1、2017年中考數(shù)學(xué)二輪全等三角形專(zhuān)題復(fù)習(xí)九年級(jí)二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)材料專(zhuān)題四：全等三角形、相似三角形【近3年臨沂市中考試題】1. （2016?臨沂T25）如圖1,在正方形ABC前，點(diǎn)E,F分別是邊BQAB上的點(diǎn)，且CE=BF連接DE；過(guò)點(diǎn)E作EG!DE使EG=DE連接FGFC.（1）請(qǐng)判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）如圖2,若點(diǎn)E,F分別是邊CRBA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)作出判斷并給予證明；（3）如圖3,若點(diǎn)E,F分別是邊BCAB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的判斷.2. （2015?臨沂T18）如圖，在ABC,BQ

2、CE分別是邊ACAB上的中線，BD與CE相交于點(diǎn)Q則3. （2015?臨沂T25）25（本小題滿分11分）如圖1,在正方形ABCD的外側(cè)，作兩個(gè)等邊三角形AD臣口DCF連接AF,BE.（1）請(qǐng)判斷：AF與BE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）如圖2,若將條件“兩個(gè)等邊三角形AD訝口DCF變?yōu)椤皟蓚€(gè)等腰三角形AD訝口DCF且EA=ED=FD=FC第（1）問(wèn)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)作出判斷并給予證明；（3）若三角形AD臣口DCF為一般三角形，且AE=DFED=FC第（1）問(wèn)中的結(jié)論都能成立嗎？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的判斷.4. （2014臨沂T25）問(wèn)題情境：如圖1,四邊形ABC虛正方形，M是BC邊上的一點(diǎn)，

3、E是CD邊的中點(diǎn)，AE平分.探究展示：（1）證明：；（2）是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.拓展延伸：（3）若四邊形ABC虛長(zhǎng)與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2,探究展示（1）、（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)分別作出判斷，不需要證明.【知識(shí)點(diǎn)】全等圖形的性質(zhì)：全等多邊形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等。全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高，中線相等，對(duì)應(yīng)角的平分線相等；全等三角形的周長(zhǎng)，面積也都相等。1.一般三角形全等的判定（1）邊邊邊公理：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（“邊邊邊”或“SS6）。（2）邊角公理：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（“邊角邊”或"SA6）。（3）角邊角

4、公理：兩個(gè)角和它們的夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（“角邊角”或"ASA）。（4）角角邊定理：有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（“角角邊”或"AAS）。2.直角三角形全等的判定（1）利用一般三角形全等的判定都能證明直角三角形全等.（2）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（“斜邊、直角邊''或"HL'）.相似三角形的性質(zhì)1.相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。2.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。3.相似三角形面積的比等于相似比的平方相似三角形的判定方法有：

5、1.平行與三角形一邊的直線（或兩邊的延長(zhǎng)線）和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。2.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。3.如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。4.如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似。直角三角形相似判定定理1.斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。2.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個(gè)直角三角形也相似。【規(guī)律方法】證明兩三角形全等或相似基本方法步驟：1.確定已知條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對(duì)頂角、角平分線、

6、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關(guān)系）；2.證明三角形全等首先找邊，然后再看三角形滿足怎樣的條件，還需要證明什么條件；3.從題目中分析每個(gè)條件能導(dǎo)出什么新的條件，或者能組合成什么有幫助的條件。4.從問(wèn)題倒著思考，考慮回答這個(gè)問(wèn)題需要什么條件，而這個(gè)條件是否在題目中出現(xiàn)，或者是否可以重新推理出來(lái)、或者是否運(yùn)用到什么定理、推論、公理、規(guī)律等。5.當(dāng)求兩線段之比時(shí)，通常構(gòu)造相似三角形得出對(duì)應(yīng)邊之比；6.當(dāng)出現(xiàn)如右圖形時(shí)，要考慮三角形相似和三角形全等；7.當(dāng)出現(xiàn)“中點(diǎn)+中點(diǎn)”時(shí)，要聯(lián)想到三角形中位線.【中考集錦】一、選擇題1.（2013貴州安順，5,3分）如圖，已知AE=CF/AFDhCEB那么添

7、加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定AD*zCBE的是：（）A./A=/CB.AD=CB3.BE=DFD.AD/1BC2.（2013河北，11,3分）如圖4,菱形ABC師，點(diǎn)M,N在AC上，MELADNFLAB.若NF=NM=2,ME=3,貝UAN=A.3B.4C.5D.63.（2013湖南湘潭，8,3分）如圖，在ABC中，AB=AC點(diǎn)DE在BC上，連結(jié)ADAE.如果只添加一個(gè)條件使/DAB=/EAC則添力口的條件不能為A.BD=CEBAD=AECDA=DEDBE=CD4.（2013山東東營(yíng)，10,3分）如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是6和8,另一個(gè)與它相似的直角三角形邊長(zhǎng)分別是3、4及x,那么x的

8、值（）5.（2013西寧市，6,3分）使兩個(gè)直角三角形全等的條件是（）A.一銳角對(duì)應(yīng)相等B.兩銳角對(duì)應(yīng)相等C.一條邊對(duì)應(yīng)相等D.兩條邊對(duì)應(yīng)相等6.（2013貴州貴陽(yáng)，8,3分）如右圖，M是RtzABC的斜邊BC上異于B、C的一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線截ABC使截得的三角形與ABCffi似，這樣的直線共有（）A.1條B.2條C.3條D.4條7. （2013浙江臺(tái)州，10,3分）已知A1B1CKzA2B2c2勺周長(zhǎng)相等，現(xiàn)有兩個(gè)判斷：若A1B1=A2B2,A1C1=A2c2®A1B1C養(yǎng)A2B2c2若/A1=/A2,ZB1=ZB2,則A1B1C牝zA2B2C2對(duì)于上述的連個(gè)判斷，下列說(shuō)法正確的

9、是（）A.正確錯(cuò)誤B.錯(cuò)誤正確C.，都錯(cuò)誤D.，都正確8.（2013重慶A卷，9,3分）如圖，在平行四邊形ABC師，點(diǎn)E在AD上，連接CE并延長(zhǎng)與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,若AE=2EDCD=3cm則AF的長(zhǎng)為（）A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm9. （2013哈爾濱，9,3分）如圖，在ABg,MN分別是邊ABAC的中點(diǎn)，則AAMN勺面積與四邊形MBCN面積比為（）.A.12B.13C.14D.2310. （2013廣西桂林，12,3分）如圖，已知邊長(zhǎng)為4的正方形ABCDP是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合），連結(jié)AP,彳PE!AP交/BCD的外角平分線于E,設(shè)BP=xPCE®積為

10、V,則y與x的函數(shù)關(guān)系式是（）A.y=2x+1B.y=x2x2C.y=2xx2D.y=2x二、填空題1.（2013湖南婁底，12,3分）如圖，AB=AC要使AABmAACD應(yīng)添加的條件是.（添加一個(gè)條件即可）2. （2013天津，14,3分）如圖，已知/C=ZD,/ABCWBAD,ACWBD相交于點(diǎn)O,請(qǐng)寫(xiě)出圖中一組相等的線段.3.（2013黑龍江綏化，3,3分）如圖，AB、C三點(diǎn)在同一條直線上，/A=ZC=90,AB=CD請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使得4EA單ABCD4.（2013黑龍江農(nóng)墾牡丹江，13,3分）如圖，在ABC中，D是AB邊上的一點(diǎn)，連接CD請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件使AABSzACD.

11、（只填一個(gè)即可）5.（2013浙江臺(tái)州，8,4分）如圖，在4ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,且，貝U的值為（）A.1：B.1：2C.1：3D.1：4第4題第5題6.（2013寧夏回族自治區(qū)寧，14,3分）zABC中，DE分別是邊AB與AC的中點(diǎn)，BC=4,下面四個(gè)結(jié)論：DE=2;AAD曰AAB（CADE的面積與乙ABC的面積之比為1:4;/人口目勺周長(zhǎng)與ABC的周長(zhǎng)之比為1：4;其中正確的有.（只填序號(hào)）7.（2013浙江寧波，18,3分）如圖，等腰直角三角形ABC頁(yè)點(diǎn)A,C在x軸上，/BCA=90,AC=BC=,反比例函數(shù)的圖象分別與AB,BC交于點(diǎn)D,E.當(dāng)s時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為8.（

12、2011山西，11,2分）如圖，ABC中，AB=AQ點(diǎn)DE分別是邊ABAC的中點(diǎn)，點(diǎn)GF在BC邊上，四邊形DEF盅正方形.若DE=2?M,則AC的長(zhǎng)為（）9.（2011貴州遵義，10,3分）如圖，在直角三角形ABC+（/C=900）,放置邊長(zhǎng)分別3,4,的三個(gè)正方形，則x的值為（）10.（2013山東荷澤，14,3分）如圖所示，在？ABC中，BC=6,E、F分別是ARAC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于D,CBP的平分線交CE于Q當(dāng)CQ=CE時(shí)，EP+BP=.三、解答題1.（2013吉林，20,7分）如圖，在ABC/ACB=90.延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D,使DB=AB連接CD以CD為直角作等腰三

13、角形CDE其中/DCE=90，連接BE.（1）求證：zAC四BCE（2）若AC=3cm,則BE=cm.2.如圖，在等腰直角三角形ABC中，/ABC=90,D為AC邊上中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)DE?ADF交AB于E,交BC于F,若AE=4FC=3求EF長(zhǎng).3. （2011陜西，18,6分）如圖，在正方形ABCM,點(diǎn)G為BC上任意一點(diǎn)，連接AG過(guò)B、D兩點(diǎn)分別作BE1AGDF±AG垂足分別為E、F兩點(diǎn).求證：AD*ABAE4. （2011山東煙臺(tái)，24,10分）已知：如圖，在四邊形ABCDK/ABC=90,CDLADAD4CD2=2AB2（1）求證：AB=BC當(dāng)BE!AD于E時(shí)，試證明：BE=AE+

14、CD5. （2013貴州銅仁，24,12分）如圖，AC是。0的直徑，P是。0外一點(diǎn)，連結(jié)PC交。0于B,連結(jié)PAAR且滿足PC=50PA=30PB=18.（1）求證：PA&APC;A（2）求證：AP是。0的切線.【特別提醒】（1）根據(jù)相似三角形找對(duì)應(yīng)邊時(shí)，出現(xiàn)失誤找錯(cuò)對(duì)應(yīng)邊，因此在寫(xiě)比例式時(shí)出錯(cuò)，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤信息；（2）在定理的實(shí)際應(yīng)用中，常常忽視“夾角相等”這個(gè)重條件，錯(cuò)誤認(rèn)為有兩邊對(duì)應(yīng)比相等，再有一組角相等，就能得到兩個(gè)三角形相似。（3）兩邊一對(duì)角（SSA）和三角（AAA）對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等。答案：1、【答案】B【考點(diǎn)解剖】本題考查了全等三角形的判定方法，熟練掌握全等三

15、角形常見(jiàn)判定方法是解題的關(guān)鍵?！窘忸}思路】已知AE=CF可知AF=CE又/AFDWCEB即知道一組對(duì)應(yīng)邊相等，一組對(duì)應(yīng)角相等，因此添加的條件可以是任意一組對(duì)應(yīng)角，或是加一組對(duì)應(yīng)邊且保證已知的對(duì)應(yīng)角是夾角。2、【答案】B.【考點(diǎn)解剖】本題考查了菱形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，找出與所求線段有關(guān)的相似三角形是解答本題的關(guān)鍵.【解題思路】由菱形對(duì)角線平分一組對(duì)角可得到/FANhEAM由“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”可得RtFAWRtAEAIM由“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”列出含有AN的比例式，解之即可.3、【答案】C【考點(diǎn)解剖】本題考查全等三角形的判定.，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵

16、.【解題思路】本題主要是轉(zhuǎn)化為證明AB乎zACE因?yàn)锳B=AC所以/B=/C,此時(shí)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷，能否證明得到ABD2AACEBP可.4、【答案】B.【考點(diǎn)解剖】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，勾股定理、正確運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例式是解題的關(guān)鍵.5、【答案】D【考點(diǎn)解剖】本題考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解答本題的關(guān)鍵.6、【答案】C【考點(diǎn)解剖】本題考查相似三角形判斷，熟練運(yùn)用兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似這一判斷方法是解答此題的關(guān)鍵.【解題思路】分兩種可能，(1)過(guò)點(diǎn)隨乍直線截AC以M為頂點(diǎn)的角等于/A=90或等于/B,(2)過(guò)點(diǎn)M作直線截AR以M為頂點(diǎn)的角等于

17、/A=90或等于/C,因?yàn)檫^(guò)一點(diǎn)只有一條直線垂直于已知直線，所以以M為頂點(diǎn)的角等于/A=90°時(shí)的兩直線重合.【解答過(guò)程】如圖，分別過(guò)點(diǎn)M作AABCE邊的垂線11、12、13,易證此時(shí)分別形成的三角形均與原三角形相似，所以共3條.7、【答案】D【考點(diǎn)解剖】考察全等三角形的判定，相似三角形的判定及性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等量減等量差相等，證邊相等，及相似比等于周長(zhǎng)比靈活應(yīng)用.【解題思路】由周長(zhǎng)相等，A1B1=A2B2,A1C1=A2C2得出第三邊也相等，從而得出三角形全等。由兩角對(duì)應(yīng)相等，證明三角形相似，由三角形的相似比等于周長(zhǎng)比，得出相似比為1:1,證出三角形全等.【解答過(guò)程】;A1B1=A

18、2B2,A1C1=A2c2A1B1+,A1C1+B1C1=A2c2+A2B2+B2C2;B1C1=B2C2.A1B1C牝4A2B2c2(SSS;/Al"A2,/B1=/B2,A1B1CS/M2B2c2,由周長(zhǎng)相等，得相似比為1,故A1B1C牝zA2B2c2.8、【答案】B.【考點(diǎn)解剖】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到與已知線段和所求線段有關(guān)的相似三角形.【解題思路】由平行四邊形的性質(zhì)可知AB/CD由此可證得AF8ADCE利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解.9、【答案】B.【考點(diǎn)解剖】本題考查了三角形的中位線定理、相似三角形的性質(zhì)和判定，充分利用中位

19、線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【解題思路】先由MN分別是邊ARAC的中點(diǎn)，確定出MNMABC勺中位線，從而得到MINZAR因此AM2AABC再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，從而求出AMNCfABC勺面積比，再根據(jù)比例性質(zhì)可求得AMN勺面積與四邊形MBCN的面積比.10、【答案】C【考點(diǎn)解剖】本題是一道立足正方形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，綜合考查了相似三角形判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是“動(dòng)中取靜”、抓住相似三角形的不變性建立PCE的面積為y與BP長(zhǎng)度的函數(shù)關(guān)系式.【解題思路】過(guò)點(diǎn)E作EF,BC垂足為F,結(jié)合正方形的性質(zhì)可證/BAP吆APB=90,/FPE吆APB=90,得/BA

20、PhFPE又/B=/PFE可證AABWPFE得關(guān)系式，由于CE為/BCD勺外角平分線，且EF±BC得AECF為等腰直角三角形，CF=EFPF=PC+CF=PC+EF=4（+EF,所以，得EF=x,從而得PCE®積為y=2xx2.二、填空題1、【答案】答案不唯一，如：/C=ZB/C=ZB或/AEBhADJAEBhADC或/CEBWBDQCEBWBDC或AE=ADAC=ABCE=BE.【考點(diǎn)解剖】本題考查了一般三角形全等的判定方法：SSSSASAASASA.【解題思路】根據(jù)已知可知兩個(gè)三角形已經(jīng)具備SA對(duì)應(yīng)相等，所以根據(jù)全等三角形的判定方法，可以添加一邊或一角都可以全等.2、【

21、答案】AC=BDgBC=ADgOD=O或OA=OB.【考點(diǎn)解剖】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握全等的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.【解題思路】先推ADBABC/A根據(jù)全等的性質(zhì)得AC=BDBC=AD勺關(guān)系，再推OA=OBOC=OD.3【答案】AE=CB（或EB=BD或/EB氏90或/E=/DBC亨）.【考點(diǎn)解剖】本題是一個(gè)條件開(kāi)放性的問(wèn)題，考查的是全等三角形的判定和分類(lèi)的數(shù)學(xué)思想.掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.【解題思路】按SASASAAASHL判定，添加缺少的邊和角即可.4、【答案】本題答案不唯一，如/ACD=/B或/ADC=/ACB.【考點(diǎn)解剖】本題主要考查相似三角形的判定方法

22、，兩個(gè)相似三角形的判定方法有：（1）有個(gè)角相等的三角形；（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等；（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例.【解題思路】從圖形可知，ABCffiACDT公共角/A,因此運(yùn)用判定方法（1）（2）,即只要在添加一對(duì)角相等或者添加兩夾邊對(duì)應(yīng)成比例即可.5、【答案】1:3【考點(diǎn)解剖】本題考查了相似三角形的判斷定理及相似三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是證相似以及相似比與面積比的關(guān)系?！窘忸}思路】根據(jù)比例式判定三角形哪兩組邊對(duì)應(yīng)成比例，觀察夾角是否相等？證出兩三角形相似，再由相似三角形面積比等于相似比的平方算出兩三角形的面積比，繼而推出三角形和四邊形的比.6、【答案】.【考點(diǎn)解剖】本題既考查了三角形的中位

23、線，又考查了相似三角形，關(guān)鍵是要從三角形的中位線入手.【解題思路】由DE分別是邊AB與AC的中點(diǎn)，知道DE/BC且DE=BC,從而有AD9AABC.7【答案】（，）.【考點(diǎn)解剖】本題將一次函數(shù)與反比例函數(shù)和相似結(jié)合在一起考查，屬于綜合題，難度適中.【解題思路】由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等推知BDE勺等腰直角三角形；根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可設(shè)E(a,),D(b,),由雙曲線的對(duì)稱性可以求得ab=3;最后，將其代入直線AD的解析式即可求得a的值.【解答過(guò)程】解：如圖，BCA=90,AC=BC=2反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象分別與AB,BC交于點(diǎn)D,E,./BAChABC=45,且可設(shè)

24、E(a,),D(b,),/.C(a,0),B(a,2),A(2?a,0),易求直線AB的解析式是：y=x+2?a.又.BDaABCA/BDEhBCA=90,直線y=x與直線DE垂直，.點(diǎn)DE關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則=,即ab=3.又二點(diǎn)D在直線AB上,.=b+2?a,即2a2?2a?3=0,解得，a=,點(diǎn)E的坐標(biāo)是(，).8、分析：由題意知DE是等腰ABC的中位線，所以DE/ZBCDE=BC因?yàn)镈E=2?M所以BC=4?M又DE/BC所以AD曰AAB(C且相似比為.過(guò)點(diǎn)A作A皿BC于點(diǎn)M.則MC=2?M,由點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，EF/AM所以FC=1?M在EFC+,因?yàn)檎叫蜠EFG勺邊長(zhǎng)是2?M所以根據(jù)勾股定理得EC=,所以AC=9、x=7解：二在直角三角形ABC中(/C=90°),放置邊長(zhǎng)分別3,4,x的三個(gè)正方形，.CEMAOMEAPFfN.OEPN=OMPF,EF=xMO=3PN=4.OE=x3,PF=x-4,(x-3)(x-4)=12,.x=0(不符合題意，舍去)，x=7.10、【答案】12.【解答過(guò)程】如圖，當(dāng)C(Q=CE時(shí)，延長(zhǎng)BQ交射線EF于點(diǎn)G.BQF分/CBP./CBQ=/QBPEF是ABAC的中點(diǎn)，.EF/ZBC./CBQ=/QGP./QBP=/QGP.PB=PGEP+B