1、1例1、證明：入射到光纖一端的光線錐的最大夾角為2221arcsinnn 2n1n2證明：i1i2 兩次折射關系：11cossinin2211sinsininin 角越大，i1 越小，i1 必須大于臨界角121arcsinnniic結果得證2例2、設曲面 S 是有曲線 CC 繞 X 軸旋轉而成的。曲面兩側的折射率分別為 n 和 n，如果所有平行于X 軸的平行光線經曲面折射后都相交于X 軸上一點 F，則曲面成為無像差曲面，已知OF = f，求曲線所滿足的方程。如果 n = - n，結果如何？CCOXY解：FfAB 分析解本題可用折射定律求曲面法線方程的方法，再結合已知條件，可求得CC曲線方程。

2、用等光程原理求解本題更簡單nn3CCOXYFfAB (x, y) 選取一條入射光線AB 和一條沿 X 軸入射 的光線;nn 等光程：OFnBFnABn 幾何關系：xAB 22yxfBF CC曲線方程：fOF 0222222fxnnnynxnn n = - n 時：fxy42橢圓方程拋物型反射鏡4例1 有一半導體發光管，發光區為半徑為 r 的圓盤，發光面上覆蓋一折射率為 n、半徑為 R 的半球型介質，如圖所示。問：要使發光區發出的全部光線在球面上不發生全反射，介質半球的半徑 R 至少應多大？（第11屆全國中學生物理競賽題）R發光區Onrnic1arcsin解： 第一步：全反射條件5OAPB 第二

3、步：反射光的幾何性質 考察任意一點 A 發出的光線在球面上任意一點P 反射后的光線 因此反射光線一定在 APO 平面內，與發光面交點 B 在 AO 延長線上，即AO所在的直徑上PRBR P 點的法線沿 PO 方向反射線、折射線、法線三者共面 A點發出的其它光線反射后都與 AO所在的直徑相交6 第二步：數學推導EFROnrP EO區內E點光線的入射角iE最大，同樣FO區內F點的光線的入射角iF最大;iEiF 求 F點光線的最大入射角niicF1arcsinmax 不發生全反射:RriFarcsinmax 如果 P 點在右半邊，則有 iF iE , P 點在左邊,則反之;EPEOPriEsinsi

4、nFPEOPFPFOPriFsinsinsinFPEP nrR rROFPiFsinsin7例2 圖示一個盛有折射率為 n 的一體的槽，槽中的中部扣著一個對稱屋脊形的薄璧透明罩ADB,頂角為2q，罩內為空氣，整個罩子浸沒在液體中，槽底 AB 的中點有一亮點 C。 試求出：位于液體上方圖示平面內的眼睛從側面觀察可看到亮點的條件（液槽有足夠的寬度；罩璧極薄，可不計它對光線產生折射的影響）（第13屆全國中學生物理競賽予賽題）解：ABDn = 1nCq 在液面上折射時，所有光線都發生全反射時，則光線出不來。8ABDn = 1nCqbg 全反射條件：nC1arcsingEF 三角幾何關系E點和F點法線的

5、夾角DB和水平方向的夾角：只要 g 的最小值小于臨界角，則總會有光線出來bsinsinng 最小 b 最大 C點發出光線 CD的 最大q2max11tan2nqqbg29例3： 一塊平行平板，其厚度為 d，光線 從O點垂直入射，若平板折射率按 變化，q 為常數，并在 A 點以 角出射，求 光線軌跡、A 點的位置和平板的厚度。qxn410AOXYd解： 折射定律決定光線在每一點的方向，從而確定光線的軌跡； 介質折射率連續變化，可將平板沿 X 方向切成一系列薄片，對每層薄片應用折射定律。 折射定律的級聯形式：AAxxnnnnbbbsinsinsin110bxqxnnx41010AOXYdAAxxn

6、nnnbbbsinsinsin110bxqxnnx410P(x, y) P點光線的方向由bx 決定:qxnnxx411sin0b P點光線的切線斜率 kp :qxkxp41tanb 曲線 y = f(x)與斜率 kp：dxdykp A點的條件：bsin90sinAoAnAAnn0sinb和qxy 2 光線軌跡方程：220sinnnA 結論：qnxA2024sinqnydA02sin和11例4、 一個透明光學材料，折射率在 y 方向向兩側對稱地降低： ，在xoy 平面內有一光線以入射角qo=30o 射向O點，求此光線能到達離 X 軸最遠的距離。 qynyn0OXY解:q0 從上題可知，光線進入折

7、射率非均勻介質后彎曲，而且是傾向于向折射率大的方向偏折。 從圖可知：光線 X 軸最遠點 為切線在水平方向時的切點處。 qynyn0 沿Y 方向分割成一系列薄層，應用折射定律。sinsin00nn 由初始條件 求出0:0090sin30sinoonqnny41200max012例5、圖示三棱鏡的頂角 60o，在三棱鏡兩側對稱位置放置焦距均為 f = 30cm的兩個完全相同的凸透鏡 L1和 L2，若在 L1 的前焦面上距主光軸下方 y =14.3cm 處放一單色點光源 S，已知其像 S 與 S 對該光學系統時左右對稱的，試求該三棱鏡的折射率。(第19屆全國中學生物理預賽題）FfySSL1L2解：

8、分析：光路系統及物像左右對稱，考慮到光線的可逆性原理， 因此在棱鏡內部分的光線一定是平行于棱鏡底邊n = ?13FfySSL1L2 選取一條特征光線通過透鏡光心的光線i1i4i3i2 幾何關系：b41ii 32ii b21ii32iifybtann = ? 計算得：65. 1sinsin21iin14例7、兩透鏡組合系統如圖，已知一個物經整個系統成像位置和大小如圖中所示。試用作圖法求物經 L1 成像位置與大小，作出 L1 及透鏡組合系統的焦點位置（畫出物方或像方中的一個即可），說明 L1 和 L2 的凹凸性。L1L2解：物P像P 物點P發出的光線1通過 L1 光心； 通過像點P并經過 L2光心

9、的光線2 ；12光線1經過 L2 后的光線1 的延長線通過像點P；12 在 L2 上對應于2 的入射光線為2 ； 1 和 2 交點是物點 P 經 L1 所成的中間像點；P”15L1L2物像1212 物點 P 發出的水平光線經 L1 后與 P” 相交確定 L1 的焦點 F1F313F 出射光線 3 通過 P 與光軸相交于 F L1為負透鏡，L2 為正透鏡16例8、有一半徑為R=0.128m的玻璃半球，過球心O并與其平面部分相垂直的直線為其主軸，在主軸上沿主軸方向放置一細條形發光體A1A2（如圖示），其長度為l=0.020m。若人眼在主軸附近對著平面部分向半球望去，可以看到條形發光體的兩個不很亮的

10、像（此外可能還有亮度更暗的像不必考慮），當條形發光體在主軸上前后移動時，這兩個像也在主軸上跟著移動。現在調整條形發光體的位置，使得它的兩個像恰好頭尾相接，連在一起，此時條形發光體的近端A2距球心O的距離為a2=0.020m，試利用以上數據求出此玻璃球的折射率 n（計算時只考慮近軸光線）。OA1A2a2解： 分析 兩個像一為平面反射的像； 另一個為經過平面折射 球面反射 平面折射nR17OA1A2a2 求光軸上一點A（在O左方a處）的A經過三次所成的像，Ru 注意點：半球的 r = -Rnrnnsnsn計算可得，最后的像A在O右邊sA處：RnaaRsA2顯然 sA sA2 A1A2A”2A”1

11、A 經平面反射的像 A” 在O右邊 a 處，兩條形像頭尾相接， A1 與A2” 重合l6 . 12laalRn18例9、一塊玻璃臺板厚度為 d，折射率為 n，看到壓在臺板下的報紙上的字相對于真實位置要上移一個距離 l，試求 l。SSndlO1O2解：S” S相對于O1的物距 為 s其像S”相對于O1的像距nss 1例如 n=1.5，l= d/3 分析利用公式 求解兩次成像過程snsn 中間像S”相對于O2的物距為dnss2S相對于O2的像距:ndnss2S相對于O1的像距:dndnss1dnnssl1119例10、長度為 h=4mm 的物體由圖示的光學系統成像。光學系統由一個直角棱鏡、一個會聚

12、透鏡和一個發散透鏡組成，各有關參數和幾何尺寸均標于圖中。求：1）像的位置；2）像的大小，并作圖說明是實像還是虛像，是正立還是倒立的。（第13屆全國物理競賽復賽題）AB6cm10cm5cmL1L245o6cmn=1.5f1=20cm f2=10cm解： 分析 棱鏡不僅起反射作用，兩個直角面上的折射也必須考慮； AB經過棱境全反射后，再分別經L1和L2成像； 棱鏡反射相當于反射鏡，兩次折射等效于平板玻璃的作用。206cmAB平板折射像ABAB6cm10cm5cmL1L245o6cmn=1.5f1=20cmf2=10cm 全反射條件 ：o421arcsinniC近軸成像 棱鏡的等效成像:AB與AB等

13、高，在AB右側cmdnnl21lAB反射像6cm 最后的像成在L2的焦點上，即L2左側10cm處，像高2mm21ABL1L2 作圖F1F2A”B”22例11、在圖示的費涅爾雙棱鏡實驗中，已知狹縫光源S的波長為l、棱鏡折射率為n、棱角很小，設光源S到棱鏡的距離為L1，（1）求距棱鏡L1處的屏上條紋的間距。（2）若用折射率為n的肥皂膜遮住棱鏡的一半，發現條紋上下移動了a，求肥皂膜的厚度。SS2S1解：SS2S1L1L2屏n 分析采用等效的虛光源后，有類似于揚氏干涉的干涉條紋；DxX23t（2）肥皂膜厚度t ： 求等效光源S1和S2的間距d ：SS2S1L1L2屏nOd棱鏡角 很小q偏向角q1 nq

14、12211nLLdX（1）條紋間距 Dx ：l1212121DnLLLdLLxDxa光程差的變化tn 1xatnDl1l112211nLLanLt24例12、一塊玻璃平板放置在邊長為2cm的玻璃立方體上，兩者之間有一層平行的空氣隙。波長在0.4mm到1.15um之間的電磁波初值垂直入射到平板上，經空氣隙兩邊表面反射而發生干涉。在此波段只有兩種波長獲得極大增強，其一是l1=0.4mm。求空氣隙的厚度。(第3屆國際奧林匹克題）解： 下表面反射的光要比上表面反射的光多走2d的光程d 在玻璃表面反射時，有180o的相位改變（半波損失） 干涉增強條件：11122llkd21222llkd和2121121

15、2llkk 可篩選出k1和k2的可能值：k1=2 和 k2=1l2=0.667mm25例13、沿著肥皂膜法線成45o角的方向觀察時，膜顯綠色(l1=500nm)。設肥皂膜折射率為1.33，求：(1)肥皂膜的最薄厚度。(2)如改為垂直觀察，膜是何種顏色？解：2cos2lq ndrdn=1.33i=45oq112cos2llqknd(1) 干涉極大條件inkd221sin221l膜最薄nmind111sin221221l(2) 垂直入射：i = 0o, q = 0o1242122kndkndl122 .585k可見光范圍k只能取0nm2 .5852l26例14、兩平板玻璃間構成劈形空氣膜，波長為5

16、00nm的單色光正入射時，觀測到膜上的干涉條紋間距為1mm，求劈角。解：2cos2lq ndr 分析XDx 光程差主要決定于厚度，形成等厚條紋； 正入射時，q0，2222llxdr 光程差86. 0105 . 24弧度 光程差改變一個波長，條紋變化一個周期lDx227？條紋條紋圖示：平板平整度的檢測 條紋llqkxr2cos2亮條紋位置例14的討論：28例15、一個由暗盒組成的針孔照相機，其小孔直徑小孔直徑為d，暗盒中像成在小孔厚距離為D 的感光膠片上，物體位于小孔前L處，所用照明波長為 l 。（1）估計成像清清晰時小孔半徑的大小； （提示：函數 ，對于 x 0， 時， y 最小）（2）若使用（1）中算出的小孔，試問物體上兩點間的 最小距離多少時，兩點的像是可分辨的？針孔成像xbaxyabx AdDL解：分析29 分析 小孔成像利用光的直線傳播 小孔越小越好；AdDLa 幾何投影像的直徑dLDLa 小孔衍射使得像點成為像斑 小孔越小越好；a”/2 衍射效應增加的直徑Ddal22. 12A 的像的總直徑 a = a + a”30