1、高考數學(理科)等差數列和等比數列1.等差、等比數列基本量和性質的考查是高考熱等差、等比數列基本量和性質的考查是高考熱點，經常以小題形式出現點，經常以小題形式出現.2.數列求和及數列與函數、不等式的綜合問題是數列求和及數列與函數、不等式的綜合問題是高考考查的重點，考查分析問題、解決問題的高考考查的重點，考查分析問題、解決問題的綜合能力綜合能力考情解讀主干知識梳理1an與與Sn的關系的關系Sna1a2an，an2.等差數列和等比數列等差數列和等比數列等差數列等差數列等比數列等比數列定定義義anan-1常數常數(n2) 常數常數(n2)通通項項公公式式ana1(n1)d ana1qn1(q0)判判

2、定定方方法法(1)(1)定義法定義法(2)中項公式法：中項公式法：2an1 an an2(n1)an為等差為等差數列數列(3)通項公式法：通項公式法：anp n q ( p 、 q 為 常為 常數數)an為等差數列為等差數列(4)前前n項和公式法：項和公式法：SnAn2Bn(A、B為常數為常數)an為等差為等差數列數列(1)定義法定義法( 2 ) 中 項 公 式 法 ：中 項 公 式 法 ：anan2(n1)(an0)an為為等比數列等比數列(3)通項公式法：通項公式法：ancqn(c、q均是不均是不為為0的常數，的常數，nN*)an為等比數為等比數列列判判定定方方法法(2)(5)an為等比數

3、列，為等比數列，an0logaan為等為等差數列差數列(4)an為等差數列為等差數列為等比數列為等比數列(a0且且a1)性性質質( 1 ) 若若 m 、 n 、 p 、qN*，且，且mnpq，則，則amanapaq(2)anam(nm)d(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差數列，仍成等差數列( 1 ) 若若 m 、 n 、 p 、qN*，且，且mnpq，則，則amanapaq(2)anamqnm(3)等比數列依次每等比數列依次每n項和項和(Sn0)仍成等仍成等比數列比數列naa前前n項項和和(2)q1，Snna1 熱點一 等差數列 熱點二 等比數列 熱點三 等差數列、等比數列的綜合應

4、用熱點 分類突破例1(1)等差數列等差數列an的前的前n項和為項和為Sn，若，若a2a4a612，則，則S7的值是的值是()A.21 B.24 C.28 D.7熱點一 等差數列思維啟迪 利用利用a1a72a4建立建立S7和已知條件的聯系；和已知條件的聯系；解析由題意可知，由題意可知，a2a62a4，則則3a412，a44，C(2)設等差數列設等差數列an的前的前n項和為項和為Sn，若，若1a31,0a63，則則S9的取值范圍是的取值范圍是_思維啟迪將將a3，a6的范圍整體代入的范圍整體代入解析S99a136d3(a12d)6(a15d)又又1a31,0a63，33(a12d)3,06(a15d

5、)18，故故3S921.(3,21)(1)等差數列問題的基本思想是求解等差數列問題的基本思想是求解a1和和d，可利，可利用方程思想；用方程思想；(2)等差數列的性質等差數列的性質若若m，n，p，qN*，且，且mnpq，則，則amanapaq；Sm，S2mSm,S3mS2m，仍成等差數列；，仍成等差數列；思維升華aman(mn)dd (m，nN*)； (A2n1，B2n1分別為分別為an，bn的前的前2n1項的和項的和)(3)等差數列前等差數列前n項和的問題可以利用函數的性質項和的問題可以利用函數的性質或者轉化為等差數列的項，利用性質解決或者轉化為等差數列的項，利用性質解決思維升華變式訓練1(1

6、)已知等差數列已知等差數列an中，中，a7a916，S11 ，則，則a12的值是的值是()A15 B30C31 D64解析因為因為a8是是a7，a9的等差中項，的等差中項，所以所以2a8a7a916a88，再由等差數列前再由等差數列前n項和的計算公式可得項和的計算公式可得所以所以a12a84d15，故選，故選A.答案A(2)在等差數列在等差數列an中，中，a50且且a6|a5|，Sn是是數列的前數列的前n項的和，則下列說法正確的是項的和，則下列說法正確的是()AS1，S2，S3均小于均小于0，S4，S5，S6均大于均大于0BS1，S2，S5均小于均小于0，S6，S7，均大于均大于0CS1，S2

7、，S9均小于均小于0，S10，S11均大于均大于0DS1，S2，S11均小于均小于0，S12，S13均大于均大于0解析由題意可知由題意可知a6a50，答案C例2(1)(2014安徽安徽)數列數列an是等差數列，若是等差數列，若a11，a33，a55構成公比為構成公比為q的等比數列，則的等比數列，則q_.熱點二 等比數列思維啟迪 列 方 程列 方 程求 出求 出 d ，代 入代 入 q 即即可；可；解析設等差數列的公差為設等差數列的公差為d,則則a3a12d,a5a14d,(a12d3)2(a11)(a14d5),解得解得d1，1思維啟迪 求出求出a1，q，代入化簡代入化簡答案D(1)an為等比

8、數列，其性質如下：為等比數列，其性質如下：若若m、n、r、sN*，且，且mnrs，則，則amanaras；anamqnm；Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數列成等比數列(q1)思維升華(2)等比數列前等比數列前n項和公式項和公式Sn能能“知三求二知三求二”；注意討論公比注意討論公比q是否為是否為1；a10.思維升華變式訓練2 (1)已知各項不為已知各項不為0的等差數列的等差數列an滿足滿足a42a3a80，數列數列bn是等比數列，且是等比數列，且b7a7，則，則b2b8b11等于等于()A1 B2 C4 D8D(2)在等比數列在等比數列an中，中，a1an34，a2an164，且前且前n項

9、和項和Sn62，則項數，則項數n等于等于()A4 B5 C6 D7解析設等比數列設等比數列an的公比為的公比為q，由由a2an1a1an64，又又a1an34，解得，解得a12，an32或或a132，an2.又又ana1qn1，所以，所以22n12n32，解得，解得n5.綜上，項數綜上，項數n等于等于5，故選，故選B.答案B例3已知等差數列已知等差數列an的公差為的公差為1，且，且a2a7a126.(1)求數列求數列an的通項公式的通項公式an與前與前n項和項和Sn；熱點三 等差數列、等比數列的綜合應用思維啟迪 利用方程思想求出利用方程思想求出a1，代入公式求出，代入公式求出an和和Sn；解由

10、由a2a7a126得得a72，a14，(2)將數列將數列an的前的前4項抽去其中一項后，剩下三項項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數列按原來順序恰為等比數列bn的前的前3項，記項，記bn的前的前n項和為項和為Tn，若存在，若存在mN*，使對任意，使對任意nN*，總有，總有SnTm恒成立，求實數恒成立，求實數的取值范圍的取值范圍思維啟迪 將恒成立問題通過分離法轉化為最值將恒成立問題通過分離法轉化為最值解由題意知由題意知b14，b22，b31，設等比數列設等比數列bn的公比為的公比為q，Tm為遞增數列，得為遞增數列，得4Tm8.故故(Sn)maxS4S510，若存在若存在mN*，使對任意

11、，使對任意nN*總有總有SnTm，則則106.即實數即實數的取值范圍為的取值范圍為(6，)等差等差(比比)數列的綜合問題的常見類型及解法數列的綜合問題的常見類型及解法(1)等差數列與等比數列交匯的問題，常用等差數列與等比數列交匯的問題，常用“基基本量法本量法”求解，但有時靈活地運用性質，可使求解，但有時靈活地運用性質，可使運算簡便運算簡便(2)等差數列、等比數列與函數、方程、不等式等差數列、等比數列與函數、方程、不等式等的交匯問題，求解時用等差等的交匯問題，求解時用等差(比比)數列的相關知數列的相關知識，將問題轉化為相應的函數、方程、不等式識，將問題轉化為相應的函數、方程、不等式等問題求解即可

12、等問題求解即可思維升華變式訓練3已知數列已知數列an前前n項和為項和為Sn，首項為，首項為a1，且，且 ，an，Sn成等差數列成等差數列(1)求數列求數列an的通項公式；的通項公式；證明bn(log2a2n1)(log2a2n3)log222n12log222n32(2n1)(2n1)，1.在等差在等差(比比)數列中，數列中，a1，d(q)，n，an，Sn五個量中知道其五個量中知道其中任意三個，就可以求出其他兩個解這類問題時，一般中任意三個，就可以求出其他兩個解這類問題時，一般是轉化為首項是轉化為首項a1和公差和公差d(公比公比q)這兩個基本量的有關運算這兩個基本量的有關運算2.等差、等比數列

13、的性質是兩種數列基本規律的深刻體現，等差、等比數列的性質是兩種數列基本規律的深刻體現，是解決等差、等比數列問題既快捷又方便的工具，應有意是解決等差、等比數列問題既快捷又方便的工具，應有意識地去應用但在應用性質時要注意性質的前提條件，有識地去應用但在應用性質時要注意性質的前提條件，有時需要進行適當變形時需要進行適當變形本講規律總結3等差、等比數列的單調性等差、等比數列的單調性(1)等差數列的單調性等差數列的單調性d0an為遞增數列，為遞增數列，Sn有最小值有最小值d0，a7a100，a80.a7a10a8a90，a9a80，則，則a2 0130，則，則a2 0140，則，則a2 0130 D.若

14、若a40，則，則a2 0140解析因為因為a3a1q2，a2 013a1q2 012，而，而q2與與q2 012均均為正數，為正數，若若a30，則，則a10，所以，所以a2 0130，故選，故選C.C押題精練2.已知數列已知數列an是首項為是首項為a，公差為，公差為1的等差數列，的等差數列，bn .若對任意的若對任意的nN*，都有，都有bnb8成立，則成立，則實數實數a的取值范圍為的取值范圍為_.解析ana(n1)1na1，押題精練因為對任意的因為對任意的nN*，都有，都有bnb8成立，成立，答案(8，7)押題精練3.設各項均為正數的數列設各項均為正數的數列an的前的前n項和為項和為Sn，滿足，滿足4Sn4n1，nN*，且，且a2，a5，a14恰好是等恰好是等比數列比數列bn的前三項的前三項.(1)求數列求數列an，bn的通項公式；的通項公式；押題精練an0，an1an2.當當n2時，時，an是公差是公差d2的等差數列的等差數列.a2，a5，a14構成等比數列，構成等比數列，a2a1312，an是首項是首項a11，公差，公差d2的等差數列的等差數列.押題精練等差數列等差數