1、一、起源與發展偏最小二乘法(partialleastsquaresmethodPLS)是一種新型的多元統計數據分析方法，它于 1983 年由伍德(S.Wold)和阿巴諾(C.Albano)等人首次提出。其實在早在 70 年代伍德(S.Wold)的父親 HWold 便在經濟學研究中引入了偏最小二乘法進行路徑分析， 創建了非線性迭代偏最小二乘算法(NonlinearIterativePartialLeastSquaresalgorithmNIPALS),至今仍然是 PLS 中最常用和核心的算法。PLS 在 20 世紀 90 年代引入中國，在經濟學、機械控制技術、藥物設計及計量化學等方面有所應用，但

2、是在生物醫學上偏最小二乘法涉及相對較少。對該方法的各種算法和在實際應用中的介紹也不系統，國內已有學者在這方面做了一些努力，但作為一種新興的多元統計方法，還不為人所熟知。PLS 是一種數學優化技術， 它通過最小化誤差的平方和找到一組數據的最佳函數匹配。用最簡的方法求得一些絕對不可知的真值，而令誤差平方之和為最小。通常用于曲線擬合。有人用下式來形容 PLS:偏最小二乘回歸 Q 多元線性回歸分析+典型相關分析+主成分分析二、特點：與傳統多元線性回歸模型相比，偏最小二乘回歸的特點是：(1)能夠在自變量存在嚴重多重相關性的條件下進行回歸建模；(2)允許在樣本點個數少于變量個數的條件下進行回歸建模；(3)

3、偏最小二乘回歸在最終模型中將包含原有的所有自變量；(4)偏最小二乘回歸模型更易于辨識系統信息與噪聲(甚至一些非隨機性的噪聲)；(5)在偏最小二乘回歸模型中，每一個自變量的回歸系數將更容易解釋。偏最小二乘法的 Matlab 源碼(2008-09-2109:31:21)所謂偏最小二乘法，就是指在做基于最小二乘法的線性回歸分析之前，對數據集進行主成分分析降維，下面的源碼是沒有刪減的http:/ 校正集光譜矩陣，nxk 的矩陣，n 個樣本，k 個波長%Y 校正集濃度矩陣，nXm 的矩陣，n 個樣本，m 個組分%x 驗證集光譜矩陣%y 驗證集濃度矩陣%pX 的主成分的個數，最佳取值需由其它方法確定%qY

4、 的主成分的個數，最佳取值需由其它方法確定%輸出參數列表%y5x 對應的預測值(y 為真實值)%e1 預測絕對誤差，定義為 e1=y5-y%e2 預測相對誤差，定義為 e2=|(y5-y)/y|%第一步：對 X,x,Y,y 進行歸一化處理n,k=size(X);m=size(Y2);Xx=X;x;Yy=Y;y;xmin=zeros(1,k);xmax=zeros(1,k);forj=1:kxmin(j)=min(Xx(:,j);xmax(j)=max(Xx(:,j);Xx(:,j)=(Xx(:,j)-xmin(j)/(xmax(j)-xmin(j);endymin=zeros(1,m);yma

5、x=zeros(1,m);forj=1:mymin(j)=min(Yy(:,j);ymax(j)=max(Yy(:,j);Yy(:,j)=(Yy(:,j)-ymin(j)/(ymax(j)-ymin(j);endX1=Xx(1:n,:);x1=Xx(n+1):end,:);Y1=Yy(1:n,:);y1=Yy(n+1):end,:);%第二步：分別提取 X1 和 Y1 的 p 和 q 個主成分，并將 X1,x1,Y1,y1 映射到主成分空間CX,SX,LX=princomp(X1);CY,SY,LY=princomp(Y1);CX=CX(:,1:p);CY=CY(:,1:q);X2=X1*CX

6、;Y2=Y1*CY;x2=x1*CX;y2=y1*CY;%第三步：對 X2 和 Y2 進行線性回歸B=regress(Y2,X2,0.05);%第三個輸入參數是顯著水平，可以調整%第四步：將 x2 帶入模型得到預測值 y3y3=x2*B;%第五步：將 y3 進行“反主成分變換”得到 y4y4=y3*pinv(CY);%第六步：將 y4 反歸一化得到 y5forj=1:my5(:,j)=(ymax(j)-ymin(j)*y4(:,j)+ymin(j);end%第七步：計算誤差e1=y5-y;e2=abs(y5-y)./y);functionMD,ERROR,PRESS,SECV；SEC=Extr

7、aSim1(X,Y)%基于 PLS 方法的進一步仿真分析%功能一：計算 MD 值，以便于發現奇異樣本%功能二：計算各種 p 取值情況下的 ERROR,PRESS,SECSEC 值，以確定最佳輸入變量個數n,k=size(X);m=size(Y2);pmax=n-1;q=m;ERROR=zeros(1,pmax);PRESS=zeros(1,pmax);SECV=zeros(1,pmax);SEC=zeros(1,pmax);XX=X;YY=Y;N=size(XX,1);forp=1:pmaxdisp(p);Err1=zeros(1,N);%絕對誤差Err2=zeros(1,N);附目對誤差fo

8、ri=1:Ndisp(i);ifi=1x=XX(1,:);y=YY(1,:);X=XX(2:N,:);Y=YY(2:N,:);elseifi=Nx=XX(N,:);y=YY(N,:);X=XX(1:(N-1),:);Y=YY(1:(N-1),:);elsex=XX(i,:);y=YY(i,:);X=XX(1:(i-1),:);XX(i+1):N,:);Y=YY(1:(i-1),:);YY(i+1):N,:);endy5,e1,e2=PLS(X,Y,x,y,p,q);Err1(i)=e1;Err2(i)=e2;endERROR(p)=sum(Err2)/N;PRESS(p)=sum(Err1A2);SECV(p)=sqrt(PRESS(p