1、統(tǒng)計(jì)學(xué)總論第二章多元正態(tài)分布均值向量和協(xié)差陣的檢驗(yàn)1第一節(jié)第一節(jié) 均值向量的檢驗(yàn)均值向量的檢驗(yàn)第二節(jié)第二節(jié) 協(xié)差陣的檢驗(yàn)協(xié)差陣的檢驗(yàn)第二章 多元正態(tài)分布均值向量和協(xié)差陣的檢驗(yàn)2p假設(shè)檢驗(yàn)的四個(gè)基本步驟：p提出待檢驗(yàn)的假設(shè)H0和H1。p給出檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量及其服從的分布。p給定檢驗(yàn)水平，查統(tǒng)計(jì)量的分布表，確定相應(yīng)的臨界值，從而得到否定域。p根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的值，看是否落入否定域中，以便對(duì)待判假設(shè)做出決策（拒絕或接受）。3第一節(jié)第一節(jié) 均值向量的檢驗(yàn)均值向量的檢驗(yàn)一、霍特林（Hotelling）T2分布p這一統(tǒng)計(jì)量的分布是由Harold Hotelling首先提出來的，因此稱為Hotelli

2、ngT2分布。p我國(guó)的統(tǒng)計(jì)學(xué)家許寶騄先生1938年用不同方法也導(dǎo)出了T2分布的密度函數(shù)，但表達(dá)式很復(fù)雜。4 分布分布p定義1：2HotellingT。，分布，記為中心的分布為非，則稱統(tǒng)計(jì)量立，相互獨(dú)與且，設(shè)npTTTXSXnTpnSXnWSNXpp22212Hotelling。布，記為分服從（中心）時(shí)，稱當(dāng)npTHotellingTT,02225 分布分布p注：分布的推廣。分布是一元統(tǒng)計(jì)分布中由此可見，統(tǒng)計(jì)量形式類似，且與前面給出的顯然其中分布的樣本，則統(tǒng)計(jì)量為來自總體在一元統(tǒng)計(jì)中，若tTnNXTXXntXXnntXntNXXniin22212212221, 0111,2HotellingT6

3、 分布基本性質(zhì)分布基本性質(zhì)2HotellingT質(zhì)。統(tǒng)計(jì)量也具有類似的性統(tǒng)計(jì)分析中統(tǒng)計(jì)量來處理，在多元化為分布的統(tǒng)計(jì)量轉(zhuǎn)分布，即把則分布，量在一元統(tǒng)計(jì)中，若統(tǒng)計(jì)221, 11TFtnFtntt1,1SX,0212pnpFTnppnXSXnTnWSNXpp，則立，令相互獨(dú)與且，若定理7二、一個(gè)正態(tài)總體均值向量的假設(shè)檢驗(yàn)二、一個(gè)正態(tài)總體均值向量的假設(shè)檢驗(yàn) nnpnXXXXSXnXNpXXX11211,。，的樣本，且元正態(tài)總體是來自，設(shè)81.1.協(xié)差陣協(xié)差陣已知時(shí)均值向量的檢驗(yàn)已知時(shí)均值向量的檢驗(yàn) 假設(shè)H0成立，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：01000：為已知向量：HH pXXnT201020相容。，否則，則否定，

4、若，再用樣本值計(jì)算出可確定出臨界值，分布表使，查給定檢驗(yàn)水平002020202HHTTTP9形式相同。量與前面給出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)顯然，的統(tǒng)計(jì)量為：取已知時(shí)，作均值檢驗(yàn)所一元統(tǒng)計(jì)中，當(dāng)20012022020210TXXnXnUNnXU1.1.協(xié)差陣協(xié)差陣已知時(shí)均值向量的檢驗(yàn)已知時(shí)均值向量的檢驗(yàn)10 pXXnTNXnYYYXnXnXXnTpXXNXpp2010200101001020210, 0所以，其中，則若定理：另外，根據(jù)二次型分布1.1.協(xié)差陣協(xié)差陣已知時(shí)均值向量的檢驗(yàn)已知時(shí)均值向量的檢驗(yàn)112.2.協(xié)差陣協(xié)差陣未知時(shí)均值向量的檢驗(yàn)未知時(shí)均值向量的檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：0100：HH成立時(shí)在02,11

5、1HpnpFTpnpn01021XnSXnnT其中相容。，否則，則否定若。，再用樣本值計(jì)算出可確定出臨界值，分布表，使，查給定檢驗(yàn)水平0022211HHFTpnpnTFFTpnpnPF12的無偏估計(jì)量。是因?yàn)椋ゴ骊囄粗獣r(shí)，要用樣本協(xié)差當(dāng)111-n1-n1SS , 0, 101pnipNXnnWXXXXS1,120102npTXnSXnnT則pnpFTpnpn,111hotellingT22分布的性質(zhì)，有根據(jù)2.2.協(xié)差陣協(xié)差陣未知時(shí)均值向量的檢驗(yàn)未知時(shí)均值向量的檢驗(yàn)13三、兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的假設(shè)檢驗(yàn)三、兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的假設(shè)檢驗(yàn) mNYYYYnNXXXXpppp, 1, 1,221

6、121設(shè) mnYnYXnXpmpn1111，同時(shí)，且兩組樣本相互獨(dú)立，其協(xié)差陣相等141.1.已知時(shí)均值向量的檢驗(yàn)已知時(shí)均值向量的檢驗(yàn) pYXYXmnmnTHH2120211210檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： 相容。，否則，則否定若，再用樣本值計(jì)算出可確定出臨界值分布表使，查給出檢驗(yàn)水平002020202,HHTTTPp15p在一元統(tǒng)計(jì)中，進(jìn)行均值相等檢驗(yàn)所給出的統(tǒng)計(jì)量為1.1.已知時(shí)均值向量的檢驗(yàn)已知時(shí)均值向量的檢驗(yàn)1 , 022NmnYXU顯然 12122222YXYXmnnmmnYXU162.2.未知且大于零時(shí)均值向量的檢驗(yàn)未知且大于零時(shí)均值向量的檢驗(yàn)1,2122211210pmnpFTpmnpmnFH

7、H檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：17p其中：其中： pmpnYYYYYYYYSXXXXXXXXSSSSYXmnmnSYXmnmnmnT,2211221112112，2.2.未知且大于零時(shí)均值向量的檢驗(yàn)未知且大于零時(shí)均值向量的檢驗(yàn)182.2.未知且大于零時(shí)均值向量的檢驗(yàn)未知且大于零時(shí)均值向量的檢驗(yàn)相容。，否則，則否定若，再用樣本值計(jì)算出可確定出，分布表使，查給定檢驗(yàn)水平00HHFFFFFFPF19去代替，而和體的樣本協(xié)差陣知時(shí)，可以用每個(gè)總當(dāng)兩個(gè)總體的協(xié)差陣未211111SmSn , 1S, 1S1211mWYYYYnWXXXXpmpn, 221mnWSSSp從而2.2.未知且大于零時(shí)均值向量的檢驗(yàn)未知且大于零時(shí)

8、均值向量的檢驗(yàn)20p又由于又由于p所以所以, 0pNYXmnnm1,2122pmnpFTpmnpmn2.2.未知且大于零時(shí)均值向量的檢驗(yàn)未知且大于零時(shí)均值向量的檢驗(yàn)21第二節(jié)第二節(jié) 協(xié)差陣的檢驗(yàn)協(xié)差陣的檢驗(yàn)p在多元統(tǒng)計(jì)分析中，不僅需要經(jīng)常對(duì)總體的均值向量進(jìn)行檢驗(yàn)，而且有時(shí)還需要對(duì)總體的協(xié)差陣進(jìn)行檢驗(yàn)。p這里主要給大家介紹一個(gè)正態(tài)總體協(xié)差陣的檢驗(yàn)。22 。未知，且的樣本，維正態(tài)總體為來自，設(shè)02121ppNpnXXXX23p首先我們考慮檢驗(yàn)假設(shè)p所構(gòu)造的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為p其中ppIHIH：102221expnpnneStrSnXXXXS124p然后我們考慮檢驗(yàn)假設(shè)p令p則ppIHIH0100：。，使

9、得，所以存在因?yàn)閜IDDDD0000 nDXY，21 *，ppNDDDNYpI*0等價(jià)于檢驗(yàn)因此，檢驗(yàn)25p此時(shí)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量為p其中22*21expnpnneStrS nYYYYS1*26p統(tǒng)計(jì)量 的精確分布不易確定，一般用其近似分布或極限分布。21ln2ln2n202ppH成立時(shí)，有分布。即當(dāng)原假設(shè)的極限分布是較大時(shí)，其對(duì)數(shù)即當(dāng)27相容。，否則拒絕，則即值，若本值計(jì)算出時(shí)，由樣，當(dāng)因此，給定檢驗(yàn)水平002122,ln2HHepn28多元正態(tài)分布假設(shè)檢驗(yàn)的實(shí)例與計(jì)多元正態(tài)分布假設(shè)檢驗(yàn)的實(shí)例與計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)算機(jī)實(shí)現(xiàn)p一一 均值向量的檢驗(yàn)均值向量的檢驗(yàn)p二二 協(xié)差陣的檢驗(yàn)協(xié)差陣的檢驗(yàn)一一 均值向量的檢驗(yàn)

10、均值向量的檢驗(yàn)p利用SPSS軟件可以完成多元正態(tài)分布均值和協(xié)差陣的檢驗(yàn)。下面通過一個(gè)實(shí)例來說明多元正態(tài)分布檢驗(yàn)的SPSS實(shí)現(xiàn)過程。p例:對(duì)35家上市公司2000年年報(bào)數(shù)據(jù)，取其四個(gè)反映運(yùn)營(yíng)能力的的指標(biāo)凈資產(chǎn)收益率、總資產(chǎn)報(bào)酬率、資產(chǎn)負(fù)債率及銷售增長(zhǎng)率，檢驗(yàn)三個(gè)行業(yè)的運(yùn)營(yíng)能力是否具有顯著性差異；并且檢驗(yàn)三個(gè)行業(yè)的協(xié)方差矩陣是否相等。301. 選擇菜單項(xiàng)選擇菜單項(xiàng)AnalyzeGeneral Linear ModelMultivariate，打開，打開Multivariate對(duì)話框，如下圖。將要分析的四個(gè)變量移入右對(duì)話框，如下圖。將要分析的四個(gè)變量移入右邊的邊的Dependent Variable

11、列表框中，在列表框中，在Fixed Factor(s)中選中選入行業(yè)。入行業(yè)。p2.單擊單擊OKOK按鈕，執(zhí)行操作。則在結(jié)果輸出窗口中給出相應(yīng)的檢驗(yàn)結(jié)果按鈕，執(zhí)行操作。則在結(jié)果輸出窗口中給出相應(yīng)的檢驗(yàn)結(jié)果，如下表。，如下表。p通過觀察通過觀察P P值，我們發(fā)現(xiàn)均小于值，我們發(fā)現(xiàn)均小于0.050.05，因此拒絕原假設(shè)，說明三個(gè)行業(yè)，因此拒絕原假設(shè)，說明三個(gè)行業(yè)運(yùn)營(yíng)能力有顯著差異。運(yùn)營(yíng)能力有顯著差異。二二 協(xié)差陣的檢驗(yàn)協(xié)差陣的檢驗(yàn)1. 選擇菜單項(xiàng)選擇菜單項(xiàng)AnalyzeGeneral Linear ModelMultivariate，打開，打開Multivariate對(duì)話框，如下圖。將要分析的四個(gè)變量移入右對(duì)話框，如下圖。將要分析的四個(gè)變量移入右邊的邊的Dependent Variable列表框中，在列表框中，在Fixed Factor(s)中選中選入行業(yè)。入行業(yè)。2. 單擊單擊Options按鈕，打開按鈕，打開Options子對(duì)話框，如下圖所示。在對(duì)話子對(duì)話框，如下圖所示。在對(duì)話框中選擇框中選擇Homogeneity tests復(fù)選框，即對(duì)三個(gè)行業(yè)的協(xié)方差矩復(fù)選框，即對(duì)三個(gè)行業(yè)的協(xié)方差矩陣是否相等進(jìn)行檢驗(yàn)。單擊陣是否相等進(jìn)行檢驗(yàn)。單擊Continue按鈕