1、備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)綜合題專題復(fù)習(xí)【圓的綜合】專題解析含答案一、圓的綜合1.如圖1,已知扇形 MON的半徑為 J2 , /MON=90，點(diǎn)B在弧MN上移動(dòng)，聯(lián)結(jié) BM , 作OD，BM,垂足為點(diǎn) D, C為線段OD上一點(diǎn)，且 OC=BM,聯(lián)結(jié)BC并延長交半徑 OM于 點(diǎn)A,設(shè)OA=x, /COM的正切值為y.(1)如圖2,當(dāng)AB±OM時(shí)，求證：AM=AC;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(3)當(dāng)4OAC為等腰三角形時(shí)，求 x的值.【答案】(1)證明見解析；(2) y x.(0 x 乏)；(3) x 9 件 x ,22【解析】分析：(1)先判斷出/ABM=/DOM,進(jìn)而判斷出 OA

2、XBAM,即可得出結(jié)論;(2)OAOE(3)先判斷出BD=DM,進(jìn)而得出-DM ME,進(jìn)而得出AE=-1(J2 x),再判斷出BD AE2OC 2DM“，即可得出結(jié)論；OD OD分三種情況利用勾股定理或判斷出不存在，即可得出結(jié)論.詳解：(1)OD)± BM, AB± OM,/ ODM=/BAM=90°. / ABM+Z M=Z DOM+Z M, :'人 ABM=Z DOM . Z OAC=Z BAM, OC=BM, OAC BAM,.AC=AM .(2)如圖2,過點(diǎn)D作DE/AB,交OM于點(diǎn)E.-.OB=OM,ODXBM,BD=DM.1. DE/AB,DM

3、BDME,AE=EM.AE OM=V2， .AE=1(拒 x).21. DE/AB,OAOC 2DMOEOD ODDMOAOD 2OEy xm(0<x72)111.(3) (i)當(dāng) OA=OC時(shí). DM BM OC x .在 RtODM 中, 222OD,OM 2DM 2 yDM，OD1x22 1x2或x瓶八（舍）.22(ii)當(dāng) AO=AC時(shí)，則 /AOC=/ACO. / ACO> / COB, /COB=/AOC, . / ACO> / AOC,，此種情況不存在.(iii)當(dāng) CO=CA 時(shí)，貝U ZCOA=ZCAO=a. / CAO> / M , Z M=90&#

4、176; - a, . . a> 90° a, a>45 :/ BOA=2 490 : : / BOAW 90 °，此種情況不存在.即：當(dāng)4OAC為等腰三角形時(shí)，x的值為 E 衣2點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定 理，等腰三角形的性質(zhì)，建立 y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵.2.如圖，AB是半圓的直徑，過圓心 。作AB的垂線，與弦 AC的延長線交于點(diǎn) D,點(diǎn)E在OD 上 DCE B .（1）求證：CE是半圓的切線；2（2）右CD=10, tanB可，求半圓的半徑.3【答案】（1）見解析；（2） 4 比3【解析】分

5、析：（1）連接CO,由 DCE B且OC=OB,導(dǎo) DCEOCB ,利用同角的余角相等判斷出/BCO+/ BCE=90,即可得出結(jié)論；（2）設(shè)AC=2x,由根據(jù)題目條件用 x分別表示出OA、AD、AB,通過證明AODACB）列出等式即可.連接/ DCB=180 -°Z ACB=90 .CO. / DCE+Z BCE=90. °.OC=OB,/ OCB=Z B.DCE= B,/ OCB=Z DCE/ OCE=Z DCB=90 :OCX CE.OC是半徑，.CE是半圓的切線.(2)解：設(shè) AC=2x,.在 RtACB中，tanBACBCBC=3x. AB22x 3x13x.OD

6、XAB,/ AOD=ZACB=90.°/ A=Z A,.AODAACBlACAOABAD OAAD=2x+10,_2x_ 13x：13x22x 10解得x=8.,OA T 8 4 13.則半圓的半徑為4,13.點(diǎn)睛：本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形3.如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于。O,對角線AC為。的直徑，過點(diǎn)C作AC的垂線交AD 的延長線于點(diǎn) E,點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接 DB, DF.(1)求證：DF是。的切線；(2)若 DB平分 ZADC, AB=歷，AD : DE=4 ： 1,求 DE 的長.【答案】 見解析；(2) .5【解析】分析：(1)直接利用直角三角形

7、的性質(zhì)得出DF=CF=EF,再求出Z FDO=Z FCO=90°,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它們的長，再利用4ADC4ACE得出AC2=AD?AE,進(jìn)而得出答案.詳解：(1)連接OD. OD=CD, . . / ODO/OCD.AC為。O 的直徑， / ADO/ EDC=90 °.點(diǎn) F 為 CE的中點(diǎn)，DF=CF=EF, . . / FDO/FCD, . / FDO=/FCO.又AC，CE,ZFDO=Z FCO=90°, . DF是。的切線.(2) AC 為。的直徑，Z ADC=ZABC=90°. DB 平分/ADC,Z ADB=Z

8、 CDB,，Ab = ?C ,BC=AB=5 & 在 RtABC 中，AC2=AB2+BC2=100.又AC，CE,ZACE=90°,AC AE ADC ACE=,- AC2=AD?AE.AD AC設(shè) DE為 x,由 AD: DE=4: 1,，AD=4x, AE=5x,1- 100=4x?5x, . x=石，1. DE= V5 -Aac2=ad?ae 是點(diǎn)睛：本題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出 解題的關(guān)鍵.4.如圖，已知 AB是。O的直徑，點(diǎn) C, D在。O上，BC=6cm,AC=8cm,Z BAD=45°.點(diǎn)E在 。外，做直線AE,且/

9、EAC=Z D.(1)求證：直線AE是。的切線.(2)求圖中陰影部分的面積.B【答案】(1)見解析；(2) 25 504【解析】分析：(1)根據(jù)圓周角定理及推論證得/BAE=90,即可得到AE是。的切線;(2)連接OD,用扇形ODA的面積減去4AOD的面積即可.詳解：證明：(1) .AB是。的直徑，/ ACB=90 ,°即 / BAC+/ ABC=90 , Z EAC玄 ADC, / ADC=Z ABC, / EAC玄 ABC ./BAC+/EAC =90, °即 R BAE= 90° 直線AE是。O的切線；(2)連接OD BC=6 AC=8AB、62 82 10

10、OA = 5又 OD = OA/ ADO =/ BAD = 45/ AOD = 90 °SW = S扇形 ODA S AOD9015 55 5360225502(cm )4點(diǎn)睛：此題主要考查了圓周角定理和圓的切線的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是利用圓周角定理和切 線的判定與性質(zhì)，結(jié)合勾股定理的和弓形的面積的求法求解，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用5.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xi, yi),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x2, y2),且 xiw2, yiwy,以MN為邊構(gòu)造菱形，若該菱形的兩條對角線分別平行于x軸，y軸，則稱該菱形為邊的坐標(biāo)菱形(1)已知點(diǎn)A (2, 0) , B (0, 2J3),則

11、以AB為邊的 坐標(biāo)菱形”的最小內(nèi)角 為;(2)若點(diǎn)C (1, 2),點(diǎn)D在直線y=5上，以CD為邊的 坐標(biāo)菱形”為正方形，求直線 CD 表達(dá)式；(3)。的半徑為 J2 ,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3, m).若在。上存在一點(diǎn)Q,使得以QP為 邊的 坐標(biāo)菱形”為正方形，求 m的取值范圍.I姝/5 -5 3【答案】(1) 60°； (2) y=x+1 或 y=-x+3； (3) 1Wm<域-5<1【解析】分析：(1)根據(jù)定義建立以 AB為邊的坐標(biāo)菱形”，由勾股定理求邊長 AB=4,可得30度 角，從而得最小內(nèi)角為60°(2)先確定直線CD與直線y=5的夾角是45。，得D (4,

12、 5)或(-2, 5),易得直線CD的表達(dá)式為：y=x+1或y=-x+3;(3)分兩種情況：先作直線y=x,再作圓的兩條切線，且平行于直線y=x,如圖3,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)分別求P'B=BD=1, PB=5,寫出對應(yīng)P的坐標(biāo)； 先作直線y=-x,再作圓的兩條切線，且平行于直線y=-x,如圖4,同理可得結(jié)論.詳解：(1)二.點(diǎn) A (2, 0) , B (0, 23) , QA=2, OB=2 J3 ,在 RtAOB 中，由勾 股定理得：AB=亞(23)2 =4,/ ABO=30 °.四邊形 ABCD是菱形，Z ABC=2Z ABO=60 °.,AB/ CD,Z

13、 DCB=180 - 60 °=120.以AB為邊的 坐標(biāo)菱形”的最小內(nèi)角為60°.故答案為：60。； (2)如圖2.以CD為邊的坐標(biāo)菱形”為正方形，.直線CD與直線y=5的夾角是45 °.過點(diǎn)C作CH DE于E, .D (4, 5)或(-2, 5) , 直線CD的表達(dá)式為：y=x+1或y= x+3;(3)分兩種情況：先作直線y=x,再作圓的兩條切線，且平行于直線y=x,如圖3.0O 的半徑為 J2 ,且OQ'D 是等腰直角三角形，-OD=>/2 OQ'=2,P'D=3-2=1 . aDDB是等腰直角三角形，PB=BD=1, P (0

14、, 1),同理可得：OA=2,.AB=3+2=5.ABP是等腰直角三角形，PB=5,，P (0, 5) , 當(dāng)1前W5時(shí)，以QP為邊的 坐標(biāo)菱形”為正方形； 先作直線y=-x,再作圓的兩條切線，且平行于直線y=-x,如圖4. OO的半徑為 收，且OQ'D是等腰直角三角形，-od=.2OQ'=2, BD=3- 2=1 . 4口口3是等腰直角三角形，P'B=BD=1, P' (0, -1),同理可得：OA=2,.AB=3+2=5. ABP是等腰直角三角形，.PB=5, P (0, - 5) , 當(dāng)-5前W- 1時(shí)，以QP為邊的坐標(biāo)菱形”為正方形；綜上所述：m的取值范

15、圍是1前W5或-5前w-1.5 -P點(diǎn)睛：本題是一次函數(shù)和圓的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、點(diǎn)P, Q的坐標(biāo)菱形”的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用圖象解決問題，學(xué)會用分類討論 的思想思考問題，注意一題多解，屬于中考創(chuàng)新題目.6.如圖，4ABC是。的內(nèi)接三角形，點(diǎn)D,E在。上，連接AE,DE,CD,BE,CE,/ EAC+-Z BAE=180 , °?B CD .(1)判斷BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)求證：ABEDCE;(3)若/EAC=60, BC=8,求。的半徑.EB【答案】(1) BE=CE理由見解析；(2)證明見解析；(3) 述.3【解析】

16、分析：(1)由A、B、C、E四點(diǎn)共圓的性質(zhì)得：/BCE+Z BAE=180,貝U/BCE=Z EAC,所以？E= CE，則弦相等；(2)根據(jù)SSS證明AB®4DCE;(3)作BC和BE兩弦的弦心距，證明RtA GB8 RtAHBO (HL),則/ OBH=3 0 ,設(shè)OH=x,則OB=2x,根據(jù)勾股定理列方程求出x的值，可得半徑的長.本題解析：(1)解：BE=CE理由：. /EAC+y BAE=180, / BCE+7 BAE=180,/ BCE=Z EAC,l ?E= CE，.BE=CE(2)證明：/ ?ab cd ,，AB=CD?e= Ce , Ae Ed， AE=ED 由(1)

17、得：BE=CE 在 ABE和ADCE中，AE DE .AB CD , BE CE2 .ABEADCE (SSS ;(3)解：如圖，二.過。作 OG，BE 于 G, OHBC 于 H,BH= - BC=- X 8=4 BG=-BE, 2223 BE=CE / EBC=Z EAC=60 BEC 是等邊三角形,BE=BC BH=BG, .OB=OB,RtAGBO RtAHBO (HL),/ OBH=Z GBO=-/ EBC=30,°2設(shè) OH=x,貝U OB=2x,由勾股定理得：(2x) 2=x2+42, x=W3,3 .OB=2x=83 ,。的半徑為 絲叵.33建點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，

18、考查了四點(diǎn)共圓的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、勾股定 理、直角三角形30。的性質(zhì)，難度適中，第一問還可以利用三角形全等得出對應(yīng)邊相等的 結(jié)論；第三問作輔助線，利用勾股定理列方程是關(guān)鍵7 .問題發(fā)現(xiàn).(1)如圖,RtABC中，ZC=90°, AC= 3, BC= 4,點(diǎn)D是AB邊上任意一點(diǎn)，則 CD的 最小值為.(2)如圖，矩形 ABCD中，AB=3, BC= 4,點(diǎn) M、點(diǎn)N分別在BD、BC上，求 CM+MN的 最小值.(3)如圖，矩形 ABCD中，AB=3, BC= 4,點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且 AE= 2,點(diǎn)F是BC邊 上的任意一點(diǎn)，把 BEF沿EF翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為G,連接AG

19、、CG,四邊形AGCD的 面積是否存在最小值，若存在，求這個(gè)最小值及此時(shí)BF的長度.若不存在，請說明理由.B盟312【答案】(1) CD 一;(2) CM 5MN的最小值為.(3) 一252【解析】試題分析：(1)根據(jù)兩種不同方法求面積公式求解；(2)作C關(guān)于BD的對稱點(diǎn)C ,過C作BC的垂線，垂足為 N ,求C N的長即可；(3)連接AC ,則Szgagcd Svadc Svacg, GB EB AB AE 3 2 1,則點(diǎn) G 的軌跡為以 E 為圓心，1為半徑的一段弧.過 E作AC的垂線，與O E交于點(diǎn)G ,垂足為M ,由VAEM sVACB求得GM的值，再由S四邊形AGCDSVACDSV

20、ACG求解即可.試題解析：(1)從C到AB距離最小即為過 C作AB的垂線，垂足為 D ,cCD AB AC BCSVABC ，4 12,55DN NAC BC 3CD AB(2)作C關(guān)于BD的對稱點(diǎn)C，過C作BC的垂線，垂足為 N ,且與BD交于M ,則CM MN的最小值為C N的長，設(shè)CC與BD交于H ,則CH BD ,12 VBMCsVBCD，且 CH , 5一24CCB BDC , CC5VC NCsVBCD ,CNCC BCBD2P96 ,25一一. 96即CM MN的最小值為25(3)連接 AC ,則 %AGCDSVADCSVACG ,GB EB AB AE 3 2 1 , 點(diǎn)G的軌

21、跡為以E為圓心，1為半徑的一段弧.過E作AC的垂線，與。E交于點(diǎn)G ,垂足為M , VAEM sVACB ,EM AE 一，BC ACAE BC 248 EM 一,AC55-83GMEM EG-1一，55S四邊形 AGCD SVACD SVACG ,1 133 4-5一,2 2515一.2【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合題、最短問題、勾股定理、面積法、兩點(diǎn)之間線段最短等知 識，解題的關(guān)鍵是利用軸對稱解決最值問題，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題.8.如圖，AB是。的直徑，弦BC= OB,點(diǎn)D是AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，連接BD 分別交OC, OE于點(diǎn)F, G.(1)求/ DGE的度數(shù)；c 什 CF

22、 1- BF i(2)右=，求的值；OF 2 GF CFS1(3) iEACFB, ADGO的面積分別為S1, S2,若C= k，求一的值.(用含k的式子表OFS2示)7 S k2 k 1【答案】(1)/DG60; (2); (3)=-_k-1 .8 S2 k 1【解析】【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，同弧所對的圓心角和圓周角的關(guān)系，可以求得/DGE的度數(shù)；(2)過點(diǎn)F作FH，AB于點(diǎn)H設(shè)CF= 1,則OF=2, OC= OB= 3,根據(jù)勾股定理求出 BF的 BF.長度，再證得 FG8 4FCB進(jìn)而求得 的值；GF(3)根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)三角形相似、勾股定理可以用含k的式

23、子表示出5的值.S2【詳解】解：(1)BC= OB=OC,/ COB= 60 ；“1 / CDB= ZCOB= 30 ,2. OC= OD,點(diǎn)E為CD中點(diǎn),OEXCD,/ GED= 90 ；/ DGE= 60 ；(2)過點(diǎn)F作FHAB于點(diǎn)H 設(shè) CF= 1 ,貝U OF= 2, OC= OB= 3 / COB= 60 °.OH= 1OF=1,2.HF=6oH=73, HB=OB- OH=2,在 RtA BHF 中，BF JhB2HF2 J7，由 OC= OB, /COB= 60°得：/OCB= 60°,又 / OGB= / DGE= 60°,/ OGB=

24、 / OCB, / OFG= / CFB,.-.FGOAFCB,OF GFBF CF2 GF=f , .7BF 7=-.GF 2過點(diǎn)F作FHAB于點(diǎn)H,設(shè) OF= 1,則 CF= k, OB= OC= k+1,/ COB= 60 ；1 1.OH= -OF=-，2 2.HF= ,30H3, HB=OB-OH=k+1 ,在 RtBHF 中，BF= 4HB HFJk2 k 1，由(2)得：AFGOAFCB,.GO OF GO 1一，即 I 22 2CB BF k 1 k k 1.GO過點(diǎn)C作CP，BD于點(diǎn)P / CDB= 301 PC= - CD, 2點(diǎn)E是CD中點(diǎn),1.DE= - CD,2PC=

25、DE,.DEXOE,S BFS2 = GOk2 k 1k_1_k2-k-1k2 k 1k 1圓的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用三角形相似和 勾股定理、數(shù)形結(jié)合的思想解答.9.如圖1,在RtABC中，/ABC=90°, BA=BC,直線 MN是過點(diǎn)A的直線 CD，MN于點(diǎn) D,連接BD.(1)觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段 DC, AD, BD之間有什么數(shù)量關(guān)系.經(jīng)過觀 察思考，小明出一種思路：如圖1,過點(diǎn)B作B已BD,交MN于點(diǎn)E,進(jìn)而彳#出：DC+AD=BD.(2)探究證明將直線MN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時(shí)線段 DC, AD, BD

26、之間的數(shù)量關(guān)系， 并證明(3)拓展延伸在直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng) 4ABD面積取得最大值時(shí)，若 CD長為1 ,請直接寫 BD的長.【答案】(1) 近；(2) AD- DC=72BD; (3) BD=AD=72+1.【解析】 【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DC, AD, BD之間的數(shù)量關(guān)系(2)過點(diǎn)B作BEX BD,交MN于點(diǎn)E. AD交BC于O,證明 CDB0 AEB ,得到 CD AE , EB BD ,根據(jù) BED為等腰直角三角形，得到 DE J2BD , 再根據(jù)DE AD AE AD CD ,即可解出答案.(3)根據(jù)A、B、C、D四點(diǎn)共圓，得到當(dāng)點(diǎn) 時(shí)，4ABD的面積最大.

27、D在線段AB的垂直平分線上且在 AB的右側(cè)在DA上截取一點(diǎn)H,使得CD=DH=1,則易證CH AH J2, 由BD AD即可得出答案.【詳解】解：(1)如圖1中，由題意： BAEW BCD ,，AE=CD, BE=BD ，CD+AD=AD+AE=DE BDE是等腰直角三角形,.DE= . 2 BD,DC+AD= 2 BD,故答案為22（2） AD DC V2BD -證明：如圖，過點(diǎn) B作BEX BD,交MN于點(diǎn)E. AD交BC于O.ABC DBE 90 ,ABE EBC CBDEBC,ABE CBD .BAEAOB 90 , BCD COD 90 , AOBBAE BCD ,ABE DBC .

28、又 AB CB ,CDBW AEB,CD AE , EB BD ,BD為等腰直角三角形， DE &BD .DE AD AE AD CD ,AD DC 72BD -(3)如圖3中，易知A、B、C、D四點(diǎn)共圓，當(dāng)點(diǎn) D在線段AB的垂直平分線上且在 AB 的右側(cè)時(shí)，4ABD的面積最大.圖3此時(shí)DG±AB, DB=DA,在DA上截取一點(diǎn)H,使得CD=DH=1,則易證CH AH 衣， BD AD .2 1-【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及圖形的應(yīng)用，正確作輔助線 和熟悉圖形特性是解題的關(guān)鍵 .10. AB是。直徑，在AB的異側(cè)分別有定點(diǎn) C和動(dòng)點(diǎn)P,如圖所

29、示，點(diǎn) P在半圓弧 AB上運(yùn)動(dòng)(不與 A、B重合)，過C作CP的垂線CD ,交PB的延長線于D ,已知 AB 5, BC ： CA = 4 ： 3.(1)求證：AC CD = PC BC ;(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB弧的中點(diǎn)時(shí)，求 CD的長；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PCD的面積最大？請直接寫出這個(gè)最大面積.【答案】(1)證明見解析；(2) CD=14W2； ( 3)當(dāng)PC為。直徑時(shí)，4PCD的最大面積350.3【解析】【分析】(1)由圓周角定理可得 / PCD=/ ACB=90,可證ABJPCD,可得CP證.AC BC，即可得CD(2)由題意可求 BC=4, AC=3,由勾股定理可求 CE的

30、長，由銳角三角函數(shù)可求PE的長,即可得PC的長，由AC?CD=PC?BCT求CD的值;(3)當(dāng)點(diǎn)P在Ab上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Svpcd1 , 4 PC CD ,由(1)可得：CD -PC ,可得23一1 一4一2.2Svpcd PCPCPC ,當(dāng)PC取大時(shí)， PCD的面積取大，而 PC為直徑時(shí)取233大，故可求解.【詳解】證明：(1). AB為直徑，/ ACB=90 ° PCX CD,/ PCD=90 °/ PCD=/ ACB,且 / CAB=Z CPB .ABCAPCD.AC BCCP CD .AC?CD=PC?BC(2) AB=5, BC: CA=4: 3, ZACB=90

31、76;.BC=4, AC=3,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn) B作BEX PC于點(diǎn)E.點(diǎn)P是Ab的中點(diǎn)，/ PCB=45 ；且 BC=4CE=BE= _2 bc=2 2 / CAB=Z CPBBC .tan / CAB=AC. pe-3.2PE-2=tan Z CAB=-3PE.PC=PE+CE=32+2 2 =2.AC?CD=PC?BC14 2CD=31(3)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Sapcd= - >PC>CD,2由(1)可得：CD= 4 PC314 2 oSa pcd=PC PC = pC ,233當(dāng)PC最大時(shí)，APCD的面積最大，22 50當(dāng)PC為。直徑時(shí)， PCD的最大面積

32、=-x2=33【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)知識，銳角三角函數(shù)，求 出PC的長是本題的關(guān)鍵.11 .如圖，在 4ABC中，AB= AC,以AB為直徑的。與邊BC交于點(diǎn)D, DEX AC,垂足為E,交AB的延長線于點(diǎn)F.求證：EF是。的切線；(2)若/C= 60 °, AC= 12,求?D 的長.(3)若 tanC= 2, AE= 8,求 BF的長.尺E C【答案】 見解析；(2) 2 ；兀竺.3【解析】分析：(1)連接OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角，得/ABC=/ C,/ABC=/ ODB,從而得到ZC=Z ODB,根據(jù)同位角相等，兩直線平行

33、，得到OD/AC,從而得證OD, EF,即EF是。的切線；(2)根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，由 AB=AC=12,求得定得到OBD是等邊三角形，即 ZBQD=60P,1OB=OD=AB=6,進(jìn)而根據(jù)等邊三角形的判2從而根據(jù)弧長公式七屆即可；(3)連接AD,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，由在. DE -RtA DEC中，tanC - 2 設(shè) CE=xMCE. AE 一 一DE=2x,然后由RtA ADE中，tan ADE 2 ,求得DE、CE的長，然后根據(jù)相似三DE角形的判定與性質(zhì)求解即可 .詳解：(1)連接 OD AB=AC . / ABC玄 C1) QD=OB . . / ABC=/ ODB，/C=/ ODB

34、.-.OD/ AC又DE，AC OD± DE,即 OD± EF.EF是。O的切線12) ) AB=AC=12 . OB=ODAB =6由(1)得：/ C=/ ODB=600在 RtDEC中，tanC 里 2 設(shè) CE=xB DE=2x CE AB 是直徑/ ADB=Z ADC=900 / ADE+/ CDE=9C0 在 RtA DEC中，/ C+Z CDE=9(5)AE -DE/ C=Z ADE 在 RtA ADE 中，tan ADE 2 AE=8,DE=4 則 CE=2.AC=AE+CE=10直徑 AB=AC=10 貝U OD=OB=5.ODAEAODFAAEFOF OD

35、 口u BF 5 5 即：AFAEBF 10 810解得：BF=即BF的長為.33點(diǎn)睛：此題考查了切線的性質(zhì)與判定、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形以及 相似三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思 想的應(yīng)用.12.對于平面直角坐標(biāo)系 xoy中的圖形P, Q,給出如下定義： M為圖形P上任意一點(diǎn)，N 為圖形Q上任意一點(diǎn)，如果 M, N兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形P,Q間的 非常距離”，記作d (P,Q) .已知點(diǎn)A (4,0) , B (0,4),連接AB.(1) d (點(diǎn) O, AB) = ;(2)。半徑為r,若d (OO, AB)

36、=0,求r的取值范圍；(3)點(diǎn) C( 3, -2),連接 AC, BC, OT 的圓心為 T (t, 0),半徑為 2, d (OT, ABC),且0Vd <2,求t的取值范圍.【答案】(1) 2亞；(2) 2& r 4； (3) 2強(qiáng) 2 t【解析】、52 或 6<r<8.(1)如下圖所示，由題意得：過點(diǎn)。作AB的垂線，則垂線段即為所求;(2)如下圖所示，當(dāng) d (OO, AB) =0時(shí)，過點(diǎn)。作OELAB,交AB于點(diǎn)E,則:OB=2, OE=2、,2,即可求解;(3)分。T在 ABC左側(cè)、OT在4ABC右側(cè)兩種情況，求解即可.【詳解】(1)過點(diǎn)。作ODLAB交AB

37、于點(diǎn)D,根據(jù)非常距離”的定義可知,/上-、-AB42 42-d （點(diǎn) O, AB） =OD=-=-=242 ；(2)如圖,當(dāng) d (OO, AB) =0 時(shí)，過點(diǎn) O 作 OE± AB則 OE=2五,OB=OA=4,O O與線段AB的 非常距離”為0,2 五 r 4；(3)當(dāng)OT在4ABC左側(cè)時(shí)，如圖，當(dāng)。T與BC相切時(shí)，d=0,BC= 32 62 =3、. 5,過點(diǎn)C作CE! y軸，過點(diǎn)T作TF, BC則 TFH BEC,TF THBE BCTH即 2 =,6 3.5TH= .5, . HO/ CE, .BHOABEC, .HO=2,此時(shí) T(-j5-2, 0);當(dāng)d=2時(shí)，如圖，

38、同理可得，此時(shí)T ( 2 J5 2 )；0<d <2,2 芯 2 t 曲 2;當(dāng)。T在4ABC右側(cè)時(shí)，如圖,當(dāng) p=0 時(shí)，t=6 ,當(dāng) p=2 時(shí)，t=8.-.-0<d <2,，6<r<8；綜上，2而 2 t 戀 2或6<r<8.【點(diǎn)睛】非常距離”的定義與直線與圓的位本題主要考查圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是理解并掌握置關(guān)系和分類討論思想的運(yùn)用.13.如圖，AB是半圓。的直徑，點(diǎn) C是半圓。上的點(diǎn)，連接 AC, BC,點(diǎn)E是AC的中 點(diǎn)，點(diǎn)F是射線OE上一點(diǎn).(1)如圖 1,連接 FA FC,若 /AFC= 2/BAC 求證：FAIAB；(2)如圖

39、2,過點(diǎn)C作CD，AB于點(diǎn)D,點(diǎn)G是線段CD上一點(diǎn)(不與點(diǎn) C重合)，連接FA, FG, FG與AC相交于點(diǎn)P,且AF= FG.試猜想/ AFG和/ B的數(shù)量關(guān)系，并證明；圖1【答案】(1)見解析; 連接OG,若OE= BD, /GOE= 90 °,。的半徑為2,求EP的長.(2) 結(jié)論：/GFA= 2/ABC.理由見解析； PE= 立6(1)證明 /OFA=/BAC,由 /EAO+/EOA= 90°,推出 Z OFA+Z AOE= 90°,推出 Z FAO= 90。即可解決問題.(2) 結(jié)論：/GFA= 2/ABC.連接FC.由FC= FG= FA,以F為圓心F

40、C為半徑作OF,因?yàn)?AG AG ,推出 ZGFA= 2/ACG,再證明 /ACG=/ABC圖2T 中，連接 AG,彳FHI± AG于H.想辦法證明 Z GFA= 120 °,求出EF, OF, OG即 可解決問題.【詳解】(1)證明：連接OC. OA=OC, EC= EA,OFXAC,FC= FA/ OFA= / OFC, / CF" 2/BAC,/ OFA= / BAC, / OEA= 90 ； / EAO+Z EOA= 90 ; / OFA+Z AOE= 90 °,/ FAO= 90 ；AFXAB.(2) 解：結(jié)論：/GFA= 2/ABC. 理由：

41、連接FC.OF垂直平分線段 AC,FG= FA, FG= FA,FC= FG= FA,以F為圓心FC為半徑作 OF.Ag Ag ,/ GFA= 2/ACG,.AB是。的直徑，/ ACB= 90 °, .CD± AB, / ABO / BCA= 90 °, / BCD+Z ACD= 90 °,/ ABC= / ACG/ GFA= 2/ABC.如圖2 - 1中，連接 AG,彳Fhl±AG于H. . BD=OE /CDB=/AEO= 90 ° / B= / AOE .,.CDBAAEO (AAS), .CD= AE, EC= EA, .AC

42、= 2CD./ BAC= 30 : / ABC= 60 °, / GFL 120 : .OA=OB= 2, .OE= 1, AE=仃，BA=4, BD= OD= 1, / GOE= / AEO= 90 ; .OG/ AC,32,3DG , OG ,33AG JDG2 AD221 ,3 FG= FA, FHXAG,-.AH=HG=0，/AFH= 60。，3AH 2.7AF=,sin 603在 RtAEF中，EF= JAF2 AE2-,3八 八4 .OF=OE+EF=一,3. PE/ OG,.PE EF, , ,OG 0F-PE 3.亞 4，33PE= 3 .6【點(diǎn)睛】圓綜合題，考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三 角函數(shù)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決 問題.14.已知：如圖，以等邊三角形 ABC一邊AB為直徑的OO與邊AC、BC分別交于點(diǎn) D、E,過點(diǎn)D作DU BC,垂足為F. (1)求證：DF為。的切線；(2)若等邊三角形 ABC 的邊長為4,求圖中陰影部分的面積.【答案】（1）見解析（2）正 J23【解析】試題分析：（1）連接DO,要證明DF