1、二項式定理經典題型題型一：求xa二項式系數或項系數.225一、4一1 .（2018全國卷出）（x十）的展開式中x的系數為xA.10B.20C.40D.80【解析】Ti=c5（x2）5（2）r=C52rx17r，由103r=4,得r=2,所以x4的系數為C5M22=40.x12. （2017新課標I）（1+,）（1+x）6展開式中x2的系數為xA.15B.20C.30D.35【解析】（1+）（1+x）6展開式中含x2的項為1C；x2C64x4=30x2,故x2前系數為30,xx33. （2015湖南）已知（4J=）5的展開式中含x2的項的系數為30,則2=,xA.石B.出C.6D.-65r【解析

2、】Tt=C；（1）rarx2，令r=1,可得5a=30=a=64. （2015湖北）已知（1+x）n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為1211109A.2B2C.2D.2【解析】因為（1+*1的展開式中的第4項與第8項的二項式系數相等，所以C：=C7,解得n=10,101109所以一項式（1+x）的展開式中奇數項的二項式系數和為一父2=2.25. （05浙江卷）在（1x）5（1x）6的展開式中，含x3的項的系數是（C）(A)-5(B)5(C)-10(D)10題型二：求常數項1.求二項式的展開式中的常數項?_5_解:r210上Tr1二Ci0(X)r一r1r20刀,

3、5一.81845=Ci0()x，令20r=0,付r=8,所以T9=C10()=2291022561練：求一項式(2x-)6的展開式中的常數項？2x屈77rr/c6_r/xrz1、r/(rc6_r,1r6_2r人ccc/口c、r斛：Tr+=C6(2x)(1)()=(1)C62()x，令62r=0,付r=3,所以2x23.3T4=(-1)C6-201n練：若(x2+)n的二項展開式中第5項為常數項，則n=.x解：t5=C4(x2)n(1)4=C：x2n,2,令2n-12=0,得n=6.x11：2.(1+2x2)x-1的展開式中常數項為.(用數字作答)Ix)11O解：(1+2x2)(x1)8的展開式

4、中常數項為1C84+2C8,(1)3=42。3.在(x-1)(x+1)8的展開式中x5的系數是(B)(A)-14(B)14(C)-28(D)28題型三：求有理數項1.求二項式（、.n展開式中的有理項？1127rc.9ro_r_r_r27-解：書=C9（x2）一（x3）=（1）C9X6，令WZ,（0ErE9）得r=3或r=9,6所以當r=3時，27=4,T4=（1）3C；x4=84x4,6當r=9時,27=3,T10=（-1）3c9x3=-x3o62. （05江西卷）（JI+3/x）12的展開式中，含x的正整數次哥的項共有（B）A.4項B.3項C.2項D.1項題型四：求最大項系數，最大的二項式系

5、數一一1n例：已知（_+2x）n,若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數成等差數列，求展開式中二項式2系數最大項的系數是多少？解：；C4+C6=2C；n221n+98=0，解出n=7或n=14,當n=7時，展開式中二項式系數最大的項是T4和丁5二丁4的系數=C；（1）423=35,T5的系數=C；（）324=70，當n=14時，展開式2221rr中二項式系數最大的項是丁8,.T8的系數=C；4（）727=3432。2練：在（a+b）2n的展開式中，二項式系數最大的項是多少？解：二項式的哥指數是偶數2n,則中間一項的二項式系數最大，即T2n=Tn事，也就是第n十1項。nn2一,X1.n練：

6、在（-q）的展開式中，只有第5項的二項式最大，則展開式中的常數項是多少？23xn10解：只有第5項的一項式最大，則一+1=5,即n=8,所以展開式中常數項為第七項等于C；（-）2=722練：寫出在（a-b）7的展開式中，系數最大的項？系數最小的項？解：因為二項式的哥指數7是奇數，所以中間兩項（第4,5項）的二項式系數相等，且同時取得最大值,34.3一一，_43.4一一一,從而有T4C7ab的系數取?。㏕5=C7ab系數取大。練:解:1C若展開式刖二項的二項式系數和等于79,求（己+2x）n的展開式中系數最大的項？由C0+C：+C：=79，解出n=12，假設Tr書項最大，：（,+2x）12=（1

7、）12（1+4x）1222一ArC；24rC1丁4T=14上，化簡得到9.4Er10.4,又*0WrW12,，r=10,展開-Ar2C；24r.C；214r11式中系數最大的項為Tii,有T11=（一）C104210X10=16896x10練:在（1+2x）1的展開式中系數最大的項是多少?解:假設Tr4項最大，：Ti=C；02rxrAr:；m；C：2二解得J_2(11-r)-r，4，化簡得到6.3k7,3,又r1-2(10-r)；0WrW10,二r=7,展開式中系數最大的項為T8=C：027x7=15360x7.題型五：多項變兩項例：求當(x2+3x+2)5的展開式中x的一次項的系數？解法：(

8、x2+3x+2)5=(x2+2)+3x5,斗=C5(x2+2)(3x)，當且僅當r=1時，Tr4的展開式中才有x的一次項，此時丁4=丁2=c5(x2+2)43x,所以x得一次項為C；C：243x它的系數為-243=240。解法:(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5=(c5)x5+C5x4+C5)(c5)x5+c5x42+C525)故展開式中含x的項為C；xC；25+C；x24=240x,故展開式中x的系數為240.1練：求式子(|x|+口2)3的常數項？x解：(|x|+1-2)=(桐一力)6,設第r+1項為常數項，則Tr+=C；(-1)rk(；)r=(-1)6C；|x|6,得6-2r

9、=0,r=3,二丁3中=(-1)3C；=-20.x練:解:練:解:題型六：兩個二項式相乘例：求(1+2x)3(1-x)4展開式中x2的系數.解：(1+2x)3的展開式的通項是C1(2x)m=C3n2m，xm,(1x)4的展開式的通項是C4，(x)n=c41n，xn,其中m=0,1,2,3,n=0,123,4,令m+n=2,則m=0且n=2,m=1且n=1,m=2JLn=0,因此(1+2*)3(1-*)42M3g米什含g二pc0o022.f1o111.C2O200cx陽東效寺1C32C4(-1)C32C4(-1)C32C4(7)=-b.求(1+夜)6(1+)10展開式中的常數項.、x.mn4m新

10、(1十夜)6(1+/)10展開式的通項為C6mxC1n0x7=C6nC1n0fF.xm=0-m=3-m=6其中m=0,1,2,6,n=0,1,2,10，當且僅當4m=3n,即/或！或n=0,n=4,n=8,時得展開式中的常數項為C：C0C；C40-C；Gi=4246.21n*一已知(1+x+x)(x+在)的展開式中沒有吊數項，nWN且2nM8,則n=.x1c9+在廠展開式的通項為C；xnx=C；，xnr,通項分別與前面的三項相乘可得xC必如。：。工,卡：。4出,；展開式中不含常數項,2n乙JJJ令x=1可得an+亙十黑|=0.電+為+柬=_心x_，a0_2_2009,_2_2009a02222222在令x=0可得a0=1,因而亙當a1磊=-1.222練：若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x1+a0，貝1Ja1+a2+a3+a4+a5=解：令x=0得a0=-32,令x=1得a0+4+22+23+24+25=7,aa2a3ada-31.題型八：整除例：證明：32n平-8n-9(