1、精選優質文檔-傾情為你奉上多元函數、多元向量值函數f(X) F(X)多元函數的切平面、全微分、偏導有多元函數f(X)，若存在向量A=(a1,a2,an)使得f(X)-f(X0)-A(X-X0)=o(|X-X0|)，則稱g(X)=A(X-X0)是f在X0處的切平面df=AdX=a1dx1+a2dx2+andxn是f的全微分bk=(f)/(xk)是將X的其他分量視為常數時f的導數，稱為f的偏微分可以證明若A存在，ak=bk=f/ xkNabla算子=(/x1, /xn)A=Grad(f)=A稱為f的梯度， (fg) = gf+fg若有單位向量e=(cos1, cos2, cosn)，則稱A.e是f

2、沿e方向的方向導數，A.e=f/l 其中l與e平行若f在X0可微：X0處f各一階偏導存在X0處f有梯度X0處f連續X0處f的各方向導數均存在若f在X0處各一階偏導函數連續，則f在X0可微A= f是向量值函數，可以觀察，e與A平行時，f的方向導數最大，且大小A.e=|A|，稱A是f的梯度場向量值函數的切平面、微分、偏導F(X)=(f1(X),f2(X),fm(X)，若所有fi在X0處可微，則稱F在X0處可微，即F(X)=F(X0)+A(X-X0)+o(|X-X0|)，其中A=(aij)m*n=F/ X=(f1,f2,fm)/ (x1,x2,xn)=J(F(X0)稱為F在X0處的Jacobian

3、(F的Jacobian的第i行是F的Fi分量的梯度， aij := Fi / xj)F的全微分dF=AdX當m=n時，F有散度Div(F)和旋度Curl(F)Div(F) = .F=f1/x1 +fm/ xm Curl(F) = ×F復合函數求導一階偏導：若G=G(X)在X0可微，F=F(U) (U=G(X)在G(X0)可微，則FG在X0處可微，J(FG) = J(F(U) J(G(X)具體地，對于多元函數f(U)=f(u1,um)，其中U=G(X)即ui=g(x1,xn)f/xj = f/U * U/xj= Sumf/ui * ui/xj for each ui in U高階偏導：

4、不要忘記偏導數還是復合函數例：f(U):=f(u1,u2), U(X):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2)2f/(x1)2 = 數學分析教程P151隱函數、隱向量值函數由F(X,Y)=0確定的函數Y=f(X)稱為隱函數隱函數：1. 存在定理：若n+1元函數F(X,y)在零點(X0,y0)處導數連續，且(F)/(y)(X0,y0)<>0，則存在(X0,y0)附近的超圓柱體B=B(X0)*B(y0)，使得B(X0)上的任意一點X可以確定一個y使得F(X,y)=0，即函數F在B內確定了一個隱函數y=f(X)，而且這個隱函數的一階偏導數也連續注：如果(F)/(y)=0，那么在X=X

5、0超平面上，y在X0處取得了極值，那么沿曲面被X=X0截的曲線從X0處向任意方向走，y都會減小，所以y是雙值函數，不是函數2.偏導公式：在B內的(X,y)處，yxi=-F/xiF/y或者說yX=-F/XF/y不正式的證明：F(X,y)0, 所以F/xi=0,即SumF/xj * xj/xi=0 (把y記做xn+1)由于X的各分量都是自變量，xj/xi=0 (i<>j)所以 F/ xi + F/y * y/ xi=0于是立即可得上述公式隱向量值函數：1.存在定理：若XRn,YRm，m維n+m元向量值函數F(X,Y)=0，在P0=(X0,Y0)點的某個鄰域B(P0,r)內是C(1)類函

6、數， F(P0)=0，且F/Y可逆，則存在P0的鄰域B(X0)*B(Y0)，使得對于在B(X0)內的任意X，存在唯一YB(Y0)滿足F(X,Y)=0，即F在B內確定了一個連續可微隱函數Y=f(X)2.偏導公式：J(f):= (y1,ym)/ (x1,xn) := Y/X = -F/Y-1 * F/X注：1.求逆矩陣用伴隨矩陣的方法，A-1=A*/|A|，A*是A的余子矩陣的轉置2.如果只求J(f)中的一列，(Y)/(xi)= -(F)/(Y)-1 * (F)/(xi)3.如果只求J(f)中的一行或者一個元素，問題退化成隱函數偏導的問題4.計算F/X時，忽略Y是X的函數，將Y當作自變量計算（從證

7、明中可以看出原因，因為y/x的成分被移到了等式左側J(f)里面)，而不用偏導公式，采取對F(X,Y)=0左右同時對xi求偏導的方法時，Y要看做xi的函數）3.隱向量值函數的反函數：函數Y=f(X)將Rn映射至Rm，如果J(f)= f/X可逆，那么存在f的反函數X=f-1(Y)，且J(f-1)=J(f)-1注：1.求逆矩陣用伴隨矩陣的方法，A-1=A*/|A|，A*是A的余子矩陣的轉置2.|J(f-1)|=|J(f)|-1用參數形式給出的隱函數若有x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，則需要列方程求曲面和曲線的切平面、法線、法向量三維空間下，函數F(x,y,z)=0確定了一個曲面

8、。如果F在點P處滿足(1) F在P處連續可微(2) F在P處不為0則稱P是曲面上的正則點如果曲面在正則點P0(x0,y0,z0)處有法向量n(nx,ny,nz)，A=(x-x0,y-y0,z-z0)，則S在P點的切平面方程為n.A=0,法線方程(x-x0)/nx=(y-y0)/ny=(z-z0)/nz (約定分母為0時分子也為0)過P0(x0,y0,z0)與n1=(x1,y1,z1)和n2=(x2,y2,z2)都垂直的直線有標準方程：(X-X0).n1=(X-X0).n2=0，具體地:x1(x-x0)+y1(y-y0)+z1(z-z0)=0x2(x-x0)+y2(y-y0)+z2(z-z0)=

9、0I. 曲面的顯式表示法z=f(x,y)是曲面S的顯式表示正則點P0(x0,y0,z0)處，S的法向量n=(f/x, f/y, -1)II. 曲面的隱式表示法F(x,y,z)=0是曲面的隱式表示法正則點P0處，n=(z/x, z/y, -1) =(-(F/x) / (F/z) , -(F/y) /(F/z) , -1) =(F/x , F/y , F/z)III. 曲線的參數表示法L=x=x(t),y=y(t),z=z(t)是曲線的參數方程正則點P處，t=(x,y,z)是L在P處的切向量，以t為法線的平面稱為L在P處的切平面IV. 曲面的參數表示法S=x=x(u,v),y=y(u,v),z=z

10、(u,v)是曲面的參數表示法取通過正則點P的v-曲線Su=u0和u-曲線Sv=v0，在正則點處取切向量，t1=(xu,yu,zu)，t2=(xv,yv,zv)，正則點處的法向量必與t1、t2垂直，可以取n= t1×t2P點處的切平面T可以直接用u、v的參數表示T: X-X0 = J(X).(u-u0,v-v0)，具體就是x-x0 = xu(u-u0)+xv(v-v0)y-y0 = yu(u-u0)+yv(v-v0)z-z0 = zu(u-u0)+zv(v-v0)V.曲線的標準表示法兩個曲面F(x,y,z)=0與G(x,y,z)=0的公共解可以確定它們的交線L。正則點P處，L的切向量應

11、該與F的法向量n1、G的法向量n2都垂直，可以取t=n1×n2Taylor公式、函數的極值與最值、Lagrange乘子法定義函數f(X)在X0點的Hessian：H(f)|X0:=H(f(X0):=H(X0)=(2f/xixj)n*nTaylor定理：f(X0+X)=f(X0) + f(X0).X + 1/2(X)T.H(X0+X) . (X) (0<=<=1)f(X0+X)=f(X0) + f(X0).X + 1/2(X)T.H(X0) . (X) + o(|X|2)Sketch of proof: f在B(X0)內二階可微，在B(X0)內任取X= X0+X，令g(t)

12、=f(X0+X)，g(t)= f(X0).X，g(t)= (X)T.H(X0+X) . (X)，直接應用一元Taylor公式即可。極值若X0處有f(X0)=0，則稱X0是f的一個駐點在駐點X0處，如果有H(X0)正定，則X0是f的極小值；如果H(X0)負定，X0是f的極大值，否則X0是f的鞍點Sketch of proof: X0附近，f(X0+X) - f(X0)= f(X0).X + 1/2(X)T.H(X0) . (X) + o(|X|2)，而由駐點條件f(X0).X=0，o(|X|2)是無窮小，在足夠小的區域內(X)T.H(X0) . (X)決定了函數值變化的符號，如果它恒正，那么H(

13、X0)是正定矩陣；恒負，H(X0)是負定矩陣。說明：(1) 由線性代數的知識，如果A的所有特征值均為正，A正定；A的特征值均為負，A負定，而且設A的最小、最大特征值為、，那么X.X<=XTAX<=X.X(2) 特殊地，如果H(X0)是二階方陣，那么|H|>0時H可定，其中2f/x1x1>0時H正定，2f/x1x1<0時H負定，2f/x1x1=0，H不定Lagrange乘子法若f在內連續可微，則f的最值點一定在駐點或者處取得。單獨的點處f的值易求，連續邊集內f的最值可由下述Lagrange乘子法求得：對于函數z=f(X)在限制條件(X):=(1(X), m(X)=0

14、下的極值，若/X滿秩，定義Lagrange乘子函數L(X, ) := L(X,1, m) = f(X) + . (X) = f(X) + ii(X) (i=1,m)，f的極值點一定取在L的駐點處。注意：1.限制條件是(X)=0，如果右側不是零向量，不要忘記移項2.如果限制條件(X)=0構成了“流形”（有界無邊），那么f的最值點一定取在L的駐點處含參積分多元函數的連續性：對于上的函數f，>0,X0, =(,X0)>0 s.t. |f(X)-f(X0)|< XB(,X0)若與X0無關，則稱f在上一致連續多元函數的一致連續性：>0, =()>0 s.t. X,X, 若|

15、X-X|<則|f(X)-f(X)|<說明：1.與一元微積分相似，若是有界閉集且f在上連續，則f在上一致連續2.連續性條件中的與X無關，或者說對于X都有同一個，則f一致連續設f(x,y)在Q=a,b×c,d上有定義，則稱<c,d> f(x,y)dy為含參積分，x是參變量，y是積分變量定義三維幾何體=(x,y,z)|(x,y)Q,z<=f(x,y)，的體積V=a,bSdx,S(x)=<c,d>f(x,y)dy,那么V=<a,b>(dx<c,d>f(x,y)dy)是積分的幾何意義常用含參積分：(x) = <0,+>

16、;e-t tx-1 dt(x,y) = <0,1>tx-1(1-t)y-1dt廣義含參積分：含參積分的性質：以森林為例，木材、藥品、休閑娛樂、植物基因、教育、人類住區等都是森林的直接使用價值。令I(x)=<c,d>f(x,y)dy，xa,b，D=a,b×c,d1.建設項目環境影響評價分類管理的原則規定1.若f(x,y)在D上連續，則I(x)在D上連續2.若f(x,y)和f/x在D上都連續，則I(x)在a,b上可微，且I(x) = <c,d> (f/x) dy2.(推廣形式)若f(x,y)和f/x在D上都連續，則 = <(x), (x)>

17、f(x,y)dy可微，且(x) = f(x, (x) (x) f(x, (x) (x) + <(x), (x)> (f(x,y)/x) dy（2）疾病成本法與人力資本法3. <a,b>(dx<c,d>f(x,y)dy) = <c,d> (dy<a,b>f(x,y)dx)常用廣義含參積分：第二節安全預評價Poisson積分<0,+>e-x2dx = sqrt()/21）直接使用價值。直接使用價值（DUV）是由環境資源對目前的生產或消費的直接貢獻來決定的。Dirichlet積分<0,+>(sinx/x)dx = /

18、2一元廣義積分收斂性1.<1,+>xpdx收斂p<-1發散p>=-11）規劃實施對環境可能造成影響的分析、預測和評估。主要包括資源環境承載能力分析、不良環境影響的分析和預測以及與相關規劃的環境協調性分析。2. 1+sintxxpdx安全預評價方法可分為定性評價方法和定量評價方法。絕對收斂p>1條件收斂0<p<=1發散p<=0廣義積分的收斂性1.(Cauchy)若>0, A=A()>0, A,A>A, yc,d, |A->A f(x,y)dx|<, 則無界區間上的廣義積分<a, +> f(x,y)關于y一致收斂1.環境的概念2.(Dirichlet)若對足夠大的A，有一致有界積分<a,A>f(x,y)dx和對x單調的g有limx->+g(x,y)=0關于yc,d一致成立，則廣義積分<a,+ >f(x,y)g(x,y)dx一致收斂(有界的廣義積分×無窮處的0)3.(Abel)對于yc,d有一致收斂的廣義積分f(x,y)dx和對y一致有界、對x單調的g(x,y)，則廣義積分&