，即邊界條，即邊界條件（件（3.7.2）式得到滿足。）式得到滿足。 再看在再看在 的上半空間，此時(shí)，的上半空間，此時(shí)， ，依（，依（1.3.12）式）式可知可知 如此一來(lái)，我們只需證明如此一來(lái)，我們只需證明（3.7.4）即可。即可。點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法的數(shù)學(xué)證明點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法的數(shù)學(xué)證明Authorware課件PPT第3章當(dāng)當(dāng) ，即在源點(diǎn)處，可以取一個(gè)以源點(diǎn)為球心的球體，即在源點(diǎn)處，可以取一個(gè)以源點(diǎn)為球心的球體 ， 依高斯散度定理，可以得到依高斯散度定理，可以得到電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章

9、靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-9當(dāng)當(dāng) ，即在不包含源點(diǎn)的區(qū)域，依（，即在不包含源點(diǎn)的區(qū)域，依（1.2.27）式可知）式可知 這里利用了關(guān)于閉合曲面立體角的結(jié)果。于是，也就證明了這里利用了關(guān)于閉合曲面立體角的結(jié)果。于是，也就證明了 的證明：的證明：點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法的數(shù)學(xué)證明點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法的數(shù)學(xué)證明Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-10無(wú)限大導(dǎo)體平面上方的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的無(wú)限大導(dǎo)體平面上方的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位和電位和電場(chǎng)電場(chǎng)（3.7.3） 無(wú)限

10、大導(dǎo)體平面上方的電位無(wú)限大導(dǎo)體平面上方的電位 無(wú)限大導(dǎo)體平面上方的電場(chǎng)無(wú)限大導(dǎo)體平面上方的電場(chǎng)Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-11 無(wú)限大導(dǎo)體平面上的電荷密度無(wú)限大導(dǎo)體平面上的電荷密度 和總電荷和總電荷無(wú)限大導(dǎo)體平面上方的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的無(wú)限大導(dǎo)體平面上方的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位和電位和電場(chǎng)電場(chǎng)Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-12 無(wú)限大導(dǎo)體平面上方的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生場(chǎng)的分布圖無(wú)限大導(dǎo)體平面上方的點(diǎn)電荷

11、所產(chǎn)生場(chǎng)的分布圖無(wú)限大導(dǎo)體平面上方的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的無(wú)限大導(dǎo)體平面上方的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位和電位和電場(chǎng)電場(chǎng)Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-13 幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明： 用鏡像電荷來(lái)取代導(dǎo)體平面以后，在場(chǎng)域空間（上半空間）用鏡像電荷來(lái)取代導(dǎo)體平面以后，在場(chǎng)域空間（上半空間）所產(chǎn)生的電位仍然滿足原來(lái)電位的泊松方程和邊界條件。所產(chǎn)生的電位仍然滿足原來(lái)電位的泊松方程和邊界條件。 用鏡像電荷取代導(dǎo)體平面以后，對(duì)導(dǎo)體平面上方的場(chǎng)分布用鏡像電荷取代導(dǎo)體平面以后，對(duì)導(dǎo)體平面上方的場(chǎng)分布不產(chǎn)生任何影響。不產(chǎn)生任何影

12、響。 等效性僅僅在導(dǎo)體平面的上方才存在；在下半空間，這種等效性僅僅在導(dǎo)體平面的上方才存在；在下半空間，這種等效性是不存在的。等效性是不存在的。 嚴(yán)格地說(shuō)，只有當(dāng)導(dǎo)電平面為無(wú)限大時(shí)，鏡像電荷才與原嚴(yán)格地說(shuō)，只有當(dāng)導(dǎo)電平面為無(wú)限大時(shí)，鏡像電荷才與原電荷等值異號(hào)，并位于原電荷的鏡像位置上。對(duì)于有限的電荷等值異號(hào)，并位于原電荷的鏡像位置上。對(duì)于有限的導(dǎo)體平面，利用鏡像法得到的只是近似結(jié)果。導(dǎo)體平面，利用鏡像法得到的只是近似結(jié)果。 實(shí)際中，只要導(dǎo)電平面的面積足夠大，滿足一定的條件，實(shí)際中，只要導(dǎo)電平面的面積足夠大，滿足一定的條件，都可以按都可以按無(wú)限大導(dǎo)體平面處理。無(wú)限大導(dǎo)體平面處理。無(wú)限大導(dǎo)體平面上方

13、的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的無(wú)限大導(dǎo)體平面上方的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位和電位和電場(chǎng)電場(chǎng)Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-14點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法的應(yīng)用點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法的應(yīng)用 如果導(dǎo)電平面上方存在多個(gè)點(diǎn)電荷或任意分布形式的電荷，如果導(dǎo)電平面上方存在多個(gè)點(diǎn)電荷或任意分布形式的電荷，可以用導(dǎo)體平面下方對(duì)稱位置上的多個(gè)鏡像點(diǎn)電荷或同樣可以用導(dǎo)體平面下方對(duì)稱位置上的多個(gè)鏡像點(diǎn)電荷或同樣形式的鏡像電荷分布來(lái)代替導(dǎo)體平面的影響。形式的鏡像電荷分布來(lái)代替導(dǎo)體平面的影響。I（1）線電荷與無(wú)限大導(dǎo)體平面

14、的鏡像法線電荷與無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法I（2）點(diǎn)電荷與兩個(gè)半無(wú)限大相交導(dǎo)體平面的鏡像法點(diǎn)電荷與兩個(gè)半無(wú)限大相交導(dǎo)體平面的鏡像法I（3）點(diǎn)電荷與兩個(gè)平行的無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法點(diǎn)電荷與兩個(gè)平行的無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法I補(bǔ)充說(shuō)明補(bǔ)充說(shuō)明Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-15（1）線電荷與無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法線電荷與無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法 鏡像線電荷與原線電荷大小相等、極性相反，且位置以平鏡像線電荷與原線電荷大小相等、極性相反，且位置以平面為對(duì)稱，即面為對(duì)稱，即Authorware課件PPT第3章電

15、磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-16 上半空間的電位分布上半空間的電位分布 若將零電位參考點(diǎn)取在導(dǎo)體平面上，即若將零電位參考點(diǎn)取在導(dǎo)體平面上，即 ，則有，則有 其中其中線電荷距零電位參考面的距離線電荷距零電位參考面的距離鏡像線電荷距零電位參考面的距離鏡像線電荷距零電位參考面的距離（1）線電荷與無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法線電荷與無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法Authorware課件PPT第3章 必須要有足夠多的鏡像電荷才能滿足兩個(gè)導(dǎo)體平面的邊界必須要有足夠多的鏡像電荷才能滿足兩個(gè)導(dǎo)體平面的邊界條件。條件。 只有夾角滿足條件只有夾角滿足條件 時(shí)，

16、才能利用鏡像時(shí)，才能利用鏡像法進(jìn)行求解。鏡像電荷總數(shù)為法進(jìn)行求解。鏡像電荷總數(shù)為 個(gè)。個(gè)。 如果將點(diǎn)電荷換成線電荷，可以采用類似的方法求解。如果將點(diǎn)電荷換成線電荷，可以采用類似的方法求解。電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-17（2）點(diǎn)電荷與兩個(gè)半無(wú)限大相交導(dǎo)體平面的鏡像法點(diǎn)電荷與兩個(gè)半無(wú)限大相交導(dǎo)體平面的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-18 將包括鏡像電荷在內(nèi)的所有電荷所產(chǎn)生的場(chǎng)疊加，就得到將包括鏡像電荷在內(nèi)的所有電荷所產(chǎn)生

17、的場(chǎng)疊加，就得到所要求的場(chǎng)。所要求的場(chǎng)。 當(dāng)夾角當(dāng)夾角 時(shí)，點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位分布為時(shí)，點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位分布為 當(dāng)夾角當(dāng)夾角 時(shí)，線電荷產(chǎn)生的電位分布為時(shí)，線電荷產(chǎn)生的電位分布為 零電位參考點(diǎn)取在兩個(gè)導(dǎo)體平面的交點(diǎn)上。零電位參考點(diǎn)取在兩個(gè)導(dǎo)體平面的交點(diǎn)上。（2）點(diǎn)電荷與兩個(gè)半無(wú)限大相交導(dǎo)體平面的鏡像法點(diǎn)電荷與兩個(gè)半無(wú)限大相交導(dǎo)體平面的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-19（3）點(diǎn)電荷與兩個(gè)平行的無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法點(diǎn)電荷與兩個(gè)平行的無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法 此時(shí)為了滿足兩個(gè)平行的導(dǎo)體平面的此

18、時(shí)為了滿足兩個(gè)平行的導(dǎo)體平面的邊界條件，需要無(wú)窮多的鏡像點(diǎn)電荷。邊界條件，需要無(wú)窮多的鏡像點(diǎn)電荷。顯然，最后所得到的電位分布將會(huì)是顯然，最后所得到的電位分布將會(huì)是一個(gè)級(jí)數(shù)。但是，通常只需計(jì)算離場(chǎng)一個(gè)級(jí)數(shù)。但是，通常只需計(jì)算離場(chǎng)域較近的鏡像電荷的影響即可。域較近的鏡像電荷的影響即可。 如果將點(diǎn)電荷換成無(wú)限長(zhǎng)均勻線電荷，如果將點(diǎn)電荷換成無(wú)限長(zhǎng)均勻線電荷，將得到無(wú)窮多的鏡像線電荷。將得到無(wú)窮多的鏡像線電荷。Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-20補(bǔ)充說(shuō)明補(bǔ)充說(shuō)明 鏡像法不僅可以應(yīng)用于一個(gè)點(diǎn)電荷與一個(gè)導(dǎo)體

19、平面，而且鏡像法不僅可以應(yīng)用于一個(gè)點(diǎn)電荷與一個(gè)導(dǎo)體平面，而且還可以應(yīng)用于多個(gè)電荷與一個(gè)導(dǎo)體平面或者一個(gè)電荷與多還可以應(yīng)用于多個(gè)電荷與一個(gè)導(dǎo)體平面或者一個(gè)電荷與多個(gè)導(dǎo)體平面或者多個(gè)電荷與多個(gè)導(dǎo)體平面的邊值問(wèn)題。個(gè)導(dǎo)體平面或者多個(gè)電荷與多個(gè)導(dǎo)體平面的邊值問(wèn)題。 不僅點(diǎn)電荷可以是任意形式的電荷分布，導(dǎo)體平面也可以不僅點(diǎn)電荷可以是任意形式的電荷分布，導(dǎo)體平面也可以是后面要討論的介質(zhì)平面、導(dǎo)體球面或圓柱面。是后面要討論的介質(zhì)平面、導(dǎo)體球面或圓柱面。 只要能確定適當(dāng)?shù)溺R像電荷，使它們與原電荷一起滿足所只要能確定適當(dāng)?shù)溺R像電荷，使它們與原電荷一起滿足所要求解的邊值問(wèn)題同樣的源分布和邊界條件即可。要求解的邊值

20、問(wèn)題同樣的源分布和邊界條件即可。Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-213.7.2 點(diǎn)電荷關(guān)于導(dǎo)體球面的鏡像法點(diǎn)電荷關(guān)于導(dǎo)體球面的鏡像法I1. 接地球（殼）外的點(diǎn)電荷的鏡像法接地球（殼）外的點(diǎn)電荷的鏡像法I2. 接地球殼內(nèi)的點(diǎn)電荷的鏡像法接地球殼內(nèi)的點(diǎn)電荷的鏡像法I3. 球或球殼不接地時(shí)鏡像法的應(yīng)用球或球殼不接地時(shí)鏡像法的應(yīng)用Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-22 鏡像電荷的大小和距球心的距離分別為

21、鏡像電荷的大小和距球心的距離分別為1. 接地球（殼）外的點(diǎn)電荷的鏡像法接地球（殼）外的點(diǎn)電荷的鏡像法（3.7.8）球（殼）的外半徑球（殼）的外半徑Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-23 電位所滿足的方程和邊界條件為電位所滿足的方程和邊界條件為 點(diǎn)電荷及其鏡像電荷所產(chǎn)生的電位為點(diǎn)電荷及其鏡像電荷所產(chǎn)生的電位為 接地球（殼）外的點(diǎn)電荷的鏡像法的驗(yàn)證：接地球（殼）外的點(diǎn)電荷的鏡像法的驗(yàn)證： 1. 接地球（殼）外的點(diǎn)電荷的鏡像法接地球（殼）外的點(diǎn)電荷的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電

22、磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-24 在接地球（殼）外，在接地球（殼）外， ，則，則 在接地球（殼）的表面，在接地球（殼）的表面， ，有，有 由此證明了上述鏡像電荷的大小和位置是正確的。由此證明了上述鏡像電荷的大小和位置是正確的。1. 接地球（殼）外的點(diǎn)電荷的鏡像法接地球（殼）外的點(diǎn)電荷的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-25 接地球（殼）外的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位接地球（殼）外的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位 將將 代入代入 就得到球殼就得到球殼外

23、的電場(chǎng)。球殼以及其內(nèi)部?jī)?nèi)外的電場(chǎng)。球殼以及其內(nèi)部?jī)?nèi)的電場(chǎng)為零，球殼內(nèi)的電位因的電場(chǎng)為零，球殼內(nèi)的電位因?yàn)榍驓そ拥乇３譃榱恪榍驓そ拥乇３譃榱恪＃?.7.9）1. 接地球（殼）外的點(diǎn)電荷的鏡像法接地球（殼）外的點(diǎn)電荷的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-26 導(dǎo)體球殼外表面分布著不均勻的感應(yīng)面電荷，其面密度為導(dǎo)體球殼外表面分布著不均勻的感應(yīng)面電荷，其面密度為 導(dǎo)體球殼外表面感應(yīng)電荷總量為導(dǎo)體球殼外表面感應(yīng)電荷總量為（3.7.10）（3.7.11）1. 接地球（殼）外的點(diǎn)電荷的鏡像法接地球（殼）

24、外的點(diǎn)電荷的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-27 幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明： 由于由于 ，所以總的感應(yīng)電荷等于鏡像電荷，但是電，所以總的感應(yīng)電荷等于鏡像電荷，但是電量小于實(shí)際的點(diǎn)電荷的電量。量小于實(shí)際的點(diǎn)電荷的電量。 導(dǎo)體球外的電場(chǎng)正是由點(diǎn)電荷以及球殼的外表面上的感應(yīng)導(dǎo)體球外的電場(chǎng)正是由點(diǎn)電荷以及球殼的外表面上的感應(yīng)面電荷共同作用的結(jié)果。面電荷共同作用的結(jié)果。 鏡像電荷實(shí)際上并不存在，它只是球殼的外表面上的感應(yīng)鏡像電荷實(shí)際上并不存在，它只是球殼的外表面上的感應(yīng)面電荷的一種等效。面電荷的一種等效

25、。1. 接地球（殼）外的點(diǎn)電荷的鏡像法接地球（殼）外的點(diǎn)電荷的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-28 鏡像電荷的大小和距球心的距離同樣為鏡像電荷的大小和距球心的距離同樣為2. 接地球殼內(nèi)的點(diǎn)電荷的鏡像法接地球殼內(nèi)的點(diǎn)電荷的鏡像法（3.7.12）球殼的內(nèi)半徑球殼的內(nèi)半徑Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-29 接地球殼內(nèi)的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位接地球殼內(nèi)的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位 將將 代入代入 就得到球

26、殼就得到球殼內(nèi)的電場(chǎng)。球殼以及球殼外部?jī)?nèi)的電場(chǎng)。球殼以及球殼外部?jī)?nèi)的電場(chǎng)為零，球殼的電位因內(nèi)的電場(chǎng)為零，球殼的電位因?yàn)榍驓そ拥乇３譃榱恪榍驓そ拥乇３譃榱恪＃?.7.13）2. 接地球殼內(nèi)的點(diǎn)電荷的鏡像法接地球殼內(nèi)的點(diǎn)電荷的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-30 球殼的內(nèi)表面分布著不均勻的感應(yīng)面電荷，其面密度為球殼的內(nèi)表面分布著不均勻的感應(yīng)面電荷，其面密度為 球殼的內(nèi)表面感應(yīng)面電荷的總量為球殼的內(nèi)表面感應(yīng)面電荷的總量為（3.7.14）（3.7.15）2. 接地球殼內(nèi)的點(diǎn)電荷的鏡像法接地球殼

27、內(nèi)的點(diǎn)電荷的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-31 總的感應(yīng)電荷等于鏡像電荷，其電量也等于實(shí)際的點(diǎn)電荷總的感應(yīng)電荷等于鏡像電荷，其電量也等于實(shí)際的點(diǎn)電荷的電量。的電量。 導(dǎo)體球內(nèi)的電場(chǎng)也是由點(diǎn)電荷以及球殼的內(nèi)表面上的感應(yīng)導(dǎo)體球內(nèi)的電場(chǎng)也是由點(diǎn)電荷以及球殼的內(nèi)表面上的感應(yīng)面電荷共同作用的結(jié)果。面電荷共同作用的結(jié)果。 鏡像電荷實(shí)際上并不存在，它只是球殼的內(nèi)表面上的感應(yīng)鏡像電荷實(shí)際上并不存在，它只是球殼的內(nèi)表面上的感應(yīng)面電荷的一種等效。面電荷的一種等效。 幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明：2. 接地球殼內(nèi)的點(diǎn)

28、電荷的鏡像法接地球殼內(nèi)的點(diǎn)電荷的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-323. 球或球殼不接地時(shí)鏡像法的應(yīng)用球或球殼不接地時(shí)鏡像法的應(yīng)用 無(wú)論點(diǎn)電荷在導(dǎo)體球的外部，還是在導(dǎo)體球殼的內(nèi)部，如無(wú)論點(diǎn)電荷在導(dǎo)體球的外部，還是在導(dǎo)體球殼的內(nèi)部，如果導(dǎo)體球或球殼沒(méi)有接地，仍然可以借助于鏡像法求解。果導(dǎo)體球或球殼沒(méi)有接地，仍然可以借助于鏡像法求解。 根據(jù)場(chǎng)的疊加性，將所要求解的邊值問(wèn)題分為兩個(gè)邊值問(wèn)根據(jù)場(chǎng)的疊加性，將所要求解的邊值問(wèn)題分為兩個(gè)邊值問(wèn)題的疊加。題的疊加。 一個(gè)是求解接地導(dǎo)體球外有點(diǎn)電荷或者是

29、接地導(dǎo)體球殼內(nèi)一個(gè)是求解接地導(dǎo)體球外有點(diǎn)電荷或者是接地導(dǎo)體球殼內(nèi)有點(diǎn)電荷，可以利用鏡像法求解。有點(diǎn)電荷，可以利用鏡像法求解。 另一個(gè)是求解導(dǎo)體球或球殼沒(méi)有接地，也沒(méi)有電荷，只需另一個(gè)是求解導(dǎo)體球或球殼沒(méi)有接地，也沒(méi)有電荷，只需利用直接積分法就可以求解了。利用直接積分法就可以求解了。Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-33 常見(jiàn)的球或球殼不接地的情況有三種常見(jiàn)的球或球殼不接地的情況有三種：（1）球或球殼保持固定的電位；球或球殼保持固定的電位；（2）球或球殼帶有固定的電量；球或球殼帶有固定的電量；（3

30、）球或球殼既不帶電，電位也不是固定的。球或球殼既不帶電，電位也不是固定的。 3. 球或球殼不接地時(shí)鏡像法的應(yīng)用球或球殼不接地時(shí)鏡像法的應(yīng)用Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-343.7.3 點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大介質(zhì)平面的鏡像法點(diǎn)電荷關(guān)于無(wú)限大介質(zhì)平面的鏡像法I介質(zhì)分界面鏡像法的基本思想介質(zhì)分界面鏡像法的基本思想I點(diǎn)電荷關(guān)于介質(zhì)平面的鏡像法點(diǎn)電荷關(guān)于介質(zhì)平面的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-35介

31、質(zhì)分界面鏡像法的基本思想介質(zhì)分界面鏡像法的基本思想 當(dāng)電荷附近存在著介質(zhì)面時(shí)，可以將介質(zhì)面上的極化電荷當(dāng)電荷附近存在著介質(zhì)面時(shí)，可以將介質(zhì)面上的極化電荷用鏡像電荷來(lái)代替。用鏡像電荷來(lái)代替。 所以對(duì)于不同的介質(zhì)區(qū)域，要分別假設(shè)鏡像電荷的位置和所以對(duì)于不同的介質(zhì)區(qū)域，要分別假設(shè)鏡像電荷的位置和大小，并求出該介質(zhì)區(qū)域中的電場(chǎng)。大小，并求出該介質(zhì)區(qū)域中的電場(chǎng)。 必須利用介質(zhì)分界面處的邊界條件，確定鏡像電荷的位置必須利用介質(zhì)分界面處的邊界條件，確定鏡像電荷的位置和大小，由此得到整個(gè)場(chǎng)域的場(chǎng)。和大小，由此得到整個(gè)場(chǎng)域的場(chǎng)。Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電

32、場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-36點(diǎn)電荷關(guān)于介質(zhì)平面的鏡像法點(diǎn)電荷關(guān)于介質(zhì)平面的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-37 點(diǎn)電荷關(guān)于介質(zhì)平面的鏡像法的鏡像電荷的大小點(diǎn)電荷關(guān)于介質(zhì)平面的鏡像法的鏡像電荷的大小（3.7.22）（3.7.21） 在與原電荷的位置上設(shè)置鏡像電荷在與原電荷的位置上設(shè)置鏡像電荷 時(shí)，鏡像電荷的大小時(shí)，鏡像電荷的大小點(diǎn)電荷關(guān)于介質(zhì)平面的鏡像法點(diǎn)電荷關(guān)于介質(zhì)平面的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)

33、及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-383.7.4 線電荷關(guān)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體面的鏡像法線電荷關(guān)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體面的鏡像法I平行線電荷的等位面以及電軸法平行線電荷的等位面以及電軸法I線電荷關(guān)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體面的鏡像法線電荷關(guān)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體面的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-39平行線電荷的等位面以及電軸法平行線電荷的等位面以及電軸法 一對(duì)無(wú)限長(zhǎng)的極性相反的平行線電荷的等位面一對(duì)無(wú)限長(zhǎng)的極性相反的平行線電荷的等位面Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電

34、磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-40 當(dāng)用一個(gè)理想導(dǎo)體面來(lái)替代等位面，導(dǎo)體以外的場(chǎng)是不會(huì)當(dāng)用一個(gè)理想導(dǎo)體面來(lái)替代等位面，導(dǎo)體以外的場(chǎng)是不會(huì)改變的。利用平行線電荷的等位面的特點(diǎn)，可以得到線電改變的。利用平行線電荷的等位面的特點(diǎn)，可以得到線電荷關(guān)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體面的鏡像。不僅如此，還可以直接荷關(guān)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體面的鏡像。不僅如此，還可以直接求解兩個(gè)平行圓柱導(dǎo)體，兩個(gè)偏心圓柱導(dǎo)體以及一個(gè)圓柱求解兩個(gè)平行圓柱導(dǎo)體，兩個(gè)偏心圓柱導(dǎo)體以及一個(gè)圓柱與無(wú)限大導(dǎo)體平面的等靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題（電軸法）與無(wú)限大導(dǎo)體平面的等靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題（電軸法） 。平行線電荷的等位面以及電軸法

35、平行線電荷的等位面以及電軸法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-41 電軸法的基本概念電軸法的基本概念 當(dāng)用一個(gè)理想導(dǎo)體面來(lái)替代等位面，導(dǎo)體以外的場(chǎng)是不會(huì)當(dāng)用一個(gè)理想導(dǎo)體面來(lái)替代等位面，導(dǎo)體以外的場(chǎng)是不會(huì)改變的。改變的。 利用平行線電荷的等位面的特點(diǎn)，可以直接得到線電荷關(guān)利用平行線電荷的等位面的特點(diǎn)，可以直接得到線電荷關(guān)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體面的鏡像。于無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體面的鏡像。 還可以直接求解兩個(gè)平行圓柱導(dǎo)體，兩個(gè)偏心圓柱導(dǎo)體以還可以直接求解兩個(gè)平行圓柱導(dǎo)體，兩個(gè)偏心圓柱導(dǎo)體以及一個(gè)圓柱與無(wú)限大導(dǎo)體平面

36、的等靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題。及一個(gè)圓柱與無(wú)限大導(dǎo)體平面的等靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題。 在求解過(guò)程中，只要能找到能夠產(chǎn)生與圓柱導(dǎo)體重合的等在求解過(guò)程中，只要能找到能夠產(chǎn)生與圓柱導(dǎo)體重合的等位面所需要的線電荷的大小和位置即可。位面所需要的線電荷的大小和位置即可。 電軸電軸產(chǎn)生所需要的等位面線電荷的位置。產(chǎn)生所需要的等位面線電荷的位置。平行線電荷的等位面以及電軸法平行線電荷的等位面以及電軸法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-42 線電荷關(guān)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體面的鏡像線電荷的大小和位置線電荷關(guān)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體面的鏡像線電

37、荷的大小和位置線電荷關(guān)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體面的鏡像法線電荷關(guān)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體面的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-43 圓柱導(dǎo)體面外部的電位分布圓柱導(dǎo)體面外部的電位分布 取線電荷與鏡像線電荷的連線的中心為零電位參考點(diǎn)取線電荷與鏡像線電荷的連線的中心為零電位參考點(diǎn) 圓柱體表面的電位圓柱體表面的電位（3.7.29）線電荷關(guān)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體面的鏡像法線電荷關(guān)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體面的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊

38、值問(wèn)題的解法3-44 導(dǎo)體圓柱外表面感應(yīng)面電荷的面密度為導(dǎo)體圓柱外表面感應(yīng)面電荷的面密度為 總的感應(yīng)電荷等于鏡像電荷，其電量也等于實(shí)際的點(diǎn)電荷總的感應(yīng)電荷等于鏡像電荷，其電量也等于實(shí)際的點(diǎn)電荷的電量。的電量。 導(dǎo)體圓柱外表面感應(yīng)面電荷的總量為導(dǎo)體圓柱外表面感應(yīng)面電荷的總量為（3.7.30）（3.7.31）線電荷關(guān)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體面的鏡像法線電荷關(guān)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體面的鏡像法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-453.8 靜電場(chǎng)的數(shù)值解法靜電場(chǎng)的數(shù)值解法I靜電場(chǎng)的數(shù)值解法的基本概念靜電場(chǎng)的數(shù)值解法的基

39、本概念I(lǐng)3.8.1 有限差分法有限差分法I3.8.2 矩量法矩量法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-46靜電場(chǎng)的數(shù)值解法的基本概念靜電場(chǎng)的數(shù)值解法的基本概念 當(dāng)邊值問(wèn)題所涉及的邊界形狀比較復(fù)雜時(shí)，解析方法（分當(dāng)邊值問(wèn)題所涉及的邊界形狀比較復(fù)雜時(shí)，解析方法（分離變量法和鏡像法等）往往變得無(wú)能為力，而不得不求助離變量法和鏡像法等）往往變得無(wú)能為力，而不得不求助于數(shù)值方法來(lái)求解。于數(shù)值方法來(lái)求解。 數(shù)值計(jì)算方法的基本特點(diǎn)是把求解整個(gè)場(chǎng)域中連續(xù)空間位數(shù)值計(jì)算方法的基本特點(diǎn)是把求解整個(gè)場(chǎng)域中連續(xù)空間位置上

40、的場(chǎng)轉(zhuǎn)化為求解場(chǎng)域中各離散位置或場(chǎng)域中部分離散置上的場(chǎng)轉(zhuǎn)化為求解場(chǎng)域中各離散位置或場(chǎng)域中部分離散位置上的場(chǎng)。位置上的場(chǎng)。 數(shù)值計(jì)算方法可以分為數(shù)值計(jì)算方法可以分為“場(chǎng)域型場(chǎng)域型”數(shù)值方法（如有限差分?jǐn)?shù)值方法（如有限差分法、有限元法）和法、有限元法）和“邊界型邊界型”數(shù)值方法（如矩量法、邊界數(shù)值方法（如矩量法、邊界元法）。元法）。Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-47I有限差分法的基本概念有限差分法的基本概念I(lǐng)1. 差分和差商的基本概念差分和差商的基本概念I(lǐng)2. 二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的有限差分法求解

41、二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的有限差分法求解I3. 差分方程的超松弛迭代法求解差分方程的超松弛迭代法求解3.8.1 有限差分法有限差分法Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-48 有限差分法有限差分法用一組描述離散點(diǎn)上的函數(shù)值之間的有限用一組描述離散點(diǎn)上的函數(shù)值之間的有限差分方程代替連續(xù)函數(shù)所滿足的微分方程（泊松方程或拉差分方程代替連續(xù)函數(shù)所滿足的微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程），從而將微分方程離散成差分方程組。于是普拉斯方程），從而將微分方程離散成差分方程組。于是求解邊值問(wèn)題即轉(zhuǎn)換成為求解矩陣方程。求解邊

42、值問(wèn)題即轉(zhuǎn)換成為求解矩陣方程。 利用有限差分法求解靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題中電位所滿足的泊松利用有限差分法求解靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題中電位所滿足的泊松方程或拉普拉斯方程，最終得到的將是場(chǎng)域空間內(nèi)諸多離方程或拉普拉斯方程，最終得到的將是場(chǎng)域空間內(nèi)諸多離散點(diǎn)上的電位值。如果還需要求其它的物理量（電場(chǎng)、電散點(diǎn)上的電位值。如果還需要求其它的物理量（電場(chǎng)、電容、儲(chǔ)能等），還必須進(jìn)行相應(yīng)的差分計(jì)算。容、儲(chǔ)能等），還必須進(jìn)行相應(yīng)的差分計(jì)算。 離散點(diǎn)取的越多，得到的結(jié)果越精確。不過(guò)，所需要的時(shí)離散點(diǎn)取的越多，得到的結(jié)果越精確。不過(guò)，所需要的時(shí)間也將越多。間也將越多。有限差分法的基本概念有限差分法的基本概念A(yù)uthorware課

43、件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-491. 差分和差商的基本概念差分和差商的基本概念 增量增量 一階差分一階差分 一階差商一階差商 單變量函數(shù)的差分和差商單變量函數(shù)的差分和差商Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-50 二階差商二階差商1. 差分和差商的基本概念差分和差商的基本概念A(yù)uthorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-51 雙變

44、量函數(shù)的差分和差商雙變量函數(shù)的差分和差商 增量增量 二階差商二階差商1. 差分和差商的基本概念差分和差商的基本概念A(yù)uthorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-52 拉普拉斯運(yùn)算拉普拉斯運(yùn)算 兩個(gè)變量的增量可以是不等的，即兩個(gè)變量的增量可以是不等的，即 。 上式上式是二階差商的其中一種近似形式，但卻是精度最高的是二階差商的其中一種近似形式，但卻是精度最高的一種一種 。可以借助函數(shù)的泰勒展開(kāi)表示式來(lái)加以證明。可以借助函數(shù)的泰勒展開(kāi)表示式來(lái)加以證明。 類似地，可以得到三變量函數(shù)的二階差商。但是，由于下類似地，可

45、以得到三變量函數(shù)的二階差商。但是，由于下面我們僅僅研究二維的場(chǎng)，所以就不討論了。面我們僅僅研究二維的場(chǎng)，所以就不討論了。 幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明：1. 差分和差商的基本概念差分和差商的基本概念A(yù)uthorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-532. 二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的有限差分法求解二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的有限差分法求解 離散點(diǎn)的選擇（區(qū)域的剖分）離散點(diǎn)的選擇（區(qū)域的剖分）正方形的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)正方形的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及

46、其邊值問(wèn)題的解法3-54 對(duì)于每一個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)電位的拉普拉斯運(yùn)算對(duì)于每一個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)電位的拉普拉斯運(yùn)算 這與書上利用泰勒展開(kāi)式得到的結(jié)果是一樣的。這與書上利用泰勒展開(kāi)式得到的結(jié)果是一樣的。 對(duì)于位于區(qū)域邊界的節(jié)點(diǎn)，如果是第一類邊值問(wèn)題，電位對(duì)于位于區(qū)域邊界的節(jié)點(diǎn)，如果是第一類邊值問(wèn)題，電位值由邊界條件直接給出；否則，要做一些近似處理。值由邊界條件直接給出；否則，要做一些近似處理。2. 二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的有限差分法求解二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的有限差分法求解Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-55 對(duì)應(yīng)于泊

47、松方程和拉普拉斯方程的差分方程組對(duì)應(yīng)于泊松方程和拉普拉斯方程的差分方程組 對(duì)應(yīng)于泊松方程的差分方程組對(duì)應(yīng)于泊松方程的差分方程組（3.8.10）2. 二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的有限差分法求解二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的有限差分法求解Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-56 對(duì)應(yīng)于拉普拉斯方程的差分方程組對(duì)應(yīng)于拉普拉斯方程的差分方程組（3.8.11） 場(chǎng)域內(nèi)任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)的電位等于它周圍四個(gè)節(jié)點(diǎn)電位的算術(shù)場(chǎng)域內(nèi)任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)的電位等于它周圍四個(gè)節(jié)點(diǎn)電位的算術(shù)平均值。平均值。2. 二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的有限差分法求解二維靜

48、電場(chǎng)邊值問(wèn)題的有限差分法求解Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-57 例子例子在一個(gè)矩形場(chǎng)域內(nèi)采用正方形網(wǎng)格剖分時(shí)泊松方程在一個(gè)矩形場(chǎng)域內(nèi)采用正方形網(wǎng)格剖分時(shí)泊松方程所對(duì)應(yīng)的差分方程組。共有所對(duì)應(yīng)的差分方程組。共有9個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和16個(gè)邊界節(jié)點(diǎn)。個(gè)邊界節(jié)點(diǎn)。內(nèi)部節(jié)點(diǎn)上電荷密度與介電常數(shù)的比值內(nèi)部節(jié)點(diǎn)上電荷密度與介電常數(shù)的比值2. 二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的有限差分法求解二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的有限差分法求解Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊

49、值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-58 求解內(nèi)部節(jié)點(diǎn)電位的矩陣方程求解內(nèi)部節(jié)點(diǎn)電位的矩陣方程2. 二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的有限差分法求解二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的有限差分法求解Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-59 從上述分析可見(jiàn)，對(duì)應(yīng)于場(chǎng)域內(nèi)的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，就有一個(gè)從上述分析可見(jiàn)，對(duì)應(yīng)于場(chǎng)域內(nèi)的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，就有一個(gè)差分方程。差分方程的個(gè)數(shù)就等于場(chǎng)域內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。差分方程。差分方程的個(gè)數(shù)就等于場(chǎng)域內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。由這些差分方程所組成的差分方程組就可以唯一地確定場(chǎng)由這些差分方程所組成的差分方程組就可

50、以唯一地確定場(chǎng)域內(nèi)部各節(jié)點(diǎn)上的電位。域內(nèi)部各節(jié)點(diǎn)上的電位。 場(chǎng)域內(nèi)部各節(jié)點(diǎn)上的電位值可以是采用直接求解差分方程場(chǎng)域內(nèi)部各節(jié)點(diǎn)上的電位值可以是采用直接求解差分方程組的方法來(lái)確定，即直接法求解。也可以采用目前廣泛使組的方法來(lái)確定，即直接法求解。也可以采用目前廣泛使用的迭代法來(lái)確定場(chǎng)域內(nèi)部各節(jié)點(diǎn)上的電位值。用的迭代法來(lái)確定場(chǎng)域內(nèi)部各節(jié)點(diǎn)上的電位值。 在寫出每一個(gè)節(jié)點(diǎn)差分方程組時(shí)，要特別注意節(jié)點(diǎn)的全局在寫出每一個(gè)節(jié)點(diǎn)差分方程組時(shí)，要特別注意節(jié)點(diǎn)的全局編號(hào)和局部編號(hào)的關(guān)系。編號(hào)和局部編號(hào)的關(guān)系。 差分方程組的求解差分方程組的求解2. 二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的有限差分法求解二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的有限差分法求解A

51、uthorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-60 迭代方程可以就是對(duì)應(yīng)于泊松方程或拉普拉斯方程的差分迭代方程可以就是對(duì)應(yīng)于泊松方程或拉普拉斯方程的差分方程，也可以是由這些差分方程根據(jù)不同的迭代法（雅可方程，也可以是由這些差分方程根據(jù)不同的迭代法（雅可比法、高斯比法、高斯賽得爾法或超松弛法）所派生出來(lái)的方程。賽得爾法或超松弛法）所派生出來(lái)的方程。 迭代的終止（精度）：迭代的終止（精度）： 差分方程組的迭代法求解差分方程組的迭代法求解根據(jù)給定的邊值和區(qū)域選擇根據(jù)給定的邊值和區(qū)域選擇一組各節(jié)點(diǎn)的電位值作為初始值一

52、組各節(jié)點(diǎn)的電位值作為初始值 ，將初始值，將初始值代入迭代方程得到一次迭代值代入迭代方程得到一次迭代值 ，再將一次迭代，再將一次迭代值代入迭代方程得到二次迭代值值代入迭代方程得到二次迭代值 ，如此如此循環(huán)下去，直到得到滿意的解。循環(huán)下去，直到得到滿意的解。3. 差分方程的超松弛迭代法求差分方程的超松弛迭代法求解解Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-61 網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的雙標(biāo)號(hào)標(biāo)示網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的雙標(biāo)號(hào)標(biāo)示在采用迭代法時(shí)，通常采用節(jié)在采用迭代法時(shí)，通常采用節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)的編號(hào)來(lái)表示節(jié)點(diǎn)的編號(hào)點(diǎn)的坐標(biāo)的編號(hào)來(lái)表示節(jié)點(diǎn)的

53、編號(hào) 不同迭代法所用的對(duì)應(yīng)于拉普拉斯方程的迭代方程不同迭代法所用的對(duì)應(yīng)于拉普拉斯方程的迭代方程3. 差分方程的超松弛迭代法求差分方程的超松弛迭代法求解解Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-62高斯高斯賽得爾（賽得爾（GaussSeidel）法或松弛法：）法或松弛法：超松弛法：超松弛法：收斂因子收斂因子 參考程序：參考程序：電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算法與電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算法與MATLAB何紅雨編著何紅雨編著雅可比（雅可比（Jacobi）法（簡(jiǎn)單迭代法）：）法（簡(jiǎn)單迭代法）：3. 差分方程的超松弛迭代法求差分方程的超

54、松弛迭代法求解解Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-633.8.2 矩量法矩量法I1. 矩量法的基本概念矩量法的基本概念I(lǐng)2. 靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的矩量法分析靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的矩量法分析Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-641. 矩量法的基本概念矩量法的基本概念 矩量法矩量法通過(guò)選取適當(dāng)?shù)幕瘮?shù)（展開(kāi)函數(shù)）和權(quán)函數(shù)通過(guò)選取適當(dāng)?shù)幕瘮?shù)（展開(kāi)函數(shù)）和權(quán)函數(shù)（測(cè)試函數(shù)）將各種線性算子方程（積分方程、微分方程、

55、（測(cè)試函數(shù)）將各種線性算子方程（積分方程、微分方程、差分方程等）化為矩陣方程進(jìn)行求解。由于在求解過(guò)程中，差分方程等）化為矩陣方程進(jìn)行求解。由于在求解過(guò)程中，需要計(jì)算廣義矩量，故此稱為矩量法。需要計(jì)算廣義矩量，故此稱為矩量法。 矩量法也是將所求方程化為矩陣方程后進(jìn)行求解。矩量法也是將所求方程化為矩陣方程后進(jìn)行求解。 矩量法需要進(jìn)行剖分和分析的區(qū)域僅僅限于問(wèn)題的邊界。矩量法需要進(jìn)行剖分和分析的區(qū)域僅僅限于問(wèn)題的邊界。 矩量法可以像有限差分法那樣用來(lái)求解附帶一定邊界條件矩量法可以像有限差分法那樣用來(lái)求解附帶一定邊界條件的偏微分方程（例如，本征值問(wèn)題），但是更便于求解邊的偏微分方程（例如，本征值問(wèn)題）

56、，但是更便于求解邊界條件已經(jīng)包含在內(nèi)的積分方程。界條件已經(jīng)包含在內(nèi)的積分方程。 邊界剖分所占用的計(jì)算機(jī)內(nèi)存往往比場(chǎng)域剖分所占的內(nèi)存邊界剖分所占用的計(jì)算機(jī)內(nèi)存往往比場(chǎng)域剖分所占的內(nèi)存少得多。但是，當(dāng)媒質(zhì)不均勻或場(chǎng)域結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時(shí)，用少得多。但是，當(dāng)媒質(zhì)不均勻或場(chǎng)域結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時(shí)，用有限差分法分析比用矩量法分析來(lái)得簡(jiǎn)便。有限差分法分析比用矩量法分析來(lái)得簡(jiǎn)便。Authorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-65 矩量法的三個(gè)基本步驟矩量法的三個(gè)基本步驟 算子方程算子方程（1）選取基函數(shù)選取基函數(shù) ，將未知函數(shù)，將未知函數(shù) 表示成基函表示成基函數(shù)的級(jí)數(shù)，將算子方程化為代數(shù)方程。數(shù)的級(jí)數(shù)，將算子方程化為代數(shù)方程。算子方程算子方程已知函數(shù)已知函數(shù)展開(kāi)系數(shù)展開(kāi)系數(shù)線性算子線性算子代數(shù)方程代數(shù)方程1. 矩量法的基本概念矩量法的基本概念A(yù)uthorware課件PPT第3章電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論第第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法3-66（2）取權(quán)重函數(shù)（加權(quán)函數(shù)、測(cè)試函數(shù)）取權(quán)重函數(shù)（加權(quán)函數(shù)、測(cè)試函數(shù)