1、羅巴切夫斯基19世紀(jì)最有啟發(fā)性、最重要的數(shù)學(xué)成就當(dāng)推非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。大衛(wèi)希爾伯特羅巴切夫斯基的理論，對(duì)于他同時(shí)代的人來說是不可理解的，因?yàn)樗趲浊陙肀灰暈樯袷サ钠娭系墓硐噙`背。羅巴切夫斯基文集編者按幾何學(xué)的哥白尼在歷史上，稱一個(gè)人是某個(gè)領(lǐng)域的哥白尼，是非同尋常的。這種稱號(hào)如果不是表示最崇高的贊美，就一定是最嚴(yán)厲的譴責(zé)了。有人用最美好的語言來贊美哥白尼，因?yàn)樗娜招恼f戳穿上帝創(chuàng)造的地球是居于宇宙中心的神話， 動(dòng)搖了幾千年來神權(quán)對(duì)自然科學(xué)的統(tǒng)治。 歌德 認(rèn)為，“哥白尼學(xué)說撼動(dòng)人類意識(shí)之深， 自古以來無一種創(chuàng)見、 無一種發(fā)明可與倫比。”不過, 用最惡毒的語言辱罵哥白尼的， 在歷史上也大有

2、人在。他們罵他是瘋子，是白癡，是死有余 辜的叛逆，因?yàn)樗尤幌蛑粮邿o上的上帝挑戰(zhàn)，褻瀆基督教的教義，威脅教會(huì)的統(tǒng)治。我們考察一下俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基創(chuàng)立的非歐幾何和它對(duì)人類思想的深刻影響，定會(huì)贊同數(shù)學(xué)家克利福德的一句名言：“羅巴切夫斯基幾何學(xué)的哥白尼 ! ”到喀山去1792 年12月1日，尼古拉伊凡諾維奇羅巴切夫斯基誕生于俄國西北部的馬卡里耶夫城。 家里有兄弟3 人， 尼古拉排行第二。父親是當(dāng)?shù)貜氖聹y(cè)量的小職員。尼古拉 7 歲的時(shí)候，父親不幸病故。 撫養(yǎng)3個(gè)孩子的重?fù)?dān)就落在母親帕拉斯可娃伊凡諾夫娜的肩上。 父親在世的時(shí)候，微薄的薪水要養(yǎng)活5 口之家已經(jīng)相當(dāng)勉強(qiáng)，現(xiàn)在就幾乎陷于絕境。不過，帕拉

3、斯可娃是個(gè)精明能干、意志堅(jiān)強(qiáng)的俄羅斯婦女。縱然前面有難以想像的困難，她決心接受命運(yùn)的挑戰(zhàn)。白天，她在外面當(dāng)幫工，干雜活，晚上再為人家縫洗衣服，含辛茹苦，攢下每一個(gè)掙來的戈比。一家人, 今天吃的是黑面包加鹽，明天吃的是鹽加黑面包。艱辛生活的本身就是個(gè)好老師。孩子們雖然營養(yǎng)不良，身體贏弱，但是個(gè)個(gè)聰明伶俐，十分懂事。他們看著媽媽額頭上的皺紋一天天增加，金色的秀發(fā)很快變成灰白，但是從來沒有聽到她一句埋怨，一聲嘆息。他們要像媽媽那樣，做生活的強(qiáng)者，決不向命運(yùn)屈服。在學(xué)校里，他們是數(shù)一數(shù)二的好學(xué)生；在家?guī)椭鷭寢尭苫睿蠹叶紶?zhēng)先恐后。雖然生活艱苦，一家人親愛和睦，心里是溫暖甜美的。對(duì)于一位母親來說，還有什

4、么比這更感到欣慰和引以為驕傲呢?1801 年夏天，尼古拉以優(yōu)異成績(jī)從小學(xué)畢業(yè)。尼古拉的老師帶著獎(jiǎng)狀和獎(jiǎng)品來拜訪帕拉斯可娃。他一向同情和尊重尼古拉的母親。今天他打算同她談?wù)剬?duì)于尼古拉今后的建議。作為老教師，他教過的學(xué)生數(shù)也數(shù)不清。馬卡里耶夫國民小學(xué)一成立他就在這里教書了。可是像尼古拉這樣的好學(xué)生，這樣討人喜歡和牽動(dòng)他的心，還從來沒有過。馬卡里耶夫是個(gè)閉塞的小城，要什么沒有什么。省城喀山的條件就不同。尼古拉三兄弟的學(xué)習(xí)都很好，完全可以考公費(fèi)生。聽說那里還要?jiǎng)?chuàng)辦大學(xué)呢。不過老師的心里有點(diǎn)猶豫。他知道，要一個(gè)婦道人家?guī)е?3 個(gè)小孩， 到千里之外的陌生城市去生活，會(huì)遇到什么樣的困難，而且到哪里去籌路費(fèi)

5、呢 ? 但是想來想去，為了孩子的前途，他還是鼓起勇氣說出自己的想法，并且熱情地表示愿意承擔(dān)一部分路費(fèi)。老師的建議使帕拉斯可娃深受感動(dòng)。她雖然識(shí)字不多，卻很有頭腦，她了解自己的孩子。今天聽到老師的夸獎(jiǎng)，更堅(jiān)定她的信念。和天下的母親一樣，為了孩子的前程，帕拉斯可娃愿意作出一切犧牲。在她看來，到喀山去，并不是做不到的事。新的生活在召喚。一個(gè)月以后，羅巴切夫斯基一家毅然踏上去喀山的旅程。烏拉爾的夏天是迷人的。婆娑起舞的白樺樹林，潺潺的溪流，如鏡的湖泊，襯托著遠(yuǎn)處蒼莽的群山，景色如畫。一家人餐風(fēng)宿露，歷盡艱辛。可是他們的心里充滿著美麗的憧憬，倒忘卻了旅途的疲勞。 聽著遠(yuǎn)處傳來的伏爾加河上纖夫隱約的號(hào)子聲

6、，他們朝行夜宿；遇上好心腸的馬車夫，就順路搭一程便車。經(jīng)過半個(gè)多月，喀山城遙遙在望，教堂的金色尖頂在陽光下閃閃發(fā)光。喀山城在向他們招手呢!一身數(shù)任尼古拉三兄弟果然不負(fù)母親和老師的殷切期望，先后以優(yōu)異成績(jī)作為公費(fèi)生考入大學(xué)預(yù)科學(xué)校（相當(dāng)于現(xiàn)在的中學(xué)）。 這時(shí)尼古拉才8 歲。 尼古拉門門功課成績(jī)優(yōu)秀，數(shù)學(xué)和古典文學(xué)的成績(jī)尤為突出。1806 年， 14 歲的尼古拉考入兩年前剛成立的喀山大學(xué)。為了向歐洲的名牌大學(xué)看齊，學(xué)校特別聘請(qǐng)?zhí)煳膶W(xué)家李特羅和數(shù)學(xué)家巴蒂爾等著名德國科學(xué)家來校執(zhí)教。 尼古拉出眾的數(shù)學(xué)才華很快引起德國教授們的重視。他們邀請(qǐng)他來家里做客，還慷慨地允許他隨意借閱他們的私人藏書。尼古拉的數(shù)學(xué)

7、老師巴蒂爾教授是高斯的小學(xué)老師和好朋友，來喀山大學(xué)任教以后，仍和高斯保持著通信。他了解高斯對(duì)非歐幾何的見解，對(duì)尼古拉后來非歐幾何思想的形成有一定影響。1811 年夏天，尼古拉大學(xué)畢業(yè)。按理說，學(xué)校應(yīng)該授予他碩士學(xué)位。可是昏庸的校長(zhǎng)不但不認(rèn)為出了這樣年輕的天才是學(xué)校的驕傲，反而覺得把學(xué)位授予一個(gè)不到19 歲 （ 還差 3個(gè)月） 的孩子是有失“體統(tǒng)”。校長(zhǎng)的決定一宣布，教授們一片嘩然。他們提出，如果不把碩士學(xué)位授予各科成績(jī)優(yōu)秀的尼古拉，那就誰也不配獲得這個(gè)稱號(hào)。在教授們的嚴(yán)詞責(zé)問下，校長(zhǎng)只得收回成命。這期間，尼古拉的哥哥阿歷克賽在喀山大學(xué)負(fù)責(zé)為當(dāng)?shù)氐男」珓?wù)員講授數(shù)學(xué)。不久， 阿歷克賽因病離職，尼古

8、拉就接替他的工作。1814 年，喀山大學(xué)任命他為助理教授（ 相當(dāng)于副教授和講師之間的一種職稱） 。兩年以后，羅巴切夫斯基晉升為數(shù)學(xué)教授。不過，這絲毫不意味著他有充裕的時(shí)間從事研究，恰恰相反，他的教學(xué)任務(wù)反而大大加重了。除了教授數(shù)學(xué)，他還得教授天文學(xué)和物理學(xué)，因?yàn)樨澙返男ｉL(zhǎng)一心想少聘幾個(gè)教師，把多下來的錢裝進(jìn)自己的腰包。知識(shí)淵博、埋頭苦干的羅巴切夫斯基就成為加重負(fù)擔(dān)的最好對(duì)象。說實(shí)在的，羅巴切夫斯基的能力的確超乎尋常。再重的工作壓下來，他都能圓滿地完成。第二年，貪得無厭的校長(zhǎng)看到羅巴切夫斯基還有潛力可挖，就干脆把圖書館和博物館也交給他兼管起來!圖書館因?yàn)殚L(zhǎng)期無人管理，書籍堆積如山。博物館同樣混亂

9、不堪。動(dòng)植物標(biāo)本缺肢斷臂，東倒西歪；礦物標(biāo)本積滿灰塵。羅巴切夫斯基從教室里口干舌燥地講課回來，來不及喝上一口水，就得脫掉上衣，卷起褲腿到圖書館和博物館干活。撣灰塵，擦地板，修理門窗，給標(biāo)本分類，忙得滿頭大汗。經(jīng)過羅巴切夫斯基的辛勤勞動(dòng)，破破爛爛的圖書館和博物館很快被收拾得井井有條，面貌煥然一新。誰知這個(gè)成果只是使校長(zhǎng)又得到一次撈錢的好機(jī)會(huì)：任命羅巴切夫斯基兼任喀山大學(xué)理學(xué)院院長(zhǎng)。不用說， 財(cái)迷心竅的校長(zhǎng)不肯破費(fèi)分文為羅巴切夫斯基配備一名助手。惱人的平行公理精疲力竭的羅巴切夫斯基回到家里，身子往椅子上一靠，一動(dòng)也不想動(dòng)了。他的眼皮不覺漸漸發(fā)沉，很快發(fā)出輕輕的鼾聲。妻子望著丈夫清瘦的臉龐，把毯子蓋

10、到他的身上，愛憐地?fù)u搖頭。6月的喀山是一年中最好的時(shí)光。草色青青，百花吐艷。看著人家的小倆口，推著小車，帶著心愛的小寶寶，有說有笑地在花園里散步，真叫人羨慕。結(jié)婚 3年來，羅巴 切夫斯基夫婦還沒有享受過這樣的歡樂。 可是，看到丈夫累成這副模樣， 妻子本來到了嘴邊 的埋怨，也就變成無聲的嘆息。晚飯以后，羅巴切夫斯基又精神抖擻地開始工作。他時(shí)而在紙上寫著畫著，時(shí)而陷入沉思，激動(dòng)的時(shí)候，他就推開椅子在房間里踱來踱去。喧鬧的喀山城在夜色的撫慰下安靜下來，可是，羅巴切夫斯基的腦海里卻像翻滾的波濤難以平靜。他不是在為喀山大學(xué)拮據(jù)的經(jīng)費(fèi)發(fā)愁，也不是在為天文系的籌建操心。使他激動(dòng)不已的是一條每個(gè)中學(xué)同學(xué)都熟悉

11、的幾何學(xué)上的公理一一歐幾里得平行公理。歐幾里得公理是幾千年來人們公認(rèn)的真理，清楚明白，一目了然，那里面有什么東西值得羅巴切夫斯基這樣激動(dòng)呢 ？要說清這個(gè)問題，需要簡(jiǎn)單地回顧一下歷史。早在公元前300年左右，位于尼羅河三角洲北端，瀕臨地中海的亞歷山大城里的歐幾里得，總結(jié)前人和同時(shí)代學(xué)者對(duì)幾何的知識(shí)，寫了一部著名的幾何原本 ，一共13篇。這就是歐幾里得幾何或者 叫歐氏幾何。歐幾里得由定義、公理出發(fā)，根據(jù)嚴(yán)格的邏輯，推導(dǎo)出初等幾何的全部定理和命題。它是這樣的嚴(yán)密和完美，以致2000多年以來，數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家用盡美好的詞語來贊美它，把它奉為至高無上的唯一的幾何真理，而它的邏輯結(jié)構(gòu)大概比世界上任何其他著作

12、更大地影響科學(xué)思想的發(fā)展。如果不計(jì)數(shù)量眾多的手抄本，自從印刷術(shù)發(fā)明以來，原本至少已經(jīng)有1000多種版本。今天中學(xué)幾何學(xué)的內(nèi)容，基本上就選自原本13篇中的6篇，而且有的地方一字未改。學(xué)過平面幾何的讀者一定記得，在幾何學(xué)里，為了保證論證的嚴(yán)密性，在每一步推理后面必須注明理由。比如說，為了說明兩個(gè)角相等，就得指出，是因?yàn)樗鼈兪菍?duì)頂角還是因?yàn)樗鼈兪瞧叫芯€的內(nèi)錯(cuò)角等等。像對(duì)頂角或內(nèi)錯(cuò)角相等這一類論據(jù)，在幾何學(xué)里叫做定理。那么定理是怎么來的呢？它們是由定義和公理根據(jù)邏輯推理得到的。舉例來說，為什么對(duì)頂角/ 1和/2相等？從附圖中可以看出，那是因?yàn)? 1 + /3等于一平角，/ 2+/3也是一平角；從兩個(gè)平

13、角里各減去/3,它們的余量/ 1和/ 2應(yīng)該相等。為什么余量應(yīng)該相等 ？這里是根據(jù)一條公理：“等量減等量，余量 相等。”說到這里，可能有人還要問下去：那么公理又是根據(jù)什么得到的呢企就有點(diǎn)為難。在當(dāng)時(shí)占統(tǒng)治地位的康德哲學(xué)認(rèn)為，歐幾里得幾何的公理是必然的、先天的觀念，它出自純粹的理性，是先驗(yàn)性的，和經(jīng)驗(yàn)無關(guān)。因此， 有的人就干脆把公理看做是上帝的宇宙設(shè)計(jì)的 一部分。不過，一般認(rèn)為，公理，公理，顧名思義是公認(rèn)的真理，要說它有什么根據(jù)，那就 是它和人類無數(shù)次的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)相一致。像歐幾里得幾何的第一公理：“兩點(diǎn)間可以作一條直 線。”人們認(rèn)為它符合于我們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，直觀可靠，不證自明。歐幾里得幾何就是建立在

14、為數(shù)不多的這樣幾條公理基礎(chǔ)之上的一個(gè)嚴(yán)密的體系。可惜的是，在歐幾里得精心制作的這件精美絕倫的“天衣”上，人們發(fā)現(xiàn)一條小縫隙：歐幾里得的平行公理并不像其他的公理那樣直觀和不證自明。這條公理是這樣的：必相交于該側(cè)的一點(diǎn)。“若一直線與兩直線相交， 且若同側(cè)所交兩內(nèi)角之和小于兩直角，則兩直線無限延長(zhǎng)后,仔細(xì)一想，平行公理至少包含兩處困難：一處是公理中所說的“無限延長(zhǎng)”。它不但不直觀。甚至超出人們 的想像力以外。人們可以想像把一條直線延長(zhǎng)到很遠(yuǎn)的地方，但是無限延長(zhǎng)一條直線將是什么樣的景象，就難 以想像了。另一個(gè)困難是它的結(jié)論：“必相交于該側(cè)的一 點(diǎn)。”這不能說不證自明。 因?yàn)橛袝r(shí)候兩條線雖然不斷地接近，

15、可是始終不相交，像雙曲線和它的漸近線就是這樣。所以，雖然沒有人懷疑平行公理的正確性，但是，它缺乏其他公理所具有的那種無可爭(zhēng)辯的說服力。甚至歐幾里得本人顯然也不喜歡它。他只是在證完了不需要用平行公理的所有定理以后才使用這條公理。由于它包 含著這么多的困難，因此，有人甚至主張把它從歐幾里得的公理系統(tǒng)中剔除出去。既然在美麗的“天衣”上出現(xiàn)縫隙，人們當(dāng)然要千方百計(jì)地把它整修好。首先有人想到,平行公理是不是一條可以由其他公理推導(dǎo)出來的定理？如果真是這樣，那就可以把這條公理刪掉。許多數(shù)學(xué)家為此提出各種各樣的證明。粗看起來，其中有不少證明構(gòu)思巧妙，理由相當(dāng)充足。可是仔細(xì)一推敲，每個(gè)“證明”不是暗含地假設(shè)了一

16、些不應(yīng)該假設(shè)的東西，就是假 設(shè)了一個(gè)同平行公理相類似的公理。這些“證明”的一次又一次失敗，使一批有真知灼見的 數(shù)學(xué)家意識(shí)到，要用歐幾里得的其他公理來證明平行公理，是徒勞的。既然此路不通，有人就開始考慮：能不能用一條直觀上更容易接受的公理來代替這條惱人的平行公理呢?結(jié)果同樣令人失望。提出來替代的各種公理并不比平行公理稍微好些。2000 多年以來，為了證明歐幾里得平行公理是一條定理，或者尋求一條更容易接受的公理來代替平行公理，不知耗費(fèi)了多少有才華的數(shù)學(xué)家的精力。從事這項(xiàng)工作的人是這樣眾多，而結(jié)果是這樣使人失望，以致有人把平行公理問題看做是“幾何原理中的家丑”。但是， 科學(xué)上任何一項(xiàng)重大成就從來不是

17、一蹴而就的。失敗決不等于徒勞。既然歐幾里得幾何離不開存在這么多困難的平行公理，就不能不使人們對(duì)統(tǒng)治了2000 多年的神圣不可侵犯的歐幾里得幾何產(chǎn)生疑問：它究竟是不是反映物質(zhì)空間的唯一的幾何真理?事情實(shí)在太重大了。如果懷疑能夠成立，就無疑是人類認(rèn)識(shí)上的一次革命。既然允許有這樣多困難的平行公理存在，為什么不可以有同樣多困難的其他的平行公理呢? 公理， 原來并不像康德所宣揚(yáng)的那樣是先于人的經(jīng)驗(yàn)而存在的，它也不具有人們所想像的那種絕對(duì)性。羅巴切夫斯基倏地推開椅子站了起來。他清醒地意識(shí)到，自己正處在一個(gè)歷史性的門檻上。跨過門檻，將是一個(gè)幾何學(xué)嶄新的時(shí)代!天上的繁星漸漸隱去。深沉的夜幕上透出一層青色。微風(fēng)

18、吹拂著羅巴切夫斯基的頭發(fā)，使他感到一絲涼意。妻子和偎依在她懷里的剛滿周歲的兒子甜蜜地熟睡著。羅巴切夫斯基充滿柔情拿起從妻子肩上滑下來的被角，輕輕蓋好。遠(yuǎn)處傳來雞鳴聲。東方即將破曉了石沉大海1826 年冬天。北風(fēng)卷起殘雪追逐著行人匆忙的腳步。淡淡的陽光鋪撒在積雪上反射出刺眼的光亮。在喀山大學(xué)數(shù)理系大樓門前的布告欄里，貼著一張小布告：“茲定于2月11日晚上6時(shí)半，在大教室舉行報(bào)告會(huì)，由尼伊羅巴切夫斯基教授主講論幾何的基礎(chǔ)，歡迎師生們踴躍參加。”這類報(bào)告會(huì)，數(shù)理系每月要舉行一二次。因?yàn)槭橇_巴切夫斯基來演講，今天到會(huì)的聽眾比平時(shí)多。整個(gè)教室?guī)缀踝鶡o虛席。平日鎮(zhèn)定自若的羅巴切夫斯基，拿著講稿走上講臺(tái)的時(shí)

19、候， 顯得有點(diǎn)激動(dòng)。他知道要講清楚自己多年來對(duì)歐幾里得平行公理的研究心得，是一項(xiàng)困難的任務(wù)。因?yàn)樗慕Y(jié)論在一般人的心目中是不可思議和無法接受的。說實(shí)在的，他并不期望自已的演講會(huì)得到熱烈的響應(yīng)，不過他當(dāng)然渴望著能贏得一兩個(gè)知音。他要向聽眾證明，歐幾里得平行公理是獨(dú)立的，不可能由歐幾里得的其他公理給予證明。因此， 建立在別的公理選擇基礎(chǔ)上的其他的幾何學(xué)在邏輯上是可能的。和歐幾里得平行公理不同，羅巴切夫斯基大膽提出下面的假設(shè)，也就是羅巴切夫斯基平行公理：過直線AB外一點(diǎn)C,在平面上可以作不止一條直線和 AB平行！他把通過C點(diǎn)的所有直線分為兩類：一類直線和直線AB相交；另一類和AB不相交。附圖中的直線

20、，m和n是屬于后一類，它們構(gòu)成上述兩類直線間的邊界，稱為平行直線。如果 C點(diǎn)到AB的距離等于d, 那么存在一個(gè)和 d有關(guān)的角兀（d）記號(hào)兀（d）是標(biāo)準(zhǔn)的，兀（d）中的兀和圓周率兀無關(guān) 使得所有 過C點(diǎn)的直線和CD所成的角小于兀（d）的將和AB相 交，而其他過C點(diǎn)的直線和AB不相交。這些不和AB 相交的直線都是歐幾里得意義下的平行線。因此， 在羅巴切夫斯基白幾何里，過 C點(diǎn)的AB的平行線不 止一條而有無窮多條。同時(shí)，角兀（d）隨著d的增加而減小。當(dāng)d趨于無窮大的時(shí)候，兀（d） 趨于零；當(dāng)d趨于零的時(shí)候，兀（d）趨于直角。如果兀（d）等于直角，那就是歐幾里得的平行 公理。在不用平行公理的部分， 羅

21、巴切夫斯基幾何和歐幾里得幾何是一樣的；在應(yīng)用平行公理的地方，這兩種幾何就不同了。比如說，在羅巴切夫斯基幾何里，三角形內(nèi)角之和小于兩 直角，而且隨著面積的增大而減小。當(dāng)面積趨于零的時(shí)候，三角形內(nèi)角之和趨于兩直角。可見，在小范圍的情況下，羅巴切夫斯基幾何和歐幾里得幾何相當(dāng)近似。任何一種理論只是在一定條件下反映客觀世界的相對(duì)真理。如果把它當(dāng)作在任何條件下絕對(duì)正確的終極真理，科學(xué)就無法前進(jìn)了。 歐幾里得幾何是反映物質(zhì)世界的相對(duì)真理，因?yàn)樗系孛嫔陷^小范圍的實(shí)驗(yàn)。歐幾里得心目中的平面和直線的概念是從“光滑的”地面和地面上兩點(diǎn)間的最短連線一一測(cè)地線中產(chǎn)生的。可是對(duì)于在浩瀚的大海上航行的船只來說， 海平面

22、并不是歐幾里得平面，而非常接近于球面。在這樣的“平面”上，兩條“直線”的交 點(diǎn)有兩個(gè)而不是一個(gè)； 讀者可以想想地球上兩條經(jīng)線交于兩極點(diǎn)。它的三角形內(nèi)角之和大于兩直角而不是等于兩直角。可見歐幾里得空間并不是反映物質(zhì)空間的必然的和唯一的形式。 如果把實(shí)驗(yàn)擴(kuò)大到星空世界，那里的光線并不是歐幾里得意義下“筆直的”直線，空間也不是歐幾里得的平直的空間。在這種場(chǎng)合下，歐幾里得幾何當(dāng)然也不適用。幾何和其他的理論一樣，都來源于實(shí)踐。但是，理論一旦從實(shí)踐抽象出來以后，按照自身的發(fā)展規(guī)律，有可能走在實(shí)踐的前面。 雖然羅巴切夫斯基在當(dāng)時(shí)還不了解自己的幾何到底 反映哪種空間形式，但是，有一點(diǎn)他十分清楚：他的幾何和歐幾

23、里得幾何具有同樣的合理性。 它們的區(qū)別只在于它們采用不同的平行公理。非歐幾何的建立在數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有劃時(shí)代的意義。羅巴切夫斯基用一條在直觀上完全不能接受的羅巴切夫斯基平行公理來代替直觀上能夠接受的歐幾里得平行公理，標(biāo)志著人類對(duì)空間形式的認(rèn)識(shí)發(fā)生了飛躍：由直觀的空間上升到抽象的空間，從而從根本上動(dòng)搖了認(rèn)為幾何公理能夠憑它直觀的自明性而成立的傳統(tǒng)觀念。它迫使人們重新考慮對(duì)數(shù)學(xué)性質(zhì)的理解，以及數(shù)學(xué)和物質(zhì)世界關(guān)系的理解。各種非歐幾何紛紛出現(xiàn)。隨著科學(xué)的發(fā)展，非歐幾何日益顯示出無比強(qiáng)大的生命力，其中最為重要的是黎曼幾何，它為后來的廣義相對(duì)論的建立提供堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。呼號(hào)的寒風(fēng)刮得窗戶格格作響。羅巴切夫斯

24、基愈說愈激動(dòng)，蒼白的臉色泛出淡淡的紅暈。他沒有發(fā)覺，聽眾已經(jīng)走掉一大半。當(dāng)康德的教條牢牢地束縛著人們的頭腦的時(shí)候，羅巴切夫斯基的理論無異是“一派胡言亂語”。坐在第一排的一位胖老先生耷拉著腦袋在打盹；一個(gè)年輕的學(xué)生，瞪大著眼睛，露出迷惘的神情，羅巴切夫斯基的歷史性演講湮沒在嗚咽的北風(fēng)之中。論文沒有發(fā)表；原稿也下落不明。但是，1826 年 2 月 11 日，這個(gè)令人懷念的日子，作為非歐幾何的誕生日已經(jīng)不可磨滅地載入數(shù)學(xué)的光輝史冊(cè)。多災(zāi)多難1825 年，喀山大學(xué)校長(zhǎng)侵吞公款的事實(shí)遭人揭發(fā)，被迫下臺(tái)。新校長(zhǎng)任命專職的圖書館和博物館館長(zhǎng)來減輕羅巴切夫斯基的負(fù)擔(dān)。兩年以后，大學(xué)委員會(huì)推選受到全校師生擁戴的

25、羅巴切夫斯基出任校長(zhǎng)。喀山大學(xué)從此進(jìn)入蓬勃發(fā)展的新時(shí)期。在大學(xué)校長(zhǎng)的崇高崗位上，羅巴切夫斯基的領(lǐng)導(dǎo)才能得到充分的施展。他聘請(qǐng)有真才實(shí)學(xué)的專家教授來校執(zhí)教，并且不顧官方的壓力，提倡自由講學(xué)；圖書館的藏書大量增加；代表整個(gè)俄羅斯礦藏的礦物標(biāo)本不斷得到補(bǔ)充；為了制造教學(xué)中需要的儀器設(shè)備，專門建立了機(jī)械加工車間；羅巴切夫斯基既是統(tǒng)籌全局的一校之尊，又是勤勤懇懇的普通一兵。他主持重要的學(xué)術(shù)活動(dòng)，也不錯(cuò)過到現(xiàn)場(chǎng)勞動(dòng)的機(jī)會(huì)。在一生中，他奉行這樣的信條：要把工作做好， 最好是親自動(dòng)手，至少要能對(duì)別人的工作提出中肯的意見。在羅巴切夫斯基領(lǐng)導(dǎo)下，喀山大學(xué)蒸蒸日上，它的名字越出俄羅斯的國界，名揚(yáng)歐洲了。一天下午，一

26、位外國的教育大臣慕名來喀山大學(xué)參觀。正在干活的羅巴切夫斯基搓搓帶油污的雙手上前接待。因?yàn)榱_巴切夫斯基沒有作自我介紹，客人誤以為他是大學(xué)的一名普通工作人員。羅巴切夫斯基陪他參觀學(xué)校的各個(gè)角落，如數(shù)家珍般向客人介紹藏書的規(guī)模，標(biāo)本的來歷，儀器的構(gòu)造，他廣博的知識(shí)、 熱情的態(tài)度和對(duì)情況的深入了解，給客人留下難忘的印象。參觀完畢，大臣掏出厚厚一疊鈔票，來表達(dá)他對(duì)接待人員的滿意心情。羅巴切夫斯基見到送到面前的鈔票不由發(fā)怒。他不客氣地把手一甩，扭頭就走。用錢來報(bào)答羅巴切夫斯基的接待當(dāng)然是不可容忍的侮辱。大臣尷尬地站在校門口不知所措。晚上， 這位大臣在省長(zhǎng)的招待會(huì)上又意外地和羅巴切夫斯基相遇，才知道下午發(fā)生

27、了有趣的誤會(huì)，兩人相視 大笑。喀山大學(xué)前進(jìn)的道路上布滿荊棘。政治的腐敗，官吏的無能，給喀山大學(xué)造成極大的困 難，而各種意外的災(zāi)禍也像影子一樣，同它形影不離。1830 年夏天，一場(chǎng)大瘟疫席卷俄國。喀山的居民成批地死亡。絕望的患者被收容到教堂里接受簡(jiǎn)單的治療。教士們所能做的只是為垂危的病人作懺悔祈禱或埋葬死者。當(dāng)時(shí)， 細(xì)菌的理論還沒有建立，落后的衛(wèi)生習(xí)慣使霍亂菌橫行無阻，大施淫威。面對(duì)死神的嚴(yán)重威脅，羅巴切夫斯基不愿束手待斃。他把600 多名師生員工和他們的家屬組織起來，向瘟疫開戰(zhàn)。他所采取的措施遠(yuǎn)遠(yuǎn)走在時(shí)代的前面：把男女老少集中在一幢樓里，門窗緊閉，除了運(yùn)送食物，禁止一切出入。在樓內(nèi)實(shí)行嚴(yán)格的衛(wèi)

28、生措施。在瘟疫流行期間，整個(gè)大學(xué)只有16 人喪生，同喀山城十室九空的悲慘景象形成鮮明的對(duì)照。喀山大學(xué)校園里一幢幢大樓拔地而起。為了使這些建筑既經(jīng)濟(jì)實(shí)惠又美觀大方，羅巴切夫斯基親自鉆研建筑學(xué)，并且成為專家。在他切實(shí)有效的領(lǐng)導(dǎo)下，樓房造得又好又省。實(shí)際開支遠(yuǎn)低于原來的估價(jià)。在政府的建筑工程中這是絕無僅有的現(xiàn)象。不幸，1842 年一場(chǎng)大火燒掉半個(gè)喀山城，也焚毀了羅巴切夫斯基多年的心血，其中包括他心中的驕傲一座剛剛竣工的乳白色的天文臺(tái)!但是， 一個(gè)又一個(gè)的災(zāi)難沒有把羅巴切夫斯基壓垮。他滿懷信心地領(lǐng)導(dǎo)全校師生員工投入緊張的重建工作。疾風(fēng)知?jiǎng)挪菘ι酱髮W(xué)的繁重事務(wù)沒有中斷羅巴切夫斯基對(duì)非歐幾何的研究；在數(shù)理

29、系演講的失敗沒有使他氣餒。羅巴切夫斯基了解自己工作的意義。他決心繼續(xù)研究，使自己的理論更臻完善。1829 年， 喀山大學(xué)通報(bào)上發(fā)表他第一篇非歐幾何的論文論幾何的基礎(chǔ)，接著一系列的有關(guān)論文在喀山大學(xué)通訊和 數(shù)學(xué)雜志上陸續(xù)發(fā)表。可惜這些論文仍舊不被人注意，當(dāng)然更談不上重視了。1840 年，羅巴切夫斯基用德文寫的平行線理論的幾何研究正式出版。 在書中他慨嘆人們對(duì)他的理論興趣不大，不過他始終相信，這個(gè)理論總有一天會(huì)得到承認(rèn)。 事情果然有了轉(zhuǎn)機(jī)。這本書落到了數(shù)學(xué)王子高斯的手中。他高度贊賞羅巴切夫斯基的工作，并且向他的一位朋友舒馬赫爾作了熱情的推薦：“不久前我有機(jī)會(huì)重讀羅巴切夫斯基的論文。 這篇文章包含一

30、些幾何的要素。要是歐幾里得幾何真是不合實(shí)情的話， 這些要素就應(yīng)該存在并且發(fā)展成為一種嚴(yán)密的系統(tǒng)。作為一位真正的幾何學(xué)家， 羅巴切夫斯基全面而精確地把整個(gè)幾何重新加以組織。我建議您把注意力集中在這樣的著作上，讀它會(huì)使您大受教益。”誰都知道，受到高斯這樣的贊譽(yù)是多么的難能可貴。就在喀山大火那年，由高斯推薦，格丁根皇家學(xué)會(huì)選舉羅巴切夫斯基為外籍通訊會(huì)員。這個(gè)消息，對(duì)于處境孤立的羅巴切夫斯基無疑是莫大的安慰。可惜的是，雖然高斯本人早在54 年前已經(jīng)看到非歐幾何的輪廓，他對(duì)非歐幾何的見解卻只能在他個(gè)人的注記和私人通信中找到，從來沒有公開發(fā)表。用高斯自己的話說，他擔(dān)心公開發(fā)表會(huì)招來“維奧蒂亞人的叫嚷”。這

31、里他借喻希臘的一個(gè)具有獨(dú)特的軍事、 政治的部落來影射反對(duì)非歐幾何的人。的確， 在康德的教條占據(jù)著統(tǒng)治地位的當(dāng)時(shí)，要公開宣布或支持有關(guān)非歐幾何的革命性思想，是需要勇氣的。因此， 一直到高斯逝世以后，他生前的信札和注記陸續(xù)被披露出來，人們才開始重視非歐幾何這個(gè)課題，它的偉大意義才逐漸為數(shù)學(xué)家所認(rèn)識(shí)。可惜， 非歐幾何的創(chuàng)始人羅巴切夫斯基沒有能親眼看到這一天的到來，他本人已經(jīng)緊隨高斯之后，長(zhǎng)眠于九泉之下。非歐幾何誕生的歷史告訴我們，科學(xué)家不但要敢于對(duì)公認(rèn)的“真理”提出懷疑，向傳統(tǒng)觀念挑戰(zhàn)，也要有勇氣公開宣布自己的見解，哪怕它會(huì)招來嘲笑、迫害以至殺身之禍。但是，這還不夠。作為一名追求真理的戰(zhàn)士，不應(yīng)該摻

32、雜任何自私的目的。他關(guān)心的是追求真理和造福于人類。一切有關(guān)發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論同他格格不入。從這個(gè)意義上說，羅巴切夫斯基作為非歐幾何的創(chuàng)始人是當(dāng)之無愧的。高斯雖然早在羅巴切夫斯基以前看到非歐幾何的真理，但是他屈服于康德哲學(xué)和傳統(tǒng)的壓力，不能公開地對(duì)歐幾里得幾何提出挑戰(zhàn)，甚至不能對(duì)羅巴切夫斯基的理論給予公開的支持。匈牙利的亞諾什鮑耶幾乎和羅巴切夫斯基同時(shí)地在非歐幾何研究中取得類似的結(jié)果。可惜他過于計(jì)較優(yōu)先權(quán)的歸屬，以致半途而廢。亞諾什鮑耶的父親法爾卡什鮑耶是高斯在格丁根大學(xué)的同學(xué)和好朋友。1832年1月，法爾卡什把兒子的一篇有關(guān)非歐幾何的論文送寄高斯審閱，論文的題目是絕對(duì)空間的科學(xué)。兩個(gè)月以后，高斯

33、寄來回信，充分肯定亞諾什的成果，并且熱烈贊揚(yáng)他的創(chuàng)造精神。不過，高斯不無遺憾地接著說，他不能過分稱贊這篇論文，因?yàn)槲恼轮械挠^點(diǎn)正是他自己多年來所持的見解。 亞諾什看到高斯把他提高到大數(shù)學(xué)家的地位，卻剝奪他發(fā)明的優(yōu)先權(quán)，頓時(shí)感到心灰意懶。等到他看到羅巴切夫斯基在1840 年出版的平行線理論的幾何研究就發(fā)怒了。他發(fā)誓以后永遠(yuǎn)不發(fā)表任何數(shù)學(xué)論文。亞諾什以為羅巴切夫斯基對(duì)他的絕對(duì)空間的科學(xué)作了厚顏無恥的剽竊。雖然后來他了解到羅巴切夫斯基的工作，誤會(huì)得到消除，可是他仍固執(zhí)地不愿改變自己意氣用事的誓言，再也沒有對(duì)數(shù)學(xué)作出貢獻(xiàn)。悲苦的纖夫在羅巴切夫斯基領(lǐng)導(dǎo)下，一所嶄新的喀山大學(xué)在大火的廢墟上拔地而起。羅巴切

34、夫斯基本人作為真正的幾何學(xué)家得到了歐洲的承認(rèn)。1846 年，羅巴切夫斯基在喀山大學(xué)執(zhí)教已經(jīng)超過30 年。按照大學(xué)委員會(huì)的條例，他應(yīng)該離開教授的工作崗位。羅巴切夫斯基向教育部提出免去他主持?jǐn)?shù)學(xué)教研室的教授職務(wù)，由他的學(xué)生波波夫來接任。不料教育部借此為由，不僅免去羅巴切夫斯基教授職務(wù)，還免去他包括校長(zhǎng)在內(nèi)的在喀山大學(xué)的一切職務(wù)，讓他去擔(dān)任喀山督學(xué)幫辦。這對(duì)于幾乎把自己畢生心血傾注給喀山大學(xué)的羅巴切夫斯基，不啻是晴天霹靂。教育部的決定遭到喀山大學(xué)師生的強(qiáng)烈抗議，然而沙皇當(dāng)局對(duì)群眾的呼聲置若罔聞，拒不解釋理由。其實(shí)， 羅巴切夫斯基被解職的真正原因并不難找到。當(dāng)他還是喀山大學(xué)學(xué)生的時(shí)候，由于他成績(jī)優(yōu)異受到教授們的賞識(shí)而被選為班長(zhǎng)，可是校方卻因?yàn)樗^于活躍，違反校規(guī)，而很快把他免職。沙皇亞歷山大一世(1777 1825) 取得對(duì)拿破侖戰(zhàn)爭(zhēng)勝利以后，對(duì)內(nèi)更進(jìn)一步強(qiáng)化反動(dòng)統(tǒng)治。教育部和宗教事務(wù)部合并。羅巴切夫斯基雖然由于工作出色不斷得到晉升，但是主管當(dāng)局一直對(duì)他放心不下，認(rèn)為他“在很大程度上表現(xiàn)出無神論的特征”，是一