1、不等式證明論文完整版摘要在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，不等式的證明始終是一個難點，也占有重要的地位，是數(shù)學(xué)中不可缺少的工具之一。關(guān)于不等式的證明問題，就其方法而言，沒有定法可套，有較大的靈活性和技巧性，從而不等式證明的教學(xué)在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)邏輯思維能力方面也發(fā)揮著重要的作用。就其知識范圍而言，涉及到代數(shù)、三角、幾何等各個初等數(shù)學(xué)領(lǐng)域，有較強的綜合性和多樣性。由于許多初等數(shù)學(xué)中的問題往往蘊含著數(shù)學(xué)中較高層次理論和再實踐的問題。為解決高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的脫節(jié)現(xiàn)象，有意將高等數(shù)學(xué)的原理和方法應(yīng)用于一些初等數(shù)學(xué)的證明與計算。不僅可以開拓學(xué)生的視野，而且可以使學(xué)生體會用高等數(shù)學(xué)的原理和方法解決初等數(shù)學(xué)問題

2、時居高臨下，駕輕熟馭的感覺。因此，本文著眼于不同角度，應(yīng)用不同的知識，從三個方面:1.不等式證明的基本方法；2.不等式證明的特殊方法；3.利用高等數(shù)學(xué)證明不等式的方法對若干例題的講解，初步概括一些證明不等式的若干方法。關(guān)鍵詞：不等式；初等數(shù)學(xué)；證明方法I/20不等式證明論文完整版AbstractTheinequalityproofhasalwaysbeenadifficultpointinmathematicsteachinginmiddleschool.However,italsoplaysanimportantrole,andisanindispensablemathematicaltoo

3、linmathematicsteaching.Asforthemethod,therearemanyfliexiblityandskillsandhavenofixedprincipletoobey.Therefore,theinequalityprooftakesanimportantpartinthedevelopmentofthestudents'mathematicalthinking,andlogicalthinking.Arageofknowledgeincludingalgebra,trigonometry,geometryandeveryareaofprimarymat

4、hematics,thereisastrongintegratedanddiversity.Becausemanyelementarymathematicsproblemsoftencontainsahigherlevelmathematics,theoryandmorepracticeproblems.Inordertosolvetheproblemthathighermathematicalienatedfromthemiddle-mathmaticals.Thispaperwillapplytheprinciplesmethodsofmathematicstosomeelementary

5、mathematicalproofandCalculationpurposely.Doinglikethis:Notonlytoenlargestudentsrangeofknowledge,butalsoenablestudentstorealizethatusingtheprinciplesofadvancedMathematicstosolveElementaryMathproblemsjustlikedoingafamiliarjobwithease.Therefore,thispaperwilluseavarietyofknowledgesuchas:1Inequalityoutfr

6、omdifferentaspectstoanalysissomeexampletogainsomemethodsoftheinequalityproof.thebasicmethod;2.Inequalityoutspecialmethods;3.UsingadvancedmathematicsKeywords:Inequality;ElementaryMath;MethodsofproofII/20不等式證明論文完整版摘要IAbstractII引言11不等式證明的基本方法11.1 綜合法11.2 分析法21.3 比較法31.4 反證法41.5 數(shù)學(xué)歸納法41.6 放縮法52不等式證明的特殊方

7、法62.1 換元法62.1.1 代數(shù)換元法62.1.2 三角換元法72.2 參數(shù)法72.3 面積法92.4 化整法92.5 通項公式法103利用高等數(shù)學(xué)證明不等式的方法103.1 函數(shù)單調(diào)性法113.2 函數(shù)圖形的凹凸性進行證明法113.3 拉格朗日中值定理法123.4 柯西中值定理法123.5 函數(shù)的極值和最值法133.6 泰勒公式法144結(jié)語15參考文獻(xiàn)16謝辭17不等式證明論文完整版引言數(shù)學(xué)不等式的研究首先從歐洲國家興起，東歐國家有一個較大的研究群體特別是原南斯拉夫國家。目前，數(shù)學(xué)不等式理論充滿蓬勃生機、興旺發(fā)達(dá)，對不等式理論感興趣的數(shù)學(xué)工作者遍布世界各個國家。在1882年-1928年數(shù)

8、學(xué)不等式理論的見解：一般來講初等的不等式應(yīng)該有初等的證明，證明應(yīng)該是“內(nèi)在的”，而且應(yīng)該給出等號成立的證明。于1934年以來，數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的研究正式粉墨登場，成為一門新興的數(shù)學(xué)學(xué)科，從此不等式不再是一些零星散亂的、孤立的公式綜合，它已發(fā)展成為一套系統(tǒng)的科學(xué)理論。本文應(yīng)用不同的知識從三個方面：1.不等式明的基本方法；2.不等式明的特殊方法；3.利用高等數(shù)學(xué)證明不等式的方法綜合對若干例題的講解，初步概括一些證明不等式的若干方法。1不等式證明的基本方法不等式證明的一般方法有綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等川。1.1綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助

9、不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因?qū)Ч保瑥摹耙阎笨础靶柚保鸩酵瞥觥敖Y(jié)論”。其邏輯關(guān)系為：AB1B2B3-BnB,即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論Bo例1設(shè)|fxax2bxca取,若|f0111,|f1|J,|f11,試證明：對于任意I1x1L有Ifx|5.分析要研究這個二次函數(shù)的性質(zhì)，最好的辦法是能夠確定其解析式.本題中，所給條件并不足以確定參數(shù)a,b,c的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論也不是fx的確定值，而是與條件相對應(yīng)的“取值范圍”，因此，我們可以叵匚,|f1|11口|f1|1當(dāng)成兩個獨立條件,先用f1,f0

10、和f1來表示a,b,c.因為f1abc,f1abc,f0c,1 1所以a-(f1f12f0),b-(f(1)f(1),cf0,1/20不等式證明論文完整版2(xx122xxxf12當(dāng)1x1時,所以，根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)可得1所以fx1xx2x2x2xx22x1x2(1x2)(x綜上，問題獲證.用好絕對值不等式及其等號成立的條件，常常可以簡化問題，避免討論。用到了均值不等式的知識，一定要注意的是何時等號才成立。1.2 分析法當(dāng)無法從條件入手時，就用分析法去思考，但還是要用綜合法去證明。兩個方法是密不可分的。從需證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉(zhuǎn)化為判定那個條件是否具備，其特點

11、和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。用分析法證明AB的邏輯關(guān)系為：BB1B2B3-BnA,書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B為真，從而有，這只需證明B2為真，從而又有，這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。例2已知：a.b1,0c1,且lgalgb1,求證：logaclogbc4lgc.證明欲證logac10gbe4lgc,不等式證明論文完整版只需證史史4lgc,lgalgb因為0c1,故Igc0.所以只需證lga0,lgb0.只需證lgalgb4lgalgb.由已知lgalgb1,

12、所以只需證4lgalgb1.而lga0,lgb0.故41galgb<(lgalgb)21.故原不等式成立。1.3 比較法比較兩個式子的大小，求差或求商（與0或1的大小關(guān)系）是最基本最常用的方法。例3如果用akg白糖制出bkg糖溶液，則糖的質(zhì)量分為-,若在上述溶液b中再添加mkg白糖，此時糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)增加到上上將這個事實抽象為數(shù)學(xué)問bm題，并給出證明。解可以把上述事實抽象為如下不等式問題：已知都是正數(shù)，并且ab,求證：bm證明因為a,b,m都是正數(shù)，并且b(am)a(bm)b(bm)ab,m(ba)b(bm)所以0,ba0,m(ba)0b(bm)比較法是證明不等式的基本思路。3/20不等式

13、證明論文完整版1.4 反證法假設(shè)不成立，但是不成立時，又無法解出本題，于是成立。即有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B,先假設(shè)A<B,由題設(shè)及它的性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定A>R凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”“不存在”、等詞語時，可以考慮用反證法。證明因為所以從而已知銳角假設(shè)+2,coscos+sinsin滿足竺_+竺sinsin=2,求證+=2>一，則2coscos<cos(-<cos(<sin+sinsin1二2矛盾.)=sin)=sin同理1.5數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用數(shù)學(xué)歸

14、納法(證明某些與正整數(shù)n有關(guān)的命題時常常采用的方法)證明命題的步驟:(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值no(noN)時命題成立;(2)(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)nk(kn0,kN)時命題成立，(3)證明當(dāng)nk1時命題也成立；根據(jù)(1),例5證明1(2)和(3)可知命題對于從2n(nn。開始的所有正整數(shù)n都成立.*N)分析此題為與自然數(shù)有關(guān)的命題，故可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明。證明n1時，不等式的左邊=1,右邊=2,顯然1<2,4/20不等式證明論文完整版所以,n1時命題成立左端右端假設(shè)n111、23則當(dāng)nk1A±.工、32. k1.N時命題成立,1k24所以,1時，12.k2.,k.k1

15、,k11.k11.k1kk1.k1.k1k1-12Jk2Jk1,即nk1時命題也成立。.k1由可知原不等式得證。1.6放縮法將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)到證題目的2證明-2-/3證明因為1k法122,k2(,k,k1)所以,2-.31n2(.3,2)1)2.n所以2.n(nN、.n（構(gòu)造法、函數(shù)法）f(n)2、n(1因為f(k1)f(k)31k11_123I)5/20不等式證明論文完整版2k12k(k1)k1(jyk)2o(nk1所以f(n)是N是的增函數(shù),f（n）>f（1）11工工,23從上述證法可以看出:0,1_、.n2.n(nN).其中用到了k-=三之間的轉(zhuǎn)化，也即2mL,k1

16、k們，本題可以直接利用這一關(guān)系進行放縮TkF這一事實，從而達(dá)到了二L和k1水和之間的轉(zhuǎn)化，這就提示我.k12不等式證明的特殊方法不等式的證明除了基本的方法外，本文擬從不等式證明的特殊性，歸納一些特殊的證明方法。如換元法、參數(shù)法、面積法、化整法、通項公式法。2.1換元法通過對所證不等式添設(shè)輔助元素，使原來的未知量（或變量）變換成新的未知量（或變量），從而更容易達(dá)到證明的目的。此種方法證明不等式一般采取以下步驟：1認(rèn)真分析不等式，合理換元；2證明換元后的不等式；3得證后，得出原不等式成立。換元法可分為兩大類3。2.1.1 代數(shù)換元法在對稱式（任意交換兩個字母，代數(shù)式不變）和給定字母順序（如a>

17、;b>c等）的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達(dá)到減元，使問題化難為易，化繁為簡4o例1求證：封3V3v3V323/3分析由于根指數(shù)為3,若采取兩邊三次方的辦法，中間運算較繁。根據(jù)不等式左邊的特點，考慮公式a3b3（ab）（a2abb2）,不妨設(shè)a=333/3,b=3；3我于是只需證（ab）3<24即可。證明設(shè)a=3/3V3,b=3電,6/20不等式證明論文完整版可見a0,b0并且a3b36,a>b,又有a2b22ab,故aba2abb2.以ab0乘此不等式兩邊得22ab(ab)(aabb)(ab),故ab(ab)a3b3,即3ab(ab)3(a3b3),對上式

18、兩邊均加上a3b3即a3b33ab(ab)4(a3b3)24,即(ab)324,所以ab233.即原不等式成立。2.1.2 三角換元法多用于條件不等式的證明，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個變量不易用另一個變量表示，這時可考慮三角代換，將兩個變量都有同一個參數(shù)表示。此法如果運用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題根據(jù)具體問題。例2已知a,bR,且a2b21,x2y21,求證axby1.分析由已知a2b21及x2y21可想到三角公式sin2cos21故可產(chǎn)生換元5。證明由已知可設(shè)asin,bcos,xsin,ycos,則代入求證不等式中axbysinsincoscoscos()1.

19、即所證不等式成立。可見對于冗長而復(fù)雜的不等式用代數(shù)法換元，可以使問題變得明顯簡單。對于含有根式或帶有絕對值符號的不等式，可用三角法換元，同樣可以將難化易。2.2參數(shù)法有些不等式的證明，可以通過引入?yún)?shù)，將問題化成對參數(shù)的討論，從而達(dá)到證明的目的7/20不等式證明論文完整版例5已知xyz1(x,y,zR),求證x2y2分析由已知條件入手，可分別引入單參數(shù)、雙參數(shù)、三參數(shù)解決問題。證明法1（單參數(shù)法）1,z2t(xyz1)(X2tx1t2)(y24ty4t2)由已知(x(zt2/t2-)(y二)22而13t2最大值為故有x2z2法2（雙參數(shù)法）t,yst,2s1.(st)2(st)2(z2s)23

20、4一sz32t22(s3z)22t20.所以法3（三參數(shù)法）,z0.(3)2(3)2(3)28/20不等式證明論文完整版132.3面積法將某些不等式證明化為求面積的問題，能夠更加明顯簡單6。例6求證如果0xiX2,那么蛇上.2tgxiXi分析已知中已給出兩個角Xi,X2,則可將這來那個角放于特殊圖形中證明作RTABC使ZABC=90°,/BAC多在BC上取一點D,使/DAB*以A為圓心，以AD為半徑作圓弧交AC于F,交AB延長線于E,（如圖1）。則有BCSabcsabdsacdBDSabdSabdSacdSabd,S扇AED1S扇ABD122(X2xJAD2/ad2X2XjX1XX1

21、故所證不等式成立。2.4化整法在一類分式不等式的證明中，若把分式分裂成整數(shù)（或整式）部分和分式部分，并使幾個分式的整數(shù)部分相等。這樣不等式的證明就轉(zhuǎn)化為剩余部分分式的大小比較，而后者比前者簡單多了7。例8若ab0,求證一ab.1a1b分析左右兩邊均可寫成兩部分：11a1a9/20不等式證明論文完整版1一、一，故可證明。1b證明ab0111b1a1b1b即所證不等式成立。2.5通項公式法型如X1X2X3.Xn()Sn型不等式，可將Sn視為數(shù)列an的前幾項和，而Sn=X1X2X3.Xn,即Sn為數(shù)列Xn的刖幾項和。則即Sn()Sn,應(yīng)用an=SnSn1求出an去與Xn比較，若有Xn()Hn則有Sn

22、()5圈。求證：12.分析這是不等式屬典型通項公式法證明1證明左邊是數(shù)列；的前幾項和,n設(shè)左邊的和為Sn,右邊為Sn,2)當(dāng)n2時anSnSn1(2.n12)2(.ri、,n)即有anXn成立，再有當(dāng)n1時G2V2221x1也適合上式21從而有SnSn,即原不等式成立。3利用高等數(shù)學(xué)證明不等式的方法在講授高等數(shù)學(xué)過程中，如何將高等數(shù)學(xué)的原理和方法運用于初等數(shù)學(xué)，如何將解決高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)脫節(jié)的現(xiàn)象，是高等院校在數(shù)學(xué)教學(xué)中需要探討解決的問題之一。有許多不等式在數(shù)學(xué)研究中有著重要的作用。但用初等數(shù)10/20不等式證明論文完整版學(xué)知識證明一些不等式比較困難，下面利用高等數(shù)學(xué)的原理和方法，就不等式的

23、證明給出幾種證法。3.1 函數(shù)單調(diào)性法利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式是數(shù)學(xué)分析中最常用的一種方法。其理論依據(jù)是函數(shù)單調(diào)性的定義。在證題中常要用到結(jié)論：若函數(shù)f在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，'一'、一4».、.一、.一f(x)0且f(x)0,則在內(nèi)嚴(yán)格遞增(遞減)。例1已知m,n都是正整數(shù)，且1mn.證明不等式(1m)n(1n)m分析原不等式等價于ln(1m)1n(1n)相當(dāng)于函數(shù)f(x)=ln(12滿足mnxf(m)f(n),于是只需證明f(x)在區(qū)間2,)上是減函數(shù)即可。證明原不等式等價于1n(1m)1n(1n)mn取函數(shù)f(x)=1n(1x)(x2)x貝Uf'(x)1x(

24、1x)1n(1x)x(1x)1n(1x)x2(1x)x(1x)1n(1x)0(x2).所以f(x)在2,)上是減函數(shù)，從而結(jié)論成立。3.2 函數(shù)圖形的凹凸性進行證明法函數(shù)的凹凸性證明方法首要是找到輔助函數(shù)f(x),利用函數(shù)f(x)在所給區(qū)間a,b的二階導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的凹凸性。f"(x)0函數(shù)為凹函數(shù)，則f(a)f(b)2f(ab),2abf(x)0函數(shù)為凸函數(shù)，則f(a)f(b)2f()，2從而證明出結(jié)論。xy，例2試證：x1nxy1ny(xy)1n,(x>0,y>0,xwy).2'"證明令f(t)t1nt(t0),f(t)1nt1,f(t)1(t0),故

25、f(t)t1nt在(x,y)或(y,x),x0,y0是凹函數(shù)，11/20不等式證明論文完整版于是f(x)f(y)2f("),21 xyxy即一f(x)f(y)-In-2 22即xlnxyIny(xxyy)ln2類似的如：證明eey2exyT,(xy).3.3拉格朗日中值定理法定理若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在r-x-trt.zit_1(a,b)內(nèi)至少一點使得f(b)f(a)f()(ba).例3證明當(dāng)x1且x0時成立不等式上in(1x)x.1x證明設(shè)f(x)ln(1x)則對任意x1,f在以x和0為端點的區(qū)間上xx應(yīng)用拉格朗日中值止理有l(wèi)n(1x)ln

26、1或ln(1x)在0和xN11問。當(dāng)x0時，由01x11,可推知上x.1x1當(dāng)x0時，由011x1,可推知x.1x1從而得到所要證的結(jié)論。3.4 柯西中值定理法定理網(wǎng)設(shè)f(x)、g(x)滿足(i) 在區(qū)間a,b上連續(xù)，(ii) 在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，(iii) f(x),g(x)不同時為零，(iv) g(b)g(a),'.則至少存在一點(a,b)使得ff工0.g(b)g(a)g()例4設(shè)ae,0xy一證明：ay2xx.a(cosxcosy)alna.12/20不等式證明論文完整版yx分析原不等式可等價于aaxlna不等式左邊可看成是函數(shù)cosycosxf(t)at,g(t)cost在區(qū)間

27、x,y(0xy)上的改變量的商，故可用柯西中2值定理證明之10。yx證明原不等式等價于aaaxlna,cosycosx取f(t)at,g(t)cost,顯然f(t)和g(t)在區(qū)間x,y(0xy)上滿足柯西中值定理條件，2(于是存在(x,y),使得Ul=(y區(qū)，g()g(y)g(x)即ajnsincosycosx因為ae,0xy,2y1所以aa,1,lna1,sin從而axlnaalnaalnafx,或alnasinalnasinyx因止匕aaxlna.cosycosx即ayax(cosxcosy)axlna.3.5 函數(shù)的極值和最值法極值的定義設(shè)yf(x)在某一鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)

28、異于Xo的任意點x都有：(1) f(x)f(Xo)，則稱f(Xo)為f(x)的極大值，X0稱為f(x)的極大值點;(2) f(x)f(Xo),則稱為f(Xo)為f(x)的極小值，Xo稱f(x)為的極小值點；極大值,極小值統(tǒng)稱為極值；極大值點，極小值點統(tǒng)稱為極值點.設(shè)f(x)在(a,b)上連續(xù),則f(x)在(a,b)上必有最值。求最值的方法：求f'(x)求出f(x)在a,b內(nèi)的所有駐點和不可導(dǎo)點xi(i1,2,n)13/20不等式證明論文完整版求f(a),f(b),f(xi),其中最大(小)的即為f(x)在a,b上的最大(小)值。1例5求證：若p1,則對0,1上任意x有xp(1x)p12

29、p1證明取函數(shù)f(x)xp(1x)p,(0x1),則有f'(x)=pxp1p(1x)p1=pxp1(1x)p1令f'(x)=0,xp1=(1x)p1,1解得駐點x-2由于f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，因而f(x)在0,1上取得最大值和最小值，又f(x)在0,1上可導(dǎo)，并且f(0)f(1)1,f(1)1T.22p1所以f(x)在0,1上最小值是二，最大值是1.2p11從而對0,1上的任忠x有一亓f(x)12p11pp即Fxp(1x)p1,(0x1).2p3.6利用泰勒公式法泰勒公式溝通了函數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，如果問題涉及到函數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)，就可以考慮用泰勒公式。用泰勒公式證明不

30、等式時，常需將函數(shù)f按某些特點展成泰勒公式，通過分析余項在點的性質(zhì)，而推出不等式11。例6若函數(shù)f滿足：(1)在a,b上具有二階可導(dǎo)函數(shù)，(2)且滿足條件f'(a)f'(b)0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點使得f(b)f(a)|叵(ba)2,所以f14在a,b的一階泰勒公式成立。f在點a和b分別展成泰勒公式有_，'f(1)2,、f(x)f(a)f(a)(xa)(xa),a1x,(1)2!一'一f(x)f(b)f'(b)(xb)f4(xb)2,b2x,(2)2!14/20不等式證明論文完整版ab取x,且由f(a)f(b)0有2abf(£f(a

31、)abf(aLa)f(1)2!ab(_F、2a),a(3)f(f(b)f(b)(b)f(2)2!b)2,b(4)(4)(3)式并取絕對值得|f(b)f(a)|8|f'(2)f'(i)|(ba)28|f'(i)|f'(2)(ba)2,取|f'()|=max|f'(i)|,|f'(2)有ab"f'(1)|f'(2)2|f,()|,于是|f(b)f(a)|21fj)(ba)2.即f(b)f(a)(ba)2,a因這里己與x有關(guān)，可將其記為b.七(x),那么當(dāng)令x分別取0和1時，對應(yīng)的士可分別用1和2表示。4結(jié)語不等式是高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到而又比較困難的問題之一。眾所周知，不等式的討論在高等數(shù)學(xué)中起著重要的作用，由于不等式是討論數(shù)量大小的，而這種數(shù)量或函數(shù)之間大小關(guān)系的比較能更廣泛地顯示出變量之間相互制約的關(guān)系，從而進一步研究、估計函數(shù)變化狀態(tài)的趨勢。高等數(shù)學(xué)主要是用極限概念來解決問題。而極限概念是用不等式定義的，它是描述某一序列或函數(shù)在變化的過程中“某一時刻”以后，“無限接近”，“無限增加”或“搖擺不定