1、第一章：函數與極限1.1 初等函數圖象及性質1.1.1 募函數函數y=是常數）叫做募函數。募函數的定義域，要看N是什么數而定。例如，當=3時，y=/的定義域是（- s,+ s）；當n = 1/2 二浦時，y 一工的定義域是0,+ 6）；當i= -1/2時，J 工的定義域是（0,+ « ）。但不論R取什么值，募函數在（o,+m）內總有定義。最常見的嘉函數圖象如下圖所示：如圖1.1.2 指數函數與對數函數1.指數函數函數y=a（a是常數且a>0,a#1）叫做指數函數，它的定義域是區間（-g,+g）因為對于任何實數值x,總有&,0，又以°=1,所以指數函數的圖形，總

2、在x軸的上方，且通過點（0,1）若a>1,指數函數a是單調增加的若0<a<1,指數函數是單調減少的。*_Xy=（-）K由于a，所以J的圖形與a的圖形是關于y軸對稱的（圖1-21）。如圖2.對數函數¥指數函數y=a的反函數，記作=logQ苫（a是常數且a>0,#a1）,叫做對數函數。它的定義域是區間（0,+8）。對數函數的圖形與指數函數的圖形關于直線y=x對稱（圖1-22）。二里五的圖形總在y軸上方，且通過點（1,0）。若a>1,對數函數"g包”是單調增加的，在開區間（0,1）內函數值為負，而在區間（1,+g）內函數值為正若0<a<1

3、,對數函數“且包'是單調減少的，在開區間（0,1）內函數值為正，而在區間（1,+g）內函數值為負1.1.3三角函數與反三角函數1 .三角函數正弦函數和余弦函數都是以2n為周期的周期函數，它們的定義域都是區間（-oo,+oo）,值域都是必區間-1,1。正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數。正切函數和余切函數都是以n為周期的周期函數，它們都是奇函數。如圖圖 1-21|12S.JTG 12 .反三角函數反三角函數是三角函數的反函數，其圖形都可由相應的三角函數的圖形按反函數作圖法的一般規則作出。這四個反三角函數都是多值函數。但是，我們可以選取這些函數的單值支。例如，把Arcsinx的值限制在軍不

4、閉區間-2,2上，稱為反正弦函數的主值，并記作arcsinx。這樣，函數y=arcsinx就是定義在閉雷/-/篇-£arcsmx<區間-1,i上的單值函數，且有22。1-29. JPG(SH3 by tea J才,具化 aIfie1.2 數列極限的概念設 ,1是一個數列，a是實數，如果對于任意給定的£> 0，總存在一個正整數 N ,當n>N時都有I a 1我們就稱a是數列 %的極限，或者稱數列rta x =仆收斂，且收斂于a,記為#Tg花a即為力的極限。數列極限的幾何解釋：1以a為極限就是對任意給定的開區間11H1 X =，第N項以后的一切數一岑a +點全

5、部落在這個區間內1.3函數極限的概念設函數f(x)在£20點附近(但可能除掉£ 。點本身)有定義，設A為一個定數，如果對任意各定3 LI ,一定存在。q'-七k '，使得當/7K ”時，總有'a,我們就稱a是函數f(x)在£口點的極限，記作。(I * 一 *01 /,這時稱f(x)在£0點極限存在，這里我們不要求f(x)在點nfal =a£ > U有定義，所以才有乎7y=例如：X-,當x=1時，函數是沒有定義的，但在x=1點函數的極限存在，顯然等于2。1.4 單調有界數列必有極限單調有界數列必有極限，是判斷極限存在

6、的重要準則之一，具體敘述如下：如果數列（工）滿足條件工4電工工t+1,就稱數列1J是單調增加的;反之則稱為是單調減少的。在前面的章節中曾證明：收斂的數列必有界。但也曾指出：有界的數列不一定收斂?，F在這個準則表明：如果數列不僅有界，而且是單調的，則其極限必定存在。對這一準則的直觀說明是，對應與單調數列的點只可能向一個方向移動，所以只有兩種可能情形：或者凝無限趨近某一定點；或者沿數軸移向無窮遠（因為不趨向于任何定點且遞增，已符合趨向無窮的定義）。但現在數列又是有界的，這就意味著移向無窮遠已經不可能，所以必有極限。從這一準則出發，我們得到一個重要的應用。=（1+3”考慮數列國，易證它是單調增加且有界

7、（小于3）,故可知這個數列極限存在，通常用字母lim（1+=&來表示它，即用。（1+-）可以證明，當x取實數而趨于+8或一叩時，函數工的極限存在且都等于e,這個e是無理數,它的值是e=2.7182818284590451.5 柯西（Cauchy）極限存在準則我們發現，有時候收斂數列不一定是單調的，因此，單調有界數列必有極限準則只是數列收斂的充分條件，而不是必要的。當然，其中有界這一條件是必要的。下面敘述的柯西極限存在準則，它給出了數列收斂的充分必要條件。柯西（Cauchy）極限存在準則數列收斂的充分必要條件是:對于任意給定的正數存在著這樣的正整數N,使得當m>Nn>N時，就

8、有TAK/。limx=a-必要性的證明設JiTg融，若任意給定正數£，則2也是正數，于是由數列極限的定義，存在著正整數N,當n>N時，有2；同樣，當m>N時，也有2。因此，當m>Nn>N時，有£S匕-%|二h-窗上（/一到"k-4+卜4：+；-所以條件是必要的。充分性的證明從略。這準則的幾何意義表示，數列'J收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數£,在數軸上一切具有足夠大號碼的點/,任意兩點間的距離小于£。柯西極限存在準則有時也叫做柯西審斂原理。1.6連續函數xXlimf二了(而)1.6.1 定義：若函數f(x

9、)在"(J點的附近包括內。點本身有定義，并且，今也，則稱xrf(x)在。點連續，0為f(x)的連續點。如圖r1.6.2 充要條件：f(x)在0點既是左連續又是右連續。初等函數如三角、反三角函數，指數、對數函數等都是在自定義區間內的連續函數。1.6.3 三類不連續點：/a + 0)，他-0)存在但不相等。如圖(1)第一類不連續點:歡 + 0)，他-0)中至少有一個不存在。如圖(2)第二類不連續點:加 + 0),他-0)存在且相等，但它不等于/卜口 )或f(x)在4(3)第三類不連續點:1.7一致連續性的概念及它與連續的不同1.7.1 定義：對了£>0,可找到只與營有關而

10、與x無關的歹>°,使得對區間內任意兩點,當卜1一口時總有|/卜1)一/卜2)1<£,就稱f(x)在區間內一致連續。1.7.2 與連續的比較：(1)連續可對一點來講，而一致連續必須以區間為對象。(2)連續函數對于某一點U,f取決于U和1，而一致連續函數的,只取決于.，與x值無關。(3)一致連續的函數必定連續。例：函數y=1/x，當工七(0J)時非一致連續當工e(c,l)時一致連續(4)康托定理:閉區間a,b上的連續函數f(x)一定在a,b上一致連續。第二章：導數與微分2.1 導數的概念處取得增2.1.1 導數的定義：設函數y=/a)在點小的某個鄰域內有定義，當自變

11、量x在可瓦十k仍在該領域內)時，相應地函數y取得增量好=了1工口+&)一/(%)；如果你與a1之比當Ait。時的極限存在，則稱函數y 在麗處可導，并稱這個極限為函數尸危)在點而處的導數，記為y也可記作八切片或竽|ax axdx.導數的定義式也可取不同的形式，常見的有八通戶11m紙池*/仇&Z®°ST。h和iX-麗導數的概念就是函數變化率這一概念的精確描述。2.1.2 求導舉例例求函數/工)=工(n為正整數)在X=0處的導數了八1一一了1屋/=bmHd=bin解.一；二一:二如，一1+如1+.+/'）=陽*一1=h版把以上結果中的口換成X得丁三川短,即

12、口卜人更一般地，對于嘉函數y=工'（”為常數），有（V第I這就是募函數的導數公式.例求函數,（工）=工的導數/=刖/（"m寸=麗皿（/3sm工解.一一：.1h.hlim2cos(+)sin()J。為22h,sin置、2limcos(x+：),產=cosk,I2盍2即s，；.這就是說，正弦函數的導數是余弦函數用類似的方法，可求得(cos);=-sinx,就是說，余弦函數的導數是負的正弦函數例求函數阿=”口>0H1）的導數.解-1.alim,=：.二即=/ln&這就是指數函數的導數公式，特殊地，當a=e時，因hg=l,故有的導數.例求函數/二屈）寸.式"一

13、脆任解.-.1,x+hrlx.r瓦=典-log電=hm-log工（1+一）ihxxhx1I%。+2）-taixJ。h作代換這就是對數函數的導數公式，特殊地，當E=W時，由上式得自然對數函數的導數公式(Inz)；=-x2.1.3 導數的幾何意義由導數的定義可知：函數)在點面處的導數在幾何上表示曲線y=/W在點嶼。/(%)處的切線斜率，即其中以是切線的傾角.如下圖:的增量可表示為2.2.1微分的定義 設函數在某區間內有定義，2.2 微分的概念在這區間內，如果函數修加+4Axl其中a是不依賴于Ai的常數，而是比Ai高階的無窮小，那末稱函數y=/(1)在點而是可微的，而加叫做函數1y=/(二)在點面相

14、應于自變量增量A1的微分，記作曲,即小=乂&.J例求函數y=x在x=l和工=三處的微分.解函數了二/在工=1處的微分為俞=(*&=24在I=3處的微分為6=(尸)1苛&=6加.函數J=/(1)在任意點了的微分，稱為函數的微分，記作曲或歹，即dy=小心例如，函數y=C的微分為dy-(cos=-sin血函數J=g的微分為俞=(cog疔加=/加,通常把自變量工的增量Ai稱為自變量的微分，記作出,即心二心.于是函數7=/(1)的微分又可記作dy=/(汕從而有工二3就是說，函數的微分辦與自變量的微分辦之商等于該函數的導數.因此，導數也叫做“微商”.2.2.2微分的幾何意義設少是曲

15、線y=/W上的點的縱坐標的增量W是曲線的切線上的縱坐標的相應的增量，當I氐I很小時,1所。I比I&I小得多，因此在航點的鄰近，我們可以用切線段來近似代替曲線段.上福%就第三章：中值定理與導數的應用3.1 三個中值定理3.1.1 羅爾定理羅爾定理如果函數f(x)在閉區間a,b上連續，在開區間(a,b)內可導，且在區間端點的函數值相等,即f(a)=f(b),那么在(a,b)內至少有一點檢D,使得函數f(x)在該點的導數等于零：3.1.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函數f(x)在區間a,b上連續，在開區間(a,b)內可導，那么在(a,b)內至少有一點生力)，使等式/-/=/(9。一

16、4成立。3.1.3 柯西中值定理柯西中值定理如果函數f(x)及F(x)在閉區間a,b上連續，在開區間(a,b)內可導，且F'(x)在(a,b)內的每一點處均不為零，那么在(a,b)內至少有一點使等式1(9"尸工'成立。3.2 洛必達法則3.2.1 洛必達法則的概念.08定義：求待定型的方法(0與此同時E)；£】冽白選定理：若f(x)與g(x)在(a,a+番)上有定義，且f(x)=it也Mg(x)=0;并且，與如在(a,a+5)上存在.g(1)w0UmUm4力則g=ktMiF=A,（A可以是00）.證明思路：補充定義x=a處f(x)=g(x)=08M.b型f網

17、則a,a+口)上而=虱正函】=武福.nft.Um膽Lim兇即xT4+U時,xUT。+U,于是xtq+Uq=F3.2.2定理推廣：由證明過程顯然定理條件xT修+?？赏茝V到xTU-O,xTd，x_>R。所以對于00待定型，可利用定理將分子、分母同時求導后再求極限。注意事項：1 .對于同一算式的計算中，定理可以重復多次使用。8 (1)的存在2 .當算式中出現Sin8或Cos8形式時，應慎重考慮是否符合洛必達法則條件中J與性。向其他待定型的推廣。二1201. m可化為1/e=0,事實上可直接套用定理。2. 0,=01 10-0Q3. B-8=0-0,通分以后:0-0=0。4. 0°、廣

18、、如。取對數=0,Ln0、sLn1、0,Ln=08、80、08。(注意：上述轉化過程中描述引用的僅為記號.)3.3 泰勒公式及其誤差圖示來源：實踐，常用導數進行近似運算.由于AXT。時£T。所以切=7&+a*因此/=/&)+3寸8)+/國乂“而)應用范圍：常用以在直接求1y（）困難，而在x附近4處/（原）與而）較易求得時應用.條件是X與M充分接近，即可達到一定的精度.利用/為/（%）+/（%）（L而）當了為不同函數時.有常用近似公式如下：（|x|很小時）,1±1例1土-1xSinx如x,tgxgx,J.,.-,.t-1.；,Ln（1+x）的x.泰勒公式來源：

19、上述公式在|x|很小時J任卜X0）+/（0）l+而）于是IX即，%=八0）+/K與/在x=0處函數值相等且，一階導數相等.為進一步提高精度欲使92=/+。/+町X與/在二階導數處也相等.于是，；：，；：-/1"".孫7（0）5。）/華/得二/W油入（力=/（0）+八。”+/+依此類推：_小凡（標”以L對于誤差，有定理：/（齊）在x=0處有n+1階連續導數，則上式誤差（再+1）（h在x與0之間）由定理：義工）二4+凡此式為了（工）在x=0處的關于x的泰勒展開公式.即：/=/（0）+/'（0）+以必/+乙犬+凡2!屈公式推廣：一般地在x=而附近關于餐點的泰勒公式拉）=/

20、（動+/（砧。-砧+乙黑。-/）+乙步（廠/）”+凡2!«!/”四（通5 + 1）!（。嚴注意：雖然泰勒公式是在x=而"附近"展開，但是事實上x可以取f（x）定義域內任意值，只不過若|x-%|過大（即x離飛過遠）時，凡W相應變大.即使用P2（1）代替f（x）的誤差變大.可是，無論如何泰勒公式總是成立的，當而固定后，不同的x將使一發生變化，并使凡W變化，從而影響Pn（'）對f（x）的近似精度.3.4 函數圖形描繪示例定理：若f（x）在a,b上連續,（a,b）可導.則f（x）在a,b單調上升（或單調下降）的充分必要條件為（a,b）內/田20（或工口）推論：若f

21、（x）在a,b連續,（a,b）可導，且'用不變號則/"Mo（或0）嚴格單調上升（下降）.定理（極值的必要條件）:若不為f（x）的極值點，那么不只可能是小的零點或f（x）的不可導點.定理（極值判別法）：/1）以/（砧%（而）為極大值f（比）0f（工。）為極小值J1（%）不存在，但f（x）在（為一工。）與（兩則若（七一姐）內/口。）0,（%，碣+方）內/（%）0則為極小點，反之為極大點定義：若曲線在一點的一邊為上凸，另一邊為下凸，則稱此點為拐點，顯然拐點處Lim貝U稱ax+b為f(x)的一條漸進線/=如JE義:若工T亡則稱x=c為f(x)的一條垂直漸進線Limf(z),Lmr.a

22、b=/(x)-di定理：若f(x)的一條漸進線為ax+b則/T81，Xoo-f(x)-ax-b=0(一4一一)=0證明：由定義知XT9即工一81LmJQ)、八Lm/(x).£訥】-q)=0a=b=fx)-ax所以工TBX即工一帶回定義得工一8函數圖象描述的基本步驟：1 .確定y=f(x)的定義域并討論函數的基本性質，如奇偶性，對稱性周期性等.2 .求出。)=。與/=。及與/%)不存在的各點.3 .由2的結果函數的上升，下降區間，及圖形的上凸，下凸區間以及各極值點.4 .定出函數的漸近線.5 .描點彳用.3.5曲率的概念及計算公式3.5.1 概念來源：為了平衡曲線的彎曲程度。r_爐ft

23、A爐平均曲率庫,這個定義描述了AB曲線上的平均彎曲程度。其中凸點表示曲線段AB上切線變化的角度，AS為AB弧長。r產爐1尢=例：對于圓，氏&A職R。所以：圓周的曲率為而直線上由三。，所以I三0,即直線“不彎曲”。即定義T5-28 , P218)對于一個點，如A點，為精確刻畫此點處曲線的彎曲程度，可令EahiQ&ds,為了方便使用，一般令曲率為正數，即:3.5.2 計算公式的推導:i=N由于Ids1所以要推導d爐與ds的表示法，ds稱為曲線弧長的微分（因為_佟f隹令Axt。,同時用代替刈得【而J所以加;加十貨或出=士爐聲=必尸+處了具體表示;1、時，ds=±Jl+r&q

24、uot;x)dx2、"凰"芯）時，加=±必獷筋加£3、/=/（4時，出=±/（®+/，（加九令103$Ay1陽n在）4y再推導d肝,因為館曾=y1,所以s產豺或g/,兩邊對x求導，得辦1/孵=dxi+y,即為曲率的計算公式3.6方程的近似解法3.6.1 應用前提：方程八)=0,則/應滿足：(1) /在a,b連續,/與陽(2) /1元)在(a,b)內連續且不變號。(3) J在(a,b)內連續且不變號。3.6.2 應用步驟：首先：判斷方程是否滿足應用前提，先對端點過起點做/W的切線，交x軸與G。然后：過(西，/(11)做了的切線，以次類推

25、，直到一"卜J滿足精度要求。不同號。a,b求/、/,取與/CO同號的一點為起點。交x軸與冬3.6.3應用舉例:求：9+31-5=0在1,2內的根，誤差£<1.0001解：令/(#)=/+31-5,有:f（D=-l<，9>0J3=3x，+3QJQ6力。所以可應用上述方法，求得：再=1.4用力，應=1.1545%715417內=1,15417由于卜4-Z5K牢所以誤差范圍內的近似解為了二1.154173.6.4兩點說明:1 .前提條件的作用：第一個條件顯然是為了保證區間上解的存在性。第二、第三個條件是為了保證各步迭代后，得到的交點仍落在區間上的2 .迭代公式：

26、設第n步后的交點為 耳，所以下一步過（%,/（4）做/W的切線，寫出其方程就是:y-他）=/&）d它與X軸交點為他）/區）,這就是迭代公式。第四章：不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.1.1 原函數與不定積分的概念定義1如果在區間上，可導函數EQ）的導函數為了,即對任一二，都有F=/或"寸。滋那末函數網1）就稱為/（I）（或/右）在區間/上的原函數。例如，因（甑x）=cosx,故加工是COSI的原函數。那一個函數具備何種條件，才能保證它的原函數一定存在呢？簡單的說就是，連續的函數一定有原函數。下面還要說明兩點。第一，如果有戶那么，對任意常數C,顯然也有FW+C'=

27、y（i）,即如果F（x）是了（1）的原函數，那尸+c也是/（X）的原函數。第二，當G為任意常數時，表達式尸（1）+C就可以表示/W的任意一個原函數。也就是說，了的全體原函數所組成的集合，就是函數族/+ca<c<B）。由以上兩點說明，我們引入如下定義。定義2在區間/上，函數/W的帶有任意常數項的原函數稱為/SO（或j標）在區間上的不定積分，記作其中記號稱為積分號，/任）稱為被積函數，了加稱為被積表達式，X稱為積分變量。由此定義及前面的說明可知，如果.是/國在區間/上的一個原函數，那么F+C就是八工）的不定積分，即因而不定積分可以表示一 的任意一個原函數。例1求產-二解由于IyJ=，所

28、以3是/的一個原函數。因此f-dx例2求J工11解當”時，由于(酎1)=工，所以In牙是工在(Q+8)內的一個原函數。因此，在(0計8)內,±(_n1當xcU時，由于一I-.；=工,由上同理，在(rQ)內,J-dx=ln(-i)+C.Jz將結果合并起來，可寫作J-rfx=In|x|+C.4.1.2 不定積分的性質根據不定積分的定義，可以推得它的如下兩個性質：性質1函數的和的不定積分等于各個函數的不定積分的和，即J/M+g法=7心+Jg公性質2求不定積分時，被積函數中不為零的常數因子可以提到積分號外面來，即即訕*是常數ho,例3求J6(X一協解一.、一：，二-x3x-x-Jx+C.=:

29、注意檢驗積分結果是否正確，只要對結果求導，看它的導數是否等于被積函數，相等時結果是正確的，否則結果是錯誤的。4.2兩類換元法及舉例利用基本積分表與積分的性質，所能計算的不定積分是非常有限的.因此，有必要進一步來研究不定積分的求法.把復合函數的微分法反過來求不定積分，利用中間變量的代換，得到復合函數的積分法，稱為換元積分法，簡稱換元法.換元法通常分成兩類.4.2.1 第一類換元法定理1設f(u)具有原函數，u=小(x)可導，則有換元公式7&)應力赤=7,燉4曲)例1求/2cos2xdx.解作變換u=2x便有/2cos2xdx=/cos2x2dx=/cos2x(2x)'dx=/co

30、sudu=sinu+C,再以u=2x代入，即得f2cos2xdx=sin2x+C.例2求/tanxdx.解/tanxdx=/sinx/cosxdx.，因此因為-sinxdx=dcosx,所以如果設u=cosx,那么du=-sinxdx,即-du=sinxdx(tanxdx=-C-=-inh+C=Inlcosil+CJJcosxJ以類似地可得/cotxdx=ln|sinx|+C.在對變量代換比較熟練以后，就不一定寫出中間變量u.例3求/ch(x/a)dx.下面的一些求積分的例子，它們的被積函數中含有三角函數，在計算這種積分的過程中 到一些三角恒等式.，往往要用例5求/sin3xdx.解/sin3

31、xdx=/sin2xsinxdx=-/(1-cos2x)d(cosx)=-/d(cosx)+/cos2xd(cosx)=-cosx+(1/3)cos3x+C例6求/cos2xdx.Jcos2X£3fx=|-二七=+Jcos111rn%工SIH戶=$jdx+：Jcos21d(2工)=-+-+C類似地可得/sin2xdx=x/2-(sin2x)/4+C.利用定理1來求不定積分，一般卻比利用復合函數的求導法則求函數的導數要來的困難，因為其中需要一定的技巧，而且如何適當的選擇變量代換u=Mx)沒有一般途徑可循，因此要掌握換元法，除了熟悉一些典型的例子外，還要做較多的練習才行.4.2.2 第二

32、類換元法定理2設x=。(x)是單調的、可導的函數，并且。'(x)W0.又設f。(t)。'具有原函數，則有換元公其中4(x)是x=。(t)的反函數.(Ja2-x1dx解求這個積分的困難在于有根式W例7求J(a>0)，但我們可以利用三角公式sin2t+cos2t=1來化去根式.x=asintx/2<t<x/2,那么 JJ-/ =ns比血=&。05成,于是根式化為了三角式，所求積分化為Av=AAx+療（工）利用例6的結果得2 >2-x dx = ai sin 2t+24 a a .門+ C = i + ' sin Zcos£ + C

33、22由于x=asint,-無/2<t<it/2,所以于是所求積分為J-Ja2-xdx=arcsin-+-x2+C具體解題時要分析被積函數的具體情況，選取盡可能簡捷的代換.第五章：定積分5.1 定積分概念定義設函數f(x)在a,b上有界，在a,b中任意插入若干個分點把區間a,b分成n個小區間孫冉;"、【工仙/,設有常數I,如果對于任意給定的正數名，總存在一個正數6,使得對于區間a,b的任何分法，不論"在為-h'J中怎樣取法，只要成立，則稱I是f(x)在區間a,b上的定積分，記作上“'。接下來的問題是：函數f(x)在a,b上滿足怎樣的條件，f(x)在

34、a,b上一定可積？以下給出兩個充分條件。定理1設f(x)在區間a,b上連續，則f(x)在a,b上可積。定理2設f(x)在區間a,b上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在a,b上可積。如果我們對面積賦以正負號，在x軸上方的圖形面積賦以正號，在x軸下方的圖形面積賦以負號，則在一般情形下，定積分Ja的幾何意義為：它是介于x軸、函數f(x)的圖形及兩條直線x=a、x=b之間的各部分面積的代數和。5.2 牛頓萊步尼茲公式及實例定理如果函數F(x)是連續函數f(x)在區間a,b上的一個原函數，則證已知函數F(x)是連續函數f(x)的一個原函數，又根據前面的定理知道，積分上限的函數也是f(x)的一個原函數

35、。于是這兩個原函數之差為某個常數(第四章第一節)，即尸-力(X)=C"工")。(2)在上式中令x=a,得F(a)7(a)=C。又由中的定義式及上節定積分的補充規定知=o因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C,以I"曲代入式中的b (x),可得在上式中令x=b,就得到所要證明的公式(1)由積分性質知，(1)式對a>b的情形同樣成立。為方便起見，以后把F(b)F(a)記成產Win公式(1)叫做牛頓(Newton)-萊步尼茲(Leibniz)公式，它給定積分提供了一種有效而簡便的計算方法,為微積分基本公式。也稱例1計算定積分J)行T小解LJo例2計算

36、L1+/。f=arctai解k1+1“工例3計算J-2xo解偌響祗例4計算正弦曲線y=sino13oIn1-ln2=-h2ox在o,m上與x軸所圍成的平面圖形的面積JrA=sinxdx=-cosx解Jo-lim例5求*T°x20解易知這是一個0型的未定式，色。-%=一色廣北九辦辦=r卜2O我們利用洛必達法則來計算。du出心%(-血)=而上因此5.3定積分的近似計算在應用問題中常遇到要求定積分的數值，但f(x)的原函數根本不能普通的初等函數表示出來。所以提出了積分的近似計算問題。定積分近似計算公式的原理：求定積分就是求面積，近似計算公式是對面積的近似求法。此處介紹拋物線法原理：實質上是

37、用拋物線逼近曲線段，如圖由此可推出*%-2)+4(必+-+為1)。此公式稱為辛卜生公式近似計算方法很多，但實質上多是曲線逼近(見數值分析)5.4廣義積分的概念5.4.1 無窮限的廣義積分定義1設函數f(x)在區間a,+8)上連續，取b>a,若極限存在，則稱此極限為函數f(x)在無窮區間a,+笛)上的廣義積分，記作這時也稱廣義積分門(於即1/%攵斂；若上述極限不存在，稱為廣義積分類似地，若極限Er>上存在，則稱廣義積分K-'收斂。設函數f(x)在區間(-6,+ g)上連續，如果廣義積分仃明門(淑 都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數f(x)在無窮區間(-oo , + g )上

38、的廣義積分，記作也稱廣義積分門吁攵斂;否則就稱廣義積分SMIJ中友故。上述廣義積分統稱為無窮限的廣義積分例1證明廣義積分人/(a>0)當p>1時收斂，當p<1時發散。證當p=1時，I7=ln4當p#i時,盧因此，當p>1時，這廣義積分收斂，其值為9一1；當p1時，這廣義積分發散。5.4.2 無界函數的廣義積分現在我們把定積分推廣到被積函數為無界函數的情形。定義2 設函數f(x)在(a,b上連續，而在點a的右領域內無界，取一口，如果極限蠅也存在，則稱此極限為函數f(x)在(a,b上的廣義積分，仍然記作這時也稱廣義積分收斂類似地，設函數f(x)在a,b上除點c(a<c

39、<b)外連續，而在點c的領域內無界，如果兩個廣義積分(力右與門加都收斂，則定義辦=口止+。止=螞。否則，就稱廣義積分卜發散。例2證明廣義積分上。一幻當q<1時收斂，當q>1時發散。證當q=1時，(n=七'她LAr螞阿心呻”加當q01時,(A護因此，當q<1時，這廣義積分收斂，其值為1-0；當q21時，這廣義積分發散。第七章：空間解析幾何與向量微分7.1幾種常見曲線：附錄H兒種常用的曲線(1)三次拋物線C.下"，/、.1=(3)概率曲線N篷,那:7'Rr上士O>=代,#74觸(2)半立方拋物線*儕聞/24儕'/-"<

40、4)箕舌線'卜、工一"X八1ox(9)心形線(外擺線的一種)(10)阿基米德螺線4*一六+以=«J一咒r=«(lcos0).(11)對數螺線9VF-油.(12)雙胞螺線4：r=e'如果曲面S與三元方程F(x,y,z)=0有下述關系：1 .曲面S上任一點的坐標都滿足方程（1）;2 .不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程（1）,那末，方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（1）的圖形7.2.2平面方程的幾種形式一般形式：Ax+By+Cy+D=0其中A,B,C是平面法向，乂°=0。點法式方程：的-而）+%-先）+C（?F）=。截距式方程

41、:三點式方程:已知平面過空間三點 場（瓦,八句）,MM場年乃鳥） ,則平面方程為XX廠內z-zl與F乃一再與F=0巧一網乃一乃馬一句1 .幾種特殊的曲面方程2 .旋轉曲面方程設平面曲線i :繞z軸旋轉，則旋轉曲線方程為/(士 J/ +/z = o3 .柱面方程母線平行與坐標軸的柱面方程為不完全的三元方程，如F（y,z）=0就表示母線平行與x軸，準線為嚴乂習=0Ix=0的柱面.4 .二次曲面方程（見第七章知識點3）7.3 空間曲線7.3.1 空間曲線一般方程空間曲線可以看作兩個曲面的交線。設F（x,y,z）=0和G（x,y,z）=0是兩個曲面的方程，它們的交線為C如圖。因為曲線C上的任何點的坐標

42、應同時滿足這兩個曲面的方程，所以應滿足方程組反過來，如果點M不在曲線C上，那末它不可能同時在兩個曲面上，所以它的坐標不滿足方程組（1）。因此，曲線C可以用方程組（1）來表示。方程組（1）叫做空間曲線C的一般方程。1 .為空間曲線的一般方程，空間曲線的參數方程為t為參數.表示怎樣的曲線?7.3.2 空間曲線在坐標上的投影設空間曲線C的一般方程為方程組中第一個方程表示母線平行于z軸的圓柱面，其準線是xOy面上的圓，圓心在原點 0,半徑為1。方程組中第二個方程表示一個母線平行于y軸的柱面，由于它的準線是 zOx面上的直線,因此它是一個平面。方程組就表示上述平面與圓柱面的交線，如圖方程組中第一個方程表

43、示球心在坐標原點0 ,半徑為a的上半球面。第二個方程表示母線平行于z軸的圓柱面，它的準線是 xOy面上的圓，這圓的圓心在點（a/2 , 0）,半徑為a/2。方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線,1.方程組/= 6表示怎樣的曲線2.方程組如圖償冗K幻=0*G(xJyJz')=0由上述方程組消去變量z,x,y后所得的方程分別為：H(x,y)=0R(y,z)=0T(x,z)=0產”)=0l”口表示曲線C在xOy面上的投影，區=0,x=°表示曲線C在yOz面上的投影，產荒力=QI藝=°表示曲線C在xOz面上的投影。例已知兩球面的方程為、+/+?=1(a)和/+07)2+(N

44、-1)J1(b)求它們的交線C在xOy面上的投影方程。解先求包含交線C而母線平行于z軸的柱面方程。因此要由方程(a),(b)消去z,為此可先從(a)式減去(b)式并化簡，得到y+z=1再以z=1y代入方程(a)或(b)即得所求的柱面方程為x2+2/-2y=0容易看出，這就是交線C關于xOy面的投影柱面方程，于是兩球面的交線在xOy面上的投影方程是+2y2-=0z=0L注：在重積分和曲線積分的計算中，往往需要確定一個立體或曲面在坐標面上的投影，這時要利用投影柱面和投影曲線。7.4 二次曲面我們把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。為了了解三元方程F（x,y,z）=0所表示得的曲面的形狀，我們通

45、常采用截痕法。即用坐標面和平行于坐標面的平面與曲線相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌。同學們可試用截痕法考察下面的二次曲面。7.4.1 橢球面222土+匕+J方程直，b2C2所表示的曲面叫做橢球面。7.4.2 拋物面方程2P2g（p和q同號）所表示的曲面叫做拋物面7.4.3 雙曲拋物面方程2P2g（p和q同號）所表示的曲面叫做雙曲拋物面,7.4.4 雙曲面522土+匕+J方程t?b2C2所表示的曲面叫做單葉雙曲面。243土+匕+2=7方程白,b2c2所表示的曲面叫做雙葉雙曲面。8.1 多元函數的極限與連續性8.1.1 定義設函數f（x,y）在開區域（或閉區域）D

46、內有定義，R（X0,y。是D的內點或邊界點。如果對于任意給定的正數£，總存在正數6,使得對于適合不等式0四|=河鏟石牙工的一切點P(x,y)GD,都有|f(x,y)-A|<血 f（x,y） = A成立，則稱常數A為函數f(x,y)當x-X0,y-y0時的極限，記作或f（x,y）-A（p-0）,這里p=|PP0|。工+券（x2+y2，0）,幌(")=0求證|一.1sin：因為可見,對任何£>0,取陽7,則當時，總有（/+j，）sin1_0<嚀蜘2)=0成立，所以1-.Ao我們必須注意，所謂二重極限存在，是指P(x,y)以任何方式趨于P0(x

47、6;,y。)時，函數都無限接近于定義設函數f(x,y)在開區域(或閉區域)D內有定義，Po(X0,y。)是D的內點或邊界點且P°eD。如果則稱函數f(x,y)在點Po(X0,yo)連續。8.1.2性質性質1(最大值和最小值定理)在有界閉區域D上的多元連續函數，在D上一定有最小值和最大值。性質2(介值定理)在有界閉區域D上的多元連續函數，如果在D上取得兩個不同的函數值，則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。一切多元初等函數在其定義區域內是連續的。所謂定義區域，是指包含在定義域內的區域或閉區域。由多元初等函數的連續性，如果要求它在點P0處的極限，而該點又在此函數的定義區域內，則

48、極限值就是函數在該點的函數值，即FT曷。8.2 偏導數的定義及計算法8.2.1 定義設函數z=f(x,y)在點(X0,y。的某一鄰域內有定義，當y固定在y0而x在近處有增量時,相應的函數有增量f(x。+x,yo)-f(xo,yo),如果存在，則稱此極限為函數z=f(x,y)在點(x0,y。處對x的偏導數，記作固，更，z六用MMi"%或fx(x。，V。)°對于函數z=f(x,y),求,(X)時，只要把y暫時看作常量而對y求導。例求z=x2sin2y的偏導數。解髀譚琮=23。8.2.2 高階偏導數a。a2z定理如果函數z=f(x,y)的兩個二階混合偏導數8y31d工砂在區域D內

49、連續，那末在該區域內這兩個二階混合偏導數必相等。8.3 多元復合函數求導法則及實例定理如果函數u=(1)(t)及。(t)都在點t可導，函數z=f(u,v)在對應點(u,v)具有連續偏導數，則復合函數z=fHt),。在點t可導，且其導數可用下列公式計算：+dzdzdu擊dvdtdudidvdtdzdz例 設 z=eusinv , 而 u = xyv = x+y。求比亞dz dz du dz dvdzdu di 3v dxdz du dz dv=g4sin y x + d cosv 1 1 二二叫了sin( a + j) + cos(z + y)gwiny+g也cosv1=g叩ysin(r+y)+

50、cos(x+j),dydudy3vdy8.4 隱函數的求導公式8.4.1 一個方程的情形隱函數存在定理1設函數F(x,y)在點P(x0,y0)的某一鄰域內具有連續的偏導數，且F(x0,y"=0,Fy(xo,y0)不0,則方程F(x,y)=0在點(x0,y0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續且具有連續導數的函數y=f(x),它滿足條件y。=f(x°),并有蟲=_&dxFv/O上面公式就是隱函數的求導公式。隱函數存在定理2設函數F(x,y,z)在點P(x0,y0,z0)的某一鄰域內具有連續的偏導數，且F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)w0,則方程F

51、(x,y,z)=0在點(x0,y0,z0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續且具有連續導數的函數z=f(x,y),它滿足條件Z0=f(x0,y0),并有dz凡比3dx用，血2adz例設x2+y2+z2-4z=0，求,解設F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z,貝UFx=2x,Fz=2z-4。應同上面公式，得dz_xdx2-z0再一次對x求偏導數，得M(2-z)+老(2-)+/占；3z='出=(2-z)+jt工(2貨(2-z)2-(2-3。二、方程組的情形隱函數存在定理3設F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在點P(xo,yo,uo,vo)的某一鄰域內具有對各個變量的連續偏導數

52、，又F(xo,yo,uo,vo)=0,G(x0,y0,u0,v0)=0,且偏導數所組成的函數行列式(或稱雅可比(Jacobi)式)：臚一avaG一加竺怒一詼-5V)f f尸也3(a-J)=0 在點(x°,y 0,u 0,v°)的某一v = v (x,y ),它們滿足條件U0在點P(x0,y0,u0,v0)不等于零，則方程組F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v鄰域內恒能唯一確定一組單值連續且具有連續導數的函數u=u(x,y),=u(xo.y。)，v。=v(xo.y。)，并有K4的=_1=_5G,=_ias=_3xJ8(冗y),dxJd(ufx)片及55awF,Ff1咿

53、0=_加_18(F,G)_Jd(yrv)凡巴'dyJd(iiry)0u5568.5.1 空間曲線的切線與法平面設空間曲線的參數方稱為x=&，y=。，z=3，這里假定上式的三個函數都可導。插圖1在曲線上取對應于t=t0的一點M（4,v。,zD。根據解析幾何，可得曲線在點M處的切線方程為46+06）。切線的方向向量稱為曲線的切向量。向量T=曠（to）,瞑（to）,3'（to）就是曲線在點M處的一個切向量。通過點而與切線垂直的平面稱為曲線在點M處的法平面，它是通過點M（x。，y。，z。）而以T為法向量的平面，因此這法平面的方程為“（to）（x-x。）+。'（t。）（y-y。）+3