1、重點高中理科數(shù)學各類型概率 統(tǒng)計、分布列解答題作者:日期:以隨機事件概率為背景離散型隨機變量的分布列、均值【背一背重點知識】1隨機變量 所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，各事件概率之和為1.2 求隨機事件概率為背景的離散型隨機變量的均值與方差公式3注意事件中所包含關(guān)鍵詞，如至少，至多，恰好，都是，不都是，都不是等的含義.【講一講提高技能】1、必備技能：分類討論要保證不重不漏，且相互互斥靈活運用排列組合相應(yīng)方法進行計數(shù).等可能性是正確解題的關(guān)鍵，在計數(shù)及求概率過程中嚴格保證事件的等可能性.【練一練提升能力】1某中學高一年級共 8個班，現(xiàn)從高一年級選10名同學組成社區(qū)效勞小組， 其中高一1 班選

2、取3名同學，其它各班各選取 1名同學現(xiàn)從這10名同學中隨機選取 3名同學，到社 區(qū)老年中心參加“尊老愛老活動每位同學被選到的可能性相同1 求選出的3名同學來自不同班級的概率；2設(shè)X為選出同學中高一1班同學的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.2種拋硬幣游戲的規(guī)那么是：拋擲一枚硬幣，每次正面向上得1分，反面向上得2分.(1) 設(shè)拋擲5次的得分為 ，求 的分布列和數(shù)學期望；(2) 求恰好得到刑托三用屯:分的概率.3、某廠有？臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現(xiàn)？次故障，且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，出現(xiàn)故障時需？名工人進行維修.每臺機器出現(xiàn)故障需要維修的概率為?(1) 問該廠至少有多少

3、名工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率不少于?%?一名工人每月只有維修 ？臺機器的能力，每月需支付給每位工人？萬元的工資.每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時維修，就使該廠產(chǎn)生？萬元的利潤，否那么將不產(chǎn)生利潤.假設(shè)該廠現(xiàn)有？名工人.求該廠每月獲利的均值.以二項分布為背景離散型隨機變量的分布列、均值【背一背重點知識】1假設(shè)隨機變量服從二項分布，那么.；：.丨.對應(yīng)的事件是兩兩獨立重復的，概率為事件成功的概率.2 .求二項分布為背景的離散型隨機變量的均值與方差公式：假設(shè)g念/渙加，那么Eg = np.s2 =叩(1 - p).【講一講提高技能】1.必備技能：利用離散型隨機

4、變量的均值與方差的定義，也可求出二項分布為背景的離散 型隨機變量的均值與方差，但計算較繁因此判斷隨機變量是否服從二項分布是解決問題 的關(guān)鍵.判斷方法有兩個，一是從字面上理解是否符合獨立重復條件，二是通過計算，歸 納其概率規(guī)律是否滿足二項分布.【練一練提升能力】1.為貫徹“激情工作，快樂生活的理念，某單位在工作之余舉行趣味知識有獎競賽，比 賽分初賽和決賽兩局部，為了增加節(jié)目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進行， 每位選手最多有 5次選答題的時機，選手累計答對 3題或答錯3題即終止其初賽的比賽， 答對3題者直接進入決賽，答錯 3題者那么被淘汰，選手甲答題的正確率為2.(1) 求選手甲答題次

5、數(shù)不超過 4次可進入決賽的概率；(2) 設(shè)選手甲在初賽 中答題的個數(shù) E，試寫出E的分布列，并求 E的數(shù)學期望.對效勞滿意對效勞不滿意合計對商品滿意80對商品不滿意合計2002近年來，我國電子商務(wù)蓬勃開展.2022年“618期間，某網(wǎng)購平臺的銷售業(yè)績高達516億元人民幣，與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對該網(wǎng)購平臺的商品和效勞的評價系統(tǒng)從該評價系統(tǒng)中選出 200次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，網(wǎng)購者對商品的滿意率為0. 6,對效勞的滿意率為 0. 75，其中對商品和效勞 都滿意的交易為80次.(I )根據(jù)條件完成下面的 2 X 2列聯(lián)表, 并答復能否有 99%的把握認為網(wǎng)購者對商品 滿意與對效勞

6、滿意之間有關(guān)系 ？(H )假設(shè)將頻率視為概率，某人在該網(wǎng)購平臺 上進行的3次購物中，設(shè)對商品和效勞都滿意 的次數(shù)為隨機變量？求？勺分布列和數(shù)學期?+ ?+ ?為樣本容量)附：？字=?(?-?)(其中？?=?+?(? ?)0. 150. 100. 050. 0250. 010?2. 0722. 7063. 8415. 0246. 635(?+?)(?+?)(?+?)(?+?) /3.(12分)某網(wǎng)站用“10分制調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度.幸禰度現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們的幸福度73 06666778S99分數(shù)(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)：97 6 5

7、5(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);(2) 假設(shè)幸福度不低于9，那么稱該人的幸福度為“極幸福.求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極幸福的概率；(3) 以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，假設(shè)從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記E表示抽到“極幸福的人數(shù)，求 E的分布列及數(shù)學期望.以正態(tài)分布為背景離散型隨機變量的分布列、均值1、正態(tài)分布概念：假設(shè)連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)為f (x)1 e ,2 e其中,為常數(shù)，且那么稱服從正態(tài)分布，簡記為的圖象稱為正態(tài)曲線。際準正態(tài)分2、正態(tài)分布的期望與方差2 ，那么E,D(1) 曲線在x軸的上方，與x軸不相交.(2) 曲線關(guān)于直線x= 對稱.(

8、3) 曲線在x=(1時位于最高點.(4) 曲線與x軸之間的面積為1(5 )當 一定時，曲線的位置由1確定，曲線隨1的變化而沿x軸平移(6)當1一定時，曲線的形狀由b確定.6越大，曲線越矮胖表示總體的分布越分散；b越小，曲線越 瘦高表示總體的分布越集中.4、正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值1具-b u X += 0.6826g-工gX + 2r) = 0.9544 X /z + 3ct) = 0h99741、語文成績服從正態(tài)分布 A1007.尸)，數(shù)學成績的頻率分布直方圖如下:(I)如果成績大于135的為特別優(yōu)秀，這 500名學生中本次考試語文、數(shù)學特別優(yōu)秀的大約各多少人?(假設(shè)數(shù)學成績在頻

9、率分布直方圖中各段是均勻分布的)(II) 如果語文和數(shù)學兩科都特別優(yōu)秀的共有6人，從(I)中的這些同學中隨機抽取3人，設(shè)三人中兩科都特別優(yōu)秀的有|=|人，求L/|的分布列和數(shù)學期 望 ：用(見/)， 貝U PljLi-a X / + cr) = 0.68:PW 2a X ;/ + 2r) = 0.96 2、.為評估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備M生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100件零件最為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：fiS/nim58 59 6162 6364 65 66 67 6869 707173汁汁件數(shù)I I 35619 33 1 442121100經(jīng)計算，樣本的平均值，標準差：.：

10、2,2，以頻率值作為概率的估計值.(1) 為評判一臺設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零點中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進行評判(表示相應(yīng)事件的頻率)；汽：汀一 *匕&二込藥:，-.7 匕“二汽；莎-加-沱爲洱X .評判規(guī)那么為：假設(shè)同時滿足上述三個不等式，那么設(shè)備等級為甲；僅滿足其中兩個，那么等級為乙，假設(shè)僅滿足其中一個，那么等級為丙；假設(shè)全部不滿足，那么等級為丁，試判斷設(shè)備的性能等級.(2) 將直徑小于等于.： - ；.：或直徑大于打21-的零件認為是次品(i)從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，計算其中次品個數(shù)的數(shù)學期望；(ii)從樣本中隨意抽取2件零件，計算其中次品個數(shù)二的數(shù)學

11、期望，- . 7 -.3. 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下列圖頻率分布直方圖：(I) 求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均值和樣本方差(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(II) 由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，其中 近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差(i) 利用該正態(tài)分布，求fn、(ii) 某用戶從該企業(yè)購置了100件這種產(chǎn)品，記 表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于 區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)利用(i)的結(jié)果，求附：乏n：假設(shè)二“苗貝y,與莖葉圖，頻率分布直方圖有關(guān)的概率，分布列與均值1. 某校高一I班的一次數(shù)學測試成績的莖葉圖

12、和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損, 可見局部如下列圖.I 求分數(shù)在I.的頻率及全班人數(shù)；II 求分數(shù)在之間的頻數(shù)，并計算頻率分布直方圖中I.C X間矩形的高；III 假設(shè)要從分數(shù)在之間的試卷中任取兩份分析學生失分情況，求在抽取的試卷 中，至少有一份分數(shù)在Id之間的概率.2、2022年，某省環(huán)保部門制定了?省工業(yè)企業(yè)環(huán)境保護標準化建設(shè)根本要求及考核評分標準?為了解本省各家企業(yè)對環(huán)保的重視情況，從中抽取了40家企業(yè)進行考核評分，考核評分均在50，100內(nèi)，按照50，60，60，70，70，80，80，90，90，100的分組作出頻率分布直方圖如圖總分值為100分.I該省對本省每家企業(yè)每年的環(huán)保

13、獎勵？單位：萬元與考核評分 ？?勺關(guān)系式為-7 , 50 ? 60 ,060 ? 70?= 0，60-，負值為企業(yè)上繳的罰金試估計該省在2022年對這40家企業(yè)3, 70 ? 80,6, 80 ? 100投放環(huán)保獎勵的平均值；H在這40家企業(yè)中，從考核評分在80分以上含80分的企業(yè)中隨機抽取 3家企業(yè)座談環(huán)保經(jīng)驗，設(shè)？為所抽取的3家企業(yè)中考核評分在80, 90內(nèi)的企業(yè)數(shù)，求隨機變量？勺 分布列和數(shù)學期望.3、某校舉行運動會，其中三級跳遠的成績在& 0米四舍五入，精確到 0. 1米以上的進入決賽，把所得數(shù)據(jù)進行整理后，分成 6組畫出頻率分布直方圖的一局部 如圖，從 左到右前5個小組的頻率分別為

14、0. 04, 0. 10, 0. 14, 0. 28, 0. 30 ,第6小組的頻數(shù)(I)求進入決賽的人數(shù)；(n)假設(shè)從該校學生(人數(shù)很多)中隨機抽取兩名，記表示兩人中進入決賽的人數(shù)，的分布列及數(shù)學期望；(川)經(jīng)過屢次測試后發(fā)現(xiàn)，甲成績均勻分布在810米之間，乙成績均勻分布在 910. 5米之間，現(xiàn)甲，乙各跳一次，求甲比乙遠的概率.4、未來制造業(yè)對零件的精度要求越來越高.3D打印通常是采用數(shù)字技術(shù)材料打印機來實現(xiàn)的，常在模具制造、工業(yè)設(shè)計等領(lǐng)域被用于制造模型，后逐漸用于一些產(chǎn)品的直接制造， 已經(jīng)有使用這種技術(shù)打印而成的零部件.該技術(shù)應(yīng)用十分廣泛，可以預計在未來會有廣闊 的開展空間某制造企業(yè)向

15、A高校3D打印實驗團隊租用一臺 3D打印設(shè)備，用于打印一批 對內(nèi)徑有較高精度要求的零件該團隊在實驗室打印出了一批這樣的零件，從中隨機抽取 10件零件，度量其內(nèi)徑的莖葉圖如下圖(單位：um).(I )計算平均值 與標準差(7(n)假設(shè)這臺 3D打印設(shè)備打印出品的零件內(nèi)徑 Z服從正態(tài)分布 N ( u 7；該團隊到工 廠安裝調(diào)試后，試打了 5個零件度量其內(nèi)徑分別為(單位：um): 86、95、103、109、118,試問此打印設(shè)備是否需要進一步調(diào)試，為什么？參考數(shù)據(jù)：P( u- 2t Zv u +2 7=0 . 9544, P( u 3 7 Zv u +3 7=0. 9974, 0. 95443=0

16、. 87, 0. 99744=0. 99, 0. 04562=0. 002.以隨機事件為背景答案1、試題井析； 求得所有根本領(lǐng)件的種數(shù)以及符合題意的根本領(lǐng)件種數(shù)，利用古曲枇型叢而求解孑 求1, 3時的概率，得到分布別底卩可求解期望.60試題解析；設(shè)“選出的用同學來自不同班級為事件厶 那么S =雲(yún),二選出的49曲瞬來自班緩的概驢矽隨機齟X的所有可觥為X 1, 2. “沖;V =0)=7嚴嚴 21CC1 70123P721H71244040120,隨機變量的分布列是120隨機變量的數(shù)學期望72179刃小礦亦而機2、試題解析:一臺機器運彳淀否出現(xiàn)故障可看作一次實殮在一次試驗孔機器出現(xiàn)故障設(shè)為事件也，

17、貝槨件A的概率為孑該廠有4臺機器就相為于斗次獨立重真試虬可設(shè)出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為/那么底“更4訪卩3=2=僚護護=益，-審冷=缶即？勺分布列為:X01234?設(shè)該廠有？?名工人，貝y每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修為? ?即20?= ? ?= ? ?= ?，?= ?這？?+ ?個互斥事件的和事件，那么?01234?(? ?)? ? ? 2?% ?至少要？名工人，才能保證每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率不少于 ?%設(shè)該廠獲利為？萬元，那么？的所有右能取值為：18，13，8,?(?=?= ?(?= ?) +?(?= ?)+ ?(?= ?)=， 7-)?(?= ?=

18、 ?(?= ?) -/Eg?)= ?(?= ?)= 一 .?即？的分布列為:那么?(?)= ?*需+ ?伙希+ ?x農(nóng)=需?故該廠獲利的均值為?以二項分布為背景2O1、選手甲答3道題進入決賽的概率為3 3= 27，選手甲答4道題進入決賽的概率為C2?二27,選手甲答題次數(shù)不超過4次可進入決賽的概率2 1 1(2)依題意，E的可取取值為3、4、5,那么有P( U3)= 3 3+ 3 33,2 2 2 1 2 & 1 2 2 1 10 2 2 1 2 2 “2P&4)= C2 - 陰+ C3 - 1 藥27，P&5)= C2 - 3 + C2 - 31 893一 27因此，有E345P110832

19、727 EQ 3X 3+ 4X靂+ 5X27 =券.?=2、(I ) ?X?列聯(lián)表:對效勞滿意對效勞不滿意合計對商品滿意8040120對商品不滿意701080合計15050200? X (? X ? X ?)?(?一? 忌？ ？,？ ? X ? X ? X ? 因為?.? ? ? ?,?所以能有99%的把握認為網(wǎng)購者對商品滿意與對效勞滿意之間有關(guān)系I每;嫩物時，對商品和服勢都満意的概率為二且的取值可以是0，2. 33272354尸債二0二仃二厲門龍二1二二頁Px = 2=臥護x心匚冷P135X1-0.96)xl = 0-02 , 1分數(shù)學成績特別優(yōu)秀的槪率為內(nèi)=0.0016x20x=0,024

20、 , 3分斗語文成績特別優(yōu)秀人數(shù)為500 xQ.D2=10A數(shù)學成績特別優(yōu)秀人數(shù)為500x0.024 =12A-予分(II)語文數(shù)學兩科都優(yōu)秀的&人單科優(yōu)秀的有人疋所有可能的取值為h 1, 2,父怒=0)=魯洛,尸理=1)=醬嗚，U(_jr5 O尺I%普埠尸徑=3)專=存10井分布列為:b01231 P32715114562811分數(shù)學期望32715I 9) = Oxi4+U56+2x56 + 3x28 =-試題分折：CD運用相關(guān)系數(shù)進行判別推理$ (2)運用貝努力分布的幾何分布求解期望- 試題解析：(1)一 疔亡 X M 山+ 曠)=62.8 X 0_6826F(/Z-2crX X/-F2cr) =現(xiàn)666 X69.4) = 0.94 0,954MF(-3cfcXa+5c) = (58X7.6 = 0JS 由題意可知FBQ0X6)于是H(T)=2xO.O6=0_12,(ii由題意可知？的分布列為Z0I2故 (Z) Ox3、試題分析：(I)由頻率分布直方圖可估計樣本特征數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、均值、方差假設(shè)同 一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，那么眾數(shù)為最高矩形中點橫坐標中位數(shù)為面積等分為=的點.均值為每個矩形中點橫坐標與該矩形面積積的累加值.方差是矩形橫坐標與均值差的平方的加權(quán)平均值.(II) (