1、第54講 條件概率與事件的獨立性、正態分布一、 考情分析1 .理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關系；2 .了解隨機事件的并、交與互斥的含義，能結合實例進行隨機事件的并、交運算；3 .理解概率的性質，掌握隨機事件概率的運算法則；4 .會用頻率估計概率.二、知識梳理1 .條件概率及其性質條件概率的定義條件概率公式對于任何兩個事件4和8,在已知事件 A發生的條件下,事件8發生的概率叫 做條件概率，用符號“尸仍”表示P (AA8)廿，P(BL4)- 0、，其中 P(A)>0, API比稱為事件A與8的交(或積)2 .事件的獨立性(1)相互獨立的定義：事件A是否發生對事件8發

2、生的概率沒有影響,即尸(8L4) = P(8).這時,稱 兩個事件A，8相互獨立，并把這兩個事件叫做相互獨立事件.(2)概率公式條件公式A, 8相互獨立P(AOB)=P(A)XP(B)4, 4，4相互獨立2 rl GA") =P(A1)X尸(A?) ><>< 尸04)3 .全概率公式(1)完備事件組：設。是試驗E的樣本空間，事件4, /h,，4是樣本空間的一個劃分，滿足：A1UA2U ！JA=0.4, A2,，4兩兩互不相容，則稱事件4, A2,，4組成樣本空間0的一個完備事件組.(2)全概率公式設S為隨機試驗的樣本空間，4,，4是兩兩互斥的事件，且有尸(A)

3、>0, =1, 2,，則對任一事件8,有P(B)=£p(4)P(8N)稱滿足上述條件的4, 4,，4為完備 I 1f=l事件組.4 .獨立重復試驗與二項分布(1)獨立重復試驗定義：在相同的條件下,重復地做次試驗,各次試驗的結果相互獨立,那么一般就稱它們 為n次獨立重復試驗.概率公式：在一次試驗中事件A發生的概率為p,則次獨立重復試驗中，事件A恰好發生攵 次的概率為P”伙尸C財(1 一)"F伙=0, 1, 2,，).(2)二項分布：在次獨立重復試驗中，事件A發生的次數設為X,事件A不發生的概率為9=1 一P，則n次獨立重復試驗中事件A恰好發生k次的概率是P(X=k)=C

4、QAdk，其中k=。，1，2,， 兒于是X的分布列：X()1 /< nPcWC癡 C 加 cm/此時稱離散型隨機變量X服從參數為，的二項分布，記作X8(，).5 .正態分布(1)正態曲線：正態變量的概率密度函數的圖象叫做正態曲線，其函數表達式為凡1)=不二- 72Tlp«工一)22匹，XWR(其中，C為參數，且力0, 8、”+ 8).(2)正態曲線的性質曲線位于x軸上方,與x軸不相交，與x軸之間的面積為1；曲線是單峰的，它關于直線叫=對稱;曲線在X = u處達到峰值一；N27r當一定時，曲線的形狀由。確定，。里h，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；。越大，曲線越“矮胖”，表

5、示總體的分布越分散.(3)正態總體在三個特殊區間內取值的概率值尸a-O<X01+<7)=0.682. 6；尸 -2o<X0i+2a) = 0.954_4： P(w - 3o<X0i+3a) = 0,997_4.微點提醒1 .相互獨立事件與互斥事件的區別相互獨立事件是指兩個事件發生的概率互不影響，計算式為尸(A8) =尸(A)P(B),互斥事件是指在 同一試驗中，兩個事件不會同時發生，計算公式為尸(AU8)=P(A)+P(8).2 .若X服從正態分布，即XN，(r),要充分利用正態曲線的關于直線X=對稱和曲線與x 軸之間的面積為L三、經典例題考點一條件概率與事件獨立性【例

6、1】(1)(一題多解)從1, 2, 3, 4, 5中任取2個不同的數，事件A= ”取到的2個數之和為偶數”，事件8= ”取到的2個數均為偶數”，則尸(8L4) = ()1121A-8B4C5D,2解析 法一 P(A)= %P(48)=尸(8)=3=已由條件概率計算公式，得P(8L4) =1P (AB) TO 1P (A) =T=4' 法二事件A包括的基本事件：(1, 3), (1, 5), (3, 5), (2, 4)共4個.事件A8發生的結果只有(2, 4)一種情形，即(A8)=l.故由古典概型概率P(8L4)=騁=；.17一答案B2 3(2)某企業有甲、乙兩個研發小組，他們研發新產

7、品成功的概率分別為軒咤現安排中組研發新產 品A,乙組研發新產品比設甲、乙兩組的研發相互獨立.求至少有一種新產品研發成功的概率；若新產品A研發成功，預計企業可獲利潤120萬元；若新產品B研發成功，預計企業可獲利 潤100萬元.求該企業可獲利潤的分布列.2-1解 記七=甲組研發新產品成功,尸=乙組研發新產品成功，山題設知尸(三)=(尸(0=今32尸(尸)=,P(F) =不且事件上與憶E與F, E與F, E與f都相互獨立. D0記=至少有一種新產品研發成功，則=E F, 1 2 2于是 P(H)=P(E)P(F)=, 213故所求的概率為P(")= 1 一尸(")=1 一去=入設

8、企業可獲利潤為X(萬元)，則X的可能取值為0, 100, 120, 220,因為P(X=0)二尸(EF)="2 213 3 1義=正，P(X=100) = P(EE) = qX=y=不-2 2 4P(X= 120) = P(EF) = tX"=,2 3 6 2P(X=220) = P(EF) = tX-="O A O O故所求的分布列為X0100120220P215425規律方法1 ,求條件概率的兩種方法(1)利用定義，分別求P(A)和尸(A8),得P(8L4)=今黑，這是求條件概率的通法.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(A),再求事件A與

9、事件8的交事件 中包含的基本事件數(AB),得尸314)=2黑.2.求相互獨立事件同時發生的概率的主要方法 (1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面計算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時，可從其對立事件入手計算. 考點二全概率公式【例2】有一批同一型號的產品，已知其中由一廠生產的占30%,二廠生產的占50%,三廠生 產的占20%,已知這三個廠的產品次品率分別為2%, 1%, 1%,問從這批產品中任取一件是次 品的概率是多少？解 設事件A為“任取一件為次品”，事件5為“任取一件為i廠的產品“，/=1, 2, 3.8iU82U&=S,由全概率公式得P(A)=

10、+P(川&)(&)+P(AI83)尸(83).P(8i)=0.3,2(無)=0.5,尸(8) = 0.2,尸(4因)=0.02,尸(4山2)=091,尸(4183)=0.01,故 P(A)=P(ABi)P(Bi)+P(ABi)P(B2) + P(A=0.02X0.3+0.01 X0.5+0.01 X0.2=0.013.規律方法全概率公式是計算概率的一個很有用的公式，通常把用，B?,&看成導致A發 生的一組原因.如若A是“次品”，必是個車間生產了次品；若A是“某種疾病”，必是幾種 病因導致A發生；若A表示“被擊中”，必有幾種方式或幾個人打中.(1)何時用全概率公式：多種原

11、因導致事件的發生.(2)如何用全概率公式：將事件分解成兩兩不相容的完備事件組.(3)從本質上講，全概率公式是加法公式與乘法公式的結合.考點三獨立重復試驗與二項分布【例3】某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨機抽取該流水線上的40件產品 作為樣本稱出它們的質量(單位:克),質量的分組區間為(490, 495, (495, 500,，(510, 515. 由此得到樣本的頻率分布直方圖(如下圖).(1)根據頻率分布直方圖，求質量超過505克的產品數量；(2)在上述抽取的40件產品中任取2件，設X為質量超過505克的產品數量，求X的分布列；(3)從該流水線上任取2件產品，設丫為質量超過50

12、5克的產品數量，求丫的分布列.解(1)質量超過505克的產品的頻率為5X0.05 + 5X0.01 =0.3, 所以質量超過505克的產品數量為40X0.3= 12(件).重量超過505的產品數量為12件，則重量未超過505克的產品數量為28件，X的取值為0,1, 2,X服從超幾何分布.p(x0)學一正 “xn眸一” P(X-0)-c3()-130, P(X1) 弘 -65C?2 H尸('=2)=畫=由X的分布列為X012P63IX)281113012 3根據樣本估計總體的思想，取一件產品，該產品的質量超過505克的概率為本= 從流水線上任取2件產品互不影響，該問題可看成2次獨立重復試

13、驗，質量超過505克的件數丫的可能取值為0, 1, 2,且丫聞2,高，P(Y=k)=C(- 崗,(7、 49 所以(丫=。)=0,舊=而,p(y=l)=C 系看=*, 尸(丫=2) = 0闊=焉 工丫的分布列為Y012P4910()219100規律方法 利用獨立重復試臉概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是 否滿足公式尸(X=k) = c£人(lp)"f的三個條件：(1)在一次試臉中某事件A發生的概率是一個常 數p; (2)次試臉不僅是在完全相同的情況下進行的重復試臉，而且各次試驗的結果是相互獨立 的；(3)該公式表示次試臉中事件A恰好發生了 k次的概,率

14、.考點四正態分布【例4】(1)已知隨機變量J服從正態分布N(2,/)，且P&4) = 0.8,則尸(0v*4) = ()A.0.6B.0.4C.0.3D,0.2(2)設XN(l, 1),其正態分布密度曲線如圖所示，那么向正方形A8C。中隨機投擲10 000個點, 則落入陰影部分的點的個數的估計值是()(注：若 XN(，a2),則尸仙一(?<X<+G=68.26%, P(ju-2a<X + 2a)=95.44%) y1Alq2 xA.7 539B.6 038C.7 028D.6 587解析(1)因為隨機變量J服從正態分布M2,/),=2,得對稱軸為x=2,P(Jv4)=

15、0.8,，尸(424) =PCW0)=0.2, AP(0<<<4)=0.6.XN(l，1)，=1, <7=1.1 PQi - o<X<+。)=68.26%,.P(0<Xv2)=68.26%,則 P(1<X<2) = 34.13%,，陰影部分的面積為1-0.34 13=0.658 7.向正方形A8co中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數的估計值是10000X0.658 7 = 6 587.答案(1)A (2)D規律方法(1)利用3。原則求概率問題時，要注意把給出的區間或范圍與正態變量的，。進行 對比聯系，確定它們屬于(一。，+。

16、)，(42(7, 4 + 2(7), 01 3(7, 4 + 3(7)中的哪一個.(2)利用正態分布密度曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態曲線關于直線工=4對稱，及曲線與x軸之間的面積為1.注意下面兩個結論的活用：P(XVa)= 1 -P(X2a);P(XV一。)=尸(X2"+<7).方法技巧 1.古典概型中，A發生的條件下8發生的條件概率公式為P(BL4)=與黑=勺黑，其中，在實際應用中P(8L4) = "黑是一種重要的求條件概率的方法.2,全概率公式的理論和實用意義在于：在較復雜情況下直接計算P(8)不易，但8總是伴隨著某個4出現，適當地去構造這一

17、組A往往 可以簡化計算.3.二項分布是概率論中最重要的幾種分布之一，在實際應用和理論分析中都有重要的地位.（1）判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵有二：其一是獨立性，即一次試驗中，事件發生 與不發生二者必居其一；其二是重復性，即試臉是獨立重復地進行了 次.（2）對于二項分布，如 果在一次試驗中某事件發生的概率是p,那么在次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概 率是尸（X=k）=Cip，"f.其中攵=0, 1,，q=lp.四、課時作業1.（2020湖南高三其他（理）已知隨機變量'"（1,<72）,且。（*<0）=0（乂之），則（1 +辦）3.）2+2

18、 的展開式中的系數為（）A. 680B. 640C. 180D. 40【答案】A【詳解】因為隨機變量 X ，P（X <0）= P（X >a）,所以4 = 2,代入可得（l + 2x）/+2）,故（l + 2x）/ +2）展開式中包含/的項為：CHY 2、.+ 仁卜2）：斗弓（2"=40./+640/=680.一,系數為680,2. （2020江蘇南京高三開學考試）某校有1000人參加某次模擬考試，其中數學考試成績近似服從正態分布 N（105,b2）（b>0）,試卷滿分150分，統計結果顯示數學成績優秀（高于120分）的人數占總人數的1，則此次數學考試成績在90分到1

19、05分之間的人數約為（）A. 150B. 200C. 300D. 400【答案】C12 3【解析】VP（X<90） = P（X>120） = -,尸（90WX <120）= 1 =二，3所以 P（9O«XK1O5）=元,3所以此次數學小.、成績在90分到105分之間的人數約為1000x = 300 .3. （2020湖南益陽高三月考）已知隨機變量看服從正態分布N。,"）,若P（Jv4） = 0.9,則P（-2<<4）=（）D. 0.8A. 0.2B. 0.4C. 0.6【答案】Dt解析】因為隨機變量服從正態分布N（l,b2）,所以正態曲線的對稱

20、軸為x = l,因為尸（4<4）=0.9,所以片之4）=尸（4-2）=。1, 所以2（一2<4<4） = 1一（44一2）-2（424） = 1一0.1一0.1=0.8,4. （2020福建高三其他）某校在一次月考中共有800人參加考試，其數學考試成績X近似服從正態分布N（105,b2）,試卷滿分150分.現已知同學甲的數學成績為90分，學校排名為720,同學乙的數學成績為120分，那么他的學校排名約為（）A. 60B. 70C. 80D. 90【答案】C【解析】因為同學甲的數學成績為90分，學校排名為720,800 7201則數學成績小于等于90分對應的概率約為P（X &#

21、171;90）= f=記.又數學考試成績X近似服從正態分布N（105,62）,所以尸（X3120） = P（X 490）=本 則成績數學成績大于等于120分的學生約為80人，因此若同學乙的數學成績為120分，那么他的學校排名約為80名.5. （2020山東高三開學考試）己知參加2020年某省夏季高考的53萬名考生的成績Z近似地服從正態分布A（453,992）,估計這些考生成績落在（552,651的人數約為（）(附：Z 則夕(- b<Z4"+b) = 0.6827, P(/ - 2ct < Z < /+2o-) = 0.9545)A. 36014B. 72027C.

22、108041D. 168222【答案】BUt vZ/V(453,992), ./ = 453,ct = 99 ,P(354<Z<552) = 0.6827, P(255<Z<651) = 0.9545 ,.-.P(552<Z<651) =P(255<Z<651)-P(354<Z<552) _ 0.9545一0.6827 _八1& =u. i,這些考生成績落在(552,651的人數約為530000x0.1359 = 72027.6. (2020四川仁壽一中高三月考(理)在某市高二期末質量檢測中，學生的數學成績服從正態分布 XN(

23、98,100),已知參加本次考試的學生有9460人，王小雅同學在這次考試中數學成績為108分，則她的 數學成績在該市的排名大約是()(參考數據：若 X 則尸(一 6<XK + 6) = 0.6826, P(/ - 2 J < X < / + 2 J) = 0.9544 )A. 1500B. 2180C. 2800D. 6230【答案】A【解析】考試的成績X服從正態分布N(98,100).,4 = 98,b = 10, 108 = 98 + 10 = + b ,.尸(短 108)J 二(26= 0.1587即數學成績優秀高于108分的；上占總人數的15.87%./.9460xl

24、5.87%15007. (2020廣東湛江二十一中高三月考)新型冠狀病毒肺炎的潛伏期X (單位：日)近似服從正態分布:XN(7,b),若尸(X>3) =0.872,則可以估計潛伏期大于等于11天的概率為()D. 0.744A. 0.372B. 0.256C. 0.128【答案】Ct解析】因為=7 ,所以根據jE態曲線的對稱性知P(X >11) = P(X<3) = 1-P(X >3) = 1-0.872 = 0.128.8. (2020江西景德鎮一中高三月考(理)理查德赫恩斯坦(Richard J.Herrn stein),美國比較心理學家和默 瑞(CharlesMur

25、ray)合著正態曲線一書而聞名，在該書中他們指出人們的智力呈正態分布.假設猶太人的 智力X服從正態分布N(120,52),從猶太人中任選一個人智力落在130以上的概率為(附：若隨機變量0服從正態分布則尸(/一b<x< + b) = 0.6826,尸(-2bvxv + 2b) = 0.9544 ()A. 2.28%【答案】AB. 4.56%C. 15.87%D. 5.65%【解析】解：根據正態分布的對稱性與3b原則得:,、/、 1一尸(一 2b vxv + 2b) 1-0,9544P(x >130)= P(x> + 2b)= = 0.0228.22所以從猶太人中任選一個人

26、智力落在130以上的概率為2.28%.9. (2020江西上高二中高二期末(理)已知某批零件的長度誤差(單位：亳米)服從正態分布N(0,32),從中隨機取一件，其長度誤差落在區間(3,6)內的概率為()(附：若隨機變量自服從正態分布,則P(b<<+b) = 68.26% ,P(/-2cr<</+2(r) = 95.44%.)A. 4.56%B. 13.59%C. 27.18%D. 31.74%【答案】B【解析】由題意P(-3<<3) = 68.26%, P( -6<<6) = 95.44%, /. P(3<5<6) = 1(95.44

27、%-68.26%) = 13.59%. 10. (2020. ill東省泰安第二中學高三月考)設隨機變量XN/,7),若P(X<2) =尸(X>4),則()A. = 3, D(X) = 7B. = 6, O(X) = "C.4=3, O(X) = 6D. = 6, D(X) = 7【答案】A【解析】因為隨機變量XN(,7),且P(Xv2) =尸(X>4), 2 + 4所以由對稱性知=二b = 3,由正態分布X N(,7)知方差£>(X) = 7.11.(2020湖南師大附中高三月考(理)某校在一次月考中有1200人參加考試，數學考試的成績服從正態分布

28、XN(90,2) J,。，試卷滿分150分)，統計結果顯示數學考試成績在70分到110分之間的人數為總 3人數的三，則此次月考中數學考試成績不低于110分的學生人數為()A. 960B. 480C. 240D. 120【答案】C【解析】由已知尸(70WX<110)=q, .P(XN110) = ；l P(70KXK110) = gx(l |) = g,所求人數為1200x4= 24。.512. (2020靈丘縣豪洋中學高二期末(理)設隨機變量彳服從正態分布N(0,l),夕(。>1)= ，則P(-l<<0)=()A. gpB. I-/?C. 1-2/?D. ；一 p【答案

29、】D【解析】.隨機變量服從正態分布N(O,l)，正態曲線關于自=。對稱0(4>1)= 尸(-1<13. (2020江西南昌二中高三其他(理)已知某公司生產的一種產品的質量X(單位：千克)服從正態分布 N(90,64).現從該產品的生產線上隨機抽取10000件產品，其中質量在區間(82,106)內的產品估計有() 附:若 X 則 P(一b<X </ + b)穴 0.6826 , P(/-2cr< X v +2b)4 0.9544.A. 8185件B. 6826件C. 4772件 D. 2718件【答案】At解析】依題意，產品的質量X (單位：千克)服從正態分布N (

30、90, 64),得 = 90,b = 8,0 9544-0 6R?6/. P(82<X<106) = 0.9544-J 吐=0.8185 ,-質量在區間(82,106)內的產品估計有10000x0.8185 = 8185件.14. (2020高郵市第一中學高三月考)若隨機變量XN(小bb(b>0),則有如下結論：PQi-o <X < / + cr) = 0.6856 ,尸(-2bX < / +2ct) = 0.9544 ,P( 3b<X < + 3b) = 0.9974, XN (120, 100),高二(1)班有40名同學，一次數學考試的成績,

31、 理論上說在130分140分之間人數約為()A. 7B. 5C. 10D. 12【答案】B【解析】XN(12000), P(110< X(130) = 0.6826 , P(100< X440) = 0.9544./. P(130<X <140) = 1 (0.9544-0.6826) = 0.1359 , 2,130分140分之間的人數約為40x 0.1359 *5.15. (2020遼寧遼陽高三三模(理)已知隨機變量X服從正態分布N(2,b2),且尸(0KXW2) = 0.3,則P(X>4)=()A. 0.6B. 0.2C. 0.4D. 0.35【答案】B【解

32、析】隨機變MX服從正態分布N(2,/),.,.正態曲線的對稱軸是x = 2， P(0<X <2)=03,P(X >4) = 05-0.3 = 0216. (2020黑山縣黑山中學月考(理)下列說法中正確的是()A.若兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數r的值越接近于1B.若正態分布X ,則P(xv)>l-P(x>)c.把某中學的高三年級560名學生編號：1到560,再從編號為1到10的10名學生中隨機抽取1名學生，其 編號為。,然后抽取編號為a + 10，rt + 20,。+ 30,的學生，這樣的抽樣方法是分層抽樣D.若一組數據0,。，3, 4的平均數是2,則

33、該組數據的方差是三2【答案】D【解析】對于A,兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數r的絕對值越接近于1,故A錯誤：對于B,由正態分布XN(,4),則正態分布密度曲線關于4 ="對稱，即 P(x<)= l-P(x>4),故 B 錯誤；對于C, 1到560.再從編號為1到10的10名學生中隨機抽取1名學生，其編號為。，然后等間距抽取編號為。+ 10，。+ 20，。+ 30,的學生，屬于系統抽樣，故C錯誤：對于D, 一組數據0,*3, 4的平均數是2,即("" + "4=2,解得 =1,4所以方差為（2-°+（2-心（2-37+（2-

34、4）事故口正確. 4217 .（多選題）（2020,揚州市和江區蔣王中學高三月考）下列判斷正確的是（）A.己知直線/_1平面夕，直線相平面夕，則力''是"/_L7”的必要不充分條件；B.若隨機變量力服從正態分布N（l,b）, P（<4） = 0.79,則尸（44-2） =。.21：C.若隨機變量J服從二項分布：則石（）= 1；D.初2 >加？是的充分不必要條件.【答案】BCD【解析】對于A.直線/_!_平而。，直線/"平面夕，若2/0,則/J尸,由直線/平而夕，所以/_Lm.若/_L?，不能推出a夕,可能相交.所以是的充分不必要條件，故從不正確.

35、對于B.隨機變量§服從正態分布"（Lb?）,其圖象的對稱軸為4 = 1，P（<4）=0.79所以P（§N4） = 1-0.79=0.21,則P（JK-2） =P（4之4） = 0.21,故B正確.對于C.由二項分布的期望公式可得E（J） = 4x； = l,故C正確.對于D.若am2 > bm2，則“ > 是真命題;若a>b,則,/>的2是假命題所以是的充分不必要條件，故D正確.18 .（多選題）（2020福建廈門雙十中學高二期中）已知三個正態分布密度函數1 mlMx） =二 J 2d （x e R,i = 1,2,3）的圖象如圖所示

36、，則下列結論正確的是（）V2crA. %=%B.從 丹C. /, = /AD.【答案】AD【解析】根據正態曲線關于x=p對稱，且H越大圖象越靠近右邊，所以同卬=卬，BC錯誤：又。越小數據越集中，圖象越瘦長，所以0 1= 0 2。3，AO正確.19.(多選題)(2020重慶)下列命題中，正確的命題的是()7A.己知隨機變量服從二項分布5(幾)，若E(x) = 30, D(x) = 20,則=三：B.將一組數據中的每個數據都加上同一個常數后，方差恒不變；C.設隨機變量J服從正態分布N(O/)，若P(J1) = ，則尸(10)=；-尸；D.某人在10次射擊中，擊中目標的次數為X，XB(10,0.8)

37、,則當x = 8時概率最大.【答案】BCDt解析】對于選項A：隨機變量服從二項分布3(幾p), E(X) = 30, D(X) = 20,可得印= 30,則=1,故選項A錯誤：3對于選項B：根據公式易知，將一組數據中的每個數據都加上同一個常數后，方差恒不變，一般地，E(M+b) = aE&+b,。(喈+6) = /。4凡。為常數)，故選項B正確：對于選項c：隨機變量歲服從正態分布n(o/)，則圖象關于y軸對稱，若尸(41)=，則p(ogvi) = ，即尸(一10)=一，故選項c正確；22對于選項D：因為在10次射擊中，擊中II標的次數為X，X8（10,0,8）, “" = &

38、amp;時，對應的概率p(x = ) = cQx0.8* x0.2,，所以當時,P(x = k) _ C*-0.8*-02°_ _ 4(H)P(x = A l) -0.8人0.2回2 kP(x = k)4(11-)44八, ,；、=-；一:21得，444攵2&，即1«左 .因為0%.,所以148且女£7,即 = 8P(x = k-i) k5時，概率尸（x = 8）最大，力：D正確.20.（多選題）（2020山東壽光現代中學高二期中）甲、乙兩類水果的質量（單位：kg）分別服從正態分布N（后）、N（2，b；）,其正態分布的密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（

39、）A.乙類水果的平均質量2=08kgB.甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右C.甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量小0.8D.乙類水果的質量服從的正態分布的參數%=1.99【答案】ABt解析】因為由圖像可知，甲圖像關于宜線x = 0.4對稱，乙圖像關于直線x = 0.8對稱,所以“ =0.4, 42=0.8,故A正確，C錯誤，因為甲圖像比乙圖像更“高瘦”，所以甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右，故B正確，因為乙圖像的最大值為1.99,即-/4 = L99,所以4W1.99,故D錯誤,21. （2020河北高三月考）2020年初，新型冠狀病毒肺炎爆發時，我國政府迅速

40、采取強有力措施抗擊疫情， 贏得了國際社會的高度評價，在這期間，為保證抗疫物資的質量，我國也加大了質量檢查的力度.某6 2020 年初新增加了甲、乙兩家專門生產消毒液的工廠，質檢部門現從這兩家工廠中各隨機抽取了 100瓶消毒液，檢測其質量，得到甲廠所生產的消毒液的質量指標值的頻率分布直方圖如圖所示，乙廠所生產的消毒液質量指標值的頻數分布表如表所示（同一組數據用該組數據的區間中點值作代表，視頻率為概率）（1）規定：消毒液的質量指標值越高，消毒液的質量越好.已求得甲廠所生產的消毒液的質量指標值的中位數為26*,乙廠所生產的消毒液的質量指標值的平均數為26.5,分別求甲廠所生產的消毒液的質量指標值的

41、3平均數以及乙廠所生產的消毒液的質量指標值的中位數，并針對這兩家工廠所生產的消毒液的質量情況寫出兩條統計結論；（2）甲廠生產的消毒液的質量指標值Z近似地服從正態分布其中近似為樣本平均數嚏，并已求得b=11.95.該廠決定將消毒液分為A, B, C級三個等級，其中質量指標值Z不高于2.6的為。級，高于38.45的為A級，用余為3級，請利用該正態分布模型解決下列問題：（i）甲廠近期生產了 1。萬瓶消毒液，試估計其中4級消毒液的總瓶數：（ii）已知每瓶消毒液的等級與出廠價X （單位：元/瓶）的關系如下表所示：等級ABc出廠價X302516假定甲廠半年消毒液的生產量為1000萬瓶，且消毒液全都能銷售出

42、去.若每瓶消毒液的成本為20元，工廠 的總投資為4千萬元（含引進生產線、興建廠房等一切費用在內），問：甲廠能否在半年之內收回投資？試說 明理由.附：若Z 則尸（一b vZ<+oj = 0.6827, P（/-2cr<Z</ + 2o-） = 0.9545 ,P(/-3ct<Z < + 3b) = 0.9973.【解析】(1)甲廠所生產的消毒液的質量指標值的平均數為x甲=5 x 0.1 +15 x 0.2 + 25x 0.3 + 35 x 0.25 + 45 x 0.15 = 26.5 .設乙廠生產的消毒液的質量指標值的中位數為，2則0.2 + 0.1+ (/?-2

43、0)X0.03 = 0.5 ,解得/? = 26-.統計結論：(答案不唯一，任意兩個即可，其他答案如果敘述正確也給分)兩家工廠生產的消毒液質量指標值的平均數相等，從這個角度看這兩家工廠生產的消毒液質量基本相當：由數據波動的情況可知，乙廠生產的消毒液質量的方差大于甲廠生產的消毒液質量的方差，說明甲廠生產 的消毒液比乙廠生產的消毒液的質量更穩定.兩家工廠生產的消毒液質量指標值的平均數相同，但乙廠生產的消毒液質量的方差大于甲廠生產的消毒液 質量的方差，所以甲廠生產的消毒液更好.兩家工廠所生產的消毒液的質量指標值的眾數均等于25.2兩家工廠所生產的消毒液的質量指標值的中位數均為267.甲廠生產的消毒液

44、質量集中在平均數附近，乙廠生產的消毒液中質量指標值特別小和質量指標值特別大的 較多.(2) ( i ) P(2.6<Z<38.45)= P(/-2<t<Z</+<7)= -P(/-2cr<Z < + 2b)+P(-b<Z« + b) =0,8186, 2因為100000x0.8186 = 81860,所以可估計甲廠所生產的這10萬瓶消毒液中，5級消毒液有81860瓶.(ii)設每瓶消毒液的利潤為y元，則y的可能取值為10, 5, -4,P(y = 10)= P(Z2 38.45)=P(ZN+b)=，l-P(b<Z< +

45、 b)2= 1(1-0.6827)=0.15865.由(i )知P(y = 5)= P(2.6vZv38.45)= 0.1816,所以P(Y = -4) = 10.8186-0.15865 = 0.02275,故y的分布列為Y105-4P0.158650.8186002275所以每瓶消毒液的平均利潤為石"）=10x0.15865+5x0.81864x0.02275 = 5.5885 （元），故生產半年消毒液所獲利潤為1x5.5885 = 5.5885 （千萬元），而5. 5885 （千萬元）4 （千萬元），所以甲廠能在半年之內收回投資.22. （2020揚州市江都區大橋高級中學高三開

46、學考試）2018年年初，山東省人民政府印發了山東省新舊動 能轉換重大工程實施規劃，全省上下解放思想，真抓實干，認真貫徹這一方案，并取得了初步成效.為了進 一步了解新舊動能轉換實施過程中存在的問題，山東省有關部門隨機抽取東部和西部兩個地區的200個鄉鎮, 調查其2019年3月份的高科技企業投資額，得到如下數據：投資額/萬元30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)鄉鎮數203644504010將投資額不低于70萬元的鄉鎮視為“優秀鄉鎮, 投資額低于70萬元的鄉鎮視為“非優秀鄉鎮”，并將頻率視為概率.已知西部地區的甲鄉鎮參與了本次調查，其高科技企業投資額為35萬元.非

47、優秀鄉鎮優秀鄉鎮合計東部地區西部地區20110合計（1）請根據上述表格中的數據填寫下而2x2列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為 “優秀鄉鎮”與其所在的地區有關.（2）經統計發現，這200個鄉鎮的高科技企業投資額X （單位：萬元）近似地服從正態分布N（,190）,其中4近似為樣木平均數（每組數據取該組區間的中點值作代表）.若X落在區間（-2o + 2b）外的左側,則認為該鄉鎮為“資金缺乏型鄉鎮”.試判斷甲鄉鎮是否屬于“資金缺乏型鄉鎮”；某銀行為本次參與調查的鄉鎮提供無息貸款支持，貸款方式為：投資額低于的每年給予兩次貸款機會，投資額不低于的每年給予一次貸款機會.每次貸款金

48、額4及對應的概率如下:貸款金額“萬元400600800概率0.20.50.3求甲鄉鎮每年能夠獲得貸款總金額的數學期望.附：K-= (""二_ 其中 = a + + c + d,71*13.8 m + )(“ + c)(c + 4)S + 4)尸(腔次)0.100.0250.0052.7065.0247.879【詳解】(1)填寫2x2列聯表如卜所示：非優秀鄉鎮優秀鄉鎮合計東部地區603090西部地區9020110合(60x20 30x90)2200K =x 6.061 > 5,024,150x50x90x11033所以能在犯誤的概率不超過0.0

49、25的前提下認為“優秀鄉鎮”與其所在的地區有關.調查的200個鄉鎮的投資額頻率分布表如下：投資額/萬元30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)鄉鎮數203644504010頻率0.10.180.220.250.20.05則 / = 35x0.1 + 45x0.18 + 55x0.22 + 65x0.25 + 75x0.2 + 85x0.05 = 59.2 .因為200個鄉鎮的高科技企業投資額X近似地服從正態分布N(/90),所以b2 = 190, bg13.8,所以一2b%59.2 27.6 = 3L6,因為甲鄉鎖的高科技企業投資額為35萬元，大于31.6萬元，所以甲鄉鎮不屬于“資金缺乏型鄉鎮由小問21可知這200個鄉鎮的投資額的平均數為59.2萬元，甲鄉鎮的投資額為35萬元，低于59.2萬元,所以甲鄉鎮每年可以獲得兩次無息貸款，所得貸款總金額丫的取值可以是800, 1000. 1200, 1400, 1600,P（K = 800） = 0.2x02 = 0.04,P(Y = 1000) = 2x0.2x0.5 = 0.2.P(Y = 1200) = 0.5 x0.5 + 2x 0.2 x 0.3 = 0.37,P(Y = 1400) = 2x0.3x0.5 = 0.3 .P(K = 1600) = 03x0.3 = 0.09,貸款總金額y的