1、解一元二次方程的方法定義只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程( quadratic equation of one variable )。 一元二次方程有四個(gè)特點(diǎn)： (1)含有一個(gè)未知數(shù)； (2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2； (3)是整式方程要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理如果能整理為 ax2+bx+c=0(a0)的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程里面要有等號(hào)，且分母里不含未知數(shù)。 (4)將方程化為一般形式：ax2+bx+c=0時(shí)，應(yīng)滿足（a、b、c為常數(shù)，a0） 補(bǔ)充說(shuō)明1、該部分的知識(shí)為初等數(shù)學(xué)知識(shí)，一般在初三就有學(xué)

2、習(xí)。(但一般二次函數(shù)與反比例函數(shù)會(huì)涉及到一元二次方程的解法) 2、該部分是高考的熱點(diǎn)。 3、方程的兩根與方程中各數(shù)有如下關(guān)系： X1+X2= -b/a，X1·X2=c/a（也稱韋達(dá)定理） 4、方程兩根為x1，x2時(shí)，方程為：x2-(x1+x2)X+x1x2=0 (根據(jù)韋達(dá)定理逆推而得) 5、在系數(shù)a>0的情況下，b2-4ac>0時(shí)有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，b2-4ac=0時(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，b2-4ac<0時(shí)無(wú)實(shí)數(shù)根。 一般式ax2+bx+c=0（a、b、c是實(shí)數(shù)，a0) 例如：x2+2x+1=0 配方式a(x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a2  &#

3、160; 兩根式（交點(diǎn)式）a(x-x1)(x-x2)=0 一般解法 1.分解因式法（可解部分一元二次方程） 因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”兩種）”和“十字相乘法”。因式分解法是通過(guò)將方程左邊因式分解所得，因式分解的內(nèi)容在八年級(jí)上學(xué)期學(xué)完。 如 1.解方程：x2+2x+1=0 解：利用完全平方公式因式解得：（x+12=0 解得：x?= x?=-1 2.解方程x（x+1）-3（x+1）=0 解：利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0 即 x-3=0 或 x+1=0 x1=3，x2=-1 3.解方程x2-4=0 解：（x+2）（x-2）=0 x+2

4、=0或x-2=0 x?=-2，x?= 2 十字相乘法公式： x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 例： 1. ab+b2+a-b- 2 =ab+a+b2-b-2 =a(b+1)+(b-2)(b+1) =(b+1)(a+b-2) 2.公式法（可解全部一元二次方程） 首先要通過(guò)=b2-4ac的根的判別式來(lái)判斷一元二次方程有幾個(gè)根 1.當(dāng)=b2-4ac<0時(shí) x無(wú)實(shí)數(shù)根（初中） 2.當(dāng)=b2-4ac=0時(shí) x有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根 即x1=x2 3.當(dāng)=b2-4ac>0時(shí) x有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根 當(dāng)判斷完成后，若方程有根可根屬于2、3兩種情況方程有根則可根據(jù)公式：x=-b±

5、;（b24ac）/2a 來(lái)求得方程的根 3.配方法（可解全部一元二次方程） 如：解方程：x2+2x3=0 解：把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)得：x2+2x=3 等式兩邊同時(shí)加1（構(gòu)成完全平方式）得：x2+2x+1=4 因式分解得：（x+1)2=4 解得：x1=-3,x2=1 用配方法解一元二次方程小口訣 二次系數(shù)化為一 常數(shù)要往右邊移 一次系數(shù)一半方 兩邊加上最相當(dāng) 4.開(kāi)方法（可解部分一元二次方程） 如：x2-24=1 解：x2=25 x=±5 x?=5 x?=-5 5.均值代換法（可解部分一元二次方程） ax2+bx+c=0 同時(shí)除以a，得到x2+bx/a+c/a=0 設(shè)x1=-b/(2a)+m，

6、x2=-b/(2a)-m (m0) 根據(jù)x1*x2=c/a 求得m。 再求得x1, x2。 如：x2-70x+825=0 均值為35，設(shè)x1=35+m，x2=35-m (m0) x1*x2=825 所以m=20 所以x?=55， x?=15。 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（以下兩個(gè)公式很重要，經(jīng)常在考試中運(yùn)用到） 一般式：ax2+bx+c=0的兩個(gè)根x?和x?的關(guān)系： x1+x2= -b/a x1*x2=c/a 如何選擇最簡(jiǎn)單的解法1看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考慮提公因式法，再考慮平方公式法，最后考慮十字相乘法） 2看是否可以直接開(kāi)方解 3使用公式法求解 4最后再考慮配方法（配

7、方法雖然可以解全部一元二次方程，但是有時(shí)候解題太麻煩）。 如果要參加競(jìng)賽，可按如下順序： 1.因式分解 2.韋達(dá)定理 3.判別式 4.公式法 5.配方法 6.開(kāi)平方 7.求根公式 8.表示法 例題精講1、開(kāi)方法： 直接開(kāi)平方法就是用直接開(kāi)平方求解一元二次方程的方法。用直接開(kāi)平方法解形如(x-m)2=n (n0)的方程，其解為x=m±n 例1（1）(3x+1)2=7 分析：此方程顯然用直接開(kāi)平方法好做。 （1）解：(3x+1)2=7 3x+1=±7 x1=.,x2= . （2）9x2-24x+16=11 方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以此方程也可

8、用直接開(kāi)平方法解解： 9x2-24x+16=11 (3x-4)2=11 3x-4=±11 x1=.,x2= . 2配方法： 例1 用配方法解方程 3x2-4x-2=0 解：將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊 3x2-4x=2 將二次項(xiàng)系數(shù)化為1：x2-4/3x=2/3 方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：x2-4/3x+( -2/3)2= 2/3+(-2/3 )2 配方：(x-2/3)2=10/9 直接開(kāi)平方得：x-2/3=±(10)/3 x?= , x?= . 原方程的解為x?=,x?= . 3公式法：把一元二次方程化成ax2+bx+c的一般形式，然后把各項(xiàng)系數(shù)a, b, c的值代入求

9、根公式就可得到方程的根。 當(dāng)=b2-4ac>0時(shí)，求根公式為x1=-b+(b2-4ac)/2a,x2=-b-(b2-4ac)/2a（兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根） 當(dāng)=b2-4ac=0時(shí)，求根公式為x1=x2=-b/2a（兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根） 當(dāng)=b2-4ac<0時(shí)，求根公式為x1=-b+(4ac-b2)i/2a,x2=-b-(4ac-b2)i/2a （兩個(gè)虛數(shù)根）（初中理解為無(wú)實(shí)數(shù)根） 例3用公式法解方程 2x2-8x=-5 解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0 a=2, b=-8，c=5 b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 x= (

10、4±6)/2 原方程的解為x?=(4+6)/2,x?=(4-6)/2. 4因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，讓兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得的根，就是原方程的兩個(gè)根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 解：化簡(jiǎn)整理得 x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項(xiàng)式，右邊為零) (x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式) x-5=0或x+2=0 (轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程) x?=5,x?=-2是原方程的解。 (2) 2x2+

11、3x=0 解： x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式) x=0或2x+3=0 (轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程) x?=0，x?=-3/2是原方程的解。 注意：容易丟掉x=0這個(gè)解，應(yīng)記住一元二次方程通常有兩個(gè)解。 (3) 6x2+5x-50=0 (選學(xué)） 解：(十字相乘分解因式時(shí)要特別注意符號(hào)不要出錯(cuò)) 2x-5=0或3x+10=0 x?=5/2, x?=-10/3 是原方程的解。 (4) x2-4x+4 =0 解：(x+2)(x-2 )=0 x?=-2 ,x?=2是原方程的解。 小結(jié)一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時(shí)，一般要先將方程寫(xiě)成一般形式，同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)。 直接開(kāi)平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為萬(wàn)能法），在使用公式法時(shí)，一定要把