1、16. 1 量子物理學的誕生量子物理學的誕生 普朗克量子假設普朗克量子假設 16. 2 光電效應光電效應 愛因斯坦光子理論愛因斯坦光子理論16. 3 康普頓效應及光子理論的解釋康普頓效應及光子理論的解釋16. 4 氫原子光譜氫原子光譜 玻爾的氫原子理論玻爾的氫原子理論16. 6 波函數波函數 一維定態薛定諤方程一維定態薛定諤方程 本章內容：本章內容：16. 5 微觀粒子的波粒二象性微觀粒子的波粒二象性 不確定關系不確定關系16.7 電子自旋電子自旋 四個量子數四個量子數16. 8 原子的電子殼層結構原子的電子殼層結構 Xian Jaotong University16.1 量子物理學的誕生量子

2、物理學的誕生 普朗克量子假設普朗克量子假設熱輻射熱輻射 : 由溫度決定的物體的電磁輻射。由溫度決定的物體的電磁輻射。u 熱輻射的基本概念熱輻射的基本概念入射入射反射反射透射透射吸收吸收輻射輻射v 物體輻射電磁波的同時也吸收電磁波。物體輻射電磁波的同時也吸收電磁波。v輻射和吸收達到平衡時，物體的溫度不再變化，此時輻射和吸收達到平衡時，物體的溫度不再變化，此時物體的熱輻射稱為平衡熱輻射。物體的熱輻射稱為平衡熱輻射。Xian Jaotong University單色輻出度單色輻出度 - 在一定溫度在一定溫度T 下，物體單位表面在單位時間下，物體單位表面在單位時間內發射的波長在內發射的波長在 +d 范

3、圍內的輻射能與波長范圍內的輻射能與波長間隔的比值，間隔的比值， 即即 d)(d)(TMTM)(TM 熱輻射的特點熱輻射的特點: :(1)(1)連續連續(2)(2)溫度越高溫度越高, ,輻射越強輻射越強(3)(3)頻譜分布隨溫度變化頻譜分布隨溫度變化(4)(4)物體的輻射本領與溫度、材料有關；物體的輻射本領與溫度、材料有關； 輻射本領越大，吸收本領也越大。輻射本領越大，吸收本領也越大。 Xian Jaotong Universityu 黑體輻射黑體輻射絕對黑體絕對黑體(黑體黑體)：能夠全部吸收各種波長的輻射且不反射：能夠全部吸收各種波長的輻射且不反射 和透射的物體。和透射的物體。黑體輻射的特點黑

4、體輻射的特點 ： 與同溫度其它物體的熱輻射相比，黑體熱輻射本領最強與同溫度其它物體的熱輻射相比，黑體熱輻射本領最強 煤煙煤煙 約99%黑體模型黑體模型黑體熱輻射黑體熱輻射溫度溫度材料性質材料性質Xian Jaotong Universityu 經典物理的解釋及普朗克公式經典物理的解釋及普朗克公式MB 瑞利瑞利 金斯公式金斯公式(1900年年)維恩公式維恩公式(1896年年)121)(25 kThcBehcTM 普朗克公式普朗克公式(1900年年)實驗曲線實驗曲線普朗克常數普朗克常數 h = 6.626h = 6.62610-34 Js 10-34 Js （為得到這一公式，普朗克提出（為得到這一

5、公式，普朗克提出了能量量子化假設）了能量量子化假設）Xian Jaotong University電電磁磁波波u 普朗克能量子假設普朗克能量子假設 若諧振子頻率為若諧振子頻率為 v ，則其能量是，則其能量是hv , 2hv, 3hv , , nhv , 首次提出微觀粒子的能量是量子化的，打破了經典物理學中能量連續的首次提出微觀粒子的能量是量子化的，打破了經典物理學中能量連續的觀念。觀念。普朗克常數普朗克常數 h = 6.626h = 6.62610-34 10-34 Js Js 腔壁上的原子腔壁上的原子(諧振子諧振子)能能量量與腔內電磁場交換能量時，諧振子能與腔內電磁場交換能量時，諧振子能量的

6、變化是量的變化是 hv (能量子能量子) 的整數倍的整數倍. 意義意義打開了人們認識微觀世界的大門打開了人們認識微觀世界的大門, ,在物理學發展史上起了劃時代的作用在物理學發展史上起了劃時代的作用. .Xian Jaotong University伏安特性曲線伏安特性曲線16.2.1 光電效應的實驗規律光電效應的實驗規律(1) 飽和電流飽和電流 iS (2) 遏止電壓遏止電壓 Ua iS :單位時間 陰極產生的光電子數amUme221v I（I, v)AKU16.2 光電效應光電效應 愛因斯坦光子假說愛因斯坦光子假說iS3iS1iS2I1I2I3-UaUiI1I2I3 Ua光電子最大初動能和光

7、電子最大初動能和 成線性關系成線性關系遏止電壓與頻率關系曲線遏止電壓與頻率關系曲線和和v 成成線線性性關關系系i(實驗裝置示意圖實驗裝置示意圖) 0A)(oaKU)(o(3) 截止頻率截止頻率 0(4) 即時發射即時發射:遲滯時間不超過遲滯時間不超過 10-9 秒秒Xian Jaotong Universityu 經典物理與實驗規律的矛盾經典物理與實驗規律的矛盾 電子在電磁波作用下作受迫振動，直到獲得足夠能量電子在電磁波作用下作受迫振動，直到獲得足夠能量(與與 光強光強 I 有關有關) 逸出，不應存在紅限逸出，不應存在紅限 0 。 當光強很小時，電子要逸出，必須經較長時間的能量積累。當光強很小

8、時，電子要逸出，必須經較長時間的能量積累。 只有光的頻率只有光的頻率 0 時，電子才會逸出。時，電子才會逸出。 逸出光電子的多少取決于光強逸出光電子的多少取決于光強 I 。 光電子即時發射，滯后時間不超過光電子即時發射，滯后時間不超過 109 秒。秒。r 總結總結 光電子最大初動能和光頻率光電子最大初動能和光頻率 成線性關系。成線性關系。 光電子最大初動能取決于光強，和光的頻率光電子最大初動能取決于光強，和光的頻率 無關。無關。Xian Jaotong University16.2.2 愛因斯坦光子假說和光電效應方程愛因斯坦光子假說和光電效應方程 光是光子流光是光子流 ，每一光子能量為，每一光

9、子能量為 h ，電子吸收一個光子，電子吸收一個光子2m21vmAh（A A 為逸出功）為逸出功） 單位時間到達單位垂直面積的光子數為單位時間到達單位垂直面積的光子數為N，則光強，則光強 I = Nh . I 越強越強 , 到陰極的光子越多到陰極的光子越多, 則逸出的光電子越多。則逸出的光電子越多。 電子吸收一個光子即可逸出，不需要長時間的能量積累。電子吸收一個光子即可逸出，不需要長時間的能量積累。 光頻率光頻率 A/h 時，電子吸收一個光子即可克服逸出功時，電子吸收一個光子即可克服逸出功 A 逸出逸出 ( o= A/h) 。r 結論結論 光電子最大初動能和光頻率光電子最大初動能和光頻率 成線性

10、關系。成線性關系。 Xian Jaotong University一銅球用絕緣線懸掛于真空中，被波長為一銅球用絕緣線懸掛于真空中，被波長為 =150 nm =150 nm 的光照射。已的光照射。已知銅的逸出功為知銅的逸出功為 4.5eV 4.5eV 。銅球失去電子后帶正電，電勢升高，使束縛電子的勢銅球失去電子后帶正電，電勢升高，使束縛電子的勢壘也升高，設銅球表面的電勢為壘也升高，設銅球表面的電勢為U U ，逸出電子的速度，逸出電子的速度為為v v ，銅的逸出功為，銅的逸出功為A A，愛因斯坦光電效應方程為，愛因斯坦光電效應方程為逸出電子的最大動能為零時，銅球電勢達最高逸出電子的最大動能為零時，

11、銅球電勢達最高U maxU max，有，有AUmhe212vAUhmaxeAUchmaxeemaxAchU)V(8 . 3eeV)5 . 43 . 8(解解例例銅球因失去電子而能達到的最高電勢。銅球因失去電子而能達到的最高電勢。求求Xian Jaotong Universitychchm2hchcmp光子動量光子動量16.2.3 光電磁輻射的波粒二象性光電磁輻射的波粒二象性hcmE2光子能量光子能量光子質量光子質量粒子性粒子性波動性波動性r 光電效應的應用光電效應的應用 光電管光電管: 光電開關光電開關, 紅外成像儀紅外成像儀,光電傳感器等光電傳感器等光電倍增管光電倍增管: (微光微光)夜視儀

12、夜視儀Xian Jaotong University測量波長在測量波長在 2001200 nm 極微弱光的功率極微弱光的功率光電倍增管光電倍增管Xian Jaotong University 0 0 v 散射線中有兩種波長散射線中有兩種波長 0 0 、 ，0隨散射角隨散射角 的增大而增大。的增大而增大。探測器 016. 3 康普頓效應及光子理論的解釋康普頓效應及光子理論的解釋16.3.1 康普頓效應康普頓效應X 光管光闌散射物體(實驗裝置示意圖）實驗裝置示意圖）v 散射物體不同，散射物體不同，0 0 、 的強度比不同。的強度比不同。Xian Jaotong Universityu 經典物理的解

13、釋經典物理的解釋v 經典理論只能說明波長不變的散射，而不能說明康普頓散射經典理論只能說明波長不變的散射，而不能說明康普頓散射電子受電子受迫振動迫振動同頻率同頻率散射線散射線發射發射 單色單色電磁波電磁波受迫振動受迫振動v000 00 照射照射散射物體Xian Jaotong University16.3.2 光子理論的解釋光子理論的解釋能量、動量守恒能量、動量守恒(1) 入射光子與外層電子彈性碰撞入射光子與外層電子彈性碰撞 外層外層電子電子受原子核束縛較弱受原子核束縛較弱動能光子能量動能光子能量 近似自由近似自由近似靜止近似靜止靜止靜止 自自在在 電子電子sinsincoscos0vvmchm

14、chch2200mchcmh0hh20cm2mcch0chvm0Xian Jaotong Universitysinsincoscos0vvmchmchch2200mchcmh)cos2(02202222hcm v2002)(cmhmc)cos1 ()(0020hcm2sin2)cos1 (2000ccmhccnm 0024. 0/0cmhc（電子的康普頓波長）（電子的康普頓波長）其中其中Xian Jaotong University(2) X 射線光子和原子內層電子相互作用射線光子和原子內層電子相互作用光子質量遠小于原子，碰撞時光子不損失能量，波長不變。光子質量遠小于原子，碰撞時光子不損失能

15、量，波長不變。自由電子000內層電子被緊束縛，光子相當于和整個原子發生碰撞。內層電子被緊束縛，光子相當于和整個原子發生碰撞。光子光子內層電子內層電子外層電子外層電子波長變大的散射線波長變大的散射線波長不變的散射線波長不變的散射線v 波長變化波長變化r 結論結論2sin220cmh 原子Xian Jaotong Universityv 強度變化強度變化 波長波長 0 輕物質（多數電子處于弱束縛狀態輕物質（多數電子處于弱束縛狀態 ）弱弱強強重物質（多數電子處于強束縛狀態重物質（多數電子處于強束縛狀態 ）強強弱弱吳吳有有訓訓實實驗驗結結果果Xian Jaotong University例例 0 =

16、0.02nm 的的X射線與靜止的自由電子碰撞射線與靜止的自由電子碰撞, 若從與入射線若從與入射線 成成900的方向觀察散射線。的方向觀察散射線。 求求 (1) 散射線的波長散射線的波長; (2) 反沖電子的動能反沖電子的動能; (3) 反沖電子的動量。反沖電子的動量。解解 (1) 散射線的波長散射線的波長: )cos1 (0cmhnm 0024. 0/0cmhcnm 0224. 00(2) 反沖電子的動能反沖電子的動能: hhEk0hchc0eV106.8J1008. 1315(3) 反沖電子的動量：反沖電子的動量：hep0h22011hpem/skg105 . 4231842arctan0X

17、ian Jaotong University16.4.1 氫原子光譜的實驗規律氫原子光譜的實驗規律記錄氫原子光譜的實驗原理記錄氫原子光譜的實驗原理16.4 氫原子光譜氫原子光譜 玻爾的氫原子理論玻爾的氫原子理論氫放電管23 kV光闌全息干板 三棱鏡（或光柵）光光 源源氫原子線狀光譜（攝譜儀）（攝譜儀）Xian Jaotong University)11(122nkRH（氫光譜的里德伯常量）（氫光譜的里德伯常量） (3) k = 2 (n = 3, 4, 5, ) 譜線系譜線系 賴曼系賴曼系 （1908年）年）(2) 譜線的波數可表示為譜線的波數可表示為 k = 1 (n = 2, 3, 4,

18、) 譜線系 巴耳末系1880年）(1) 分立線狀光譜分立線狀光譜v 實驗規律實驗規律（氫原子的巴耳末線系）（氫原子的巴耳末線系）v 經典理論的困難經典理論的困難17m 108 775 096. 1實驗HRXian Jaotong UniversityhEEnk|(2) 躍遷假設躍遷假設nkEE16.4.2 玻爾的氫原子理論玻爾的氫原子理論(1) 定態假設定態假設原子從一個定態躍遷到另一定態，原子從一個定態躍遷到另一定態，會發射或吸收一個光子，頻率會發射或吸收一個光子，頻率穩穩定定狀狀態態 這些定態的能量不連續這些定態的能量不連續 不輻射電磁波不輻射電磁波 電子作圓周運動電子作圓周運動v（定態）

19、（定態）2hnrmLv(3) 角動量量子化假設角動量量子化假設 軌道角動量軌道角動量Xian Jaotong Universityr2=4r1r2=9r1vr向心力是庫侖力向心力是庫侖力 220241rermv由上兩式得由上兩式得, 第第 n 個定態的軌道半徑為個定態的軌道半徑為 , 3 , 2 , 1)(122202nrnmehnrnnm 0529. 01r2120202814121nEreremEnnnvl 能量量子化能量量子化-13.6 eV玻爾半徑玻爾半徑l 軌道半徑量子化：軌道半徑量子化： Xian Jaotong UniversityEn ( eV)氫原子能級圖氫原子能級圖賴曼系賴

20、曼系k=1巴耳末系巴耳末系k=2帕邢系帕邢系k=3布拉開系布拉開系k=4-13.6-1.51-3.39021nEEnhEEknnk光頻光頻n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6122)11(Ekn2211)1()12(nnEnEEEnnXian Jaotong Universitycnknknk1l 波數波數(與實驗對比與實驗對比)17m 108 775 096. 1實驗HR當時實驗測得當時實驗測得)11()11()(122221nkRnkhcEEEhcHkn理論17m 101 373 097. 1理論HR其中計算得到其中計算得到Xian Jaotong Universi

21、ty 成功地把氫原子結構和光譜線結構聯系起來成功地把氫原子結構和光譜線結構聯系起來, 從理從理 論上說明了氫原子和類氫原子的光譜線結構。論上說明了氫原子和類氫原子的光譜線結構。r 意義意義(2) 揭示了微觀體系的量子化規律，為建立量子力學奠揭示了微觀體系的量子化規律，為建立量子力學奠 定了基礎。定了基礎。r 缺陷缺陷(1) 不能處理復雜原子的問題。不能處理復雜原子的問題。(2) 完全沒涉及譜線的強度、寬度等特征。完全沒涉及譜線的強度、寬度等特征。(3) 以經典理論為基礎以經典理論為基礎, 是半經典半量子的理論。是半經典半量子的理論。Xian Jaotong University波動性波動性 (

22、 , v)粒子性粒子性 (m , p)光光+實物粒子實物粒子+ ？16.5.1 微觀粒子的波粒二象微觀粒子的波粒二象16.5 微觀粒子的波粒二象性微觀粒子的波粒二象性 不確定關系不確定關系 實物粒子具有波粒二象性。實物粒子具有波粒二象性。22202/1chcmhmchEv220/1cmhmhphvvvhmcE2hmpv頻率頻率波長波長l 德布羅意假設德布羅意假設(1924年年)：Xian Jaotong University戴維孫戴維孫革末電子散射實驗革末電子散射實驗(1927(1927年年) )，觀測到電子衍射現象。，觀測到電子衍射現象。電電子子束束X射射線線衍射圖樣衍射圖樣波長相同）波長相

23、同）電子雙縫干涉圖樣電子雙縫干涉圖樣l 物質波的實驗驗證：物質波的實驗驗證：楊氏雙縫干涉圖樣楊氏雙縫干涉圖樣220/1cmhphvvXian Jaotong University計算經過電勢差計算經過電勢差 U1 =150 V U1 =150 V 和和 U2 =104 V U2 =104 V 加速的電子的加速的電子的德布羅意波長不考慮相對論效應）。德布羅意波長不考慮相對論效應）。例例 解解 eUm2021v02meUvnm225. 11200UUemhmhvnm 1 . 01nm 0123. 02根據根據，加速后電子的速度為，加速后電子的速度為根據德布羅意關系根據德布羅意關系 p = h /，

24、電子的德布羅意波長為，電子的德布羅意波長為波長分別為波長分別為r 說明說明電子波波長電子波波長光波波長光波波長電子顯微鏡分辨能力電子顯微鏡分辨能力遠大于遠大于光學顯微鏡光學顯微鏡Xian Jaotong University16.5.2 不確定關系不確定關系 (1) 動量動量 坐標不確定關系坐標不確定關系微觀粒子的位置坐標微觀粒子的位置坐標 x 、 動量動量 分量分量 px 不能同時具有確不能同時具有確定的值。定的值。xpx、分別是分別是 x， px 同時具有的不確定量，則其乘積同時具有的不確定量，則其乘積下面借助電子單縫衍射試驗加以說明。下面借助電子單縫衍射試驗加以說明。2xpx（海森伯坐標

25、和動量的不確定關系）（海森伯坐標和動量的不確定關系）Xian Jaotong University/hp 電電子子束束xsinx電子經過狹縫，其坐標電子經過狹縫，其坐標 x 的不確定量為的不確定量為 x ；大部分大部分電子落在中央電子落在中央明紋明紋x 動量分量動量分量 px的不確定量為的不確定量為sinpxhppx/sin，那么，那么hpxx減小縫寬減小縫寬 x, x 確定的越準確確定的越準確px的不確定度的不確定度, 即即px越越大大 粒子的波動性粒子的波動性 不確定關系不確定關系 r 結論：結論：（1微觀粒子沒有確定的軌道微觀粒子沒有確定的軌道 ；（；（2 2微觀粒子不可能靜止。微觀粒子

26、不可能靜止。Xian Jaotong University 子彈子彈m = 0.10 g ,v = 200 m/s穿過穿過 0.2 cm 寬的狹縫。寬的狹縫。mx3102例例解解求求 沿縫寬方向子彈的速度不確定量。沿縫寬方向子彈的速度不確定量。子彈速度的不確定量為子彈速度的不確定量為mpxxv3334102101 . 014. 341063. 62xmsm 1064. 228r 討論討論? , 1063.6那么6xhv若讓若讓Xian Jaotong University原子的線度約為原子的線度約為 10-10 m ，求原子中電子速度的不確定量。，求原子中電子速度的不確定量。103134101

27、01 . 914. 341063. 62xmmpxxvsm 108 . 55電子速度的不確定量為電子速度的不確定量為氫原子中電子速率約為氫原子中電子速率約為 106 m/s106 m/s。速率不確定量與速率本身。速率不確定量與速率本身的數量級基本相同，因此原子中電子的位置和速度不能同時的數量級基本相同，因此原子中電子的位置和速度不能同時完全確定，也沒有確定的軌道。完全確定，也沒有確定的軌道。 原子中電子的位置不確定量原子中電子的位置不確定量 10-10 m，由不確定關系，由不確定關系2xpx例例解解r 說明說明Xian Jaotong University(2) 能量能量 時間不確定關系時間不

28、確定關系反映了原子能級寬度反映了原子能級寬度E 和原子在和原子在該能級的平均壽命該能級的平均壽命 t 之間的關系。之間的關系。 基態基態eV 1028tE輻射光譜線固有寬度輻射光譜線固有寬度hE hE 2EE2EE激發態激發態 E基態基態壽命壽命t光輻射光輻射2tE能級寬度能級寬度平均壽命平均壽命 t 10-8 s平均壽命平均壽命 t 能級寬度能級寬度 E 0Xian Jaotong University16.6 波函數波函數 一維定態薛定諤方程一維定態薛定諤方程 16.6.1 波函數及其統計解釋波函數及其統計解釋 微觀粒子微觀粒子具有波動性具有波動性用物質波波函數描述用物質波波函數描述微觀粒

29、子狀態微觀粒子狀態1925年薛定諤年薛定諤hmchE2vmhph例如自由粒子沿例如自由粒子沿 x 軸正方向運動，由于其能量軸正方向運動，由于其能量E）、動）、動量量( p )為常量，所以為常量，所以 v 、 不隨時間變化，其物質波是單不隨時間變化，其物質波是單色平面波，確定其波函數。色平面波，確定其波函數。類比類比 )(2cos),(xvtAtxy，亦可寫成，亦可寫成)(2xvtiAey自由粒子的物質波波函數為自由粒子的物質波波函數為)(0) (20ee),(pxEtixtitxXian Jaotong Universityxr 波函數的物理意義：波函數的物理意義：2| ),(|tr t 時刻

30、，粒子在空間時刻，粒子在空間 r 處的處的單位體積中出現的概率，又稱為概率密度單位體積中出現的概率，又稱為概率密度VtrtrVtrWd),(),(d| ),(|d*21. 時刻時刻 t , 粒子在空間粒子在空間 r 處處 dV 體積內出現的概率體積內出現的概率1ddd| ),(|2zyxtr2. 歸一化條件歸一化條件 (粒子在整個空間出現的概率為粒子在整個空間出現的概率為1) 3. 波函數必須單值、有限、連續標準條件）波函數必須單值、有限、連續標準條件）概率密度在任一處都是唯一、有限的概率密度在任一處都是唯一、有限的, , 并在整個空間內連續并在整個空間內連續Xian Jaotong Univ

31、ersity單個粒子在哪一處出現是偶然事件；單個粒子在哪一處出現是偶然事件；4. 大量粒子的分布有確定的統計規律。大量粒子的分布有確定的統計規律。電子數電子數 N=7電子數電子數 N=100電子數電子數 N=3000電子數電子數 N=20000電子數電子數 N=70000出現概率小出現概率大電電子子雙雙縫縫干干涉涉圖圖樣樣Xian Jaotong University16.6.2 定態薛定諤方程定態薛定諤方程 (1926年年)描述低速，在外力場中運動的微觀粒子的微分方程描述低速，在外力場中運動的微觀粒子的微分方程（即對應的波函數滿足的微分方程）（即對應的波函數滿足的微分方程）質量質量 m 的粒

32、子在外力場中運動，勢能函數的粒子在外力場中運動，勢能函數 V ( r , t ) ，薛定，薛定諤方程為諤方程為ttritrtrVzyxm),(),(),(2222222r 說明說明不是由基本原理、定律等嚴密推導而得，是與波動現象類不是由基本原理、定律等嚴密推導而得，是與波動現象類比而建立起來的，它正確與否，只能由實驗來驗證。比而建立起來的，它正確與否，只能由實驗來驗證。Xian Jaotong University粒子在穩定力場中運動，勢能函數粒子在穩定力場中運動，勢能函數 V ( r ) 、能量、能量 E 不隨時間不隨時間變化，粒子處于定態，定態波函數寫為變化，粒子處于定態，定態波函數寫為)

33、()(),(tTrtrl 定態、定態波函數、定態薛定諤方程定態、定態波函數、定態薛定諤方程ttritrtrVzyxm),(),(),(2222222ttTirrrVzyxmtT)()()()(2)(222222ttTtTirrVzyxmr)()()()(2)(1222222EXian Jaotong University)()(tTEittT0)()(2)(22222rrVEmrzyxtEietT)(tEiertTrtr)()()(),(定態薛定諤方程定態薛定諤方程粒子能量粒子能量描述外力場的勢描述外力場的勢能函數能函數(1)求解求解 E粒子能量）粒子能量）; ( r ) （定態波函數）（定態

34、波函數）r 說明說明(2)定態時，概率密度在空間上的分布穩定定態時，概率密度在空間上的分布穩定tEierrtr)( )(),(22(3) 一維定態薛定諤方程粒子在一維空間運動一維定態薛定諤方程粒子在一維空間運動) 02d)(d222xVEmxxXian Jaotong University16.6.3 一維無限深勢阱中的粒子一維無限深勢阱中的粒子 l 0 x a 區域，定態薛定諤方程為區域，定態薛定諤方程為x0 aV ( x )勢能函數勢能函數 02dd222xmExx222mEk令令V (x) = 0 0 x aV (x) = 0 a0)(x0)(xl 0 x 或或 x a 區域區域0)(x

35、模型：模型： 02d)(d222xVEmxxXian Jaotong University波函數在波函數在 x = 0 處連續，有處連續，有 00 cos0 sin0kBkA在在 x = a 處連續，有處連續，有 kxAxsin 0sinkaAaank所以所以 kxBkxAxcossin解為解為因而因而0 B粒子的能量粒子的能量 0dd222xkxxx0 aV ( x )0)(x0)(x)(x122228EnmahnEnXian Jaotong University量子數為量子數為 n 的定態波函數為的定態波函數為 xanAxnnsin由歸一化條件由歸一化條件1d| )(|2xxn2/aAnx

36、anaxnsin2)(定態波函數定態波函數可得可得1E1233 EE 1222 EE 波函數波函數122228EnmahnEnl 能量量子化和定態波函數能量量子化和定態波函數x0 a概率分布概率分布Xian Jaotong Universityl 一維無限深勢阱粒子的駐波特征一維無限深勢阱粒子的駐波特征1E1233 EE 1222 EE 波函數波函數x0 aa21a2nan2122228EnmahnEn222282mahnmpnahnpn2naphnn2Xian Jaotong University* * 隧道效應勢壘貫穿）隧道效應勢壘貫穿）勢能函數勢能函數U ( x ) = 0 x a （區

37、）區） U ( x ) = 0 x 0 （區區 ）U ( x ) = U0 0 x a （區）區） 02d)(d222xVEmxx（區）區） （區）區） （區）區） xikxikeBeAx11111)(xikeAx133)(xikxikeBeAx22222)(2022)(2UEmk2212mEk 2212mEk 波函數波函數0 a xU0 EUXian Jaotong Universityr 結論結論0 aU0 E反射系數反射系數222122222122222212114)(sin)()(sin)(kkakkkakkkABR透射系數透射系數222122222122212134)(sin)(4k

38、kakkkkkAAT1 RT(1) E U0 , R0, 即使粒子總能量大于勢壘高度，入射粒子并即使粒子總能量大于勢壘高度，入射粒子并非全部透射進入非全部透射進入 III 區區,仍有一定概率被反射回仍有一定概率被反射回 I 區。區。 (2) E U0 , T0, 雖然粒子總能量小于勢壘高度，入射粒子仍雖然粒子總能量小于勢壘高度，入射粒子仍可能穿過勢壘進入可能穿過勢壘進入 III 區區 隧道效應隧道效應Xian Jaotong University（掃描隧道顯微鏡）（掃描隧道顯微鏡）Xian Jaotong University* * 一維諧振子一維諧振子勢能函數勢能函數2222121)(xmk

39、xxUm 振子質量，振子質量， 固有頻率，固有頻率，x 位移位移定態薛定諤方程定態薛定諤方程能量量子化能量量子化) , 2 , 1 , 0( )21(nhnEn0)()21(2d)(d22222xxmEmxxr 討論討論v 普朗克量子化假設普朗克量子化假設 En=nhv E0= 0v 零點能零點能 與與 經典物理經典物理 En=(n+1/2)hv E0= hv/2 （零點能）（零點能）Xian Jaotong University例例 設質量為設質量為m 的微觀粒子處在寬為的微觀粒子處在寬為a 的一維無限深方勢阱中的一維無限深方勢阱中,求求 (1) 粒子在粒子在 0 x a/4 區間中出現的概

40、率區間中出現的概率, 并對并對n = 1 和和n = 的情況算出概率值。的情況算出概率值。(2) 在那些量子態上在那些量子態上, a/4 處的概率密度處的概率密度 最大最大?解解(1) 概率密度概率密度axnaxn22sin2)(粒子在粒子在 0 x a/4 區間中出現的概率區間中出現的概率dxaxnadxxPaan240402sin2)(2sin 2141nn1n10091Pn100252P0aXian Jaotong Universityaxnaxn22sin2)(（2a/4 處的概率密度處的概率密度)4(sin2)4(22aanaan4sin22na極大值對應極大值對應14sinn2)

41、12(4knn = 2，6，10， 等量子態。等量子態。0aXian Jaotong University* * 氫原子氫原子02)(2222222VEmzyxreV024球坐標的定態薛定諤方程球坐標的定態薛定諤方程0)4(2sin1)(sinsin1)(10222222222reEmrrrrrr) ,(r 勢能函數勢能函數定態薛定諤方程定態薛定諤方程Xian Jaotong University1. 能量量子化能量量子化 能量能量n = 1 ，2 ，3 ， （主量子數） 電子云電子云mr101105290 .124rr 139rr 2122042)8(1nEhmenEn電子在這些地方出現電子

42、在這些地方出現的概率最大的概率最大電子云密度電子云密度 概率密度概率密度|2玻爾氫原子理論中，電子的軌道位置玻爾氫原子理論中，電子的軌道位置 u 重要結論重要結論eVE6 .131rr d42Xian Jaotong University2. 角動量量子化角動量量子化 l = 0 ，1 ，2 ， , n-1 角量子數角量子數(副量子數副量子數) ) 1( llL3. 角動量空間量子化角動量空間量子化 電子繞核轉動的角動量電子繞核轉動的角動量 L 的大小的大小角動量角動量 L 的在外磁場方向的在外磁場方向Z 的投影的投影lzmL ml = 0 , 1 , 2 , , l （磁量子數）（磁量子數）

43、 r 討論討論: l = 0, L = 0 ?r 討論討論: 如何觀察如何觀察 ? 磁場磁場 - 能量、能量、 力力220zXian Jaotong University2206L2l2L磁量子數磁量子數 ml = 0 , 1 , 2L 在在 Z 方向的投影方向的投影2, 0,2zLz6) 12(2LL 的大小的大小例例 求求 l = 2 電子角動量的大小及空間取向電子角動量的大小及空間取向 ？z0假設假設: l =1,那么那么, 0,zL解解Xian Jaotong University取離散值取離散值SNFSNz16.7.1 斯特恩斯特恩革拉赫實驗革拉赫實驗16.7 電子自旋電子自旋 四個量子數四個量子數zBFZddAg 原子氣體原