1、1y1yiynri動平衡方程：riy1yiynri 應滿足剛度方程),.,2 , 1(.2211niykykykrniniiikij是結構的剛度系數，使點j產生單位位移（其它點位移為零）時在點i所需施加的力。iiym.),.,2 , 1(0nirymiii. 3.2 多自由度體系的自由振動20.0.0.2211222212122121211111nnnnnnnnnnnykykykymykykykymykykykym.),.,2 , 1(.2211niykykykrniniii或： ),.,2 , 1(0nirymiii.0yKyM.0.00.212122221112112121nnnnnnnn

2、nyyykkkkkkkkkyyymmm. 多自由度體系自由振動方程為: 3.2 多自由度體系的自由振動3得振幅方程：2 sin()yYt 3.2 多自由度體系的自由振動0yKyM KM線性二階常微分方程組，矩陣 和 是時不變和對稱的方陣。 )sin(tYy設方程的解的形式為: Y 是位移幅值向量:TnYYYY,210)(2YMK4得頻率方程： 3.2 多自由度體系的自由振動 齊次方程，有非零解的條件為系數行列式等于零，即:02MK n個自由度的結構體系，上式展開后得到關于圓頻率 的n次代數方程:2), 2 , 1(niiTn,21求方程的n個根 ，得到體系的n個自振頻率 。1最小的頻率 稱為基

3、本頻率。把全部自振頻率按照從小到大的順序進行排列而成的向量，稱為頻率向量。5 TniiiiYYYY,21)(0)()(2iiYMK), 2 , 1()(niYi線性齊次方程組，如果 是方程組的解：TniiiiYYYY,21)(計算相應的主振型向量: 令： 3.2 多自由度體系的自由振動i對于第i個頻率 ，有: i)(iY 為與頻率 相應的主振型向量。TniiiiCYCYCYCY,21)(也是方程組的解（這里C為任一常數）。6 1)從特征問題中解得的振型的幅值是任意的， 2)只有主振型的形狀是唯一的。為了使主振型具有確定值，可以通過以下幾種振型標準化（mode normalization）的方法

4、來進行處理。 3.2 多自由度體系的自由振動1）、指定某元素為1 規定主振型向量的某個元素為1，例如取第一元素的值為1，這樣以這個元素為標準就可確定其他元素的大小。2）、指定最大元素為1 取每一振型向量的最大值為1，即可確定其他元素的大小。7例： 質量集中在樓層上， 層間側移剛度如圖。k11=4k/3解：1）求剛度系數：m2mmk3k5kk21=-k/3k31=0k12=-k/3k22=8k/15k32=-k/51k13=0k23=-k/5k33=k/5 剛度矩陣K和質量矩陣M：100010002330385052015mMkK118215,03303850522015kmk其中解得：mk08

5、62. 021mk4453. 022mk8685. 023mk2936. 01mk6673. 02mk9319. 032）求頻率：代入頻率方程： K2 M0322422252250展開得：1231.293,6.680,13.02793）求主振型：振型方程：（K2 M）Y0的后兩式：（令Y3i=1）0)3(303)8(5221iiiiiYYY（a）122025058300331iiiiiYY0)3(303)8(5221iiiiiYYY0707. 130370. 65212111293. 11 YYY1569. 0163. 0) 1 (Y0680. 3303320. 62

6、 YYY1227. 1924. 0)2(Y0027.10303027. 55212313027.133YYY(3)2.7603.3421Y 101569. 0163. 0) 1 (Y1227. 1924. 0)2(Y(3)2.7603.3421Y 10.5690.16311.2270.92413.3422.76 Yij為正時表示質量mi的運動方向與單位位移方向相同， 為負時，表示與單位位移方向相反。11利用剛度法的方程間接導出柔度法方程：其展開式:0)(.)(.)(221122221211212111nnnnnnnnnmmmmmmmmm是關于的n次代數方程,先求出i再求出頻率i 3.2 多自由

7、度體系的自由振動由剛度法振幅方程：令2() 0KMY前乘 后得:1 K2( ) 0IMY 21/( ) 0MIY得頻率方程： 0MI12將i代入：可見剛度法、柔度法實質上是相同的，可以互相導出。可見剛度法、柔度法實質上是相同的，可以互相導出。當計算體系的柔度系數方便時用柔度法（如梁）；當計算體系的柔度系數方便時用柔度法（如梁）；當計算體系的剛度系數方便時用剛度法（如橫梁剛度為無當計算體系的剛度系數方便時用剛度法（如橫梁剛度為無窮大的多層剛架）窮大的多層剛架）。 3.2 多自由度體系的自由振動( )( )0iiMIY可求出n個主振型.13例:質量集中在樓層上，層間側移剛度如圖。=1/k11=解：

8、1）求柔度系數：m2mmk3k5k 柔度矩陣和質量矩陣M：100010002941441111mMP=12131P=132=422=4P=113=23=433=912=1421,0942442112mmmIM030421523展開得:解之: 1=11.601，2=2.246，3=1.151三個頻率為：m12936. 01m16673. 02m19319. 033）求主振型： （令Y3i=1）將1代入振型方程： （ M 1I）Y0的前兩式： 112111219.601027.6040YYYY 2）求頻率：1569. 0163. 0) 1 (Y解得：同理可得第二、第三振型與前同15 3.3 主振型

9、的正交性和正則坐標 1、主振型的正交性 設結構體系具有n個自由度，對于第s和第t個固有模態，由方程:)(2)(ssSYMYK)(2)(tttYMYK0)()(2iiYMK得:TsY)(左乘TtY)(左乘)()(2)()(sTtssTtYMYYKY)()(2)()(tTsttTsYMYYKY16,MMKKTT轉置)()(2)()(sTttsTtYMYYKY 3.3 主振型的正交性和正則坐標 ( )( )2( )( ) tTstTssYK YYM Y0)()()(212sTttsYMY兩式相減22ts0)()(sTtYMY)()(2)()(sTtssTtYMYYKY)()(2)()(tTsttTs

10、YMYYKY( )( ) 0tTsYK Y17另一個正交關系式：0)()(sTtYKY0)()(sTtYMY振型的正交關系式（orthogonality relation）相對于質量矩陣 M來說，不同頻率相應的主振型是彼此正交的。主振型第一正交條件 3.3 主振型的正交性和正則坐標 兩個正交關系式是建立在st 基礎的。相對于剛度矩陣 K來說，不同頻率相應的主振型是彼此正交的。主振型第二正交條件18 Ms和Ks分別稱為第s個主振型相應的廣義質量 (generalized mass)和廣義剛度(generalized stiffness）)()(sTssYMYM)()(sTssYKYK 0)()(

11、sTtYKY對于s=t的情形，令:0)()(sTtYMY 3.3 主振型的正交性和正則坐標 每個主振型都有相應的廣義質量 和廣義剛度。19 sssMK2sssMK)(2)(ssSYMYKTsY)(左乘)()(2)()(sTsssTsYMYYKY)()(sTssYMYM)()(sTssYKYK 3.3 主振型的正交性和正則坐標 s可以利用廣義質量Ms和廣義剛度Ks計算多自由度體系的第s個自由振頻率 。由廣義剛度和廣義質量求頻率的公式。是單自由度體系頻率公式的推廣。20例：圖示體系的剛度矩陣K和質量矩陣M為：解：（1）演算第一正交性。m2mmk3k5k三個主振型分別如下，演算正交性。1000100

12、02330385052015mMkK 1342. 3760. 2,1227. 1924. 0,1569. 0163. 0321YYY(1)(2)0.1632000.924 0.5690101.2270.0006010011TTYMYmm 3.3 主振型的正交性和正則坐標 21（2）演算第二正交性。00003. 01227. 1924. 03303850520151569. 0163. 0)2()1(kkYKYTT同理：000001. 00001. 0)3()2()3()1(kYKYkYKYTT同理：00002. 00002. 0)3()2()3()1(mYMYmYMYTT 3.3 主振型的正交

13、性和正則坐標 22 對任意一個位移向量y ，將其寫成主振型的線性組合：niiinnYYYYy1)()()2(2)1(1)(MYTj將 左乘方程的兩邊:)()(1)(iTjniiTjYMYyMY 3.3 主振型的正交性和正則坐標 可將任一位移按主振型展開。 jjjTjjTjMYMYyMY)()()(jTjjMyMY)(由主振型的正交性：233）各個主振型都能夠單獨出現，彼此間線性無關。主振型正交的物理意義：2）當一體系只按某一主振型振動時，不會激起其他主振型的振動。 3.3 主振型的正交性和正則坐標 1）每一主振型相應的慣性力在其他主振型上不做功，其數學表達式為 ：0)()(2sTtsYMY24

14、 ) 1 (22, 1) 1 (YMYK2、重根時的正交性問題)(2)(ssSYMYK)2(22, 1)2(YMYK 3.3 主振型的正交性和正則坐標 )1 (Y)2(Y2, 121設頻率方程具有一個二重根，即兩個主振型 和 對應的固有頻率彼此相等，記為 ，而其他頻率都彼此不同。（a）（b）( )( )aabb)()()2() 1 (22, 1)2() 1 (YbYaMYbYaK)2()1()2, 1(YbYaY是一個與頻率 對應的主振型向量。2, 1250)2()1(YMYT)2()1()2, 1(YcYY取一個由 和 組成的新的主振型，即 )1 (Y)2(Y(1)(1,2)(1)(1)(1

15、)(2) =0TTTYMYYMYc YMY 3.3 主振型的正交性和正則坐標 )1(Y)2(Y如果兩個主振型 和 彼此不正交，即)2()1 ()1 ()1 (YMYYMYcTT(1,2)Y)1(Y 和 就是兩個彼此正交的主振型。262, 1)2, 1(Y( )iY 由于 與其余 不相等，與 對應的任意一個主振型 都與其余頻率的主振型 (i=3,4, ,n) 彼此正交。2, 1), 4 , 3(nii 3.3 主振型的正交性和正則坐標 在具有n個自由度的體系中，即使在頻率方程中出現兩重根，仍然可以選到n個主振型，使它們彼此正交。 n個自由度的體系一定有n個彼此正交的主振型。27 對于n個自由度體

16、系，將n個彼此無關的主振型向量組成一個方陣：nnnnnnnYYYYYYYYYYYYY212222111211)()2()1 (3、主振型矩陣和正則坐標Y稱為主振型矩陣（modal matrix）。 3.3 主振型的正交性和正則坐標 28 利用主振型矩陣和主振型的正交性，可以得到:)()()2()()1()()()2()2()2()1()2()()1()2()1()1()1(nTnTnTnnTTTnTTTTYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMY12*000000nMMMM 3.3 主振型的正交性和正則坐標 2912*0000 00TnKKYK YKKiK*K 為廣義剛度，對

17、角矩陣 稱為廣義剛度矩陣。 *M對角矩陣 稱為廣義質量矩陣。 3.3 主振型的正交性和正則坐標 *MnMMM,21矩陣 中的非對角元素全為零，對角線的元素就是廣義質量30n 個自由度體系的振動方程： ( ) ( )0My tKy t質量矩陣M和剛度矩陣K都是對角矩陣，方程組就是n個獨立的方程，每個方程只有一個未知量。相當于求解n個單自由度體系的振動問題。 3.3 主振型的正交性和正則坐標 質量矩陣M和剛度矩陣K不是對角矩陣。方程是一個耦合方程。31)()(tYty設一個坐標變換： 3.3 主振型的正交性和正則坐標 Y)(ty)(t 為主振型矩陣； 為質點位移向量，稱為幾何坐標； 稱為正則坐標(

18、normalized coordinate)向量。 ( ) ( )0TTYM YtYK Yt ( ) ( )0My tKy tTY將坐標變換式代入振動方程，并左乘 ，得32利用廣義質量矩陣和廣義剛度矩陣的定義，有0)()(*tKtM ), 2 , 1(0)()(nitKtMiiii 利用正則變換，可以把一個n元聯立方程組簡化為n個獨立的一元方程，將一個具有n個自由度的結構體系的耦合振動問題簡化為n個獨立的單自由度體系的振動問題，計算工作大為簡化。解耦條件：（1）線性結構（2）M、K具有正交性 3.3 主振型的正交性和正則坐標 331、柔度法（忽略阻尼） 因為在簡諧荷載作用下，荷載頻率在共振區之

19、外，阻尼影響很小；在共振區之內時，阻尼雖對振幅影響很大，但都能反映共振現象。11ym.22ym.PP1P2tymymytymymyPPsin)()(sin)()(22222211121122211111 （2）動位移的解答及討論通解包含兩部分：齊次解對應按自振頻率振動的自由振動，由于阻尼而很快消失；特解對應按荷載頻率振動的簡諧振動是平穩階段的純強迫振動。 （1）建立振動微分方程tyymymtyymymPPsinsin22222221111112221111 各簡諧荷載頻率相同相位相同，否則用其他方法 3.4 兩個自由度體系的強迫振動 tPsintPsiny1y234tYtytYtysin)(,

20、sin)(22110) 1(0) 1(2222221212112122211121PPYmYmYmYm) 1() 1(22222121122211210mmmmD) 1(22222122211mmDPPPPmmD22121111212) 1(022011DDYDDY解得振幅：產生的位移。位移幅值相當于靜荷載時，當,D,D, 1D022110PP位移幅值很小。時，當, 0, 0,D,D,D21222140YY共振現象。不全為零時，時，或當,D, 0D2121021YYDn個自由度體系，存在n個可能的共振點設純強迫振動解答為：代入：tyymymtyymymPPsinsin2222222111111

21、2221111 35（3）動內力幅值的計算tYtytYtysin)(sin)(2211tPtPsin)(tYmymtYmymsin,sin2222212111. 荷載、位移、慣性力同頻、同相、同時達到最大。位移達到最大時，內力也達到最大。求內力時可將動荷載和慣性力的幅值作為靜荷載作用于結構，用靜力法求出內力，即為動內力幅值。或用疊加公式求：由Y1 ，Y2值可求得位移和慣性力。慣性力的幅值為：22221211,YmIYmI代入位移幅值方程0) 1(0) 1(2222221212112122211121PPYmYmYmYm可得求慣性力幅值的方程（直接求慣性力幅值）0)1(0)1(222222121

22、121212111PPImIIIm 1 122maxPM tM IM IM36P1=1163lP2=1163l例：圖示簡支梁EI=常數,=0.751求動位移幅值和動彎矩幅值。解：1)求柔度系數EIlEIl7687,25633211232211EImlEImlm4876816)(3312111EImlEImlm3847682)(331211231193. 61mlEI32260.151mlEI311975. 575. 0mlEIPPM1M2M2)作MP圖，求1P 2PEIPlEIPlPp7687,25633231tPsinl/4l/4l/2mm37P1=1P2=1163lEIlEIl7687,2

23、5633111232211311975. 575. 0mlEI163l163Pl1M2MPPMEIPlEIPlPp7687,256332314065. 0) 1() 1(22222121122211210mmmmDEIPlmmDPP32222212221101025. 0) 1(EIPlmmDPP32212111121200911. 0) 1(EIPlDDYEIPlDDY302230110224. 00252. 0解得振幅：EIPlYEIPlY32310224. 0,0252. 0:) 3解得振幅PYmIPYmI6052. 06808. 0)422221211求慣性力：5)計算動內力I1=0.

24、6808PPI2=0.6051P1.4119P1.4119P0.2689P0.8740PQd 圖1.4119P1.6808P0.6051P0.8740P0.3530Pl0.2180PlMd 圖PlMIMIMMPd353. 012121111PlMIMIMMPd218. 0222212126)比較動力系數1212112211222560.02522.15037680.02242.4587160.35301.8833160.21803.4881YstYstdMstdMstYyYyMMMM 因此，多自由度體系沒有統一的動力系數。382、剛度法y1(t)y2(t)tPtPtPtPsin)(sin)(2

25、211如在平穩階段,各質點也作簡諧振動:tYtytYtysin)(sin)(2211222222121121211211)()(PYmkYkPYkYmkY1=D1/D0Y2=D2/D02222211212110mkkkmkD)(222221211mkPkPD求得位移幅值Y1、Y2 ,計算慣性力幅值I1=m12Y1 I2=m22Y2 。將慣性力幅值連同荷載幅值加在體系上，按靜力計算方法求得動內力幅值。 002221212221211111ykykymykykym. . .)()(21tPtPP1(t)P2(t)221112112PkPmkD39求圖示剛架樓面處的側移幅值，慣性力幅值和柱底截面彎矩

26、幅值。hPsintm EI=m EI=EIEIEIEIh1k11k211k12k22解：1）求剛度系數khEIkkkkhEIk312212231124,24834mlEI23232222211212110320)1624(2424)1648(hEIhEImkkkmkD33222221211248240)(hEIPhEIPmkPkPD332211121123224032hEIPhEIPPkPmkD311032200.0750.1DhYDEIDhYDEI 2)求位移幅值403)求慣性力幅值32111332222316( 0.075)1.216( 0.1)1.6EIPhImYmPmhEIEIPhIm

27、YmPmhEI 311032200.0750.1DhYDEIDhYDEI 0.10.075EIPh3位移幅值P1.6P1.2P0.9P0.9PA里邊受拉）(45. 05 . 09 . 0PhhPMA412222211212110mkkkmkD212222211PkmkPD121121122PkmkPD例:m2m1k2k1質量集中在樓層上m1、m2 ， 層間側移剛度為k1、k2解：荷載幅值：P1=P，P2=0 ，求剛度系數：k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22=k2 , k12=k2當m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803. 225322=+=wmkmk38197. 0253

28、21=-=wtPsin021222221011DPkmkPDDY0222)(DmkP012112112022)(DPkmkPDDY02DPk2222212210kmkmkkD021222221011DPkmkPDDY021222221DPkmkP02DmkP012112112022DPkmkPDDY0DPk22202kmkmkD22222122213mkmk22423kkmm)3(22242mkmkm)(22212222142m)(2222122m)1)(1 (22221222212m)1)(1 (222212222mkm)1)(1 (122221221kmkPY)1)(1 (12222122

29、kPY422222122111(1)(1)mkYPk222212221(1)(1)YPk3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY1mk3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY2mk兩個質點的位移動力系數不同。當2121,618. 1618. 0YYmkmk和時和 趨于無窮大。可見在兩個自由度體系中，在兩種情況下可能出現共振。也有例外情況。43l/3l/3l/3mmPsintPsint如圖示對稱結構在對稱荷載作用下。21122211,kkkk與2相應的振型是12k2211mk2212YY=1211222112222kkmkm

30、k當=2 ，D0=0 ，也有：212222211PkmkPD121121122PkmkPD0122222PkmkP0212211PkmkP022011,DDYDDY不會趨于無窮大，不發生共振，共振區只有一個。 對稱體系在對稱荷載作用下時，對稱體系在對稱荷載作用下時， 只有當荷載頻率與對稱主振型的自只有當荷載頻率與對稱主振型的自 振頻率相等時才發生共振；當荷載振頻率相等時才發生共振；當荷載 頻率與反對稱主振型的自振頻率相頻率與反對稱主振型的自振頻率相 等時不會發生共振。同理可知：對等時不會發生共振。同理可知：對 稱體系在反對稱荷載作用下時，只稱體系在反對稱荷載作用下時，只 有當荷載頻率與反對稱主

31、振型的自有當荷載頻率與反對稱主振型的自 振頻率相等時才發生共振。振頻率相等時才發生共振。 44kkPyst1yst2=P/k荷載幅值產生的靜位移和靜內力yst1= yst2=P/k層間剪力: Qst1= P 動荷載產生的位移幅值和內力幅值2mY22mY12112212()(1()QPm YYmPk2222122111(1)(1)mkYPk222212221(1)(1)YPk12121()Qmk 由此可見，在多自由度體系中，沒有一個統一的動力系數。由此可見，在多自由度體系中，沒有一個統一的動力系數。層間動剪力:45例：m2m1k2k1質量集中在樓層上m1、m2 ， 層間側移剛度為k1、k2k11

32、=k1+k2 , k21=k2 ,k22=k2 , k12=k2tPsin02221DmkPY022DPkY 2222212210)(kmkmkkD222201222,0,kPYkDYmk當m1k1tPsinm2k2這說明在圖a結構上，適當加以m2、k2系統可以消除m1的振動（動力吸振器原理）。.,2222222kmYPkYm再確定選定的許可振幅先根據設計吸振器時 吸振器不能盲目設置，必須在干擾力使體系產生較大振動時才有必要設置。a圖46 多自由度體系，無阻尼強迫振動微分方程為: 3.5 多自由度體系的強迫振動 )()()(tptyKtyM )()(tYty1、無阻尼情形設正則變換: )()(

33、)(tptYKtYM )()()()()()(tpYtYKYtYMYTiTiTi TiY)(左乘第i階模態的主振型向量的轉置 :47廣義質量Mi、廣義剛度Ki和廣義荷載Pi(t)( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )iTiiTiiTYMYtYKYtYp t)()()()()()(tpYPYKYKYMYMTiiiTiiiTii)()()(tPtKtMiiiii ( )( ) 0 ()iTjYMYij( )( ) 0 ()iTjYKYij由主振型的正交性可知: 3.5 多自由度體系的強迫振動 48 對于結構的每一個主振型，可以用上述方法求得一個獨立的單自由度方程。)(1)()(2t

34、PMttiiiii )()()(tPtKtMiiiii 采用正則坐標變換將質量和剛度矩陣中有非對角項耦合的n個聯立方程組轉換成n個獨立的正則坐標方程。從而使多自由度體系振動變為單自由度體系振動問題的方法稱為振型分解法。 3.5 多自由度體系的強迫振動 49振型分解法步驟:確定結構體系動力響應： 1、求解每一個正則坐標的響應， 2、按 式疊加。 3、利用正交性使多自由度耦合方程變為單自由度方程。4、求解正則坐標解答，返代得幾何坐標解。)(1)()(2tPMttiiiii )()()(tPtKtMiiiii )()()(tptyKtyM )()(tYty 3.5 多自由度體系的強迫振動 500(0)1( )(0)cossin( )sin()tiiiitiiiiitttP ttdM