1、2018年全國各地中考數學壓軸題匯編(湖南專版)幾何綜合參考答案與試題解析1 . (2018?長沙)如圖，在 ABC中，AD 是邊 BC上的中線，/ BAD=Z CAD, CEE/ AD, CE交BA的延長線于點E, BC=a AD=3.(1)求CE的長；(2)求證： ABC為等腰三角形.(3)求 ABC的外接圓圓心P與內切圓圓心Q之間的距離.(1)解：: AD是邊BC上的中線， .BD=CD. CE/ AD, .AD為 BCE的中位線， . CE=2AD=6(2)證明：v CE/ AD,丁. / BAD=/ E, / CAD之 ACE而 / BAD=/ CAD,丁 / ACEW E, .AE

2、=AC而 AB=AE .AB=AC,.ABC為等腰三角形.(3)如圖，連接 BP、BQ、CQ,在 Rtz ABD 中，AB=；Hp=5,設。P的半徑為R, OQ的半徑為r,25在 RtA PBD 中，(R 3) 2+42=R,解得 R彳,257.PD=PAAD,一%,. S ABC+Sk BCQ+Sa ACQ=&ABC,. 加?5+加?8號?r?5卷?3?8,解得總 即QD，-PQ=PDhQD=-+-1-=-.答： ABC的外接圓圓心P與內切圓圓心Q之間的距離為2. (2018?株洲)如圖，在RtAABM和RtADN的斜邊分別為正方形的邊 AB和AD,其 中 AM=AN.(1)求證：RtAAB

3、M0 RtAAND;(2)線段MN與線段AD相交于T,若AT=AD,求tan/ABM的化DC解：(1) . AD=AB AM=AN, / AMB=/ AND=90RtAABMRtAAND (HL.).(2)由 RtAABMRtAAND易得：/ DAN=/ BAM, DN=BM vZ BAM+Z DAM=90 ; / DAN+/ADN=90 ./ DAM=/AND .ND/ AM .DNT AAMT, AH DT. 麗AT AT卷皿DM 3v RtA ABM. .tan /AM_M 1BM -3飛3. （2018?長沙）我們不妨約定：對角線互相垂直的凸四邊形叫做十字形（1）在 平行四邊形，矩形，

4、菱形，正方形”中，一定是 十字形”的有 菱形，正方形； 在凸四邊形ABCD中，AB=AD且C升CD,則該四邊形 不是 十字形”.（填 是”或 不 是”）（2）如圖1, A, B, C, D是半徑為1的。上按逆時針方向排列的四個動點，AC與BD 交于點 E, /ADB- ZCDB=/ ABD- / CBD,當 60, c0, c0,gwaC+bUwt,0) , B (0, c), c 2a,OB=- c, OC=上a,OD=- ac, AC,BD=- ac - c,S=1-AC?BD=-7_(ac+c) x1c(VA+b)S3=-OAX od=-I乙14VA o 1 _ 丁 Si而0A?OB=-

5、1 3=-OBX OC=-c(VA +b)4a,S2= .-OC?OD=-4a,正u WK+b】Rf （JR _匕）父一匚（Jz+b）（J bj722 如 ，-h/4a=2,- a=1,.S=-c7A, S=卜呵 ,Si=- 卜蜉-叫 44二百花，. S=S+&+2y S z,-煙-弩+寸2,鏟），=.護，- -八-4c 勾 Yc,. b=0,- A （-。0） , B （0, c） , C （口，0） , d （0, -c）,:四邊形ABCD菱形，.-.4AD=1Z/1O,- - AD=3/ lu,即：Atf=90,AD2=c2 - c,c2- c=90,c=- 9 或 c=10 （舍），4

6、. (2018?湘潭)如圖，在正方形 ABCD中，AF=Be AE與DF相交于點O.(1)求證： DAFZXABB(2)求2 AOD的度數.ABCD是正方形, ./DAB=/ABC=90, AD=AB, AD=ABZDAF=ZABE=904 研二BE.DAFAABEE (SAS ,(2)由(1)知， DAFAABEE,丁 / ADF之 BAE,vZ ADF+Z DAO=/ BAE+Z DAO=/ DAB=90, 丁. / AOD=180 (/ ADF+DAO) =90.5. (2018?株洲)如圖，已知AB為。的直徑，AB=8,點C和點D是。O上關于直線 AB對稱的兩個點，連接OC AC,且/

7、 BOCk 90,直線BC和直線AD相交于點E,過點 C作直線CG與線段AB的延長線相交于點F,與直線AD相交于點G,且/ GAF之GCE(1)求證：直線CG為。的切線；(2)若點H為線段OB上一點，連接CH,滿足CB=CHCBW OBC;求OH+HC的最大值.解：(1)由題意可知：/ CAB=/ GAF, AB是。的直徑， . / ACB=90 OA=OC丁 / CAB玄 OCA ./ OCA+/OCB=90,vZ GAF之 GCE丁 / GC&Z OCB=/ OCA+Z OCB=90, .OC是。的半徑, 直線CG是。的切線；(2): CB=CH ./ CBH=/ CHB,. OB=OC

8、/ CBH4 OCB .CBH AOBC由CBHAOBC可知：后寫 UU DU. AB=8, . BC2=HB?OC=4HBHB=， .OH=OB- HB=4-4 .CB=CH . OH+HC=4 2+BC, 4，當 / BOC=90,止匕時BC=4. ?./ BOCX90,.-0BC 4、涇,令 BC=x .OH+HC=(x-2) 2+5當x=2時，.OH+HC可取得最大值，最大值為56. (2018?衡陽)如圖，O O是4ABC的外接圓，AB為直徑，/ BAC的平分線交。O于點D,過點D作DE，AC分別交AC、AB的延長線于點E、F.(1)求證：EF是。O的切線；(2)若AC=4, CE=

9、Z求而的長度.(結果保留 任)解：（1）如圖，連接OD,v OA=OD,丁. / OAD=Z ODA,AD 平分/ EAF, / DAE之 DAO,丁 / DAE之 ADO, .OD/AE,vAE EF,.-.ODXEF, .EF是。的切線；(2)如圖，作OGLAE于點G,連接BD,貝U AG=CG=AC=2 / OGE玄 E=/ ODE=90, 四邊形ODEG矩形， . OA=OB=OD=C+CE=2=4, / DOG=90 , vZ DAE=Z BAD, / AED=/ ADB=90 ,. .AD&AABD,AD AB即 AD 8 AD2=48,在ABD 中，BD=/aB2-AD2=4,在

10、 Rt ABD 中，v AB=2BD丁. / BAD=30,丁. / BOD=60則W5的長度為1804K7. (2018?湘潭)如圖，AB是以O為圓心的半圓的直徑，半徑CO AO,點M是段上的動點，且不與點 A、C、B重合，直線AM交直線OC于點D,連結OM與CM.(1)若半圓的半徑為10.當/ AOM=60時，求DM的長;當AM=12時，求DM的長.(2)探究：在點M運動的過程中，/ DMC的大小是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.解：(1)當/ AOM=60時,C.OM=OA, .AMO是等邊三角形,丁. / MOD=30 , / D=30 , .-，DM=OM=10過點M

11、作MF LOA于點F,設 AF=x .OF=10 x, /AM=12, OA=OM=1O,由勾股定理可知：122-x2=102- (10-x) 2|36. . x= -536A), . MF/ OD, .AMFsADO,頷二研AD-OA3612 二5AD -10 .AD=J .MD=AD- AM=.J(2)當點M位于AC之間時,連接BC,.C是麻的中點,/ B=45,四邊形AMCB是圓內接四邊形, 此時/ CMD=/ B=45, 當點M位于菽之間時, 連接BC,由圓周角定理可知：/ CMD=/ B=458. (2018?陽)如圖，在 RtABC中,8 c=90, AC=BC=4cm 動點 P

12、從點 C出發以 1cm/s 的速度沿CA勻速運動，同時動點Q從點A出發以mcm/s的速度沿AB勻速運動，當點 P到達點A時，點P、Q同時停止運動，設運動時間為t (s) .(1)當t為何值時，點B在線段PQ的垂直平分線上？(2)是否存在某一時刻t,使4APQ是以PQ為腰的等腰三角形？若存在，求出t的值； 若不存在，請說明理由；(3)以PC為邊，往CB方向作正方形CPMN,設四邊形QNCP的面積為S,求S關于t 的函數關系式.在 RtzACB中，v AC=BC=4 /C=9(J, .AB=4點B在線段PQ的垂直平分線上， .BP=BQ . AQ=/2t, CP=tBQ=4回一遮，PB?=42+t

13、2, 二(4五V2t) 2=16+t2,解得t=8 - 4仃或8+4行(舍棄)，.7= (8-4、s時，點B在線段PQ的垂直平分線上.(2)如圖2中，當PQ=QA時，易知 APQ是等腰直角三角形,AQP=90.則有 PA= AQ,.-.4-t=/2?V2t,解得t=J.如圖3中，當AP=PQ時，易知 APQ是等腰直角三角形，/ APQ=90.則有：AQ=. AP,-V2t=近.(4-t),解得t=2,綜上所述：t=1s或2s時，4APQ是以PQ為腰的等腰三角形.(3)如圖4中，連接QC,彳QEEAC于E,彳QF, BC于F,則QE=AE QF=EC可得QE+QF=AE+EC=AC=4SNF圖4

14、. S=6qnc+SaPCC=7-?CN?QF+77?PC?QE-=-t (QE+QF) =2t (0t4).9. (2018?邵陽)如圖1所示，在四邊形ABCD中，點O, E, F, G分別是AB, BC, CD, AD 的中點，連接 OE, EF, FG, GO, GE.(1)證明：四邊形OEFG平行四邊形；(2)將AOGE繞點O順時針旋轉得到 OMN,如圖2所示，連接GM, EN.若OE=/1, OG=1,求生的值；試在四邊形ABCD中添加一個條件，使 GM, EN的長在旋轉過程中始終相等.(不要 求證明)即圖2解：(1)如圖1,連接AC, G丁點O、E、F、G分別是AB、BC CD A

15、D的中點 .OE/ AC OE=-AC, GF/ AC GFAC, .OE=GF OE=GF一四邊形OEFG是平行四邊形;(2)OGE繞點O順時針旋轉得到 OMN, .OG=OM、OE=ON ZGOM=Z EON, .OGMs/XOEN,添力口 AC=BD如圖2,連接AG BD,丁點O、E、F、G分別是AB、BG CD AD的中點, .OG=EF*BD OE=GF=BD,.AC=BD .OG=OEOGE繞點O順時針旋轉得到 OMN, .OG=OM、OE=ON ZGOM=Z EON, .OG=OE OM=ON,在AOGM和AOEN中，rOG=OEZG0U=ZE0N, loM=ON .OGMW/X

16、OEN （SA , .GM=EN.10. （2018項德）如圖，已知。O是等邊三角形ABC的外接圓，點D在圓上，在CD的 延長線上有一點F,使DF=DA AE/ BC交CF于E.(1)求證：EA是。的切線;(2)求證：BD=CFC D E F證明：（1）連接OD,.OO是等邊三角形ABC的外接圓， ./OAC=30, /BCA=60,. AE/ BC, ./ EACW BCA=60,丁. / OAE=/ OAG/ EAC=30+60 =90,AE是。的切線；（2） .ABC是等邊三角形， .AB=AC, /BAC玄 ABC=60,A、B、C D四點共圓， / ADF之 ABC=60. AD=D

17、F,.ADF是等邊三角形, .AD=AF, /DAF=60,/ BAC+Z CADN DAF+Z CAD, 即 / BAF之 CAF在ABAD和ACAF中, AB=AC/BAb/CAF, AD = AF .BAg ACAF, .BD=CF11. （2018?岳陽）已知在 RtABC中，/BAC=90, CD為/ACB的平分線，將/ ACB沿CD所在的直線對折，使點B落在點B處，連結AB,BB,延長CD交BB于點E,設/ABC=2c(0 a0),.EN CD, ./ CEN=90, /ACD=45, ./ CNE=45=/ACD, .EN=CE=a .CN=. a,設 DE=b (b0), .A

18、D=CD=D+CE=&b,根據勾股定理得，AC=2AD=e(a+b),同(1)的方法得，/ OAM=/ODN, / OAD=/ODC=45,丁. / EDN=/ DAE, ,/ DEN=/ ADE=90, .DEN AADE,CE EN AD 一跳，- L-t且 a+b b a= b （已舍去不符合題意的）CN=a=而丁 b, AC蟲（a+b） 產” b,.AN=AC- CN=，b,. AN2=2b2, AC?CN=1；b? 1b=2b222 an2=ac?cnA514. (2018?#B州)已知BC是。O的直徑，點D是BC延長線上一點，AB=AD, AE是。O 的弦，/AEC=30.(1)求

19、證：直線AD是。的切線；(2)若AE，BC,垂足為M,。的半徑為4,求AE的長.解：（1）如圖，/AEC=30, ./ABC=30,.AB=AD,.D=/ ABC=30,根據三角形的內角和定理得，/ BAD=120,連接 OA, . OA=OB, ./ OAB=/ ABC=30 . / OAD=Z BAD- / OAB=90 ,.-.OA AD, 點A在。O上,直線AD是。O的切線；(2)連接 OA, . /AEC=30, ./AOC=60,BCAE于 M, .AE=2AM, /OMA=90 ,在 RtAAOM 中，AM=OA?sin/ AOM=4X sin60 =2, .AE=2AM=4/3

20、 .15. (2018?張家界)在矩形 ABCD中，點E在BC上，AE=AD, DF,AE,垂足為F.(1)求證：DF=A與(2)若/ FDC=30,且 AB=4,求 AD.證明：(1)在矩形ABCD中，v AD/ BC,丁 / AEB玄 DAF,又 ; DF AE, . / DFA=90, / DFA之 B,又 = AD=EA .ADF AEAB, . DF=AB(2) . /ADF+/FDC=90, / DAF+/ADF=90 , ./ FDCW DAF=30, .AD=2DF,v DF=AR .AD=2AB=8.16. （20187（#州）在矩形ABCD中，AD AB,點P是CD邊上的任

21、意一點（不含 C, D 兩端點），過點P作PF/ BC,交對角線BD于點F.牌1）（里）鄴）信用圖）（1）如圖1,將4PDF沿對角線BD翻折得到aDF, QF交AD于點E.求證：4DEF是等腰三角形；（2）如圖2,將 PDF繞點D逆時針方向旋轉得到 PDF；連接PC, FB 設旋轉角為 a （0 a 180 ）.若0 a /BDC，即DF在/BDC的內部時，求證： DP。DFB如圖3,若點P是CD的中點， DFB能否為直角三角形？如果能，試求出此時 tan/ DBF的值，如果不能，請說明理由.解：（1）由翻折可知：/ DFP=Z DFQ. PF/ BC,丁 / DFP玄 ADF, ./ DFQ

22、=/ADF, .DEF是等腰三角形，(2)若0 a DB,不符合題意，當/ DF B=9酎，如圖所示,. DF =DF=BD,丁. / DBF =3Q .tan/DBF 弁317. （2018?永州）如圖，線段 AB為。O的直徑，點C, E在。O上，BC CE , CDAB,垂足為點D,連接BE,弓B BE與線段CD相交于點F.(1)求證：CF=BF(2)若 cos/,在AB的延長線上取一點 M,使BM=4,。的半徑為6 .求證:直線CM是。的切線.證明：(1)延長CD交。于G,如圖,.CDX AB,BC=BG,BC=CE,CE=BG, ./ CBEW GCB.CF=BF(2)連接OC交BE于

23、H,如圖，町二C E,.OCX BE在 RtzOBH 中，cos/ OBH粵，d b,OHJB,jX-0.M,而/ HOB=/ COM, .OHB AOCM, ./ OCM=/ OHB=90,/.OCX CM, 直線CM是。的切線.18. (2018?永州)如圖，在 ABC中，/ACB=90, / CAB=30 ,以線段AB為邊向外作等邊ABD,點E是線段AB的中點，連接CE并延長交線段AD于點F.(1)求證：四邊形BCFD為平行四邊形；(2)若AB=6,求平行四邊形BCFD的面積.(1)證明：在 ABC中，/ACB=90, /CAB=30, ./ABC=60.在等邊 ABD 中，/ BAD=

24、60 , ./ BAD=/ ABC=60.E為AB的中點, .AE=BE又. / AEF之 BEC. .AE陽 ABEC在AABC中，/ACB=90, E為AB的中點， .CE=-AB, BE=-AB. .CE=AE ./ EACN ECA=30, / BCEN EBC=60.又AE陷ABEC丁 / AFE玄 BCE=60.又. / D=60 ,丁 / AFE叱 D=60 . .FC/ BD.又. / BAD=/ ABC=60, .AD/ BC,即 FD/ BC. 四邊形BCFD平行四邊形.(2)解：在 RtABC中，./ BAC=30, AB=6, .BcVaB=3, AC=/3BC=3/3

25、, Ci19. （2018?懷化）已知：如圖，AB是。的直徑，AB=4,點F, C是。上兩點，連接 AC, AF, OC,弓gAC平分/FAB, /BOC=60,過點C作CD, AF交AF的延長線于點D, 垂足為點D.（1）求扇形OBC的面積（結果保留 冗）；（2）求證：CD是。的切線.解：(1) .AB=4, .OB=2/ COB=60,6cl兀乂 g 2兀 S 扇形 OBC=馬一（2）AC 平分/FAB,/ AO-CO,二/aco/ca。 / FAC玄 ACO.AD/ OC,vCD AF, /.CD! OCC在圓上,.CD是。O的切線20. (2018?懷化)已知：如圖，在四邊形 ABCD

26、中，AD/ BC,點E為CD邊上一點，AE 與BE分別為/ DAB和/ CBA的平分線.(1)請你添加一個適當的條件 AD=BC ,使得四邊形ABCD是平行四邊形，并證明你 的結論；(2)作線段AB的垂直平分線交AB于點O,并以AB為直徑作。O (要求：尺規作圖， 保留作圖痕跡，不寫作法)；(3)在(2)的條件下，。交邊AD于點F,連接BF,交AE于點G,若AE=4, sin/AGF=, 求。的半徑.DEC/B解：(1)當AD=BC時，四邊形ABCD是平行四邊形，理由為：證明：. AD/BC, AD=BC四邊形ABCD為平行四邊形；故答案為：AD=BC(2)作出相應的圖形，如圖所示；(3) v

27、 AD/ BC, ./ DAB+ZCBA=180,.AE與BE分另I為/ DAB與/ CBA的平分線, ./ EABfZ EBA=90, ./AEB=90, AB為圓O的直徑，點F在圓O上， ./AFB=90, ./ FAG+Z FGA=90. AE 平分 / DAB,丁 / FAG與 EAB /AGF與 ABEsin / ABE=sinZ AGF=77-. AE=4, .AB=5,則圓O的半徑為2521. (2018根底)如圖，C、D是以AB為直徑的。上的點，菽 點E.(1)當PB是。O的切線時，求證：/ PBD=Z DAB;(2)求證：BC2-CS=CE?DE(3)已知OA=4, E是半徑

28、OA的中點，求線段DE的長.=BC,弦CD交AB于解：(1);AB是。的直徑，丁. / ADB=90 ,即 / BAC+ZABD=90 , .PB是。O的切線， ./ABP=90,即/ PBC+/ABD=90, 丁. / BAD=/ PBD;(2)/A=/ C、Z AED=Z CEB. .AD ACBEDE AE 口r.6=77,即 DE?CE=AE?REDU UE如圖，連接OC,P B設圓的半徑為r,則OA=OB=OC= r貝U DE?CE=AE?BE=OA OE) ( OB+OE) =r2 OE2, =-,./AOC=Z BOC=90,.CE=O3+OG=OS+r2, BG=BG+CC2=2r2