1、九年級數(shù)學(xué)圓與相似的專項培優(yōu) 易錯 難題練習(xí)題 （含答案 ）、相似AE=EF=FD.（1）求 EG ：BG 的值（2）求證： AG=OG（3）設(shè) AG =a ,GH =b， HO =c，求 a : b : c 的值【答案】 （1）解： 四邊形 ABCD是平行四邊形，AO= AC， AD=BC， AD BC， AEGCBG， = = AE=EF=FD，BC=AD=3AE，GC=3AG，GB=3EG，EG： BG=1： 3（2）解： GC=3AG（已證），AC=4AG，AO= AC=2AG，GO=AOAG=AG（3）解： AE=EF=FD， BC=AD=3AE，AF=2AE ADBC， AFH C

2、BH，= = = ，= ，即 AH= ACAC=4AG，a=AG= AC，b=AHAG= AC AC= AC，c=AOAH=AC AC= AC，a：b：c=：=5：3： 2解析】 【分析】（ 1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AO= AC， AD=BC， ADBC，從而可證得 AEGCBG，得出對應(yīng)邊成比例，由 AE=EF=FD可得 BC=3AE，就可證得 GB=3EG，即 可求出 EG：BG 的值。（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得GC=3AG，就可證得 AC=4AG，從而可得 AO=2AG，即可證得結(jié)論。（3）根據(jù)平行可證得三角形相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AG= AC， AH= AC，結(jié)合AO

3、= AC，即可得到用含 AC的代數(shù)式分別表示出 a、b、c，就可得到 a：b：c 的值。2如圖，在 ABC中， C=90°， ABC的平分線交 AC 于點(diǎn) E，過點(diǎn) E 作 BE的垂線交 AB 于點(diǎn) F，O 是BEF的外接圓1）求證： AC 是O 的切線；2）過點(diǎn) E 作 EHAB，垂足為 H，求證： CD=HF；3）已知： CD=1，EH=3，求 AF 的長 答案】 （1）證明：如圖，連接 OEBE 平分 ABC， CBE=OBE， OB=OE， OBE=OEB， OEB=CBE， OEBC， AEO= C=90 ，° AC是O 的切線；2）解：如圖，連結(jié) DECBE=O

4、BE，ECBC于C，EHAB于 H， EC=EH CDE+ BDE=180 ，°HFE+BDE=180 ，° CDE= HFE在 CDE與HFE中， CDE HFE（ AAS）， CD=HF（3）解：由（ 2）得， CD=HF又 CD=1 HF1在 RtHFE中， EF=EFBE BEF=90 ° EHF=BEF=90 ° EFH=BFE EHF BEFBF=10在 Rt OHE中， 在 Rt EOA中，【解析】 【分析】（ 1 ）連接 OE利用角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)可證得OE BC，從而得 AEO= C=90°，可得到證明；（2）連

5、結(jié) DE利用 AAS可證 CDE HFE，從而得到證明；（3）證 EHF BEF，由相似三角形的性質(zhì)可求得BF，從而得到 OE，在 RtOHE 和EOA 中，由 cosEOA可求出 OA，從而求出 AF.3如圖 1，以 ABCD的較短邊 CD為一邊作菱形 CDEF使, 點(diǎn) F落在邊 AD 上，連接 BE，交 AF 于點(diǎn) G.（2）延長 DE,BA交于點(diǎn) H，其他條件不變， 如圖 2，若 ADC=60°，求 的值； 如圖 3，若ADC=（0°<<9）0,°直接寫出的值 .（用含 的三角函數(shù)表示）【答案】 （1）解：，理由如下：四邊形 是平行四邊形，.四邊

6、形是菱形，.，. . 又 ， .2）解：方法 1：過點(diǎn) 作 ，交 于點(diǎn) ，.， .由（ 1）結(jié)論知.四邊形為菱形， .四邊形是平行四邊形， .，.， 即 . 是等邊三角形。 .方法 2：延長 ， 交于點(diǎn) ，四邊形為菱形，.四邊形為平形四邊形， . .即 . 為等邊三角形 . .四邊形 CFED是菱形，EC AD， FD=2FO， 設(shè) FG=a， AB=b，則 FG=a， EF=ED=CD=b，Rt EFO中， cos = ， OF=bcos ， DG=a+2bcos ，過 H作 HMAD于 M， ADC=HAD=ADH=，AH=HD， AM= AD= （ 2a+2bcos ）=a+bcos ，

7、Rt AHM 中，cos = ，AH=， = =cos 【解析】 【分析】（ 1）利用菱形和平行四邊形的性質(zhì)可得出ABCDEF， AB=CD=EF，再利用平行線的性質(zhì)可證得 ABG=FEG，然后利用 AAS可證得 ABGFEG，由全等三角 形的性質(zhì)可證得結(jié)論。（2） 過點(diǎn) G 作 GM BH ，交 DH 于點(diǎn) M ，易證GMEBHE。得出對應(yīng)邊成比例， 求出 MG 與 BH 的比值，再利用菱形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)證明DG=MG，即可解答； 連接 EC交 DF 于 O，利用菱形的性質(zhì)可得出 ECAD，F(xiàn)D=2FO，設(shè) FG=a， AB=b，可表示 出 FG， EF=ED=CD=b， Rt E

8、FO 中，利用銳角三角函數(shù)的定義可得出OF、DG，過 H 作HM AD 于 M，易證 AH=HD， AM=a+bcos ，再在 Rt AHM 中，利用銳角三角函數(shù)的定義 求出 AH的長，繼而可得出 DG與 BH的比值，可解答。4如圖，在四邊形 ABCD中， B=C=90°， AB> CD， AD=AB+CDBM+MN 的最小值。（1）利用尺規(guī)作 ADC的平分線 DE，交 BC 于點(diǎn) E，連接 AE（保留作圖痕跡，不寫作法） （2）在（ 1）的條件下， 證明： AE DE； 若 CD=2，AB=4，點(diǎn) M，N 分別是 AE，AB上的動點(diǎn)，求答案】 （1）2） 證明：在 AD 上取

9、一點(diǎn) F使 DF=DC，連接 EF，DE 平分 ADC， FDE=CDE，在 FED和CDE中，DF=DC，F(xiàn)DE=CDE，DE=DE FED CDE（ SAS）， DFE=DCE=90 ，° AFE=180 -°DFE=90 ° DEF=DEC，AD=AB+CD，DF=DC，AF=AB，在 Rt AFE Rt ABE（HL） AEB=AEF， AED= AEF+ DEF= CEF+ BEF= （CEF+BEF）=90 。° AE DE 解：過點(diǎn) D 作 DP AB 于點(diǎn) P，由 可知， B，F(xiàn)關(guān)于 AE對稱， BM=FM， BM+MN=FM+MN ，當(dāng)

10、 F，M，N 三點(diǎn)共線且 FN AB時，有最小值， DPAB，AD=AB+CD=6， DPB= ABC= C=90 ，°四邊形 DPBC是矩形，BP=DC=2，AP=AB-BP=2，在 RtAPD中， DP= ，F(xiàn)NAB，由 可知 AF=AB=4， FNDP， AFNADP即，解得 FN= ，BM+MN 的最小值為【解析】 【分析】（ 1）根據(jù)角平分的做法即可畫出圖.（ 2） 在 AD 上取一點(diǎn) F 使DF=DC，連接 EF；角平分線定義得FDE=CDE；根據(jù)全等三角形判定 SAS 得 FED CDE，再由全等三角形性質(zhì)和補(bǔ)角定義得DFE=DCE=AFE=90°，DEF=

11、DEC；再由直角三角形全等的判定HL 得 RtAFERtABE，由全等三角形性質(zhì)得AEB=AEF，再由補(bǔ)角定義可得 AE DE. 過點(diǎn) D作 DPAB于點(diǎn) P；由 可知， B，F(xiàn)關(guān)于 AE對稱，根據(jù)對稱性質(zhì)知 BM=FM， 當(dāng) F，M，N 三點(diǎn)共線且 FNAB時，有最小值，即 BM+MN=FM+MN=FN ；在 RtAPD中， 根據(jù)勾股定理得 DP= = ；由相似三角形判定得 AFNADP，再由相似三角形性質(zhì)得 ，從而求得 FN，即 BM+MN 的最小值 .5在ABC中， ACB90°，（1）如圖 1，折疊 ABC 使點(diǎn)S ABC 9S DHQ ， 求 HQ 的長（2）如圖 2，折疊

12、 ABC 使點(diǎn)FM AC，求證：四邊形 AEMF 是菱形； （3）在 （1）（2）的條件下，線段 CQ上是否存在點(diǎn) P， 出 PQ 的長；若不存在，請說明理由【答案】 （1）解：如圖 1 中，A 落在 AC 邊上的點(diǎn)A 落在 BC 邊上的點(diǎn)H，若D 處，M 處，折痕交 AC、AB 分別于 E、F若使得 CMP 和HQP 相似？若存在，求AB 25， BC15，AC20，設(shè) HQx ， HQBC ，AQ x ，SABC9SDHQ ， × 20 ×915× ×x× x ， x5 或 5 （舍棄）， HQ5，故答案為 5AEEM， AFFM ， AF

13、E MFE ，F(xiàn)MAC ， AEF MFE ， AEF AFE ， AE AF ， AEAFMFME ， 四邊形 AEMF是菱形FB 5m ，設(shè) AE EM FMAF4m ， 則 BM 3m ， 4m+5m25，mAE EM，EC20CMQG 5， AQ ，設(shè) PQ xQCHQP MCP ，解得：x當(dāng)時， HQP PCM ，解得： x 10 或 ， 經(jīng)檢驗： x10 或 是分式方程的解，且正確，綜上所，滿足條件長QP 的值為10 或解析】 【分析】（ 1）利用勾股定理求出 AC，設(shè) HQ=x，根據(jù) SABC=9S DHQ ， 構(gòu)建方程即可解決問題；（ 2）想辦法證明四邊相等即可解決問題；（3）

14、設(shè) AE=EM=FM=AF=4m，則BM=3m ， FB=5m，構(gòu)建方程求出 m 的值，分兩種情形分別求解即可解決問題6在直角坐標(biāo)系中，過原點(diǎn) O 及點(diǎn) A（8，0）， C（0，6）作矩形 OABC、連結(jié) OB，點(diǎn) D 為 OB 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 是線段 AB 上的動點(diǎn)，連結(jié) DE，作 DF DE，交 OA 于點(diǎn) F，連結(jié) EF已知點(diǎn) E從 A點(diǎn)出發(fā)，以每秒 1 個單位長度的速度在線段 AB上移動，設(shè)移動時間為 t（1）如圖 1，當(dāng) t=3 時，求 DF 的長（2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) E 在線段 AB 上移動的過程中， DEF 的大小是否發(fā)生變化？如果變 化，請說明理由；如果不變，請求出tan DE

15、F的值（3）連結(jié) AD，當(dāng) AD將DEF分成的兩部分的面積之比為 1： 2時，求相應(yīng)的 t 的值 【答案】 （1）解：當(dāng) t=3 時，點(diǎn) E為 AB 的中點(diǎn)，A（8，0）， C（ 0，6），OA=8，OC=6，點(diǎn) D 為 OB 的中點(diǎn)，DEOA，DE= OA=4，DE OA， DE= OA=4，四邊形 OABC是矩形，OAAB，DEAB， OAB= DEA=90 ，°又 DF DE， EDF=90 ，°四邊形 DFAE是矩形，DF=AE=3 （2）解： DEF的大小不變；理由如下： 作 DMOA于 M，DNAB于 N，如圖 2所示：四邊形 OABC是矩形，OAAB，四邊形

16、DMAN 是矩形， MDN=90 °，DMAB，DNOA，點(diǎn) D 為 OB 的中點(diǎn)，M、N 分別是 OA、 AB的中點(diǎn)，DM= AB=3， DN= OA=4， EDF=90 ，° FDM= EDN，又 DMF= DNE=9°0 ， DMFDNE， EDF=90 ，tanDEF=（3）解：作 DMOA 于 M ， DN AB于 N，若 AD將 DEF的面積分成 1：2 的兩部分，設(shè) AD 交 EF于點(diǎn) G，則點(diǎn) G 為 EF的三等分點(diǎn)； 當(dāng)點(diǎn) E 到達(dá)中點(diǎn)之前時，如圖 3 所示， NE=3 t，由DMFDNE得： MF= （3t），AF=4+MF= t+ ，點(diǎn) G為

17、 EF的三等分點(diǎn)，設(shè)直線 AD 的解析式為 y=kx+b，把 A（8，0）， D（4，3）代入得：解得： ，把 G（）代入得：t=直線 AD 的解析式為 y=x+6，NE=t 3， 當(dāng)點(diǎn) E越過中點(diǎn)之后，如圖 4 所示，由DMFDNE得： MF= （t3），AF=4MF= t+ ，點(diǎn) G為 EF的三等分點(diǎn)，G（），代入直線 AD的解析式 y= x+6 得：t= ；綜上所述，當(dāng) AD將DEF分成的兩部分的面積之比為 1：2時， t的值為或【解析】 【分析】（ 1）由 t=3 可得此時 E 為 AB 的中點(diǎn)，進(jìn)而可得 DE 為ABO 的中位 線，從而可得 DE OA，DE的長，再由矩形的性質(zhì)和判斷

18、可得四邊形DFAE是矩形，進(jìn)而求出 DF的長；（2）作 DMOA 于 M ， DN AB 于 N，可證得四邊形 DMAN 是矩形，則 DMAB， DNOA，再由平行線分線段成比例和已知可求出DM 和 DN 的長，由兩角相等可證DMFDNE，可得 DF：DE=DM：DN，由三角函數(shù)可求出 tan DEF的值；（3）作 DMOA于 M，DN AB于 N，若 AD將DEF的面積分成 1：2 的兩部分，設(shè) AD 交 EF于點(diǎn) G，則點(diǎn) G 為 EF的三等分點(diǎn)；分點(diǎn) E到達(dá)中點(diǎn)之前、點(diǎn) E越過中點(diǎn)之后兩種情 況來求 .都先求出直線 AD的解析式，由DMFDNE求出用 t 的代數(shù)式表示的點(diǎn) G 的坐 標(biāo)，

19、代入直線 AD 的解析式可求出 t 的值.7在 中， 為 邊上一點(diǎn)，過點(diǎn) 作 交 于點(diǎn) ，以 為折線，將 翻折，設(shè)所得的 與梯形 重疊部分的面積為 1）如圖（甲），若，則 的值為2）如圖（乙），若， ， 為 中點(diǎn)，則 的值為的函數(shù)解析式（3）若求 與若沒有，請說明理由 是否有最大值，若有，求出答案】（1）（2）12（ 3）解：如圖 a，作于點(diǎn) ，在 中， ， ， ， ，當(dāng) 落在 上時， 為 的中點(diǎn)：即 故分以下兩種情況討論： 當(dāng) 時，如圖 b ， ， ， ，即，當(dāng)時， 當(dāng) 時，如圖 c ，設(shè) ， 分別交 于，由折疊可知，由 同理得又。當(dāng)時， 值最大，最大值為 解析】 【解答】解：()，邊上的高

20、為為的中點(diǎn)， ， 分析】（ 1）ADE與梯形 DBCE重疊部分的面積 y 就是 ADE的面積。用勾股定理求得 另一直角邊 AC=8，由折疊的性質(zhì)可得 ?ADE ? DE，因為 DEBC，由相似三角形的判定 可得 ADE ABC， 根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方可得 ADE 的面積= ABC的面積，則 ? DE 的面積即可求解；（2） 根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方可求解；（3）作 AH BC于點(diǎn) H，在 Rt ABH中，解直角三角形 ABH可求得 AH的長， ABC的面 積可求解，當(dāng) A落在 BC 上時， D 為 AB 的中點(diǎn)，即 x=5 故分以下兩種情況討論： 當(dāng) 0&l

21、t;x5時，根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊所構(gòu)成的三角形與原三角形相似可得ADE ABC， 由 相似三角形的面積的比等于相似比的平方可求解； 當(dāng) 5<x<10 時， 設(shè) DA，EA分別交 BC于 M，N，由折疊可知， ADE ADE，MANDAE， 由相似 三角形的性質(zhì)即可求解。8如圖，已知拋物線過點(diǎn) A 和 B ，過點(diǎn) A作直線 AC/x 軸，交 y 軸與點(diǎn) C。（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上取一點(diǎn) P，過點(diǎn) P 作直線 AC 的垂線，垂足為 D，連接 OA，使得以 A， D，P 為頂點(diǎn)的三角形與 AOC相似，求出對應(yīng)點(diǎn) P的坐標(biāo)；（ 3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使

22、得?若存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。【答案】 （1）解： 點(diǎn) A、B 在拋物線上，解得：拋物線解析式為：2）當(dāng) P在直線 AD 上方時，設(shè) P 坐標(biāo)為（ x，則有 AD=x- ，PD=當(dāng) OCA ADP 時，整理得： 3x2-9 x+18=2 x-6，3x2-11 x+24=0，解得： x=即 x=或 x= （舍去） ,此時 P（）當(dāng) OCAPDA時，即整理得：， 即 x2-解得：，即 x=4 或 （舍去），此時 P（ 4 ,6）；當(dāng)點(diǎn) P（ 0,0）時，也滿足 OCAPDA；當(dāng) P 在直線 AD 下方時，同理可得， P 的坐標(biāo)為（），綜上， P 的坐標(biāo)為（）或（ 4 ,6）

23、或（）或（ 0,0 ）（3）解： A AC= ,OC=3， OA=2 , h= ，又 = ， AOQ 邊 OA上的高 =3h= 過O作OMOA,截取 OM= ，過點(diǎn) M 作MNOA交y軸于點(diǎn) N ，過 M 作HMx軸,（如 圖），AC= ,OA=2 , AOC=30 ，°又 MN OA， MNO=AOC=30 ，°OM MN ， ON=2OM=9，NOM=60 °， 即 N（ 0,9 ）， MOB=30 °，MH=OM=設(shè)直線 MN 解析式為： y=kx+b，直線 MN 解析式為： y=- x+9，x - x-18=0,（x-3 ）（ x+2 ） =0,

24、 x =3 ,x =-2 ， Q 點(diǎn)坐標(biāo)（ 3 ， 0）或（ -2， 15），拋物線上是否存在點(diǎn) Q，使得.【解析】 【分析】（ 1）將 A、 B 兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得到一個二元一次方程方程 組，解之即可得拋物線解析式2）設(shè) P 坐標(biāo)為（ x，），表示出 AD 與 PD，由相似分兩種情況得比例求出的值，即可確定出 P 坐標(biāo)。（ 3）根據(jù)點(diǎn) A 坐標(biāo)得 AC= ,OC=3，由勾股定理得 OA=2 ,根據(jù)三角形面積公式可得AOC 邊 OA 上的高 h= ，又 =得 AOQ 邊 OA 上的高為 ；過 O 作OMOA,截取 OM= ，過點(diǎn) M作MNOA交y軸于點(diǎn) N ，過 M作HMx軸,（如圖）

25、， 根據(jù)直角三角形中， 30 度所對的直角邊等于斜邊的一半，從而求出N（ 0,9），在Rt MOH 中，根據(jù)直角三角形性質(zhì)和勾股定理得M（， ）；用待定系數(shù)法求出直線MN 解析式，再講直線 MN 和拋物線解析式聯(lián)立即可得 Q 點(diǎn)坐標(biāo) .、圓的綜合9如圖，已知 AB是O的直徑，點(diǎn) C為圓上一點(diǎn)，點(diǎn) D在 OC的延長線上，連接 DA， 交 BC的延長線于點(diǎn) E，使得 DAC=B1）求證： DA 是O 切線；2）求證： CED ACD；3）若 OA=1， sinD= 1 ，求 AE的長3【答案】（ 1）證明見解析；（ 2） 2【解析】分析：（ 1）由圓周角定理和已知條件求出AD AB即可證明 DA是

26、O 切線；（2）由DAC=DCE，D=D 可知DECDCA；（ 3）由題意可知 AO=1，OD=3， DC=2，由勾股定理可知 AD=2，故此可得到 DC2=DE?AD，故此可求得 DE 的長，于是可求得 AE的長詳解：（ 1） AB為O的直徑， ACB=90°，CAB+B=90° DAC=B， CAB+DAC=90°， ADABOA是O 半徑， DA為 O的切線；（ 2） OB=OC， OCB= B DCE=OCB， DCE=B DAC=B， DAC=DCE D=D， CED ACD；1OA（3）在 RtAOD中， OA=1，sinD= ，OD=3，CD=ODO

27、C=23sinD AD= OD2 OA2 =2 2 ADCDCD2又 CED ACD， ，DE= =2，CDDEADAE=ADDE=2 2 2 = 2點(diǎn)睛：本題主要考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理的應(yīng)用、相似三角形的性質(zhì) 和判定，證得 DECDCA 是解題的關(guān)鍵10如圖所示，以 RtABC的直角邊 AB 為直徑作圓 O，與斜邊交于點(diǎn) D，E為 BC邊上的 中點(diǎn)，連接 DE（1）求證： DE 是O 的切線；（2）連接 OE，AE，當(dāng) CAB為何值時，四邊形 AOED是平行四邊形？并在此條件下求sinCAE的值答案】 （1）見解析 ;（2） 1010解析】 分析：（ 1）要證 DE是O的切

28、線，必須證 EDOD，即 EDB+ODB=9°0（2）要證 AOED是平行四邊形，則 DE AB，D為 AC中點(diǎn)，又 BDAC，所以 ABC為等 腰直角三角形，所以 CAB=45°，再由正弦的概念求解即可詳解：（ 1）證明：連接 O、D與 B、D兩點(diǎn)， BDC是 Rt，且 E為 BC中點(diǎn)， EDB= EBD（ 2 分）又 OD=OB且 EBD+ DBO=9°0 ， EDB+ ODB=90 ° DE是O 的切線（2）解： EDO= B=90°，若要四邊形 AOED是平行四邊形，則 DE AB， D為 AC中點(diǎn)， 又 BD AC， ABC為等腰直角

29、三角形 CAB=45 °過 E作 EH AC于 H，設(shè) BC=2k，則 EH= 2 k，AE= 5 k，2 EH 10sin CAE=AE 10點(diǎn)睛：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心 和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可11閱讀：圓是最完美的圖形，它具有一些特殊的性質(zhì)：同弧或等弧所對的圓周角相等， 一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半 先構(gòu)造 “輔助圓 ”，再利用圓的性質(zhì) 將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，往往能化隱為顯、化難為易。解決問題：如圖，點(diǎn) A 與點(diǎn) B的坐標(biāo)分別是（ 1，0），（ 5，0），點(diǎn) P是該直角坐標(biāo)系內(nèi) 的一個動點(diǎn)（1）使 APB=3

30、0°的點(diǎn) P有個；（2）若點(diǎn) P在y 軸正半軸上，且 APB=30°，求滿足條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)；（3）設(shè) sinAPB=m，若點(diǎn) P在 y軸上移動時 , 滿足條件的點(diǎn) P有 4個，求 m的取值范 圍2【答案】（ 1）無數(shù)；（ 2）（0，2 37）或（ 0，2 37 ）；（ 3）0 m .3 【解析】試題分析：（ 1）已知點(diǎn) A、點(diǎn) B 是定點(diǎn)，要使 APB=30°，只需點(diǎn) P在過點(diǎn) A、點(diǎn) B 的圓 上，且弧 AB 所對的圓心角為 60°即可，顯然符合條件的點(diǎn) P有無數(shù)個（2）結(jié)合（ 1）中的分析可知：當(dāng)點(diǎn) P在 y 軸的正半軸上時，點(diǎn) P是（ 1）中的

31、圓與 y 軸的 交點(diǎn)，借助于垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識即可求出符合條件的點(diǎn)P 的坐標(biāo)（3）由三角形外角的性質(zhì)可證得：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角大于同弧所對的圓 外角要 APB最大，只需構(gòu)造過點(diǎn) A、點(diǎn) B且與 y 軸相切的圓，切點(diǎn)就是使得 APB最 大的點(diǎn) P，由此即可求出 m 的范圍試題解析：解：（ 1）以 AB 為邊，在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC，以點(diǎn) C為圓心， AC為半徑作 C，交 y 軸于點(diǎn) P1、P211在優(yōu)弧 AP1B 上任取一點(diǎn) P，如圖 1，則 APB= ACB= × 60=°30°，使APB=30°的點(diǎn) P 2

32、2有無數(shù)個故答案為：無數(shù)（2）點(diǎn) P在 y軸的正半軸上，過點(diǎn) C作 CGAB，垂足為 G，如圖 1 點(diǎn) A（1，0），點(diǎn) B（5，0）， OA=1，OB=5，AB=41點(diǎn) C 為圓心， CGAB，AG=BG= AB=2，OG=OA+AG=32 ABC是等邊三角形， AC=BC=AB=4，CG= AC2 AG2= 4 2 22=2 3，點(diǎn) C的坐標(biāo)為（ 3，2 3 ）過點(diǎn) C作 CD y軸，垂足為 D，連接 CP2，如圖 1點(diǎn) C的坐標(biāo)為（ 3，2 3 ）， CD=3， OD=2 3 P1、P2是C與 y軸的交點(diǎn)， AP1B=AP2B=30°CP2=CA=4， CD=3， DP2= 4

33、2 32 = 7 點(diǎn) C為圓心， CDP1P2，P1D=P2D= 7 ，P1（0，2 3+ 7 ）， P2（0，2 33）當(dāng)過點(diǎn) A、B的E與 y軸相切于點(diǎn) P時， APB最大理由：可證：2APB=AEH，當(dāng) APB最大時， AEH最大由 sinAEH=得：當(dāng) AEAE最小即 PE最小時， AEH最大所以當(dāng)圓與 y軸相切時， APB最大 APB為銳角， sinAPB隨APB增大而增大，連接 EA，作 EHx 軸，垂足為 H，如圖 2E與 y 軸相切于點(diǎn) P，PEOP EHAB，OPOH， EPO=POH=EHO=90 ，° 四邊形 OPEH是矩形， OP=EH，3點(diǎn)睛：本題考查了垂徑

34、定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、矩形的判定與 性質(zhì)，切線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)等知識，綜合性強(qiáng)同時也考查了創(chuàng)造性思維，有一 定的難度構(gòu)造輔助圓是解決本題關(guān)鍵12如圖， AB是圓 O的直徑，射線 AMAB，點(diǎn) D在 AM上，連接 OD交圓 O于點(diǎn) E，過 點(diǎn) D 作 DC=DA交圓 O 于點(diǎn) C（ A、 C不重合），連接 O C、 BC、CE（1）求證： CD是O 的切線；（2）若圓 O 的直徑等于 2，填空：OECB是菱形 當(dāng) AD=1； 3 時，四邊形 OADC是正方形；【解析】試題分析：（ 1）依據(jù) SSS證明 OADOCD，從而得到 OCD=OAD=9°0 ；（2

35、） 依據(jù)正方形的四條邊都相等可知 AD=OA； 依據(jù)菱形的性質(zhì)得到 OE=CE，則 EOC為等邊三角形，則 CEO=60°，依據(jù)平行線的性 質(zhì)可知 DOA=6°0 ，利用特殊銳角三角函數(shù)可求得AD 的長試題解析：解： AMAB， OAD=90 °OA=OC，OD=OD， AD=DC， OAD OCD， OCD= OAD=90 °OCCD，CD是O 的切線（2） 當(dāng)四邊形 OADC是正方形，AO=AD=1故答案為： 1 四邊形 OECB是菱形，OE=CE又 OC=OE，OC=OE=CE CEO=60°CE AB， AOD=60 °在 R

36、tOAD中，AOD=6°0 ，AO=1， AD= 故答案為： 點(diǎn)睛：本題主要考查的是切線的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)、等 邊三角形的性質(zhì)和判定，特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵13如圖，在 Rt ABC中， C 90 ，AD平分BAC，交 BC于點(diǎn)D，點(diǎn) O在AB上， O 經(jīng)過 A、D 兩點(diǎn)，交 AC于點(diǎn) E，交 AB于點(diǎn) F（1）求證： BC是O 的切線；答案】（1）證明見解析E是弧 AD 的中點(diǎn)，求陰影部分的面積（結(jié)果保留和根號）22) 2 33解析】分析】1）連接 OD，只要證明 OD AC即可解決問題；2）連接 OE，OE交 AD于

37、K只要證明 AOE是等邊三角形即可解決問題 詳解】1）連接 ODOA=OD，OAD=ODA OAD=DAC， ODA= DAC，ODAC，ODB=C=90 ，°ODBC，BC是 O 的切線（2）連接 OE，OE交 AD于 K ?AE ?DE ，OE ADOAK=EAK，AK=AK，AKO=AKE=90 ，°AKOAKE，AO=AE=OE，AOE 是等邊三角形， AOE=60°，S陰=S扇形OAESAOE 60 2 3 22 2 3 360 4 3【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、扇形的面積、等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、 全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解

38、題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識 解決問題，屬于中考常考題型14如圖，已知： AB是O 的直徑，點(diǎn) C在O 上，CD是O 的切線， ADCD于點(diǎn) D， E是 AB延長線上一點(diǎn)， CE交O 于點(diǎn) F，連接 OC、AC（1）求證： AC平分 DAO（2）若 DAO=10°5 ， E=30° 求 OCE的度數(shù)； 若O 的半徑為 2 2 ， 求線段 EF的長EF = 2 3-2.答案】（ 1）證明見解析；（ 2） OCE=4°5 【解析】【試題分析】（ 1）根據(jù)直線與 O 相切的性質(zhì)，得 OCCD.又因為 AD CD，根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直

39、線也平行，得：AD/OC.DAC= OCA.又因為 OC=OA，根據(jù)等邊對等角，得 OAC=OCA.等量代換得： DAC=OAC.根據(jù)角平分線的定義得： AC平分 DAO.（2） 因為 AD/OC，DAO=10°5 ，根據(jù)兩直線平行，同位角相等得， EOC=DAO=105 ，°在 OCE 中， E=30 ，°利用內(nèi)角和定理，得： OCE=45.° 作 OGCE于點(diǎn) G，根據(jù)垂徑定理可得 FG=CG， 因為 OC=2 2 ，OCE=4°5.等腰直角三 角形的斜邊是腰長的 2 倍，得 CG=OG=2. FG=2在. RtOGE中， E=30

40、6;，得 GE=2 3 ， 則 EF=GE-FG=2 3-2.【試題解析】 （1）直線與 O相切， OCCD.又 AD CD， AD/OC. DAC= OCA.又 OC=OA，OAC=OCA. DAC= OAC. AC 平分 DAO.（2）解： AD/OC，DAO=10°5 ，EOC=DAO=10°5 E=30 ，°OCE=45.° 作 OG CE于點(diǎn) G，可得 FG=CGOC=2 2 ，OCE=4°5.CG=OG=2. FG=2.在 Rt OGE中， E=30 ，°GE=2 3 . EF=GE-FG=2 3-2.【方法點(diǎn)睛】本題目是一道圓的綜合題目，涉及到圓的切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及判 定，三角形內(nèi)角和，垂徑定理，難度為中等 .15如圖， AB是半圓O的直徑，點(diǎn) C是半圓O上的點(diǎn)，連接 AC，BC，點(diǎn) E是AC的中 點(diǎn)，點(diǎn) F 是射線 OE上一點(diǎn)（1）如圖 1，連接 FA， FC，若 AFC2 BAC，求證： FA AB；（2）如圖 2，過點(diǎn) C作 CDAB于點(diǎn) D，點(diǎn) G 是線段 CD上一點(diǎn)（不與點(diǎn) C重合），連接 FA，F(xiàn)G，F(xiàn)G與 AC相交于點(diǎn) P，且 AFFG 試猜想 AFG和B