1、?現代控制理論?復習題1一、10分，每題2分試判斷以下結論的正確性，假設結論是正確的，那么在其左邊的括號里打，反之打×。 1. 由一個狀態空間模型可以確定惟一一個傳遞函數。 × 2. 假設一個對象的連續時間狀態空間模型是能控的，那么其離散化狀態空間模型也一定 是能控的。 × 3. 對一個給定的狀態空間模型，假設它是狀態能控的，那么也一定是輸出能控的。 4. 對系統，其Lyapunov意義下的漸近穩定性和矩陣A的特征值都具有負實部是一致的。 二、15分考慮由下式確定的系統： 試求其狀態空間實現的能控標準型、能觀標準型和對角線標準型，并畫出能控標準型的狀態變量圖。 解

2、： 能控標準形為 能觀測標準形為 對角標準形為 三、10分在線性控制系統的分析和設計中，系統的狀態轉移矩陣起著很重要的作用。對系統 求其狀態轉移矩陣。解：解法1。 容易得到系統狀態矩陣A的兩個特征值是，它們是不相同的，故系統的矩陣A可以對角化。矩陣A對應于特征值的特征向量是取變換矩陣 ， 那么 因此， 從而， 解法2。拉普拉斯方法 由于 故 解法3。凱萊-哈密爾頓方法 將狀態轉移矩陣寫成 系統矩陣的特征值是-1和-2，故 解以上線性方程組，可得 因此， 四、15分對象的狀態空間模型,是完全能觀的，請畫出觀測器設計的框圖，并據此給出觀測器方程，觀測器設計方法。 解 觀測器設計的框圖： 觀測器方程

3、： 其中：是觀測器的維狀態，L是一個n×p維的待定觀測器增益矩陣。 觀測器設計方法： 由于 因此，可以利用極點配置的方法來確定矩陣L，使得具有給定的觀測器極點。具體的方法有：直接法、變換法。 五、15分對于一個連續時間線性定常系統，試表達Lyapunov穩定性定理，并舉一個二階系統例子說明該定理的應用。 解 連續時間線性時不變系統的李雅普諾夫穩定性定理： 線性時不變系統在平衡點處漸近穩定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q，李雅普諾夫矩陣方程有惟一的對稱正定解P。 在具體問題分析中，可以選取Q = I。考慮二階線性時不變系統： 原點是系統的惟一平衡狀態。求解以下的李雅普諾夫矩

4、陣方程 其中的未知對稱矩陣 將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得 進一步可得聯立方程組 從上式解出、和，從而可得矩陣 根據塞爾維斯特方法，可得 故矩陣P是正定的。因此，系統在原點處的平衡狀態是大范圍漸近穩定的。 六、10分被控系統的傳遞函數是 試設計一個狀態反應控制律，使得閉環系統的極點為-1 ± j。 解 系統的狀態空間模型是 將控制器 代入到所考慮系統的狀態方程中，得到閉環系統狀態方程 該閉環系統的特征方程是 期望的閉環特征方程是 通過 可得 從上式可解出 因此，要設計的極點配置狀態反應控制器是 ?現代控制理論?復習題2一、10分，每題2分試判斷以下結論的正確性，假設結

5、論是正確的，那么在其左邊的括號里打，反之打×。 × 1. 對一個系統，只能選取一組狀態變量； 2. 由狀態轉移矩陣可以決定系統狀態方程的狀態矩陣，進而決定系統的動態特性； × 3. 假設傳遞函數存在零極相消，那么對應的狀態空間模型描述的系統是不能控不能觀的； × 4. 假設一個系統是李雅普諾夫意義下穩定的，那么該系統在任意平衡狀態處都是穩定的； 5. 狀態反應不改變系統的能控性。 二、20分系統的傳遞函數為 1 采用串聯分解方式，給出其狀態空間模型，并畫出對應的狀態變量圖； 2 采用并聯分解方式，給出其狀態空間模型，并畫出對應的狀態變量圖。 答:1將G(

6、s)寫成以下形式：這相當于兩個環節和串連，它們的狀態空間模型分別為： 和 由于，故可得給定傳遞函數的狀態空間實現是： 將其寫成矩陣向量的形式，可得： 對應的狀態變量圖為： 串連分解所得狀態空間實現的狀態變量圖2將G (s)寫成以下形式： 它可以看成是兩個環節和的并聯，每一個環節的狀態空間模型分別為： 和 由此可得原傳遞函數的狀態空間實現： 進一步寫成狀態向量的形式，可得： 對應的狀態變量圖為： 并連分解所得狀態空間實現的狀態變量圖 三、20分試介紹求解線性定常系統狀態轉移矩陣的方法，并以一種方法和一個數值例子為例，求解線性定常系統的狀態轉移矩陣； 答：求解狀態轉移矩陣的方法有： 方法一 直接計

7、算法： 根據狀態轉移矩陣的定義 來直接計算，只適合一些特殊矩陣A。 方法二 通過線性變換計算狀態轉移矩陣，設法通過線性變換，將矩陣A 變換成對角矩陣或約當矩陣，進而利用方法得到要求的狀態轉移矩陣。 方法三 拉普拉斯變換法：。 方法四 凱萊-哈密爾頓方法 根據凱萊-哈密爾頓定理和，可導出具有以下形式： 其中的均是時間 t 的標量函數。根據矩陣A有n個不同特征值和有重特征值的情況，可以分別確定這些系數。 舉例：利用拉普拉斯變換法計算由狀態矩陣 所確定的自治系統的狀態轉移矩陣。 由于 故 四、10分解釋狀態能觀性的含義，給出能觀性的判別條件，并舉例說明之。 答：狀態能觀性的含義：狀態能觀性反映了通過

8、系統的輸出對系統狀態的識別能力，對一個零輸入的系統，假設它是能觀的，那么可以通過一段時間內的測量輸出來估計之前某個時刻的系統狀態。 狀態能觀的判別方法： 對于n階系統 1. 假設其能觀性矩陣列滿秩，那么系統完全能觀2. 假設系統的能觀格拉姆矩陣 非奇異，那么系統完全能觀。 舉例： 對于系統 其能觀性矩陣 的秩為2，即是列滿秩的，故系統是能觀的。 五、20分對一個由狀態空間模型描述的系統，試答復： 1 能夠通過狀態反應實現任意極點配置的條件是什么？ 2 簡單表達兩種極點配置狀態反應控制器的設計方法； 3 試通過數值例子說明極點配置狀態反應控制器的設計。 答：1能夠通過狀態反應實現任意極點配置的條

9、件：系統是能控的。 2極點配置狀態反應控制器的設計方法有直接法、變換法、愛克曼公式法。 直接法 驗證系統的能控性，假設系統能控，那么進行以下設計。 設狀態反應控制器u =Kx，相應的閉環矩陣是ABK，閉環系統的特征多項式為由期望極點可得期望的閉環特征多項式 通過讓以上兩個特征多項式相等，可以列出一組以控制器參數為變量的線性方程組，由這組線性方程可以求出極點配置狀態反應的增益矩陣K。 變換法 驗證系統的能控性，假設系統能控，那么進行以下設計。 將狀態空間模型轉化為能控標準型，相應的狀態變換矩陣設期望的特征多項式為而能控標準型的特征多項式為 所以，狀態反應控制器增益矩陣是 3 采用直接法來說明極點

10、配置狀態反應控制器的設計 考慮以下系統 設計一個狀態反應控制器，使閉環系統極點為2和3。 該狀態空間模型的能控性矩陣為 該能控性矩陣是行滿秩的，所以系統能控。 設狀態反應控制器將其代入系統狀態方程中，得到閉環系統狀態方程 其特征多項式為 由期望的閉環極點 2和3，可得閉環特征多項式通過 可得 由此方程組得到 因此，要設計的極點配置狀態反應控制器 六、20分給定系統狀態空間模型1 試問如何判斷該系統在李雅普諾夫意義下的穩定性？ 2 試通過一個例子說明您給出的方法； 3 給出李雅普諾夫穩定性定理的物理解釋。 答： 1給定的系統狀態空間模型是一個線性時不變系統，根據線性時不變系統穩定性的李雅普諾夫定

11、理，該系統漸近穩定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q，矩陣方程有一個對稱正定解矩陣P。因此，通過求解矩陣方程，假設能得到一個對稱正定解矩陣P，那么系統是穩定的；假設得不到對稱正定解矩陣P，那么系統是不穩定的。一般的，可以選取Q = I。 2舉例：考慮由以下狀態方程描述的二階線性時不變系統： 原點是該系統的惟一平衡狀態。求解李雅普諾夫方程：，其中的未知矩陣 將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得 為了計算簡單，選取Q =2I，那么從以上矩陣方程可得：求解該線性方程組，可得：即判斷可得矩陣P是正定的。因此該系統是漸近穩定的。 3李雅普諾夫穩定性定理的物理意義：針對一個動態系統和確定的平衡狀態，通過分析該系統運動過程中能量的變化來