1、第四節拋物線一、填空題1. (2020 蘇北四市聯考)若拋物線的焦點坐標為(2,0)，則拋物線的標準方程是2. (2020 福建改編)以拋物線 y2= 4x的焦點為圓心，且過坐標原點的圓的方程為3. 若垂直于x軸的直線交拋物線 y2=4x于點A, B,且AB="Q,則直線AB的方程為4. (2020 湖南改編)設拋物線y2=8x上一點P到y軸的距離是4,則點P到該拋物線 焦點的距離是.5. (2020 江蘇海安高級中學、南京外國語學校、南京市金陵中學高三調研測試)拋物22線y2=8x的焦點到雙曲線 套一5=1的漸近線的距離為 .6 . (2020 南京模擬)在直角坐標系xOy中，雙曲

2、線x2y=1的左準線為l ,則以l為3準線的拋物線的標準方程是 .7 .探照燈的反射鏡的縱截面是拋物線的一部分，燈口直徑60 cm,燈深40 cm,則光源放置位置為燈軸上距頂點 處.8 .點M到直線l : x+2y-3=0的距離等于到點 A(1,1)的距離，則點 M的軌跡為9 . (2020 海安中學模擬)已知P為拋物線y2=4x上一點，設 P到準線的距離為 db P 到點A(1,4)的距離為d2,則d1 + d2的最小值為 .二、解答題10 . (2020 廣東東莞五校聯考)設拋物線y2=8x的焦點為F,準線為l , P為拋物線上 一點，PALl , A為垂足，如果直線 AF的斜率為73,求

3、|PF.11 .如圖，拋物線關于 x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點R1,2) , A(xb y1) , B(x2,y2)均在拋物線上.(1)寫出該拋物線的方程及其準線方程；(2)當直線PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求y1 + y2的值及直線 AB的斜率.12 .如圖，有一座拋物線形拱橋，在正常水位時AB的寬為20 n如果水位上升3 m時,水面CD的寬為10 m.(1)建立如圖所示的直角坐標系，求此拋物線的解析式；(2)現有一輛載有救援物資的貨車從甲地出發需經過此橋開往乙地，已知甲地距此橋280 km(橋長忽略不計)，貨車正以每小時 40 km的速度開往乙地，當行駛 1小時時，突然接 到緊

4、急通知：前方連降暴雨造成水位以每小時 0.25 m的速度持續上漲(貨車接到通知時水位 在。皿，當水位達到橋拱最高點 O時，禁止車輛通行).試問：如果貨車按原來的速度行駛，能否安全通過此橋？若能，請說明理由；若不能，要使貨車安全通過此橋，速度應超過每小時多少km?J*,:.參考答案1. y2=8x解析：拋物線的焦點在x軸上，且 宗2, .拋物線的標準方程是y2=8x.2. x2+y2-2x=0解析：因為已知拋物線的焦點坐標為(1,0),即所求圓的圓心，又圓過原點，所以圓的半徑為r=1,故所求圓的方程為(x-1) 2+y2=1,即x2-2x+y2=0.3. x=3解析：由題意知點 A, B的縱坐標

5、為2，3和-2爐，代入拋物線方程求得 x=3, 所以直線AB的方程為x=3.'4. 6解析：拋物線y2=8x的準線方程為x=-2, 點P到y軸的距離是4, 點P到拋 物線準線的距離是 6,由拋物線的定義可知點P到該拋物線焦點的距離是6.225. 1解析：拋物線y2=8x的焦點坐標是(2,0),雙曲線專-3=1的漸近線方程為x 十y=0,利用點到直線的距離公式得所求距離為6. y2=2x解析：雙曲線 /-=1的左準線l的方程為3-=1.22 a x=-： c12'4八、，1 r P 1 .修所求拋物線的準線方程為x=-2,即拋物線的焦點在 x軸上，且-2=-,解得p=1,拋物線方

6、程為y2=2x.7. 5. 625 cm解析：將拋物線放到直角坐標系中，使頂點與原點重合，焦點在 x軸正半軸上，則由題意可知點(40,30)在拋物線上，代入y2=2px中，解得p=45,而光源放在焦點1 45.位置，距離頂點 2P=5.625 cm 處.8. 經過點A(1,1)且垂直于直線l的直線解析：因為點A(1,1)在直線x+2y-3=0上，所以動點的軌跡不是拋物線，而是過點A且與直線x+2y-3=0垂直的直線，其方程為2x-y-1=0.9. 4 解析：由拋物線定義得 P到準線的距離 &等于點P到焦點F(1,0)的距離PF,又 點A(1,4)在拋物線外部，所以當點 P、A F三點共

7、線時，d1+d2取得最小值AF,即最小值為 4.10. 設點P(x0,y0),則 y20=8x0,A(-2,y0),又焦點F(2,0),直線 AF的斜率為-、/3,所以?=-斕，解得丫0=4/，所以P(6,4十)，所以| PF=勺6-22+ 4黃 2=8.11. (1)由已知條件，可設拋物線的方程為y2=2px.點R1,2)在拋物線上，22=2p 1,解得p=2.所求拋物線的方程是y2=4x,準線方程是x=-1.(2)設直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB.則kP燈絲xi 1), Xi-1y2-2kPB=xzr(X2 1八PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，kPA=- kPE.由A(Xi, yO, Rx2, y2)均在拋物線上，得y21=4x1,y22=4x2,124山-11 2J4y2-1y+2=-( y2+2) ,y1+y2=-4.由-得直線AB的斜率為媵抑機變方程為三=-功,0辦.Vs=l0立=三e、i、9 / init所以Jf='y3， T 7 -解得»=2工