1、幾何證明舉例?第 1 課時教案 拓展版教學(xué)目標(biāo)知識與技能1證明角、角、邊定理 2能靈活運用全等三角形全等的性質(zhì)定理和判定定理證明線段或角相等 過程與方法 經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，體會分析問題的方法，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗 情感與態(tài)度 在證明過程中體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，通過獨立解決問題，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、團(tuán)結(jié)協(xié)作的 精神，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗教學(xué)重點 運用全等三角形全等的性質(zhì)定理和判定定理證明線段或角相等教學(xué)難點 靈活運用分析法和綜合法教學(xué)過程一、自學(xué)導(dǎo)入1全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊 ，對應(yīng)角 2全等三角形的判定：3利用根本領(lǐng)實，證明兩角分別相等且其中一組等角的對邊也相等的兩個三角形全等 師生

2、活動： 學(xué)生預(yù)習(xí)課本，獨立完成之后分小組交流討論，暢所欲言，教師指導(dǎo)， 答疑解惑學(xué)生代表扮演講解答： 1相等，相等2 1三邊分別相等的兩個三角形全等；2兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等；3兩角分別相等且其中一組等角的對邊也相等的兩個三角形全等；4兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等；3. ：如圖，在 ABC 和厶 ABC'中，AB = A'B'，/ B = Z B'，/ C=Z C'. 求證： ABC A'B'C'.A'證明：在厶ABC和厶ABC'中，/A+Z B+Z C= 180°，/ A'

3、 + Z B' + Z C' = 180°./A= 180°Z B Z C ,Z A' = 180°Z B' Z C'.vZ B=Z B', Z C =Z C'. Z A=Z A'./ AB= A'B'()， ABCA A'B'C' (ASA ).教師說明：這就是 全等三角形的判定定理：兩角分別相等且其中一組等角的對邊也相等的兩個三角形全等.教師提出問題：(1) 判定兩個三角形全等的方法？(2) 證明兩個三角形全等的作用是什么？學(xué)生自己總結(jié)歸納.(1) 根本領(lǐng)實

4、：SSS, SAS, ASA及判定定理 AAS .(2) 用來證明線段相等或者角相等.設(shè)計意圖：通過學(xué)生自主學(xué)習(xí)，合作探究，根據(jù)已學(xué)的根本領(lǐng)實來證明，學(xué)生進(jìn)一步 體會幾何證明的書寫格式，開展學(xué)生推理的能力.二、探究新知1. ：如下圖， AC= BD , AE = CF , BE = DF .求證： ABECDF .2. BE = CF , AB= DC , AB / CD,求證： ABE DCF .3. ：如下圖，/ 1 = Z 2, BD = CE,/ BAC = Z DAE，求證:ABD ACE .師生活動：學(xué)生獨立完成，板演講解，師生共同歸納證明三角形全等的思路. 答：1.證明：在 AB

5、E和厶CDF中，/ AC= BD ， AC+ CB = BD + CB 等式的性質(zhì)，即 AB= DC./ AE= CF，BE= DF， ABE CDF SSS.2. 證明：在 ABE和厶DCF中，TAB/ CD ，/ ABE =/ DCF 兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等./ BE= CF，AB= DC ， ABE DCF SAS.3. 證明：在 ABD和厶ACE中，T/ BAC=/ DAE，AC= BD ， / BAC-/ DAC = / DAE / DAC 等式的性質(zhì).即/ BAD = / CAE .t/ 1=/ 2，BD = CE， ABD ACE AAS .歸納：要想證明兩個三

6、角形全等，需要 3個條件.1兩組邊分別對應(yīng)相等.一夾角，利用SAS;一邊，利用SSS.2一邊一角分別對應(yīng)相等，還需1個任意的角，利用 AAS或ASA .設(shè)計意圖：通過練習(xí)，感受證明三角形全等需要的條件，分析證明思路.三、例題精講例1.：如下圖， AB= CB, AD = CD .求證：/ A =Z C .CA師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析條件與結(jié)論之間的聯(lián)系兩組邊分別相等，但這兩組邊沒有在兩個全等三角形中，那怎么辦呢？由此啟發(fā)學(xué)生添加輔助線來解決.CA證明：連接DB 在 ABD和厶CBD中，/ AB= CD , AD = CD ，BD = BD 公共邊， ABD CBD SSS,/ A=Z C 全

7、等三角形對應(yīng)角的定義.師生歸納：證明兩個角相等的方法：找這兩個角所在的三角形，看他們是否全等假設(shè)這兩個角不在兩個全等三角形中，可 通過添加輔助線的方法，構(gòu)造兩個全等三角形，使待證的角分別是這兩個全等三角形的對 應(yīng)角或?qū)?yīng)邊所對的角.類比證明角的方法， 思考如何證明兩條線段相等呢？找這兩條線段所在的三角形，看他們是否全等假設(shè)這兩條線段不在兩個全等三角形中, 可通過添加輔助線的方法，構(gòu)造兩個全等三角形，使待證的線段分別是這兩個全等三角形 的對應(yīng)邊.設(shè)計意圖：通過添加輔助線，實現(xiàn)構(gòu)造全等三角形的目的，以便于利用三角形全等來 證明線段相等或角相等.四、挑戰(zhàn)自我作出兩個全等三角形，你發(fā)現(xiàn)它們對應(yīng)角的平分

8、線有什么性質(zhì)？對應(yīng)邊上的中線、對 應(yīng)邊上的高有什么性質(zhì)？證明你的結(jié)論.師生活動：學(xué)生分組討論，學(xué)生代表扮演講解，歸納總結(jié).1全等三角形的對應(yīng)角的平分線相等.：如圖， ABCA'B'C', AD、A'D'分別平分/ BAC ,/ B'A'C', 求證：AD = A'D'.證明： ABCA'B'C'， AB= A'B'全等三角形的對應(yīng)邊相等，/ B=Z B'，/ BAC=Z B'A'C'全等三角形的對應(yīng)角相等，/ AD、A'D'分別

9、平分/ BAC,/ B'A'C'，/ BAD = 1 / BAC，/ B'A'D' = 1 / BAC 角平分線的定義， 2 2/ BAD = / B'A'D'等量代換. ABD A'B'D' ASA .2全等三角形的對應(yīng)邊上的中線相等.：如圖， ABC A'B'C', AD、A'D'分別是 ABC 和厶 A'B'C'的中線.求證:AD = A'D'.證明：/ ABC A'B'C'， BC= B&

10、#39;C', AB = A'B'全等三角形的對應(yīng)邊相等，/ B=/ B'全等三角形的對應(yīng)角相等，/ AD、A'D'分別是 ABC和厶A'B'C'的中線，11 BD = _ BC, B'D' = B'D'中線的定義，22 BD = B'D'等量代換. ABD A'B'D' ASA .3全等三角形的對應(yīng)邊上的高相等.：如圖， ABCA'B'C', AD、A'D'分別是 ABC和厶A'B'C'

11、的高. 求證：AD = A'D'.證明： ABCA'B'C'， AB= A'B'全等三角形的對應(yīng)邊相等，/ B=Z B'全等三角形的對應(yīng)角相等，/ AD、A'D'分別是 ABC和厶A'B'C'的高， AD丄BC, A'D'丄B'C'高的定義. /ADB = Z A'D'B' = 90° 垂直的定義. ABD A'B'D' AAS .設(shè)計意圖：通過學(xué)生自主學(xué)習(xí)，合作探究，探索并證明全等三角形的三條線的性質(zhì)

12、, 進(jìn)一步體會幾何證明的書寫格式，加強對全等三角形的判定方法的運用.五、課堂練習(xí)1. ：如圖， AD = AC, BD = BC,/ D = 55°，那么/ C=° .2. / 1 = / 2, BC = AD，求證： ABC BAD .架.AN3.如下圖， ABC是一個風(fēng)箏架,AB = AC, AD是連接點 A與BC中點 D的支求證：AD丄BC.如圖，D是AB上一點,5.如圖，在 ABC中,DF 交 AC 于點 E, AE= EC, CF / AB .求證：AD = CF .MN丄AC,垂足為 N , MN平分/ AMC , ABM的周長為9cm,參考答案：1. 55&#

13、176;.2 .證明：在 ABC和厶BAD中，/ BC= AD，/ 1 = Z 2, AB = BA , ABCA BAD SAS.3. v D是BC的中點， BD = CD 中點的定義.在ABD 和 AACD 中，/ AB= AC, BD = CD, AD = AD , ABDACD SSS./ 1=Z 2 全等三角形的對應(yīng)角相等./ 1+Z 2= 180°平角的定義，/ 1=7 2= 90°. AD丄BC 垂直的定義.4. 證明：在 AED和厶CEF中，/ CF / AB ，-Z A=7 ECF 兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等./ AE= EC ，7 AED

14、= 7 CEF 對頂角相等， AED CEF ASA . AD = CF 5. 解：在厶AMN和厶CMN中/ MN丄AC ， 7 ANM = 7 CNM = 90° 垂直的定義./ MN平分7 AMC ， 7 AMN = 7 CMN 角平分線的定義./ MN = MN 公共邊， AMN CMN ASA . AM = CM , CN = AN = 2 全等三角形的對應(yīng)邊相等./ AM + BM + AB = 9 CMBMAB= 9 ABBCAC=ABCMBMCNAN=922=13即厶ABC的周長為13.設(shè)計意圖：通過練習(xí),能靈活運用全等三角形全等的性質(zhì)定理和判定定理證明線段或 角相等六

15、、拓展提升例2.：如下圖， AC= BC, AD = BD, M和N分別是的AC和BC中點. 求證： DM = DN 師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析：要證DM = DN，就要證厶ADM BDN，那就需要 3個條件.現(xiàn)在 AD = BD , AM = BN,兩邊的話還需一夾角，即證/MAD =Z NBD .想證/ MAD = Z NBD，就要把/ MAD和/ NBD放入兩個全等三角形中，那就需要添加輔助 線，構(gòu)造全等三角形最后由學(xué)生板演講解，教師點撥.證明：連接CD,在厶ACD和厶BCD中，/ AC= BC, AD = BD, DC = DC ， ACD BCD SSS./ CAD = Z CBD

16、全等三角形的對應(yīng)角相等.在厶AMD和厶BND中，/ M和N分別是的AC和BC中點.11 AM = - AC, BN = - BC 中線的定義.22/ AC= BC ， AM = BN 等量代換./ AD = BD，/ CAD = Z CBD ， AMD BND SAS. DM = DN 全等三角形的對應(yīng)邊相等.設(shè)計意圖：通過構(gòu)造輔助線，二次全等來證明線段相等加深對綜合法和分析法的理 解，學(xué)會探索證題的思路.七、拓展練習(xí)1. ：如圖，點 M 在 BD 上，/ 1 = Z 2，/ 3 =Z 4,且 AB = BC. 求證：BM平分/ ABC .C2. 如圖，點 D在AB上，點E在AC上，BE和CD

17、相交于點 O, AB = AC,/ B=ZC.求證：BO= CO .參考答案：1. 證明：在 AMD和厶CMD中，/ 1=/ 2, MD = MD , / 3 =/ 4, AMD CMD (ASA ). AD = CD (全等三角形的對應(yīng)邊相等).在厶ABD和厶CBD中，/ AB= CB, BD = BD, AD = CD , ABD CBD ( SSS). / ABD = / CBD (全等三角形的對應(yīng)角相等)即BM平分/ ABC .2 .證明：在 ACD和厶ABE中，/A=/ A, AC= AB，/ C=/ B, ACD ABE (ASA ). AD = AE.在厶BOD和厶COE中，/

18、AB= AC, AB AD = AC AE.即 BD=CE./ B=/ C, BD = CE, BOD COE (AAS ). BO= CO.設(shè)計意圖：通過練習(xí)，掌握根本的證明方法，學(xué)會分析題的證明思路，熟練應(yīng)用全等 來證明線段相等或角相等.八、課堂小結(jié)1通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？(1) 三角形全等的判定方法有哪些？(2) 如何證明線段相等或角相等？2通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你還有什么疑惑？設(shè)計意圖：通過小結(jié)，形成完整的知識體系，加深對利用全等三角形來證明角相等或 線段相等的理解.九、目標(biāo)檢測).1.如圖，在 ABC中，AD丄BC, D為BC邊中點，那么以下結(jié)論不正確的選項是(A . ABD

19、ACDB . Z B = Z CC. AD平分Z BACD . ABC是等邊三角形2. 如圖，OA= OB , OC = OD , Z AOB = Z COD，求證：AC = BD .3如圖,4.:F,BF = AC.求證：ADC也厶 BDF .m,5.在ABC 中，/ BAC = 90° , AB= AC,直線 m 經(jīng)過點 A,BD丄直線m, CE丄直線垂足分別為點D、E .求證：1 ABDAAEC;2 DE = BD + CE.參考答案:1. D.2. 證明：在 OAC和厶OBD中，/ AOB=Z COD ,/ AOB+Z BOC = Z COD + Z BOC.即/ AOC=Z BOD./ OA= OB, OC = OD , OACA OBD SAS. AC=