1、電 磁 學講 授 提 綱中學生物理奧林匹克競賽靜靜 電電 場場一、庫侖定律一、庫侖定律二、電場二、電場 電場強度高斯定理電場強度高斯定理三、電勢三、電勢 電勢能電勢能 電場能量電場能量四、有導體時的靜電場問題四、有導體時的靜電場問題五、電容器五、電容器 六、電介質簡介六、電介質簡介一、庫侖定律一、庫侖定律1、定律表述和公式（、定律表述和公式（注意：注意：靜止、真空、點電荷靜止、真空、點電荷）1222101241rrqqF0 = 8.8510-12 C2 N-1 m-2 ( F/m)稱為真空電容率。稱為真空電容率。K=1/40靜止靜止: 兩電荷相對于觀察者靜止。兩電荷相對于觀察者靜止。真空真空:

2、 在電介質中公式要修正。在電介質中公式要修正。點電荷：點電荷：電荷線度與電荷間距比較。電荷線度與電荷間距比較。例：例： 在在坐標系中，點電荷坐標系中，點電荷 q1以速度以速度 v 沿沿x軸軸運動，點電荷運動，點電荷 q2 不動。不動。T=0時刻時刻 q1正處在正處在坐標系的原點坐標系的原點O。試求。試求q1 作用在作用在q2上的力。上的力。解：解： 取取坐標系隨點電荷坐標系隨點電荷 q1一起運動。一起運動。在在系中點電荷系中點電荷 q1的產生的是靜電場的產生的是靜電場3013014)(4rzky jxiqrrqE0B由相對論電場變換公式，在由相對論電場變換公式，在坐標系中，點電荷坐標系中，點電

3、荷 q1的電磁場為：的電磁場為：3014rxqEExx3014)(ryqBvEEzyy3014)(rzqBvEEyzz 由洛倫茲變換得由洛倫茲變換得yy xxzz )()1()()(22222222222222222222222222crvrcvxcvzyxzyxzyxzyxr23)()1()1 (422222201crvrcvrcvqEEqF22、庫侖力的求算、庫侖力的求算（注意：（注意：矢量性、疊加原理矢量性、疊加原理）。）。iiinirrqqF412010rrdqqF4200疊加原理疊加原理:例：例：電荷均勻分布的半球面對球心處電荷均勻分布的半球面對球心處Q(0)的庫倫力：的庫倫力：co

4、s4120RSQFi)(4120RRSQF0204cos41QSRQF04E例例 如圖如圖15-2所示，在所示，在x0的空間各點，有沿的空間各點，有沿x軸正方向的電場，其中，軸正方向的電場，其中，xd 區區域是非勻強電場，電場強度域是非勻強電場，電場強度E 的大小隨的大小隨x增大而增大，即增大而增大，即E=bx. b為已知量為已知量(b0)；在在xd 的區域是勻強電強，場強的區域是勻強電強，場強E=bd.x0的空間中的空間中的分布對稱，場強的方向沿的分布對稱，場強的方向沿x軸的負方向一電子軸的負方向一電子(質量為質量為m、電量為、電量為-e，e0)。在在 x=2.5d 處沿處沿 y 軸正方向以

5、初速軸正方向以初速V 開始運動開始運動，求：求： (1) 電子的電子的 x 方向分運動的周期；方向分運動的周期； (2) 電子運動的軌跡與電子運動的軌跡與 y 軸的各個交點中，任意兩個相鄰交點間距離軸的各個交點中，任意兩個相鄰交點間距離。maebd 212123atd ebmt31dmebatvd31解解 3、帶電體在庫侖力作用下的運動。、帶電體在庫侖力作用下的運動。 kxebxFmebmkdvdAd2222Ttt4132ebmT22632TtebmtTt64123ebmebmttT3234)( 431VebmVTl)332 (212cos21ttAxcostAvsin例例例例 半徑為半徑為R

6、、質量、質量m 分布均勻的細園環上分布不能移動的正電荷，總電量分布均勻的細園環上分布不能移動的正電荷，總電量為為Q。(1)知電荷在環直徑知電荷在環直徑AOB上作勻速直線運動上作勻速直線運動,求園環上的電荷分布；求園環上的電荷分布；(2)如圖如圖,將將Q1=kQ放在距環心放在距環心r1處處,若若Q2、Q1、Q三者都靜止不動，求三者都靜止不動，求Q2的大小和的大小和位置位置;（3）讓）讓Q1 、Q2 固定不動并變符號。使環沿固定不動并變符號。使環沿x軸移小距離軸移小距離x后靜止釋放，后靜止釋放，試討論環的運動。試討論環的運動。 環環球面球面 0)(22121211rrQQrQQ0222211rQQ

7、rQQ0)(22121222rrQQrQQkrrrQQ222211)(112krrQkkQrrQ2121222) 1(21)1 (Rrk1k r1R ； Q10、Q2R）(r0)Qqi0)S(011電荷求和內對因此有因此有QEr0214SSiiSiiErSESESE24同理求得球內的電場強度為同理求得球內的電場強度為半徑為半徑為R的均勻帶電球體內外的電場強度的均勻帶電球體內外的電場強度rrQE42003034rrRQrE（rR）（rR）半徑半徑R的的無限長均勻圓柱體（單位長帶電荷無限長均勻圓柱體（單位長帶電荷）解：作與帶電圓柱體共軸的、半徑為解：作與帶電圓柱體共軸的、半徑為 r 柱形高斯面，柱

8、形高斯面，由高斯定理得由高斯定理得rE02上底下底側面iiiiiSiiSESESESEhqrhESESESiii00112內側面側面則得則得（rR）柱內柱內上底下底側面iiiiiSiiSESESESE220012RhrqrhESESESiii內側面側面202RrE（r R）無限大均勻帶電平（單位面積帶電荷無限大均勻帶電平（單位面積帶電荷） kE220由柱外電場強度公式知：線密度為由柱外電場強度公式知：線密度為的的無限長直線電荷的電場強度為無限長直線電荷的電場強度為rE02請同學們自己用高斯定理證明上式請同學們自己用高斯定理證明上式 再論再論電場強度疊加原理電場強度疊加原理-以典型電荷分布以典型

9、電荷分布的的場強疊加場強疊加例例 例例 3rrqkE3rrqkE)(3_3rrrrkqEEEarrarr)11()11(333_3arrrrrkqEcosarrcos arr（1 1）球外）球外(r(rR)R)的場強的場強cos2asvqcos2asvcoscos20asqa20aaRRaqap033343422式中式中(2)球內球內(r 0)的帶電粒子從的帶電粒子從Z處沿處沿OZ軸正方向射向軸正方向射向兩圓環。已知粒子剛好能穿過兩個圓環。試畫出粒子的動能兩圓環。已知粒子剛好能穿過兩個圓環。試畫出粒子的動能Ek 隨隨Z 的變化圖線的變化圖線，并求出與所畫圖線相應的，并求出與所畫圖線相應的D 所

10、滿足的條件；所滿足的條件；2、若粒子初始時刻位于坐標原點、若粒子初始時刻位于坐標原點Z0處，現給粒子一沿處，現給粒子一沿Z軸方向的速度（軸方向的速度（大小不限），試盡可能詳細討論粒子可能做怎樣的運動。不計重力的作用。大小不限），試盡可能詳細討論粒子可能做怎樣的運動。不計重力的作用。 解：解： 1、Z軸上軸上Z處的電勢為處的電勢為222221)(1)(1)()()(DzRDzRkQzVzVzV2)()()0(2221DRkQzVzVV雙峰時雙峰時V（0）為極小值；單峰時）為極小值；單峰時V（0）為極大值。現在求雙峰、單峰）為極大值。現在求雙峰、單峰的條件。的條件。Z 較小時有較小時有3! 3)2

11、)(1(2! 2) 1(1)1 (xnnnxnnnxnx用了公式：22522222222222222)()2()0()(D3-2DRkQ)(zDRDRkQVDRzDRzzV略去略去 z 的的 3 次以上次以上的高次項的高次項得得（）干22222222221222222122)2D(83)2D(211 DR1)2D1DR1D(DRzzDRzzDRzzzR由此可知：由此可知：為雙峰。為極小值，時，)()0(2zVVRD 為單峰。為極大值，時，)()0(2zVVRD 設粒子的初動能為設粒子的初動能為Ek0，則粒子在，則粒子在Z軸軸 上的動能為上的動能為)(0zqVEEkk2、也分兩種情況討論：、也分

12、兩種情況討論： 極小。，這時，電勢曲線是雙峰)0(,2VRD 遠。電勢能峰高運動到無限，粒子穿越電勢能峰高若粒子初動能)(max0zqVEk。為平衡位置做簡諧振動時，粒子以當電勢能峰間往返運動，則粒子在兩電勢能峰高若粒子初動能0)()(max0max0zzqVEzqVEkk兩環兩環 在在 z 軸上的電場強度為軸上的電場強度為EzDzRDzDzRDzkQEEzEz)()()(232232221（1）)3D1DR)R2Dz1 ()(D)(222322232223222322DRzDDRzR干（）（2）（2）式代入（）式代入（1）式得）式得zDRRDkQzDRDRkQzEz252222252222)

13、(24)(42)()042(22 DR2522222252222)(24)(24)()(DRmRDkqQzDRRDkqQzqEzFz)24()(2222522RDkqQDRmT子在原點不穩定平衡。，勢能曲線是單峰，粒2RD （2）例例解解1球碰球碰3球，球，2球在對稱位置，對球在對稱位置，對1、3球的影響相同：故球的影響相同：故Qq211QQ2121球碰球碰2球：球：Qq41 1QQ4131球碰球碰4球，設球，設1球帶電球帶電Q1,4球帶電球帶電Q4，則：，則：rQkrQkrQkaQkU432112aQkrQkrQkrQkU432142QQQ4141解得：解得：2) 12(1 8)(2) 12

14、(1 81raQaraQQ2) 12(1 8)(2) 12(1 84raQaraQQ設設1球碰接地后的電量為球碰接地后的電量為q1：這時：這時1球的電勢球的電勢U1=0，即，即 0243211rQkrQkrQkaqkU241851rQaq流入大地的電流為：流入大地的電流為：)4(1 8223raQ241852) 12(1 8Q11rQaraQqQ大地4.電勢能電場能量電勢能電場能量 點電荷點電荷q在電場中在電場中a點的電勢能：設無限遠處為電勢能零點，則點的電勢能：設無限遠處為電勢能零點，則iaiaalEqqUW（1）自能和相互作用能）自能和相互作用能兩點電荷兩點電荷 的相互作用能為的相互作用能

15、為122101141rqqUqW122102241rqqUqW三個點電荷三個點電荷 的相互作用能為的相互作用能為1221041rqqW2332041rqq3113041rqq電勢能屬于電荷系統的電勢能屬于電荷系統的相互作用能相互作用能N個點電荷個點電荷 的相互作用：兩兩不重復配對，將各對點電荷的相互作用能求和。的相互作用：兩兩不重復配對，將各對點電荷的相互作用能求和。問題問題： 把把-2e 移至無限移至無限遠處外力作的功？遠處外力作的功？棱邊電荷配棱邊電荷配12對：對：面對角電荷線配面對角電荷線配12對：對：體對角線電荷配體對角線電荷配4對：對：aeW2014112aeW24112202aeW

16、3414203aeW232044184321WWWWW總電勢總電勢 能：能：心角電荷配心角電荷配8對：對：lpmem1860,21iiiUqiqiiUiql兩個質子和兩個正電子分別固定在一邊長為兩個質子和兩個正電子分別固定在一邊長為其分布如圖所示。現同時釋放這四個粒子，估算四個粒子相距甚遠時，各自其分布如圖所示。現同時釋放這四個粒子，估算四個粒子相距甚遠時，各自約為電子質量約為電子質量(正電子質量正電子質量)的的說明說明: 帶電粒子系統的相互作用能帶電粒子系統的相互作用能(將帶電粒子從無限原處移到當前位置所將帶電粒子從無限原處移到當前位置所其中其中為第為第個點電荷的電量，個點電荷的電量，電荷在

17、電荷在解：當兩個質子和兩個正電子分別固定在于一邊長為解：當兩個質子和兩個正電子分別固定在于一邊長為的正方形的四個頂點上時，系統的相互作用勢能為的正方形的四個頂點上時，系統的相互作用勢能為的正方形的四個頂點上，的正方形的四個頂點上，速度的大小。質子質量速度的大小。質子質量倍。倍。增加的能量增加的能量)為為為其它為其它處產生的電勢。處產生的電勢。leklek22422例例 由于正電子質量遠小于質子質量，近似地，可以認為當正電子跑的足夠由于正電子質量遠小于質子質量，近似地，可以認為當正電子跑的足夠遠時，質子還基本保持原位，這樣近似有遠時，質子還基本保持原位，這樣近似有lekvmleklekee221

18、222422222242lmkeveelmke vvmlekpppp2 ,2122222最后，兩個質子分開，有最后，兩個質子分開，有202218EkEwrr上式是一個普遍適用的表達式，只要空間某點的電場強度已知，則上式是一個普遍適用的表達式，只要空間某點的電場強度已知，則 電場的總能量：電場的總能量：iiriiiivEvwW2021kEr82該處單位體積內的電場能量就等于該處單位體積內的電場能量就等于 （3）電場能量密度）電場能量密度 電場能量電場能量：電勢能是定域在電場中的，電勢能是定域在電場中的，電勢能（靜電能）相互作用能自能電勢能（靜電能）相互作用能自能自能：帶電體各部分電荷間的相互作用

19、能自能：帶電體各部分電荷間的相互作用能電場能量密度：電場能量密度：有電場的地方就有能量有電場的地方就有能量 例例(27復復)、如圖所示，兩個固定的均勻帶電球面，所帶電荷、如圖所示，兩個固定的均勻帶電球面，所帶電荷量分別為量分別為Q和和-Q（Q0），半徑分別為），半徑分別為R和和R/2，小球面與大球面，小球面與大球面內切于內切于C點，兩球面球心點，兩球面球心O和和O的連線的連線MN沿豎直方向。在沿豎直方向。在MN與與兩球面的交點兩球面的交點B、O和和C處各開有足夠小的孔，因小孔損失的電荷處各開有足夠小的孔，因小孔損失的電荷量忽略不計量忽略不計,有一質量為有一質量為m，帶電荷量為，帶電荷量為q(q

20、0)的質點自的質點自MN線上線上離離B點距離為點距離為R的的A點豎直上拋，設靜電力常量為點豎直上拋，設靜電力常量為k，重力加速度，重力加速度為為g。 1要使質點從要使質點從A點上拋后能夠到達點上拋后能夠到達B點，所需的最小初動點，所需的最小初動能為多少能為多少?； 2要使質點從要使質點從A點上拋后能夠到達點上拋后能夠到達O點，在不同條點，在不同條件下所需的最小初動能各為多少件下所需的最小初動能各為多少?1質點在質點在AB應作減速運動應作減速運動，設質點在設質點在A點的最小初動點的最小初動能為能為Ek0，則根據能量守恒則根據能量守恒有有解解252230RkqQRkqQEmgRRkqQRkqQk(

21、1)RkqQmgREk3070(2)2質點在質點在BO的運動有三種可能情況：的運動有三種可能情況：作加速運動，若qkqQmg29R4(1)RkqQmgREk3070(3)外球面在外球面在B B點的場力？點的場力？作減速運動，若qkqQmg22R(2)252220RkqQRkqQERmgRkqQRkqQk(4)RkqQmgREk011120(5)(3) 2249Q4RkqQmgRkq若先減速，再加速，先減速，再加速，即有一平衡點即有一平衡點D。 要略大一點要略大一點2)2(xRkqQmg2RmgkqQx(6)質點能夠到達質點能夠到達O點點的條件為的條件為252)2(20RkqQRkqQExRmg

22、xRkqQRkqQk(7)由由(6)、(7)兩式可得質點能到達兩式可得質點能到達O點的最小初動能為點的最小初動能為kmgqQRkqQmgREk2019250(8)要略大一點要略大一點例例(27決決)、如圖，兩塊大金屬板、如圖，兩塊大金屬板A和和B沿豎直方向平行沿豎直方向平行放置，相距為放置，相距為d，兩板間加有恒定電壓，兩板間加有恒定電壓U，一表面涂有，一表面涂有金屬膜的乒乓球垂吊在兩板之間，其質量為金屬膜的乒乓球垂吊在兩板之間，其質量為m，輕推乒，輕推乒乓球，使之向其中一金屬板運動，乒乓球與該板碰撞后乓球，使之向其中一金屬板運動，乒乓球與該板碰撞后返回，并與另一板碰撞，如此不斷反復假設乒乓球

23、與返回，并與另一板碰撞，如此不斷反復假設乒乓球與兩板的碰撞為非彈性碰撞，其恢復系數為兩板的碰撞為非彈性碰撞，其恢復系數為e，乒乓球與，乒乓球與金屬板接觸的時間極短，并在這段時間內達到靜電平衡，金屬板接觸的時間極短，并在這段時間內達到靜電平衡，達到靜電平衡時，乒乓球所帶的電荷量達到靜電平衡時，乒乓球所帶的電荷量q與兩極板之間與兩極板之間電勢差的關系可表示為電勢差的關系可表示為 q =C0U，其中，其中C0為一常量，為一常量，同時假設乒乓球半徑遠小于兩金屬板間距同時假設乒乓球半徑遠小于兩金屬板間距d，乒乓球上，乒乓球上的電荷不影響金屬板上的電荷分布；連接乒乓球的繩子的電荷不影響金屬板上的電荷分布；

24、連接乒乓球的繩子足夠長，乒乓球的運動可近似為沿水平方向的直線運動：足夠長，乒乓球的運動可近似為沿水平方向的直線運動：乒乓球第一次與金屬板碰撞時的初動能可忽略，空氣阻乒乓球第一次與金屬板碰撞時的初動能可忽略，空氣阻力可忽略試求力可忽略試求1、乒乓球運動過程中可能獲得的最大動能。、乒乓球運動過程中可能獲得的最大動能。2、經過足夠長時間后，通過外電路的平均電流。、經過足夠長時間后，通過外電路的平均電流。解：解： 1、根據題意，乒乓球與金屬板第一次碰撞前其動能和速度分別為、根據題意，乒乓球與金屬板第一次碰撞前其動能和速度分別為01kE01v (1) (2)Ucq0 (3)01kE01v (4) (5)

25、第一次碰撞前第一次碰撞前剛碰后第第二二次碰撞前次碰撞前2012UcqUEEkK (6)mEvk 222 (7)第第二二次碰撞次碰撞后后22evv 222222222121kkEevmemvE (8) (9)第第三三次碰撞前次碰撞前20223)1 (UceqUEEkK (10)mEvk332mEevvk3332 (11)第第三三次碰撞次碰撞后后 (12)322322332121kkEevmemvE (13)第第四四次碰撞次碰撞前前204234)1 (UceeqUEEkK (14)mEvk 442 (15)以此類推，以此類推，第第n次碰撞次碰撞前、后動能分別為前、后動能分別為202)1(220)2

26、(22111 UceeUceeEnnkn (17) (16)202)1(2220)2(22211 1 UceeeUceeeEnnkn N趨于無窮大，則趨于無窮大，則20211UceEkn20221UceeEkn (18) (19)202max11UceEEkk (20)2、經過足夠長時間時、經過足夠長時間時(即即n )后后 ，乒乓球在某一次與金屬板碰撞后和下一次，乒乓球在某一次與金屬板碰撞后和下一次碰撞前的速度分別為碰撞前的速度分別為meceUmEvk)1 (2220mecUmEvk)1 (22202vvdt (24) (23) (22) (21)mecedUctqI)1 (2)1 (020四

27、、有導體時的靜電場問題四、有導體時的靜電場問題1導體靜電平衡的條件和性質導體靜電平衡的條件和性質 導體表面附近的場強導體表面附近的場強2有導體時靜電問題的處理方法有導體時靜電問題的處理方法法一：求法一：求 E、Usqq22141sqq22132121)(qS 243)(qS )(204321kEA)(204321kEB例例解解 (1) UUUUDBCDAC31(2) UUUDBAC310DBU(3) 214365 03)(4531dk 。 UdKUUDBAC91341 UdKUCD92343 3254求得求得312132433165Qbaq0)(bqQbqaqkUa)(ar bQkU )(br

28、 rQkU )(bra)()(bQrqkbqQbqrqkU)(br rqQkU)(brabQkU 法二：鏡像法法二：鏡像法 唯一性定理：唯一性定理：電荷分布電荷分布給定，滿足給定邊界條件的解是唯一的。給定，滿足給定邊界條件的解是唯一的。靜電勢方程靜電勢方程(泊松方程泊松方程)： U2邊值關系：邊值關系： ttEE21)(21UU fnnEE1122)(122fnUnU以上邊值關系對導體有：以上邊值關系對導體有： U=U=常量常量 f f= =E En n平面組合平面組合平面鏡像平面鏡像qaRqaRb2 例例:求求q受的力和受的力和P點的電勢點的電勢.)()(416)()()(4)()(4224

29、4235244222222222222kqRddRdRddqdqdqkbdqqbdqqdqkFdRdRdRdRdRb2 解解:找鏡像電荷找鏡像電荷qdq受的力為受的力為qdRq球面與平面組合球面與平面組合球面鏡像球面鏡像21221)cos2(rddrr)(4321rqrqrqrqkU2122222cos)(2)(dRrdRrr21224)cos2(rddrrdRb2qdRq2122223cos)(2)(dRrdRrr)cos21cos2cos2cos21(222222224224rddrrrdRrrdRrddrkqUdRdRdRdRarrU)(0)1 (2222RddRdqdsQ球面例例 用電

30、像法求解空間各處的電場強度用電像法求解空間各處的電場強度22RQkEPr當當R趨于無窮時，有趨于無窮時，有202RQkEEP則則000222EkERQ令令r) (330prrprkEEzQbp2QRaQ Rab2zQRap223zEazEakzQRap4120300323 cos3) (303033030zkEarkEarkEprrprkEErraEraEcos3)1(33033cos3)(000EarErcos)21(cos3cos)1(03333033EraraEraEr1、求像電荷的電量和離球心的距離、求像電荷的電量和離球心的距離b；2、求原電荷、求原電荷q受的力；受的力；3、求、求A點

31、的電場點的電場 強度，當強度，當 r a 時時A 點電場的表達式，點電場的表達式，a 取取什么極限值時什么極限值時A點的點的 電場電場 強度為零強度為零(球完全屏蔽球完全屏蔽q 的電場的電場)。圖圖a圖圖b5、求、求q與球面上電荷的相互作用靜電能；球面上感應電荷間的相互作用靜電能與球面上電荷的相互作用靜電能；球面上感應電荷間的相互作用靜電能懸掛著，懸掛點至球心的距離為懸掛著，懸掛點至球心的距離為 l l，不計重力。求電荷不計重力。求電荷q q小振動的頻率。小振動的頻率。例：例：4、如圖、如圖b所示，點電荷電量為所示，點電荷電量為q ，質量為，質量為m ，用長為，用長為L的細線的細線和系統的總相

32、互作用靜電能。和系統的總相互作用靜電能。解：解：1、B點的電勢為點的電勢為0)(41120rqrqUBcos2222aRaRrcos2221bRbRr)cos2()(cos222222RbbRqqRaaRB點為球面上的任意點，即對任何點為球面上的任意點，即對任何 角上式恒等，故必有：角上式恒等，故必有：)()(22222bRqqaRRbqqRa2)(aRb2qaRq2、感應電荷對、感應電荷對 q的作用力為：的作用力為：2222020)(41)(41RaRaqbaqqF3、A點的電場強度為：點的電場強度為：raRaraRqrqE )(414122020當當ra 時有時有rraRaaRqrrqaR

33、rraRraaRqrrqE4)(24)1 ( )1 (414130220222020當當 a 趨于趨于R時，時，A點的場強為零，金屬球屏蔽了點的場強為零，金屬球屏蔽了A點的電場。點的電場。4、A點的電場強度為：點的電場強度為：作用在作用在q 上的力為：上的力為：2222020)(41)(41RaRaqbaqqFcos222lLlLa22222220)cos2(cos241RlLlLlLlLRqF 由右圖知由右圖知sinsinaL)sin()cos2(cos24122222220RlLlLlLlLRqF 上式中上式中 角可用角可用 角表示如下：角表示如下：)sincos2arcsin()sina

34、rcsin(22LllLLaL單擺的運動方程為：單擺的運動方程為：FmL 當當 很小很小(小振動小振動)時有：時有：sin1cos則：則：LlLaL)1 (aL將這些關系式公代入單擺運動方程得：將這些關系式公代入單擺運動方程得：0)1 ()(412222022aLRaRaqdtdmL)(141)()1 (14022022LllmLRLlqaLmLRaRdq5、設球面上的感應電荷有、設球面上的感應電荷有j 個，個，電量為電量為qj，j = 1、2、3、。則。則q q與感應電荷的相互作用靜電能為與感應電荷的相互作用靜電能為)(4)(4220201RaRqbaqqw感應電荷間的相互作用靜電能為：感應

35、電荷間的相互作用靜電能為：njjjrrqbrq1)(841214121412141212202010101102RaRqbaqqarqqbrqqrrqqwNiiiniiiNiNijjjiji當當 r r 與某與某 r ri i重合時有重合時有0arqbrqNiNijjjijirrqqw11024121nijjijjirrqbrq1系統總的電勢能為：系統總的電勢能為：)(8(42202)220221RaRqRaRqwww五、電容器五、電容器1電容器電容的計算電容器電容的計算計算公式：計算公式：UqC方法：設方法：設q 求求U U C=q/ U U。 kdsdsC40)(40abkabababC例

36、例 求圖示孤立導體的電容求圖示孤立導體的電容kRUq 1RRRbqqRRq21221222112RbRRbqqbRRq3223122231123112nnnqbRRq左邊左邊兩式兩式相除得相除得122nnbRRbUQC現在導體形狀復雜，設現在導體形狀復雜，設Q難求難求U，故用鏡像法求解，故用鏡像法求解設導體的電勢為設導體的電勢為U，用鏡像法來求，用鏡像法來求Q。0121)2() 1(nnnqqq1441qq1551qq nqqnn1) 1() 1( 11)4131211 (22nnqqQkRUq2ln22ln212ln2kRUQC)1( nnnqRqb) 2() 1() 1(nnnqRqb)

37、2() 1(2) 1(2nnnnqRqRRqRq例例 球心放電荷球心放電荷q，球電位為，球電位為U0，在球心對的對稱點放，在球心對的對稱點放-q可可使地電位為零，用使地電位為零，用-q 對球面的像電荷對球面的像電荷q1保持球電位為保持球電位為U0，再，再 q1對地面的像電荷，如此一直進行下去，最終球電位保持對地面的像電荷，如此一直進行下去，最終球電位保持U0，地電位保持為零。，地電位保持為零。004aUqrqqbaq21bab221qabaqababqbbaq22212211244222222212242222abbabababbab 球上總電荷為：球上總電荷為： 21qqqQ)421 (42

38、2200 ababaaU)11 (4220 rrraCbar2簡單電容電路簡單電容電路:用串并聯公式用串并聯公式.復雜無源電容網絡的等效電容復雜無源電容網絡的等效電容復雜電容電路復雜電容電路: (1)對稱性分析對稱性分析,對稱點可短路對稱點可短路.(2)星星 三角變換三角變換3212112CCCCCC3213223CCCCCC3211331CCCCCC231231312323121CCCCCCCC311231312323122CCCCCCCC121231312323123CCCCCCCCYY2電容儲能公式電容儲能公式:221CUW CQW22QUW21例由例由n個單元組成的電容器網絡，每一單元

39、由三個電容器連接而成，其中個單元組成的電容器網絡，每一單元由三個電容器連接而成，其中兩個電容器的電容都示兩個電容器的電容都示3C，另一電容器的電容為，另一電容器的電容為2C，如圖所示，圖中，如圖所示，圖中a、b為網絡的輸入端，為網絡的輸入端，a、b為輸出端今在網絡的輸入端為輸出端今在網絡的輸入端ab間加一恒定間加一恒定的電壓的電壓U,在輸出端在輸出端a、b間接入一電容為間接入一電容為C的電容器。的電容器。1、求從第、求從第k(kn)個單元輸入端起，后面所有電容器貯存的總電能；個單元輸入端起，后面所有電容器貯存的總電能；2、先把第一個單元輸出端與后面的網絡斷開，再除去電源，并把它的輸入、先把第一

40、個單元輸出端與后面的網絡斷開，再除去電源，并把它的輸入端短路，端短路，求這時構成第一單元的三個電容器貯存的總電能求這時構成第一單元的三個電容器貯存的總電能解：解：1、由電容串并聯公式知、由電容串并聯公式知CCk11221)31()31(31UUUUkkkk CQCqCqCqW22122216313212213212、第一個單元與后面電路、第一個單元與后面電路斷開后除去電源，第一單斷開后除去電源，第一單元電容器上電荷分布如圖元電容器上電荷分布如圖(a)所示，設所示，設ab短路后電荷短路后電荷分布如圖（分布如圖（b）所示，則）所示，則031 qqQQQqq313221QQQqq3132320323

41、321321CqCqCquuu求得：求得：Qq711Qq2142Qq7132)1(22)31(2121CUUCWkkkk3含源電容器電路問題含源電容器電路問題求：求：1、電容上的電壓和電量；、電容上的電壓和電量；2、若、若H點與點與B點短路，求點短路，求C2的電量。的電量。Fcccc14321VUVUVUVU16,12,8,44321R電阻例例解解 1、將圖、將圖 a 電路壓成平面圖電路壓成平面圖 b ，可看出電流通路為，可看出電流通路為AEHGOBA。回路電流。回路電流 RRUUI3414以以A點為電勢零點，圖中其余各點電勢分別為點為電勢零點，圖中其余各點電勢分別為)(33VRRUB)(60

42、VU )(10 VUG)(13 VUH)( 1VUD)(16 VUE)(11VUF各電容器上的電壓和電量分別為各電容器上的電壓和電量分別為)( 11VUUUGFC)(52VUUUFEC)(53VUUUDOC)( 14VUUUADC)(10161CQC)(10562CQC)(10563CQC)(10164CQC 2、將、將H、B兩點短路得兩個分回路兩點短路得兩個分回路HGOBH和和HEABH。 HEABH回路中的電流為回路中的電流為)(824VUUUABRRUI824)(164VUUUAE)(0 VUUFE)(1682VUUUAF02CQ例例111UCq 222UCq nnnUCq 0321 UUU111CqU 222CqU nnnCqU 02211 nnCqCqCq22112121UCUCqqqqnnnnnnnnUCUCqqqq111133223232UCUCqqqq 221112UCUCqq332223UCUCqq33111UCUCq nnnUCUCqq111niinIiniiUCUCCq111111011niiniICUUCq111111niiUU1niiCC111令令CUUCq111CUUCq222CUUCqnnn 例例求：求：1、開關閉合、開關閉合N次三電容器的電壓；次三電容器的