1、2.2. 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式解解2.2.1全概率公式全概率公式 因?yàn)?AB ，且與互不相容，所以AB()()()P BP ABP AB()()()()PA P B APA P B A6546109109 0.6 一個(gè)盒子中有只白球、只黑球，從中不放回一個(gè)盒子中有只白球、只黑球，從中不放回地每次任取只，連取次，求第二次取到白球地每次任取只，連取次，求第二次取到白球的概率。的概率。例例A=A=第一次取到白球第一次取到白球 AABAB AB( )()P BP ABAB()()P ABP AB( ) (|)( ) (|)P A P B AP A P B A全概率公式全概率公式

2、 設(shè)設(shè)1 ，2 ，.，n 構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且(i )0 ，i1，2，.，n，則對(duì)任一隨機(jī)事件，則對(duì)任一隨機(jī)事件，有有 1()()(|)niiiP BP A P BA定理（全概率公式）定理（全概率公式）1A2A3A11()(|)P AP B A22()(|)P AP B A33()(|)P AP B A( )P B例例 設(shè)播種用麥種中混有一等，二等，三等，四等四設(shè)播種用麥種中混有一等，二等，三等，四等四個(gè)等級(jí)的種子，分別各占個(gè)等級(jí)的種子，分別各占95.5，2，1.5，1，用一等，二等，三等，四等種子長(zhǎng)出的穗含用一等，二等，三等，四等種子長(zhǎng)出的穗含50顆以上顆以上麥粒的概

3、率分別為麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，求這批種子，求這批種子所結(jié)的穗含有所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率顆以上麥粒的概率 解解 設(shè)從這批種子中任選一顆是一等，二等，三等，四設(shè)從這批種子中任選一顆是一等，二等，三等，四等種子的事件分別是等種子的事件分別是1，2，3，4，則它們構(gòu)，則它們構(gòu)成完備事件組，又設(shè)表示任選一顆種子所結(jié)的穗含成完備事件組，又設(shè)表示任選一顆種子所結(jié)的穗含有有50粒以上麥粒這一事件，則由全概率公式：粒以上麥粒這一事件，則由全概率公式： 41iii)AB(P)A(P)B(P95.50.520.151.50.110.05 0.4825 例例 在對(duì)空演習(xí)中，某高

4、射炮的目標(biāo)是正在行進(jìn)中的在對(duì)空演習(xí)中，某高射炮的目標(biāo)是正在行進(jìn)中的一架飛機(jī)一架飛機(jī). 已知該炮能擊中發(fā)動(dòng)機(jī)、機(jī)艙及其他部位已知該炮能擊中發(fā)動(dòng)機(jī)、機(jī)艙及其他部位的概率分別是的概率分別是0.10，0.08，0.39.又若擊中上述部位而又若擊中上述部位而使飛機(jī)墜毀的概率分別是使飛機(jī)墜毀的概率分別是0.95，0.89，0.51。試求該炮。試求該炮任意發(fā)射一發(fā)炮彈使飛機(jī)墜毀的概率。任意發(fā)射一發(fā)炮彈使飛機(jī)墜毀的概率。 解解 設(shè)設(shè)B1，B2，B3，B4，分別表示炮彈擊中發(fā)動(dòng)機(jī)、機(jī)，分別表示炮彈擊中發(fā)動(dòng)機(jī)、機(jī)艙、其他部位以及未擊中飛機(jī)的事件，艙、其他部位以及未擊中飛機(jī)的事件，A為飛機(jī)墜毀為飛機(jī)墜毀的事件。已知

5、的事件。已知P(B1)=0.10, P(B2)=0.08, P(B3)=0.39, P(B4)=1-0.10-0.08-0.39=0.43,則由全概率公式：則由全概率公式： )()()()()(2211BAPBPBAPBPAP)()()()(4433BAPBPBAPBP043. 051. 039. 089. 008. 095. 010. 0 3651. 0 例例 袋中有袋中有50個(gè)乒乓球，其中個(gè)乒乓球，其中20個(gè)是黃球，個(gè)是黃球，30個(gè)是白個(gè)是白球。今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球，取后不放球。今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球，取后不放回，問第二個(gè)人取得黃球的概率是多少？回，問第二個(gè)人取得黃球

6、的概率是多少？解解 設(shè)設(shè)A為為“第二個(gè)人得黃球第二個(gè)人得黃球”的事件。的事件。B表示表示“第一第一個(gè)人得黃球個(gè)人得黃球”的事件，則由全概率公式：的事件，則由全概率公式： )()()()()(BAPBPBAPBPAP 52 例例 5張卡片上分別標(biāo)有數(shù)字張卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，每次從，每次從中任取一張，連取兩次。（中任取一張，連取兩次。（1）若第一次取出的卡片）若第一次取出的卡片不放回，求第二次取出的卡片上的數(shù)字大于第一次取不放回，求第二次取出的卡片上的數(shù)字大于第一次取出的數(shù)字的概率；（出的數(shù)字的概率；（2）若第一次取出的卡片放回，若第一次取出的卡片放回，求第二次取出的卡片上的數(shù)字

7、大于第一次取出的數(shù)字求第二次取出的卡片上的數(shù)字大于第一次取出的數(shù)字的概率。的概率。解解 （1）不放回抽樣的情況）不放回抽樣的情況數(shù)字”。數(shù)字”。一張卡片上一張卡片上的卡片上的數(shù)字大于第的卡片上的數(shù)字大于第表示事件“第二次取出表示事件“第二次取出A).,( ,)(,)(543214551kkBAPBPkk則則 由全概率公式得：由全概率公式得： 51kkkBAPBPAP)()()(514551kk.)(2143214151 （2）有放回抽樣的情況）有放回抽樣的情況).,( ,)(,)(543215551kkBAPBPkk51kkkBAPBPAP)()()(.)(52543215151()(|)()

8、(|)()(|)P A P BAP A P BAP A P BA2.2.2貝葉斯公式貝葉斯公式 Bayes Theoremn 后驗(yàn)概率后驗(yàn)概率B()( )(|)P ABP AP B A()( )(|)P ABP AP B AAB AB()(|)( )P ABP A BP B 設(shè)設(shè)A1，A2，, An構(gòu)成完備事件組，且諸構(gòu)成完備事件組，且諸P（Ai）0) B為樣本空間的任意事件，為樣本空間的任意事件，P（ B） 0 , 則有則有1()(|)(|)()(|)kkkniiiP AP BAP ABP AP BA( k =1 , 2 , , n)證明證明 ()()()kkP A BP ABP B()()

9、kkP AP B A1()()niiiP AP B A定理定理貝葉斯公式貝葉斯公式 Bayes Theorem 例例1 設(shè)某工廠有甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種設(shè)某工廠有甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的25 %， 35%， 40%，而且各車間的次品率依次為，而且各車間的次品率依次為 5% ，4%， 2%現(xiàn)從待出廠的產(chǎn)品中檢查出一個(gè)次品，試判斷現(xiàn)從待出廠的產(chǎn)品中檢查出一個(gè)次品，試判斷它是由甲車間生產(chǎn)的概率它是由甲車間生產(chǎn)的概率解解 設(shè)設(shè)1 ，2 ，3 分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙車分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙車間生產(chǎn)，表示產(chǎn)品為次品間

10、生產(chǎn)，表示產(chǎn)品為次品 顯然，顯然，1 ，2 ，3 構(gòu)成完備事件組依題意，有構(gòu)成完備事件組依題意，有 (1) 25% , (2)= 35% , (3) 40%, (|1) 5% , (|2)4% , (|3) 2%(1|) )AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P332211110.25 0.050.25 0.05 0.35 0.040.4 0.020.362 例例2 已知在所有男子中有已知在所有男子中有5%，在所有女子中有，在所有女子中有0.25%患有色盲癥。隨機(jī)抽一人發(fā)現(xiàn)患色盲癥，患有色盲癥。隨機(jī)抽一人發(fā)現(xiàn)患色盲癥，問其為男子的概率是多少？（設(shè)男子和女子的人問

11、其為男子的概率是多少？（設(shè)男子和女子的人數(shù)相等）。數(shù)相等）。解解設(shè)設(shè) A表示抽到的為男子，表示抽到的為男子，B表示抽到的是女子。表示抽到的是女子。則則1( )( ),2P AP BC表示抽到的人有色盲癥。表示抽到的人有色盲癥。(|)0.05,P C A (|)0.0025P C B 由由Bayes公式有公式有( ) (| )0.5 0.05( |)( ) (| )( ) (| )0.5 0.05 0.5 0.0025P A P C AP A CP A P C AP B P C B95%例例3 某試卷中某試卷中1道選擇題有道選擇題有6個(gè)答案，其中只有一個(gè)個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的。考生不知道正

12、確答案的概率為是正確的。考生不知道正確答案的概率為1/4，不知，不知道正確答案而猜對(duì)的概率為道正確答案而猜對(duì)的概率為1/6。現(xiàn)已知某考生答對(duì)。現(xiàn)已知某考生答對(duì)了，問他猜對(duì)此題的概率有多大？了，問他猜對(duì)此題的概率有多大？解解設(shè)設(shè) A表示表示“考生不知道正確答案考生不知道正確答案”，B表示表示“考生答對(duì)了考題考生答對(duì)了考題”。則。則1436141)(,/)(,/)(,/)(ABPAPABPAP 由全概率公式得：由全概率公式得： )()()()()(ABPAPABPAPBP1436141 ,2419 由貝葉斯公式得：由貝葉斯公式得： )()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP1

13、4361416141 .191 例例4 根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有如下的效果：若以有如下的效果：若以A表示表示“試驗(yàn)反應(yīng)為陽性試驗(yàn)反應(yīng)為陽性”，以以C表示表示“被診斷者患有癌癥被診斷者患有癌癥”，則有，則有,.)(950CAP).(,.)(.)(ACPCPCAP試試求求，即即有有癌癌癥癥的的概概率率為為，設(shè)設(shè)被被試試驗(yàn)驗(yàn)的的人人患患現(xiàn)現(xiàn)對(duì)對(duì)自自然然人人群群進(jìn)進(jìn)行行普普查查00500050950解解,.)(950CAP)()(CAPCAP1,05. 095. 01 ,995. 0)(,005. 0)( CPCP)()()()()()()(C

14、APCPCAPCPCAPCPACP05. 0995. 095. 0005. 095. 0005. 0 087. 0 例例5 已知一批產(chǎn)品的次品率為已知一批產(chǎn)品的次品率為4%，今有一種簡(jiǎn)化的，今有一種簡(jiǎn)化的檢驗(yàn)方法，檢驗(yàn)時(shí)正品被誤認(rèn)為次品的概率為檢驗(yàn)方法，檢驗(yàn)時(shí)正品被誤認(rèn)為次品的概率為0.02，而次品被誤認(rèn)為正品的概率為而次品被誤認(rèn)為正品的概率為0.05，求通過這種檢，求通過這種檢驗(yàn)認(rèn)為是正品的一個(gè)產(chǎn)品確實(shí)是正品的概率。驗(yàn)認(rèn)為是正品的一個(gè)產(chǎn)品確實(shí)是正品的概率。解解設(shè)設(shè) A表示表示“產(chǎn)品是正派品產(chǎn)品是正派品”，B表示表示“通過檢通過檢驗(yàn)產(chǎn)品被認(rèn)為是正品驗(yàn)產(chǎn)品被認(rèn)為是正品”。則。則表表示示“產(chǎn)產(chǎn)品品

15、是是次次品品”，A認(rèn)認(rèn)為為是是次次品品”。表表示示“通通過過檢檢驗(yàn)驗(yàn)產(chǎn)產(chǎn)品品被被B 由全概率公式得：由全概率公式得： )()()()()(ABPAPABPAPBP05. 004. 098. 096. 0 9428. 0 由貝葉斯公式得：由貝葉斯公式得： )()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP.998. 09428. 098. 096. 0 例例6設(shè)根據(jù)以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運(yùn)輸?shù)哪撤N物品損設(shè)根據(jù)以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運(yùn)輸?shù)哪撤N物品損壞情況共有壞情況共有3種，損壞種，損壞2%（事件（事件A1），損壞），損壞10%（事件（事件A2），），損壞損壞90%（事件（事件A3），且知：），且知：。整整品品的的概概率率件件是是否否為為完完出出一一件件后后不不影影響響取取后后一一里里設(shè)設(shè)物物品品件件數(shù)數(shù)很很多多，取取這這。試試求求事事件件件件都都是是好好的的這這件件，發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)隨隨機(jī)機(jī)地地取取中中現(xiàn)現(xiàn)在在從從已已被被運(yùn)運(yùn)輸輸?shù)牡奈镂锲菲?.(),(),()(,.)(BAPBAPBAPBAP321333050,.)(,.)(1508021APAP解解 由條件知，由條件知，05. 0)(,15. 0)(, 8 . 0)(321 APAPAP,)98.