1、MathStudioMathStudiofor iPadfor iPad 使用方法入門使用方法入門（1111）大衍求一術大衍求一術 與與中國剩余定理（三）中國剩余定理（三） 2015年2月6日2015/2/61/21在前面兩集里，我們介紹了在前面兩集里，我們介紹了 什么是大衍求一術？大衍什么是大衍求一術？大衍求一術的基本計算規則、操作程序；以及應用大衍求一術求一術的基本計算規則、操作程序；以及應用大衍求一術解解 “ “物不知數物不知數”、“余米推數余米推數”等古算題。等古算題。前已提到過：應用大衍求一術解一次同余式組時，多個前已提到過：應用大衍求一術解一次同余式組時，多個定母間應是兩兩互質；定

2、母間應是兩兩互質；“物不知數物不知數”、“余米推數余米推數”等古等古算題里的算題里的3 3、5 5、7 7以及以及1919、1717、1212已經是兩兩互質；因此，已經是兩兩互質；因此，未述及如何實現定母間兩兩互質的化約方法。未述及如何實現定母間兩兩互質的化約方法。南宋秦九韶南宋秦九韶數學九章數學九章12741274年問世后，幾乎失傳；后年問世后，幾乎失傳；后從從永樂大典永樂大典中抄出后，輯入中抄出后，輯入四庫全書四庫全書；清代數學；清代數學家繼續研究，陸續提出新著，如家繼續研究，陸續提出新著，如18031803年張敦仁年張敦仁求一算求一算術術，18741874年黃宗憲年黃宗憲求一術通解求一術

3、通解等等本集從有關大衍求一術的不同著作中選出例題，本集從有關大衍求一術的不同著作中選出例題，積尺積尺尋原尋原、江寧府差江寧府差等，通過解題，可看出：不是兩兩等，通過解題，可看出：不是兩兩互質的多個定母如何化約為兩兩互質的方法?；ベ|的多個定母如何化約為兩兩互質的方法。2015/2/62/21這是張敦仁這是張敦仁求一算術求一算術里的里的一道題，一道題， 100 100 x1 1（mod 101mod 101）“答曰答曰”：乘率：乘率100100，即，即 100 100100 = 101100 = 10199 + 1 99 + 1 “草曰草曰” ” 與與數學九章數學九章的的方法相同，但敘述文字更淺顯

4、方法相同，但敘述文字更淺顯易懂些，右列輾轉相除所得第易懂些，右列輾轉相除所得第一數、第二數一數、第二數與左列第一與左列第一數、第二數數、第二數的關系更清楚的關系更清楚了；了；稍加思索可得：稍加思索可得： s st t=q=qt ts st-1t-1 + s + st-2t-22015/2/63/21iPad iPad 計算單計算單計算計算100 x100 x1 1（mod 101mod 101）2015/2/64/21這首歌謠描述了元宵節觀燈勝景，這首歌謠描述了元宵節觀燈勝景，隱含了一道數學題；隱含了一道數學題；前前7 7句給出題意：句給出題意：五五數剩四，七七數剩六，五五數剩四，七七數剩六，

5、三三數無剩三三數無剩后后7 7句給出解題方法句給出解題方法易懂，不贅易懂，不贅本題轉摘自本題轉摘自中國古算解趣中國古算解趣郁祖權著郁祖權著把枯燥把枯燥 艱澀的數學題變成朗朗上口的歌謠，有趣易記；艱澀的數學題變成朗朗上口的歌謠，有趣易記；體現出中國古算體現出中國古算“寓教于樂寓教于樂”的特征的特征2015/2/65/21太平蓮燈太平蓮燈iPad MathStudioiPad MathStudio計算程序計算程序答案答案乘率乘率用數用數衍數衍數定母定母余數余數計算用時計算用時2015/2/66/212015/2/67/21首先首先 搞清題意搞清題意四種磚：四種磚： 大方磚大方磚 小方磚小方磚 城磚

6、城磚 六門磚六門磚 130 130130130 110110110110 120120606025 25 10010050502020 大方磚長大方磚長 城磚長城磚長 小方磚長小方磚長 六門磚長六門磚長 城磚闊城磚闊 六六門磚闊門磚闊 城磚厚城磚厚 六門磚厚六門磚厚 八個度量單位：八個度量單位：130 120 110 100 60 130 120 110 100 60 50 25 2050 25 20量量“廣廣” ” 余余 60 30 20 30 60 30 20 30 30 30 5 10 30 30 5 10 量量“深深” ” 余余 70 110 80 10 70 110 80 10 50

7、 10 10 1050 10 10 10求解求解“廣廣”與與“深深”的尺寸的尺寸2015/2/68/21 八音號位八音號位以八音名稱給已知數據以八音名稱給已知數據“號位號位”，按數據大小降序排列，按數據大小降序排列 金金 石石 絲絲 竹竹 匏匏 土土 革革 木木 大方磚長大方磚長 城磚長城磚長 小方磚長小方磚長 六門磚長六門磚長 城磚闊城磚闊 六門磚六門磚闊闊 城磚厚城磚厚 六門磚厚六門磚厚 130 120 110 100 130 120 110 100 60 50 25 2060 50 25 20第一次化約后第一次化約后 130 120 55 25 15 130 120 55 25 15 2

8、5 25 125 25 1從從“木木”開始，與其前面的各數分別檢測最大公約數，化約開始，與其前面的各數分別檢測最大公約數，化約“木木”與與“革革”，公約數，公約數5 5，約，約“木木”得得4 4；木；木4 4與與“土土”5050，公約數，公約數2 2，約土得，約土得2525；木木4 4與與“匏匏”公約數公約數4 4，約匏得，約匏得1515；木；木4 4與與“竹竹”公約數公約數4 4，約竹得，約竹得2525；木木4 4與與“絲絲”公約數公約數2 2，約絲得，約絲得5555，木，木4 4與與“石石”公約數公約數4 4，約木得，約木得1 1；木；木1 1與金無約與金無約2015/2/69/21 第二

9、次化約第二次化約 金金 石石 絲絲 竹竹 匏匏 土土 革革 木木 大方磚長大方磚長 城磚長城磚長 小方磚長小方磚長 六門磚長六門磚長 城磚闊城磚闊 六門磚闊六門磚闊 城磚厚城磚厚 六門磚厚六門磚厚 原數原數 130 120 110 100 130 120 110 100 60 50 25 2060 50 25 20第一次化約后第一次化約后 130 120 55 25 15 130 120 55 25 15 25 25 125 25 1第二次化約后第二次化約后 26 24 11 1 3 26 24 11 1 3 1 25 11 25 1從從“革革”開始，與其前面的各數分別檢測最大公約數，化約開始

10、，與其前面的各數分別檢測最大公約數，化約“革革”與與“土土”公約數公約數2525，約土，約土2525為為1 1；革；革2525與匏與匏1515公約數公約數5 5，約匏，約匏1515為為3 3革革2525與竹與竹2525公約數公約數2525，約竹，約竹2525為為1 1；革；革2525與絲與絲5555公約數公約數5 5，約絲，約絲5555為為1111革革2525與石與石120120公約數公約數5 5，約石，約石120120為為2424；革；革2525與金與金130130公約數公約數5 5，約金，約金130130為為26262015/2/610/21繼續化約繼續化約 金金 石石 絲絲 竹竹 匏匏

11、土土 革革 木木 大方磚長大方磚長 城磚長城磚長 小方磚長小方磚長 六門磚長六門磚長 城磚闊城磚闊 六門磚闊六門磚闊 城磚厚城磚厚 六門磚厚六門磚厚原數原數 130 120 110 100 130 120 110 100 60 50 25 2060 50 25 20第二次化約后第二次化約后 26 24 11 1 3 26 24 11 1 3 1 25 11 25 1化約完成后化約完成后 13 8 11 1 13 8 11 1 3 1 25 13 1 25 1“土土”1 1與前面各數互質，無需化約；與前面各數互質，無需化約；“匏匏”3 3與竹與竹1 1、絲、絲1111互質，無化約；匏互質，無化約

12、；匏3 3與石與石24 24 公約數公約數3 3，約石，約石2424為為8 8；“竹竹”1 1 及及“絲絲”1111與前面各數互質，無需化約；與前面各數互質，無需化約；石石8 8與金與金26 26 公約數公約數2 2，約金，約金2626為為1313；化約完成，化約完成，8 8個定母確定為個定母確定為 1313，8 8，1111，1 1，3 3，1 1，2525，1 18 8個定母連續相乘得個定母連續相乘得 衍母衍母85800858002015/2/611/21 金金 石石 絲絲 竹竹 匏匏 土土 革革 木木 大方磚長大方磚長 城磚長城磚長 小方磚長小方磚長 六門磚長六門磚長 城磚闊城磚闊 六六

13、門磚闊門磚闊 城磚厚城磚厚 六門磚厚六門磚厚原數原數 130 120 110 100 130 120 110 100 60 50 25 2060 50 25 20化約完成后化約完成后 定母定母 13 8 11 1 13 8 11 1 3 1 25 13 1 25 1衍母衍母 8580085800衍數衍數 6600 10725 7800 85800 28600 6600 10725 7800 85800 28600 85800 3432 8580085800 3432 85800奇余奇余 9 5 1 9 5 1 1 1 1 1 1 1 7 7 1 1乘率乘率 3 5 1 3 5 1 1 1 1

14、1 1 1 18 18 1 1大衍求一術大衍求一術 列四元方陣計算時，要求右列下（定母）大于右列上（衍數），否則先求列四元方陣計算時，要求右列下（定母）大于右列上（衍數），否則先求得奇余（小于定母）列入右列上，這樣就簡化以后的計算，這在古代用籌算尤為重要得奇余（小于定母）列入右列上，這樣就簡化以后的計算，這在古代用籌算尤為重要本題本題 只需計算只需計算 “ “金金”、“石石”、“革革” ” 三組數據的乘率三組數據的乘率；“絲絲”、“匏匏”乘率為乘率為1 1；“竹竹”、“土土”、“木木”無需計算乘率、用數等，計算量大為減少了。無需計算乘率、用數等，計算量大為減少了。2015/2/612/21 金

15、金 石石 絲絲 竹竹 匏匏 土土 革革 木木 大方磚長大方磚長 城磚長城磚長 小方磚長小方磚長 六門磚長六門磚長 城磚闊城磚闊 六六門磚闊門磚闊 城磚厚城磚厚 六門磚厚六門磚厚原數原數 130 120 110 100 130 120 110 100 60 50 25 2060 50 25 20化約完成后化約完成后 定母定母 13 8 11 1 13 8 11 1 3 1 25 13 1 25 1衍母衍母 8580085800衍數衍數 6600 10725 7800 85800 6600 10725 7800 85800 28600 85800 3432 8580028600 85800 343

16、2 85800奇余奇余 9 5 1 9 5 1 1 1 1 7 11 1 1 7 1乘率乘率 3 5 1 3 5 1 1 1 1 18 11 1 1 18 1測測“廣廣”余數余數 60 30 20 30 60 30 20 30 30 30 5 1030 30 5 10測測“深深”余數余數 70 110 80 10 70 110 80 10 50 10 10 10 50 10 10 10 上一集里已知上一集里已知q=q= x(i)x(i)* *d(i)d(i)* *n(i) n(i) （乘率、衍數、（乘率、衍數、余數乘積和）余數乘積和）y=(mod q,ms) y=(mod q,ms) （總滿、

17、衍母求余）（總滿、衍母求余）從下表已知數據可求得從下表已知數據可求得廣廣 =1230=1230（分）（分） 即即1 1丈丈2 2尺尺3 3寸寸深深 =3710=3710（分）（分） 即即3 3丈丈7 7尺尺1 1寸寸 2015/2/613/21元數化約后所得定母元數化約后所得定母乘率乘率測廣余數測廣余數衍數衍數衍母衍母廣廣 基坑寬度基坑寬度2015/2/614/21深深 基坑深度基坑深度測深余數測深余數化約后的定母化約后的定母2015/2/615/212015/2/616/21江寧府差人甲、乙、丙相繼進京；甲日行江寧府差人甲、乙、丙相繼進京；甲日行178178里，乙日行里，乙日行224224里

18、，丙日行里，丙日行300300里；三人同于當月里；三人同于當月1515日到京；日到京；1414日晚，甲住在離京日晚，甲住在離京5858里處，乙住在里處，乙住在離京離京8686里處，丙住在離京里處，丙住在離京150150里處；里處；問：江寧府與京城的距離，甲乙丙三人各走了幾日到京？問：江寧府與京城的距離，甲乙丙三人各走了幾日到京？ 三人各于何日啟程？三人各于何日啟程？本題出自本題出自求一算術求一算術（清（清 張敦仁張敦仁 18031803年）年）設設 江寧府與京城相距江寧府與京城相距 x里里x 58(mod 178)58(mod 178) 86(mod 224)86(mod 224) 150(m

19、od 300)150(mod 300)因因178178、224224、300300不是兩兩互質，需先化約不是兩兩互質，需先化約原著內的原著內的“草曰草曰”“”“用連環相約術用連環相約術”把化約方法說得很清楚了，把化約方法說得很清楚了，無庸贅述。無庸贅述。化約后得化約后得 8989、224224、7575為定母為定母求解求解x 58(mod 89)58(mod 89) 86(mod 224)86(mod 224) 150(mod 75) 150(mod 75) x=2550里里甲行日數甲行日數 =2550/178=14+29/89 15-14=1 初一啟程初一啟程乙行日數乙行日數 =2550/2

20、24=11+43/112 15-11=4 初四啟程初四啟程丙行日數丙行日數 =2550/300=8+1/2 15-8=7 初七啟程初七啟程MathStudio計算單見后頁計算單見后頁2015/2/617/21江寧與京師距離江寧與京師距離 甲行日數甲行日數=14+29/89=14+29/89乙行日數乙行日數 =11+43/112=11+43/112丙行日數丙行日數 =8+1/2=8+1/2“江寧府差江寧府差”題題MathStudio MathStudio 計算計算單單2015/2/618/21從前面從前面積尺尋原積尺尋原、江寧府差江寧府差兩題的求解過程中，我兩題的求解過程中，我們可們可“悟悟”出

21、定母化約方法的一些要點：出定母化約方法的一些要點：1.1.原數按數據大小降序排列原數按數據大小降序排列2.2.從最小的數據開始，分別與其前面數據逐一化約從最小的數據開始，分別與其前面數據逐一化約3.3.若若 元數有元數有n n個，則需化約個，則需化約(n-1)(n-1)輪次輪次4.4.第一輪次有（第一輪次有（n-1n-1）對數據，兩兩化約）對數據，兩兩化約 第二輪次有（第二輪次有（n-2n-2）對數據兩兩化約；依此類推）對數據兩兩化約；依此類推5.5.化約的具體方法：計算兩數的最大公約數化約的具體方法：計算兩數的最大公約數GCD(A,B)=C, GCD(A,B)=C, 如果如果C=1, C=1, 則無需化約；則無需化約； 如果如果C C1 1，則，則以以C C去除兩數中的一個（不是兩數同約?。┤コ齼蓴抵械囊粋€（不是兩數同約?。?， 使新的兩數互質使新的兩