1、19.1 非線性電阻的伏安特性非線性電阻的伏安特性19.2 非線性電阻的串聯、并聯電路非線性電阻的串聯、并聯電路19.4 小信號分析方法小信號分析方法19.3 非線性電阻電路的方程非線性電阻電路的方程19.6 非線性電阻電路方程的數值求解方法非線性電阻電路方程的數值求解方法 牛頓牛頓拉夫遜法拉夫遜法19.5 非線性電阻電路解答的存在與唯一性非線性電阻電路解答的存在與唯一性19.7 用友網絡模型求解非線性電阻電路用友網絡模型求解非線性電阻電路本章重點本章重點219.8 非線性動態電路元件非線性動態電路元件19.9 二階非線性動態電路的狀態方程二階非線性動態電路的狀態方程19.10 非線性動態電路

2、方程的數值求解方法非線性動態電路方程的數值求解方法 本章重點本章重點 非線性電阻電路的方程非線性電阻電路的方程 非線性電阻的伏安特性非線性電阻的伏安特性 小信號分析方法小信號分析方法 返回目錄返回目錄 非線性動態電路的方程非線性動態電路的方程 非線性動態元件的伏安特性非線性動態元件的伏安特性 非線性動態電路的數值求非線性動態電路的數值求解解19.1 19.1 非線性電阻的伏安特性非線性電阻的伏安特性 一、線性電阻元件（一、線性電阻元件（linear resistor）consttg iuR二、非線性電阻元件（二、非線性電阻元件（nonlinear resistor）+-ui電路符號電路符號 u

3、 = f ( i ) i = g ( u )伏安特性（伏安特性（Volt-ampere characteristic） iuPui uiR+- -例例1 隧道二極管隧道二極管 +_uiiu0 給定一個電壓，有一個對應的電流；而給定一個電流，給定一個電壓，有一個對應的電流；而給定一個電流， 最多可有最多可有3個對應的電壓值。即個對應的電壓值。即 i = f (u)。稱為。稱為“壓控型壓控型” 或或 “ N型型”。例例2 充氣二極管充氣二極管 +_ui例例3 整流二極管整流二極管 +_ui-ISui伏安特性伏安特性 給定一個電流，有一個對應的電壓；而給定一個電壓，最多給定一個電流，有一個對應的電壓

4、；而給定一個電壓，最多可有可有3個對應的電流值。即個對應的電流值。即 u = f (i)。稱為。稱為“流控型流控型”或或 “ S型型”。)1e(S buIib0IS 0b：與電荷、溫度有關：與電荷、溫度有關 IS：反向飽和電流反向飽和電流 式中式中ui0伏安特性伏安特性 iu三、非線性電阻的靜態電阻三、非線性電阻的靜態電阻 RS 和動態電阻和動態電阻 Rd 靜態電阻（靜態電阻（static resistance）動態電阻（動態電阻（dynamic resistance） SS tgGiuR， iuP0dd tgddGiuR， （1）靜態電阻與動態電阻都與工作點有關。當）靜態電阻與動態電阻都與工

5、作點有關。當P點位置點位置不同時，不同時，RS 與與 Rd 均變化。均變化。 （2） RS反映了某一點時反映了某一點時 u 與與 i 的關系，而的關系，而 Rd 反映了在反映了在 某一點某一點 u 的變化與的變化與 i 的變化的關系，即的變化的關系，即 u 對對i 的變化率。的變化率。 （3）對）對“S”型、型、“N”型非線性電阻，下傾段型非線性電阻，下傾段 Rd 為負，為負， 因因此，動態電阻具有此，動態電阻具有“負電阻負電阻”性質。性質。ui0ui0說明說明 含有非線性電阻的電路都是非線性電路。含有非線性電阻的電路都是非線性電路。 KCL和和KVL對非線性電路都適用。對非線性電路都適用。

6、注意：注意： 疊加定理對非線性電路是不成立的。疊加定理對非線性電路是不成立的。 返回目錄返回目錄19.2 19.2 非線性電阻的串聯、并聯電路非線性電阻的串聯、并聯電路一、非線性電阻的串聯一、非線性電阻的串聯2121uuuiii 在每一個在每一個i 下，圖下，圖 解解法求法求 u，得一個交點，將，得一個交點，將一系列交點連成曲線即得一系列交點連成曲線即得串聯等效電阻的伏安特性串聯等效電阻的伏安特性 （仍為非線性）。（仍為非線性）。u i 0)(1iu)(2iu)(iu1u 2u i21uuu i1i+ + -+ u)(2iu)(1iui2 串聯電路電流相等，總串聯電路電流相等，總 電壓等于各分

7、電壓之和。電壓等于各分電壓之和。二、非線性電阻的并聯二、非線性電阻的并聯 同一電壓下將電同一電壓下將電 流流 相加可得并聯等相加可得并聯等 效電阻的伏安特性效電阻的伏安特性 。iuo1i 2i i 1i u )(ui)(1ui)(2ui2121uuuiii i+ + -+ ui1i2u1u2 并聯電路電壓相等，總并聯電路電壓相等，總 電流等于各分電流之和。電流等于各分電流之和。u= f (i) P工作點（工作點（operating point） 三、含有一個非線性電阻元件電路的求解三、含有一個非線性電阻元件電路的求解 用用圖解法圖解法求解非線性電路（求解非線性電路（nonlinear circ

8、uit） uSPI0u1u2I0uSu1= iR1 u2= f2(i) u2u1u1=iR1，u2 = f2(i) u= f(i)u i 0+u1_+_u2i+_uSR1R2+_uiRUu1S2 其特性為一直線。其特性為一直線。 線性線性含源含源電阻電阻網絡網絡i+-u2ab也可先用也可先用戴維南等效電路化簡，戴維南等效電路化簡，再用圖解法求解。再用圖解法求解。 兩曲線交點兩曲線交點 Q即為即為所求解答所求解答 ，u1則則可由下式求得：可由下式求得：），（02iu011iRu ai+-u2bR1+US-+u12uuiUS0i1SRU) , (02iuQu2=f(i)0返回目錄返回目錄建電路方程

9、建電路方程元件性能元件性能 非線性非線性 電路的連接電路的連接 KCL，KVL 例例1 已知已知i1 = u1 , i2 =u25, i3 =u33 ，求，求 u 。 i1+i2+i3=0 u1+u25+u33=0 u- -2+(u- -1)5+(u- -4) 3=0 u 19.3 19.3 非線性電阻電路的方程非線性電阻電路的方程 非線性電阻是壓控電阻，非線性電阻是壓控電阻，列列KCL非線性代數方程非線性代數方程 +_2V+_1V+_4VR1R2R3+_u1+_u2+_u3i1i2i3u5155314433315105UIUIUI 例例2 G1和和G2為線性電導，非線性電阻為壓控電阻。列為線

10、性電導，非線性電阻為壓控電阻。列 節點方程。節點方程。解解 000S24543321 IIIIIIIII+-2I2G3U4USU1G5USI1nU2nU3nU-3I1I5I4I512n5/155313n2n3/14432n1n3333n1n22S1n111515)(1010)(55)()(UUIUUUIUUUIUUGIUUGI 則節點方程為則節點方程為 0)()(10015)(10)(50)(5)()(S3n1n2313n2n512n313n2n32n1n32n1n3n1n2S1n1 IUUGUUUUUUUUUUUGUUG+-2I2G3U4USU1G5USI1nU2nU3nU-3I1I5I4I

11、i3=il2 u3=u 020)()(312212S21211 lllllliiiRUiiRiR例例3 已知已知 u3 =20 i31/3, 求節點電壓求節點電壓 u 。 +- -3uSUR1u1i1R2u2- - -i2i3il1il2u非線性電阻為流控型電阻，非線性電阻為流控型電阻， 則則列列 KVL方程。方程。 也可以先將線性部分做戴維南等效也可以先將線性部分做戴維南等效 其中其中 U0= US R2 /(R1+R2) , R=R1R2 /(R1+R2) 由此得由此得 U0 =R i3 +20 i31/3 i3u3=u R1R2R3US+_u3i3RR3U0+_u3i3u3 =20 i3

12、1/3 返回目錄返回目錄 已知圖中已知圖中Us為直流電源，為直流電源，us(t) 為為交流小信號電源，交流小信號電源，Rs為線性電阻，任為線性電阻，任 何時刻何時刻US | uS(t) |。非線性電。非線性電 阻的阻的伏安特性為伏安特性為 i = g(u)。求。求 u(t) 和和 i(t)。19.4 19.4 小信號分析（小信號分析（small-signal analysissmall-signal analysis）方法）方法 由由KVL 得方程得方程 )(SSSuiRtuU -+iuRSuS(t)Us-分析：分析： 第一步：不考慮第一步：不考慮 uS(t) ，即，即 uS(t)=0，US作

13、用。作用。P點稱為靜態工作點，表示電路沒有小信號時的工作情況。點稱為靜態工作點，表示電路沒有小信號時的工作情況。 I0，U0 同時滿足同時滿足i=g(u)US= RSi+ uI0=g(U0) US= RS I0 + U0 即即 用圖解法求用圖解法求 u(t) 和和 i(t)。 iui=g(u)I0U0USUS/RSPORSRUS+_ui第二步：第二步： US 0 ， uS(t) 0 | uS(t) | US u(t) 和和 i(t)必定在工作點附近。必定在工作點附近。 可以寫成可以寫成u(t) = U0 + u(t)i(t) = I0 + i(t)（ u(t) 和和 i(t)為信號電壓引起的為

14、信號電壓引起的 偏差偏差 ， 相對于相對于U0和和I0是很小的量）是很小的量）幾何意義：用過幾何意義：用過P點的切線代替曲線。點的切線代替曲線。 由由 i=g(u) )()(00tuUgtiI I0 = g(U0)()(dd)(00dtuGtuugtiUU 得得 泰勒（泰勒（Taylor）級數展開，取線性項。）級數展開，取線性項。 )(dd)(00tuugUgU US+ uS(t )= RS I0 + i(t) + U0 + u(t) 得得 US= RSI0 + U0 直流工作狀態直流工作狀態 )()( )(1)()()()(dSdSSStiRtiRtiGtiRtutiRtu 上式表示工作點處

15、由小信號產生的電壓和電流的關系。上式表示工作點處由小信號產生的電壓和電流的關系。 代入方程代入方程 )(SSSuiRtuU 將將 u(t) = U0 + u(t) i(t) = I0 + i(t) u(t)=uS(t) Rd /(RS+Rd) i(t)= uS(t)/(RS+Rd) 即可求出工作點處由小信號產生的電壓和電流。即可求出工作點處由小信號產生的電壓和電流。 ，畫小信號工作等效電路。，畫小信號工作等效電路。 )()()(dSStiRtiRtu 據式據式+_uS(t)RS+_ u (t) i(t)001UUddGR 得得 第三步：電路中總的電壓和電流是兩種情況下的代數和。第三步：電路中總

16、的電壓和電流是兩種情況下的代數和。 u(t) = U0 + u(t) i(t) = I0 + i(t) 討論討論：分析時分兩步：分析時分兩步 uS(t)=0 ，US 0 US 0 ， uS(t) 0 疊加疊加 結論：非線性電路疊加原理不適用。結論：非線性電路疊加原理不適用。 例例 已知已知 e(t)=7+Emsinw w t V，w w=100rad/s， Em - I0 時時 有唯一解有唯一解 當當 IS C 0 u = f (i) 0d)(ddd iifiu伏安特性伏安特性 嚴格漸增嚴格漸增 非線性電阻電路有唯一解的一個定理非線性電阻電路有唯一解的一個定理 （1）電路中的每一電阻的伏安特性

17、都是嚴格遞增的，且）電路中的每一電阻的伏安特性都是嚴格遞增的，且 每個電阻的電壓每個電阻的電壓 u 時，時，電流分別趨于電流分別趨于 。 （2）電路中不存在僅由獨立電壓源構成的回路和僅由獨）電路中不存在僅由獨立電壓源構成的回路和僅由獨 立電流源構成的割集。立電流源構成的割集。u1u2i1i2ui0返回目錄返回目錄19.6 19.6 非線性電阻電路方程的數值求解方法非線性電阻電路方程的數值求解方法 牛頓牛頓- -拉夫遜法（拉夫遜法（Newton-Raphson AlgorithmNewton-Raphson Algorithm） 一、具有一個未知量的非線性代數方程求解一、具有一個未知量的非線性代

18、數方程求解 0 xf(x) x 設方程設方程 f(x) = 0 解為解為x*，則則f(x *) = 0 。x*為為 f(x) 與與 x 軸交點。軸交點。基本思路基本思路：線性化。：線性化。具體做法具體做法：有指導的猜試、：有指導的猜試、迭代。迭代。 0)( 0 xf設設 x0f(x0) = 0 x0 就是解就是解 0)( 1 xf設設 x1 f(x1) = 0 x1 就是解就是解 f(xk) 停止停止 實際處理實際處理: xk xk-1 xk 就是解。就是解。 利用牛頓利用牛頓-拉夫遜法求拉夫遜法求x* 步驟如下。步驟如下。 （1） 選取一個合理值選取一個合理值x0，稱為迭代初值。此時，稱為迭

19、代初值。此時x0 一一 般與般與 x* 不等。不等。 （2） 迭代迭代 。 取取x1 =x0+ x0 作為第一次修正值，作為第一次修正值， x0 充分小。充分小。將將 f ( x0+ x0 ) 在在 x0 附近展開成臺勞級數：附近展開成臺勞級數： 20220000)(! 21)()(00 xdxfdxdxdfxfxxfxx)()(000001xfxfxxxx （3）若）若 xk+ +1 xk 則則 xk+ +1 就是方程的解就是方程的解 x* 。 , 3 , 2 , 1 , 0)()(1 kxfxfxxkkkk迭代公式迭代公式 )()(dd)(0dd)(00000000 xfxfxfxfxxx

20、fxfxx 幾何解釋：幾何解釋： 將將 f(x) 在在 x0 處線性化。處線性化。取線性部分，并令取線性部分，并令)()(1kkkkxfxfxx xk+ +1 - xk k=k+1k=0 x0No Yes x* * =xk+ +1 程序流程程序流程 1x2x)x(f1)x(f00 xf(x) x)(2xf0 x001xxx )()(000 xfxfx )()( 111112xfxfxxxx 疊代過程的幾何解釋：疊代過程的幾何解釋： 收斂性：與函數本身有關，與初值有關。收斂性：與函數本身有關，與初值有關。 切線切線 解：列節點方程解：列節點方程n2n31S32n2UUIIIRU 0237n2n

21、UU237)( n2nn UUUf令令。求求已已知知：n3233321S 2)( 3 ,A2 UUUUfIRI 例例 +IS1UnI3U3R2)()(nnnkkkUfUfU 取取 ，迭代結果如下表。，迭代結果如下表。00n U )()(nnnnn1nkkkkkkUfUfUUUU 3722372237n2nnn2nn kkkkkkUUUUUUnnnnnd ()7()2d3kkkUf UfUUU kUnk)(nkUf012340-20.857140.734690.675630.032950.666690.000090.666670.00001經四次迭代后，得經四次迭代后，得000001. 0)(V

22、00002. 0V 66667. 0nnn UfUU注意：初估值選擇不好會產生振蕩注意：初估值選擇不好會產生振蕩 （迭代不收斂）。（迭代不收斂）。237)( n2nn UUUf 3722n2n1n kkkUUU二、具有多個未知量的非線性方程組的求解二、具有多個未知量的非線性方程組的求解設設 n 個未知量個未知量n21 , , ,xxx0) , , ,( 0), , ,(0), , ,(n21nn212n211 xxxfxxxfxxxf一般表示為一般表示為 n , , 2 , 10) , , ,(n21 jxxxfj設第設第 k 次迭代時次迭代時 n , , 2 , 1 ) , , ,(n21

23、jxxxffkkkjkj若若 ，則則 即為所求的一組解答。即為所求的一組解答。0 kjf) , , ,(n21kkkxxx下面分析每次修正值下面分析每次修正值 xj ( j=1，2，n)的計算的計算 對對 先選一組初估值先選一組初估值 進進 行第一次計算，然后不斷修正，進行迭代運算。行第一次計算，然后不斷修正，進行迭代運算。）（0n0201 , , ,xxx）（n21 , , ,xxx若若 ，則進行修正，則進行修正，尋找尋找 0 kjf) , ,(1n1211 kkkxxx) ,( ,22111122121111knknkkkkjkjknknknkkkkkkxxxxxxffxxxxxxxxx

24、將將 在在 xik 附近展成臺勞級數，取線性部分，并令其附近展成臺勞級數，取線性部分，并令其 等于零，等于零， 得得1 kjfkjnikikijnikikijkjkkjkkjkkjkjkjfxxfxxffxxfxxfxxfff 11nn22111 0 1,2, , jn 簡記為：簡記為： J 稱為稱為雅可比矩陣雅可比矩陣 ) 111kkkkkkkkFJXXFXXJ ( 1XXkk 得方程組的解得方程組的解 X k +1 kkkkkkkfffxxxxfxfxfxfxfxfxfxfxfn21n21nn2n1nn22212n12111 寫成矩陣形式為：寫成矩陣形式為：返回目錄返回目錄19.7 19.

25、7 用友網絡模型求解非線性電阻電路用友網絡模型求解非線性電阻電路 基本思想：基本思想： 找出由找出由k次迭代值求第次迭代值求第k+1次迭代值的線性化模型。次迭代值的線性化模型。i = f ( u ) 令令 uk， uk+1 分別為第分別為第 k 次和第次和第 k+1 次的電壓初值，其次的電壓初值，其 對應的電流分別為對應的電流分別為)( ),(11 kkkkufiufi+ui與牛頓法的區別：與牛頓法的區別： 牛頓法：對非線性方程不斷線性化。牛頓法：對非線性方程不斷線性化。 友網絡：對非線性電阻伏安特性不斷線性化。友網絡：對非線性電阻伏安特性不斷線性化。 把把 在在 處展開成臺勞級數處展開成臺勞

26、級數，)(11 kkufiku 22211dd! 21dd)( )()(kukukkkkkuufuufufuufufikk取線性部分，即將非線性電阻在取線性部分，即將非線性電阻在 處線性化處線性化， kukkkkkkkkkkukkuGuGiuuGufuufufikd1d1d1 )()( dd)( 式中式中 為非線性電阻在為非線性電阻在 點處的動態電導。點處的動態電導。 ),(kkiukkuukuiufGdddd d 得得 得得 將電路中所有非線性電阻分別用各自的線性化模型將電路中所有非線性電阻分別用各自的線性化模型 代替，就可得到和原電路對應的代替，就可得到和原電路對應的“友網絡模型友網絡模型

27、”。逐次。逐次 迭代計算，即可得到所要求的解。迭代計算，即可得到所要求的解。 非線性電阻在第非線性電阻在第 k+1 次迭代時的次迭代時的“線性線性 化化”模型。模型。kkkkkkuGuGiid1d1 1 kikkkuGid kGd+1 ku-在進行第在進行第 k+1 次迭代時，次迭代時， 是已知的。是已知的。kkkkGuufid,),( 上述關系可用如下等效電路來描述上述關系可用如下等效電路來描述： 解解 畫出友網絡模型。畫出友網絡模型。1 kikkkuGid kGd1 kuS1i2R+-unk +1。求求已已知知：n3233321S 2)( 3 ,A2 UUUUfIRI 例例 +-IS1Un

28、I3U3R2列節點方程（列節點方程（ k+1次迭代時）：次迭代時）： )()1(nd1S1nd2kkkkkUGiiUGR kkkuuun2n1n2372 將上述關系代入將上述關系代入 前前 式，得式，得 2222ddn333d3 kkukuuuiGk已知已知 ,23233uui A2 ,31S2 iR。時時，得得方方程程解解nn1n uuukk u2i22幾何解釋幾何解釋 ui0u0i00u1i11P切線切線 小結小結 （1） 友網絡是非線性電阻電路第友網絡是非線性電阻電路第k+1次迭代計算時的線次迭代計算時的線 性性化模型，是線性電路。化模型，是線性電路。 （2）友網絡模型和非線性電阻電路具

29、有相同的拓撲結構，）友網絡模型和非線性電阻電路具有相同的拓撲結構，每次迭代時拓撲結構不變，僅需改變非線性電阻線性化參數值。每次迭代時拓撲結構不變，僅需改變非線性電阻線性化參數值。返回目錄返回目錄5019.8 19.8 非線性動態電路元件非線性動態電路元件一、非線性電容一、非線性電容: q與與u 的關系不成正比的關系不成正比壓控電容壓控電容 q = f ( u ) q可以用可以用u的單值函數表示，的單值函數表示，b. 荷控電容荷控電容 u = h(q ) u可以用可以用q的單值函數表示，的單值函數表示，c. 單調型單調型ui+- -q1. 分類分類 2. 非線性電容的靜態電容非線性電容的靜態電容

30、CS 和動態電容和動態電容Cd uquq庫伏特性庫伏特性 p靜態電容靜態電容動態電容動態電容Stan qCu ddtandqCu 513. 壓控電容壓控電容 q = f (u) 的的u、i 關系關系 tuuCtuuuftuftqiddd)(ddd)(dd)(ddd Cd 為動態電容，是電壓為動態電容，是電壓u的函數的函數 4. 非線性電容的儲能非線性電容的儲能 QtCtutuiW0-dd0quQ5. 非線性電容示例非線性電容示例LRCU0+_uS25 . 0 kuq 非線性電容特性非線性電容特性020000)5 . 0(dddd)(kUkukuuuquCUUUUd 改變工作點改變工作點U0即可

31、改變即可改變Cd以達到諧振。以達到諧振。52二、非線性電感二、非線性電感: 與與i 的關系不成正比的關系不成正比流控電感流控電感 = h(i ) 可以用可以用i 的單值函數表示，的單值函數表示，b. 鏈控電感鏈控電感 i =f( ) i可以用可以用 的單值函數表示，的單值函數表示，c. 單調型單調型ui+- -1. 分類分類 2. 非線性電容的靜態電容非線性電容的靜態電容CS 和動態電容和動態電容Cd i i 鏈流特性鏈流特性 p靜態電感靜態電感動態電感動態電感Stan Li ddtandLi 533. 流控電感流控電感 = f (i) 的的u、i 關系關系 ddd ( )d ( ) dd(

32、)dddddf if iiiuL ittitt Ld 為動態電感，是電流為動態電感，是電流i的函數的函數 4. 非線性電感的儲能非線性電感的儲能 000ddddd itittuiWttL0i 返回目錄返回目錄54一、一、動態電路的狀態方程動態電路的狀態方程19.9 19.9 非線性動態電路的狀態方程非線性動態電路的狀態方程),(dd),(dd21222111txxftxtxxftx 若方程右端函數項不顯含時間變量若方程右端函數項不顯含時間變量t ),(dd),(dd21222111xxftxxxftx 上述方程稱為自治方程，對應電路稱為上述方程稱為自治方程，對應電路稱為自治電路（自治電路（au

33、tonomous circuit）。）。55自治自治(autonomous)方程：方程：凡電路元件參數不隨時間變化，在恒凡電路元件參數不隨時間變化，在恒定激勵或零輸入情況下電路的狀態方程都是自治方程。定激勵或零輸入情況下電路的狀態方程都是自治方程。非自治非自治(nonautonomous)方程：方程：凡電路元件參數隨時間變化凡電路元件參數隨時間變化和有參數隨時間變化的的激勵（如正弦激勵）的電路和有參數隨時間變化的的激勵（如正弦激勵）的電路的狀態方程都是非自治方程。的狀態方程都是非自治方程。二、二、動態電路狀態方程的列寫動態電路狀態方程的列寫例例1LRC+_uS+_uCi3)( bafi L為鏈

34、控電感為鏈控電感解：取解：取uC與與 為狀態變量為狀態變量 3S3Sdd ()CLCCiiabuuRiutuR abu 56狀態方程為狀態方程為33SddddCCuabtCCuaRbRut S3d100d1d1dCCuutuCabRt 寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：57例例R5+_iS+_uLi2R4i1i3i5i4+_uC1uC2)()()(333222111 fiqfuqfuLCC 列寫狀態方程，以列寫狀態方程，以q1、q2、 3為狀態變量為狀態變量 。 312123ddd,dddqqiiuttt 1143S33S1133442235333322553121122d1()()()dd1()(

35、)()dd()()dCsCCCuqiiiifif qftRRuqiifff qtRRuuf qf qt 解解 58寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：1411222S53331d01d()1d101()0d()0d110dqRtf qqf qitRft 返回目錄返回目錄5919.10 19.10 非線性動態電路方程的數值解法非線性動態電路方程的數值解法非線性動態電路的方程一般為非線性微分方程，一般非線性動態電路的方程一般為非線性微分方程，一般難以用解析的方法求解，多采用數值解法。難以用解析的方法求解，多采用數值解法。1. 前向歐拉法前向歐拉法（forward Eulars method）1 ktkt1 kxkxt0 x設有一階微分方程設有一階微分方程:00d( , )d( )( , ),xf x tatbtx txf x tx t （初初始始條條件