1、4.7 4.7 正弦定理、余弦定理應用舉例正弦定理、余弦定理應用舉例要點梳理要點梳理1.1.解斜三角形的常見類型及解法解斜三角形的常見類型及解法 在三角形的在三角形的6 6個元素中要已知三個（除三角外）個元素中要已知三個（除三角外） 才能求解，常見類型及其解法如表所示才能求解，常見類型及其解法如表所示. . 已知條件已知條件應用定理應用定理 一般解法一般解法一邊和兩角一邊和兩角( (如如a a, ,B B, ,C C) )正弦定量正弦定量由由A A+ +B B+ +C C=180=180, ,求求角角A A；由正弦定理求；由正弦定理求出出b b與與c c. .在有解時只有一解在有解時只有一解

2、題型分類題型分類 深度剖析深度剖析兩邊和夾角兩邊和夾角( (如如a a, ,b b, ,C C) )余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理 由余弦定理求第三邊由余弦定理求第三邊c c; ;由正弦定理求出小由正弦定理求出小邊所對的角；再由邊所對的角；再由A A+ +B B+ +C C=180=180求出另一角求出另一角. .在有解時只有一解在有解時只有一解 三邊三邊 ( (a a, ,b b, ,c c) ) 余弦定理余弦定理 由余弦定理求出角由余弦定理求出角A A、B B；再利用；再利用A A+ +B B+ +C C=180=180, ,求出角求出角C C. .在有解時只有一解在有解時只有一解 兩邊

3、和其中兩邊和其中一邊的對角一邊的對角（如（如a a, ,b b, ,A A) ) 正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理 由正弦定理求出角由正弦定理求出角B B；由由A A+ +B B+ +C C=180=180，求出，求出角角C C；再利用正弦定理；再利用正弦定理或余弦定理求或余弦定理求c c. .可有兩解，一解或無解可有兩解，一解或無解 2.2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型 測量距離問題、高度問題、角度問題，計算面測量距離問題、高度問題、角度問題，計算面 積問題、航海問題、物理問題等積問題、航海問題、物理問題等. .3.3.實際問題中的常用角實際問

4、題中的常用角 （1 1）仰角和俯角）仰角和俯角 與目標線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標與目標線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標 視線的夾角視線的夾角, ,目標視線在水平視線目標視線在水平視線 叫仰角叫仰角, , 目標視線在水平視線目標視線在水平視線 叫俯角（如圖叫俯角（如圖）. . 上方上方下方下方(2)(2)方位角方位角指從指從 方向順時針轉到目標方向線的水平角，方向順時針轉到目標方向線的水平角，如如B B點的方位角為點的方位角為（如圖（如圖）. .（3 3）坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數）坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數. .正北正北基礎自測基礎自測1.1.在某次測量中，在在某

5、次測量中，在A A處測得同一半平面方向的處測得同一半平面方向的B B 點的仰角是點的仰角是6060, ,C C點的俯角為點的俯角為7070，則，則BACBAC 等于（等于（ ） A.10A.10 B.50 B.50 C.120 C.120 D.130 D.130 解析解析 由已知由已知BADBAD=60=60,CADCAD=70=70, , BACBAC=60=60+70+70=130=130. .D2.2.兩座燈塔兩座燈塔A A和和B B與海岸觀察站與海岸觀察站C C的距離相等的距離相等, ,燈塔燈塔 A A在觀察站北偏東在觀察站北偏東4040, ,燈塔燈塔B B在觀察站南偏在觀察站南偏 東

6、東6060，則燈塔，則燈塔A A在燈塔在燈塔B B的（的（ ） A.A.北偏東北偏東1010 B. B.北偏西北偏西1010 C. C.南偏東南偏東1010 D. D.南偏西南偏西1010 解析解析 燈塔燈塔A A、B B的相對位置如圖所示，的相對位置如圖所示， 由已知得由已知得ACBACB=80=80， CABCAB=CBACBA=50=50， 則則=60=60-50-50=10=10. .B3.3.在在ABCABC中，中，ABAB=3=3，BCBC= = ，ACAC=4=4，則邊，則邊ACAC 上的高為（上的高為（ ） A. B. C. D.A. B. C. D. 解析解析 由余弦定理可得

7、：由余弦定理可得：132233232333. 323233sin,23sin.21432)13(342cos222222AABhACAABACBCABACA邊上的高則B4.4.ABCABC中中, ,若若A A=60=60, ,b b=16,=16,此三角形面積此三角形面積 則則a a的值為（的值為（ ） A.20 B.25 C.55 D.49A.20 B.25 C.55 D.49 解析解析 由由S S= = bcbcsinsin A A=220 ,=220 ,得得c c=55.=55. 由余弦定理得由余弦定理得 a a2 2=16=162 2+55+552 2-2-216165555cos 6

8、0cos 60=2 401,=2 401, a a=49.=49., 3220S213D65.5.(2009(2009湖南文，湖南文，14)14)在銳角在銳角ABCABC中中, ,BCBC=1,=1,B B=2=2A A, , 則則 的值等于的值等于 , ,ACAC的取值范圍為的取值范圍為 . . 解析解析AACcos,sinsin:BACABC由正弦定理. 32,cos2,23cos22,46,230,220,20,3,3,. 22cos,cossin22sinsinACAACAAAAAACCACBABCAACAAACAACABC又2 2)3, 2( 題型分類題型分類 深度剖析深度剖析 題型

9、一題型一 與距離有關的問題與距離有關的問題 要測量對岸要測量對岸A A、B B兩點之間的距離，選取兩點之間的距離，選取 相距相距 kmkm的的C C、D D兩點兩點, ,并測得并測得ACBACB=75=75, , BCDBCD=45=45,ADCADC=30=30,ADBADB=45=45, ,求求 A A、B B之間的距離之間的距離. . 分析題意，作出草圖，綜合運用正、分析題意，作出草圖，綜合運用正、 余弦定理求解余弦定理求解. .3解解 如圖所示在如圖所示在ACDACD中，中，ACDACD=120=120，CADCAD=ADCADC=30=30，ACAC= =CDCD= km.= km.

10、在在BCDBCD中，中，BCDBCD=45=45，BDCBDC=75=75，CBDCBD=60=60. .在在ABCABC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得.22660sin75sin3BC.km5(km).5, 5332375cos22632)226()3(222之間的距離為A、ABAB3B 求距離問題要注意：求距離問題要注意：（1 1）選定或確定要創建的三角形，要首先確定所）選定或確定要創建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解解. .

11、（2 2）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理用，就選擇更便于計算的定理. .知能遷移知能遷移1 1（20092009海南海南, ,寧夏理，寧夏理， 1717）為了測量兩山頂為了測量兩山頂MM、N N間的間的 距離，飛機沿水平方向在距離，飛機沿水平方向在A A、B B 兩點進行測量，兩點進行測量，A A、B B、MM、N N在同一個鉛垂平面在同一個鉛垂平面 內（如示意圖）內（如示意圖）. .飛機能夠測量的數據有俯角和飛機能夠測量的數據有俯角和 A A、B B間的距離，請設計一個方案，包括：間的距離，請設計一個方案，包括：指指 出需

12、要測量的數據出需要測量的數據( (用字母表示用字母表示, ,并在圖中標并在圖中標 出出) )；用文字和公式寫出計算用文字和公式寫出計算MM、N N間的距離間的距離 的步驟的步驟. .解解 方案一方案一：需要測量的數據有：需要測量的數據有：A A點到點到MM、N N點的俯角點的俯角1 1、1 1；B B點到點到MM、N N點的俯角點的俯角2 2、2 2；A A、B B的距離的距離d d( (如圖所示如圖所示).).第一步：計算第一步：計算AMAM. .由正弦定理由正弦定理第二步：計算第二步：計算ANAN. .由正弦定理由正弦定理第三步：計算第三步：計算MNMN. .由余弦定理由余弦定理;)sin

13、(sin212dAM;)sin(sin122dAN)cos(21122ANAMANAMMN方案二方案二：需要測量的數據有：需要測量的數據有：A A點到點到MM、N N點的點的俯角俯角1 1、1 1；B B點到點到MM、N N點的俯角點的俯角2 2、2 2; ;A A、B B的距離的距離d d（如圖所示）（如圖所示）. .第一步：計算第一步：計算BMBM. .由正弦定理由正弦定理第二步：計算第二步：計算BNBN. .由正弦定理由正弦定理第三步：計算第三步：計算MNMN. .由余弦定理由余弦定理;)sin(sin211dBM;)sin(sin121dBN. )cos(22222BNBMBNBMMN

14、題型二題型二 與高度有關的問題與高度有關的問題 某人在塔的正東沿著南偏西某人在塔的正東沿著南偏西6060的方向的方向 前進前進4040米后，望見塔在東北方向，若沿途測得米后，望見塔在東北方向，若沿途測得 塔頂的最大仰角為塔頂的最大仰角為3030，求塔高，求塔高. . 依題意畫圖，某人在依題意畫圖，某人在C C 處處, ,ABAB為塔高為塔高, ,他沿他沿CDCD前進，前進，CDCD= = 40 40米，此時米，此時DBFDBF=45=45, ,從從C C到到D D 沿途測塔的仰角，只有沿途測塔的仰角，只有B B到測試點到測試點 的距離最短時，仰角才最大，這是因為的距離最短時，仰角才最大，這是因

15、為tantanAEBAEB = = ABAB為定值，為定值，BEBE最小時，仰角最大最小時，仰角最大. .要求出要求出 塔高塔高ABAB, ,必須先求必須先求BEBE，而要求，而要求BEBE，需先求，需先求BDBD （或（或BCBC）. .,BEAB解解 如圖所示，某人在如圖所示，某人在C C處，處，ABAB為塔高，他沿為塔高，他沿CDCD前進，前進，CDCD=40=40，此時，此時DBFDBF=45=45，過點，過點B B作作BEBECDCD于于E E，則，則AEBAEB=30=30，在在BCDBCD中中, ,CDCD=40,=40,BCDBCD=30=30,DBCDBC=135=135,

16、, BDEBDE=180=180-135-135-30-30=15=15. .在在RtRtBEDBED中，中，BEBE= =DBDBsin 15sin 15在在RtRtABEABE中，中，AEBAEB=30=30，ABAB= =BEBEtan 30tan 30= =故所求的塔高為故所求的塔高為,sinsin,BCDBDDBCCD得由正弦定理. 220135sin30sin40BD).13(10426220).)(33(310米.)33(310米 解斜三角形應用題的一般步驟是：解斜三角形應用題的一般步驟是：（1 1）準確理解題意，分清已知與所求；）準確理解題意，分清已知與所求；（2 2）依題意畫

17、出示意圖；）依題意畫出示意圖；（3 3）分析與問題有關的三角形；）分析與問題有關的三角形；（4 4）運用正、余弦定理，有序地解相關的三角）運用正、余弦定理，有序地解相關的三角形，逐步求解問題的答案；形，逐步求解問題的答案；（5 5）注意方程思想的運用；）注意方程思想的運用；（6 6）要綜合運用立體幾何知識與平面幾何知識）要綜合運用立體幾何知識與平面幾何知識. .知能遷移知能遷移2 2 如圖所示，測量河對岸的如圖所示，測量河對岸的 塔高塔高ABAB時，可以選與塔底時，可以選與塔底B B在同一水在同一水 平面內的兩個測點平面內的兩個測點C C與與D D，現測得，現測得 BCDBCD= =，BDCB

18、DC= =，CDCD= =s s，并，并 在點在點C C測得塔頂測得塔頂A A的仰角為的仰角為，求塔高，求塔高ABAB. . 解解 在在BCDBCD中，中，CBDCBD=-=- -.)sin(sintantan,Rt)sin(sinsinsin,sinsinsACBBCABABCsCBDBDCCDBCCBDCDBDCBC中在所以由正弦定理得題型三題型三 正、余弦定理在平面幾何中的綜合應用正、余弦定理在平面幾何中的綜合應用 (12(12分分) )如圖所示如圖所示, ,在梯形在梯形ABCDABCD中，中， ADADBCBC，ABAB=5=5，ACAC=9=9，BCABCA=30=30， ADBAD

19、B=45=45，求，求BDBD的長的長. . 由于由于ABAB=5=5，ADBADB=45=45，因此要，因此要 求求BDBD，可在，可在ABDABD中，由正弦定理求解中，由正弦定理求解, ,關鍵關鍵 是確定是確定BADBAD的正弦值的正弦值. .在在ABCABC中中, ,ABAB=5,=5, ACAC=9=9，ACBACB=30=30, ,因此可用正弦定理求因此可用正弦定理求 出出sinsinABCABC, ,再依據再依據ABCABC與與BADBAD互補確定互補確定 sinsinBADBAD即可即可. .解解 在在ABCABC中，中，ABAB=5=5，ACAC=9=9，BCABCA=30=3

20、0. . ADADBCBC，BADBAD=180=180-ABCABC, ,于是于是sinsinBADBAD=sin=sinABCABC= . 8= . 8分分 同理，在同理，在ABDABD中，中，ABAB=5=5，sinsinBADBAD= = ，ADBADB=45=45，解得，解得BDBD= .= .故故BDBD的長為的長為 . . 要利用正、余弦定理解決問題要利用正、余弦定理解決問題, ,需將需將 多邊形分割成若干個三角形多邊形分割成若干個三角形. .在分割時，要注意在分割時，要注意 有利于應用正、余弦定理有利于應用正、余弦定理. .109530sin9sinsin,sinsin,ABB

21、CAACABCABCACBCAAB得由正弦定理10966分分 1092292291212分分 解題示范解題示范知能遷移知能遷移3 3 如圖所示，已知半圓的直徑如圖所示，已知半圓的直徑ABAB=2=2， 點點C C在在ABAB的延長線上，的延長線上，BCBC=1=1，點，點P P為半圓上的為半圓上的 一個動點，以一個動點，以DCDC為邊作等邊為邊作等邊PCDPCD，且點，且點D D與與 圓心圓心O O分別在分別在PCPC的兩側，求四邊形的兩側，求四邊形OPDCOPDC面積的面積的 最大值最大值. .解解 設設POBPOB= =，四邊形面積為，四邊形面積為y y，則在則在POCPOC中，由余弦定理

22、得中，由余弦定理得PCPC2 2= =OPOP2 2+ +OCOC2 2-2-2OPOPOCOCcos cos =5-4cos =5-4cos . .4352.4352,65,23.435)3sin(2)cos45(43sin2121max面積的最大值為所以四邊形時即當OPDCySSyPCDOPC方法與技巧方法與技巧1.1.合理應用仰角、俯角、方位角、方向角等概念合理應用仰角、俯角、方位角、方向角等概念 建立三角函數模型建立三角函數模型. .2.2.把生活中的問題化為二維空間解決，即在一個把生活中的問題化為二維空間解決，即在一個 平面上利用三角函數求值平面上利用三角函數求值. .3.3.合理運

23、用換元法、代入法解決實際問題合理運用換元法、代入法解決實際問題. .思想方法思想方法 感悟總結感悟總結失誤與防范失誤與防范在解實際問題時，應正確理解如下角的含義在解實際問題時，應正確理解如下角的含義. .1.1.方向角方向角從指定方向線到目標方向線的水平角從指定方向線到目標方向線的水平角. .2.2.方位角方位角從正北方向線順時針到目標方向線從正北方向線順時針到目標方向線 的水平角的水平角. .3.3.坡度坡度坡面與水平面的二面角的度數坡面與水平面的二面角的度數. .4.4.仰角與俯角仰角與俯角與目標視線在同一鉛直平面內與目標視線在同一鉛直平面內 的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水的水平

24、視線和目標視線的夾角，目標視線在水 平視線上方時稱為仰角，目標視線在水平視線平視線上方時稱為仰角，目標視線在水平視線 下方時稱為俯角下方時稱為俯角. .一、選擇題一、選擇題1.1.在在200 m200 m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別 是是3030，6060, ,則塔高為（則塔高為（ ） 解析解析 作出示意圖如圖，作出示意圖如圖， 由已知：在由已知：在RtRtOACOAC中，中， OAOA=200=200，OACOAC=30=30， 則則OCOC= =OAOAtantanOACOAC =200tan 30 =200tan 30= = 在在R

25、tRtABDABD中，中，ADAD= = ，BADBAD=30=30， 則則BDBD= =ADADtantanBADBAD= =m3200.Dm33200.Cm33400.Bm3400.A.3320033200.33200,320030tan.34003200200BDCDBCA定時檢測定時檢測2.2.一船向正北航行，看見正西方向有相距一船向正北航行，看見正西方向有相距1010海里的兩海里的兩 個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續航行半小時個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續航行半小時 后，看見一燈塔在船的南偏西后，看見一燈塔在船的南偏西6060，另一燈塔在船，另一燈塔在船 的南偏西的南偏西7575，

26、則這艘船的速度是每小時（，則這艘船的速度是每小時（ ） A.5A.5海里海里 B.5 B.5 海里海里 C.10C.10海里海里 D.10 D.10 海里海里 解析解析 如圖所示，依題意有如圖所示，依題意有BACBAC=60=60， BADBAD=75=75， 所以所以CADCAD=CDACDA=15=15， 從而從而CDCD= =CACA=10=10， 在在RtRtABCABC中，得中，得ABAB=5=5， 于是這艘船的速度是于是這艘船的速度是 （海里（海里/ /小時）小時）. .105 . 05C333.3.如圖所示，已知兩座燈塔如圖所示，已知兩座燈塔A A和和B B與與 海洋觀察站海洋觀

27、察站C C的距離都等于的距離都等于a a km, km, 燈塔燈塔A A在觀察站在觀察站C C的北偏東的北偏東2020， 燈塔燈塔B B 在觀察站在觀察站C C的南偏東的南偏東4040， 則燈塔則燈塔A A與燈塔與燈塔B B的距離為（的距離為（ ） A.A.a a km B. km B. a a km km C. C. a a km D.2 km D.2a a km km 解析解析 利用余弦定理解利用余弦定理解ABCABC. .易知易知ACBACB=120=120, , 在在ABCABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得ABAB2 2= =ACAC2 2+ +BCBC2 2-2-2ACAC BC

28、BCcoscos 120 120=2=2a a2 2-2-2a a2 232.3,3)21(2aABaB4.4.一船自西向東勻速航行，上午一船自西向東勻速航行，上午1010時到達一座燈塔時到達一座燈塔P P 的南偏西的南偏西7575距塔距塔6868海里的海里的MM處處, ,下午下午2 2時到達這座時到達這座 燈塔的東南方向的燈塔的東南方向的N N處，則這只船的航行速度為處，則這只船的航行速度為（ ） A. A. 海里海里/ /小時小時 B. B. 海里海里/ /小時小時 C. C. 海里海里/ /小時小時 D. D. 海里海里/ /小時小時26176342217234解析解析 如圖所示，在如圖

29、所示，在PMNPMN中，中，,120sin45sinMNPM)./(26174, 6342368小時海里MNvMN答案答案 A5.5.如圖，一貨輪航行到如圖，一貨輪航行到MM處處, ,測得燈塔測得燈塔S S 在貨輪的北偏東在貨輪的北偏東1515, ,與燈塔與燈塔S S相距相距2020 海里海里, ,隨后貨輪按北偏西隨后貨輪按北偏西3030的方向航的方向航 行行3030分鐘后分鐘后, ,又測得燈塔在貨輪的東北又測得燈塔在貨輪的東北 方向方向, ,則貨輪的速度為（則貨輪的速度為（ ） A.20 A.20 海里海里/ /小時小時 B.20 B.20 海里海里/ /小時小時 C.20 C.20 海里海

30、里/ /小時小時 D.20 D.20 海里海里/ /小時小時)62()26()36()36(解析解析 由題意知由題意知SMSM=20,=20,SNMSNM=105=105, ,NMSNMS=45=45, ,答案答案 B B./)26(2021)26(10).26(10105sin10.105sin2030sin,30小時海里貨輪航行的速度vMNMNMSN6.6.線段線段ABAB外有一點外有一點C C,ABCABC=60=60, , AB AB=200 km,=200 km,汽車以汽車以 80 km/h80 km/h的速度由的速度由A A向向B B行駛，同時摩托車以行駛，同時摩托車以50 km/

31、h50 km/h 的速度由的速度由B B向向C C行駛行駛, ,則運動開始則運動開始 h h后，兩車的距后，兩車的距 離最小離最小. . 解析解析 如圖所示，設如圖所示，設t t h h后后, ,汽汽 車由車由A A行駛到行駛到D D，摩托車由，摩托車由B B行行 駛到駛到E E，則，則ADAD=80=80t t，BEBE=50=50t t. . 因為因為ABAB=200=200，所以，所以BDBD=200-80=200-80t t， 問題就是求問題就是求DEDE最小時最小時t t的值的值. . 由余弦定理：由余弦定理：DEDE2 2= =BDBD2 2+ +BEBE2 2-2-2BDBDBE

32、BEcos 60cos 60 =(200-80 =(200-80t t) )2 2+2 500+2 500t t2 2-(200-80-(200-80t t)50)50t t =12 900 =12 900t t2 2-42 000-42 000t t+40 000.+40 000.,4370最小時當DEt 4370二、填空題二、填空題7.7.在在ABCABC中中, ,BCBC=1,=1,B B= = ，當，當ABCABC的面積等于的面積等于 時，時，tan tan C C= = . . 解析解析 S SABCABC= = acacsinsin B B= ,= ,c c=4.=4. 由余弦定理

33、由余弦定理：b b2 2= =a a2 2+ +c c2 2-2-2acaccos cos B B=13,=13,3213. 3212tan,1312sin,1312cos222CCabcbaC3238.8.在在ABCABC中中, ,ACAC= = ，BCBC=2=2，B B=60=60, ,則則A A的大小的大小 是是 ，ABAB= = . . 解析解析6.22sin,60sin6sin2AA由正弦定理. 13,45sin275sin.75.45.,62ABABCAAACBC為銳角4545 139.9.甲船在甲船在A A處觀察乙船處觀察乙船, ,乙船在它的北偏東乙船在它的北偏東6060的方向

34、的方向, ,兩船兩船 相距相距a a海里海里, ,乙船正向北行駛乙船正向北行駛, , 若甲船是乙船速度的若甲船是乙船速度的 倍，則甲船應取方向倍，則甲船應取方向 才能追上乙船；追上才能追上乙船；追上 時甲船行駛了時甲船行駛了 海里海里. . 解析解析 如圖所示，設到如圖所示，設到C C點甲船追上乙船，點甲船追上乙船， 乙到乙到C C地用的時間為地用的時間為t t，乙船的速度為，乙船的速度為v, v, 則則BCBC= =tv tv，ACAC= = tv tv，B B=120=120， BCBC= =ABAB= =a a， ACAC2 2= =ABAB2 2+ +BCBC2 2-2-2ABABBC

35、BCcos 120cos 1203,30,30,21sin,120sin3sin1,sinsinACBCABCABCABBACCABBC由正弦定理知.3,3)21(22222aACaaaa北偏東北偏東3030 a33三、解答題三、解答題10.10.如圖所示如圖所示, ,扇形扇形AOBAOB, ,圓心角圓心角AOBAOB等等 于于6060, ,半徑為半徑為2,2,在弧在弧ABAB上有一動點上有一動點 P P，過，過P P引平行于引平行于OBOB的直線和的直線和OAOA交于交于 點點C C，設，設AOPAOP= =，求，求POCPOC 面積的最大值及此時面積的最大值及此時的值的值. . 解解 CPCPOBOB，CPOCPO=POBPOB=60=60- -， OCPOCP=120=120. . 在在POCPOC中，由正弦定理得中，由正弦定理得,sinsinCPPCOOP).60sin(34,120sin2)60sin(.sin34,sin120sin2OCOCCPCP又.33)(,633)62sin(332332cos332sinsin32cossin